Pytania na kolokwium z Proseminarium 2 w grupie 1 i 7 w roku akademickim 2012/2013
11 Przestrzenie metryczne.
11.1. Poda´c definicj˛e metryki i przestrzeni metrycznej. Poda´c przykłady.
11.2 Poda´c definicj˛e kuli w przestrzeni metrycznej. Poda´c przykłady. Co to jest zbiór ograniczony?
11.3 Poda´c definicj˛e granicy ci ˛agu w przestrzeni metrycznej. Poda´c przykłady (w ró ˙z- nych metrykach).
12 Ciało liczb zespolonych.
12.1 Poda´c definicj˛e liczby zespolonej. Co to jest cz˛e´s´c rzeczywista, cz˛e´s´c urojona, sprz˛e ˙zenie i moduł liczby zespolonej? Co to jest jednostka urojona? Jaka jest interpretacja geometryczna tych poj˛e´c?
12.2 Co to jest posta´c kanoniczna liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛e działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej?
12.3 Co to jest posta´c posta´c trygonometryczna liczby zespolonej? Co to jest argument i argument główny liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛e działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej?\
14 Przestrzenie liniowe.
14.1 Sformułowa´c definicj˛e przestrzeni liniowej. Poda´c przykłady.
14.2 Co to jest podprzestrze ´n przestrzeni liniowej? Sformułowa´c warunek konieczny i wystarczaj ˛acy na to, aby podzbiór przestrzeni liniowej był podprzestrzeni ˛a li- niow ˛a. Poda´c przykłady.
14.3 Poda´c definicj˛e kombinacji liniowej. Co to jest zbiór (układ) wektorów liniowo zale ˙znych i niezale ˙znych?
14.4 Co to jest baza przestrzeni liniowej? Co to jest wymiar przestrzeni liniowej? Po- da´c przykłady.
15 Macierze.
15.1 Poda´c definicj˛e macierzy. Jak s ˛a zdefiniowane działania na macierzach?
15.2 Poda´c definicj˛e wyznacznika macierzy kwadratowej. Na czym polega metoda Sarrusa? Sformułowa´c twierdzenie Laplace’a. Poda´c przykład zastosowania.
16 Przekształcenia liniowe
16.1 Poda´c definicj˛e przekształcenia liniowego. Poda´c przykłady. Co nazywamy mono–
, epi–, izo– oraz endomorfizmem?
1
16.2 Co to jest j ˛adro, obraz oraz rz ˛ad przekształcenia liniowego? Poda´c przykłady.
Jaki jest zwi ˛azek wymiaru przestrzeni z wymiarem j ˛adra i rz˛edem przekształce- nia liniowego? Jaki jest zwi ˛azek j ˛adra z ró ˙znowarto´sciowo´sci ˛a przekształcenia liniowego?
17 Układy równa ´n
17.1 Co nazywamy układem równa ´n liniowych? Jak zapisa´c układ w postaci macie- rzowej (pokaza´c równie ˙z na przykładzie)? Co to jest rozwi ˛azanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym, oznaczonym i nieoznaczonym?
17.2 Co to jest układ Cramera? Sformułowa´c twierdzenie Cramera.
17.3 Co to jest rz ˛ad macierzy?
17.4 Sformułowa´c twierdzenie Kroneckera-Capellego.
18 Elementy geometrii analitycznej.
18.1 Co nazywamy iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej? Poda´c przykłady.
Jak za pomoc ˛a iloczynu skalarnego zdefiniowa´c norm˛e? Jakie s ˛a zwi ˛azki normy i iloczynu skalarnego?
18.2 Co nazywamy układ ortogonalnym wektorów? Co nazywamy układ ortonor- malnym wektorów? Co to jest baza ortogonalna? Co to jest baza ortonormalna?
19 Elementy rachunku prawdopodobie ´nstwa
19.2 Co to jest przestrze ´n probabilistyczna? Jak brzmi klasyczna definicja prawdopo- dobie ´nstwa? Poda´c przykłady zastosowania.
19.3 Co to jest prawdopodobie ´nstwo geometryczne?
19.4 Co nazywamy zmienn ˛a losow ˛a? Poda´c przykłady.
19.5 Co to jest prawdopodobie ´nstwo warunkowe? Jak jest wzór na prawdopodobie ´n- stwo całkowite. Poda´c przykład zastosowania.
19.7 Co to s ˛a zdarzenia niezale ˙zne?
19.8 Co to jest schemat Bernoulliego?
El˙zbieta Motyl, Marek Majewski, Łód´z, 27 maja 2013.
2
