Tematyka referatów na Proseminarium w roku akademickim 2013/2014
11 Przestrzenie metryczne. (Karolina Goc, Agata Chrzanowska, 6 kwietnia) 11.1. Poda´c definicj˛e metryki i przestrzeni metrycznej. Poda´c przykłady.
11.2 Poda´c definicj˛e kuli w przestrzeni metrycznej. Poda´c przykłady. Co to jest zbiór ograniczony?
11.3 Poda´c definicj˛e granicy ci ˛agu w przestrzeni metrycznej. Poda´c przykłady (w ró ˙z- nych metrykach).
11.4 Poda´c definicj˛e granicy (w sensie Heinego i Cauchy’ego) funkcji o dziedzinie i warto´sciach w przestrzeniach metrycznych.
11.5 Poda´c definicj˛e funkcji ci ˛agłej dla funkcji o dziedzinie i warto´sciach w przestrze- niach metrycznych.
11.6 Poda´c aksjomaty przestrzeni topologicznej. Co to jest topologia? Poda´c przy- kłady przestrzeni topologicznych. Jak okre´slamy zbiór otwarty w przestrzeni metrycznej?
12 Ciało liczb zespolonych. (Wojciech Pu´zmirowski, Marcin Sitkiewicz, 13 kwietnia) 12.1 Poda´c definicj˛e liczby zespolonej. Co to jest cz˛e´s´c rzeczywista, cz˛e´s´c urojona,
sprz˛e ˙zenie i moduł liczby zespolonej? Co to jest jednostka urojona? Jaka jest interpretacja geometryczna tych poj˛e´c?
12.2 Co to jest posta´c kanoniczna liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛e działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej?
12.3 Co to jest posta´c posta´c trygonometryczna liczby zespolonej? Co to jest argument i argument główny liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛e działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej?
12.4 Co nazywamy pierwiastkiem liczby zespolonej? Jaka jest ró ˙znica mi˛edzy pier- wiastkiem liczby zespolonej o zerowej cz˛e´sci urojonej a pierwiastkiem tej liczby rozumianej jako liczby rzeczywistej? Poda´c i zilustrowa´c na przykładzie wzór na wszystkie pierwiastki n–tego stopnia z liczby zespolonej.
12.5 Jak brzmi zasadnicze twierdzenie algebry?
14 Przestrzenie liniowe. (Katarzyna Stecko, Marzena Gluba, 11 maja) 14.1 Sformułowa´c definicj˛e przestrzeni liniowej. Poda´c przykłady.
14.2 Co to jest podprzestrze ´n przestrzeni liniowej? Sformułowa´c warunek konieczny i wystarczaj ˛acy na to, aby podzbiór przestrzeni liniowej był podprzestrzeni ˛a li- niow ˛a. Poda´c przykłady.
14.3 Poda´c definicj˛e kombinacji liniowej. Co to jest zbiór (układ) wektorów liniowo zale ˙znych i niezale ˙znych?
14.4 Co to jest baza przestrzeni liniowej? Co to jest wymiar przestrzeni liniowej? Po- da´c przykłady.
1
16 Przekształcenia liniowe. (Justyna Samuel, 11 maja)
16.1 Poda´c definicj˛e przekształcenia liniowego. Poda´c przykłady. Co nazywamy mono–
, epi–, izo– oraz endomorfizmem?
16.2 Co to jest j ˛adro, obraz oraz rz ˛ad przekształcenia liniowego? Poda´c przykłady.
Jaki jest zwi ˛azek wymiaru przestrzeni z wymiarem j ˛adra i rz˛edem przekształce- nia liniowego? Jaki jest zwi ˛azek j ˛adra z ró ˙znowarto´sciowo´sci ˛a przekształcenia liniowego?
16.3 Poda´c definicj˛e macierzy przekształcenia liniowego. Jak znale´z´c macierz prze- kształcenia danego wzorem?
16.4 Zdefiniowa´c wektor własny i warto´s´c własn ˛a endomorfizmu. Co to jest równanie charakterystyczne i wielomian charakterystyczny macierzy? Jak wykorzysta´c te poj˛ecia do znajdowania wektorów i warto´sci własnych endomorfizmu?
18 Elementy geometrii analitycznej. (Sławomir Kaniak, 1 czerwca)
18.1 Co nazywamy iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej? Poda´c przykłady.
Jak za pomoc ˛a iloczynu skalarnego zdefiniowa´c norm˛e? Jakie s ˛a zwi ˛azki normy i iloczynu skalarnego?
18.2 Co nazywamy układ ortogonalnym wektorów? Co nazywamy układ ortonor- malnym wektorów? Co to jest baza ortogonalna? Co to jest baza ortonormalna?
Na czym polega ortogonalizacja Schmidta?
18.3 Co to jest orientacja przestrzeni liniowej? Co nazywamy iloczynem wektoro- wym? Jak oblicza´c iloczyn wektorowy wR3? Jaka jest interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego?
18.4 Co to jest izometria? Poda´c przykłady.
Marek Majewski, Łód´z, 24 marca 2014.
2
