11.04.2019

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

KOLOKWIUM nr

7

^11.04.2019

11.

Rozstrzygnąć, czy szereg

∞

X

n=1

r

7ⁿ+^2n_n^2

3ⁿ jest zbieżny.

Rozwiązanie:

Korzystamy z kryterium porównawczego, a następnie z kryterium d’Alemberta:

∞

X

n=1

r

7ⁿ+^2n_n^2

3ⁿ ­

∞

X

n=1

r

0 +^2n_n^2

3ⁿ =

∞

X

n=1

_2n

n



3ⁿ ,

_2n+2

n+1



3ⁿ⁺¹ · 3ⁿ

_2n

n

= (2n + 2)! · (n!)²

3 · ((n + 1)!)²· (2n)!=(2n + 1) · (2n + 2) 3 · (n + 1)² →4

3> 1 ,

a zatem na mocy kryterium d’Alemberta szereg

∞

X

n=1

_2n

n



3ⁿ jest rozbieżny, a stąd na mocy kryterium porównawczego rozbieżny jest także szereg

∞

X

n=1

r

7ⁿ+^2n_n^2 3ⁿ .

Odpowiedź: Podany szereg jest rozbieżny.

Uwaga: Jeżeli konkluzja jest błędna (szereg zbieżny) lub brak jest konkluzji co do zbieżności szeregu, ocena za zadanie nie może być wyższa niż 4 punkty.

Kolokwium 7 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Zadanie

12.

∞

X

n=1

√

n²⁰+ n⁸− n^10 jest zbieżny.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów), a następnie wyko- nujemy szacowanie, aby skorzystać z kryterium porównawczego:

∞

X

n=1

√

n²⁰+ n⁸− n^10=

∞

X

n=1

n⁸

√n²⁰+ n⁸+ n¹⁰ ¬

¬

∞

X

n=1

n⁸

√n²⁰+ 0 + n¹⁰ =

∞

X

n=1

n⁸ 2n¹⁰=1

2·

∞

X

n=1

1

n²< +∞ . Odpowiedź: Podany szereg jest zbieżny.

b) Rozstrzygnąć, czy szereg

∞

X

n=1

√

n²⁰+ n⁹− n^10jest zbieżny.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów), a następnie wyko- nujemy szacowanie, aby skorzystać z kryterium porównawczego:

∞

X

n=1

√

n²⁰+ n⁹− n^10=

∞

X

n=1

n⁹

√n²⁰+ n⁹+ n¹⁰ ­

­

∞

X

n=1

n⁹

√n²⁰+ 3n²⁰+ n¹⁰=

∞

X

n=1

n⁹ 3n¹⁰=1

3·

∞

X

n=1

1

n= +∞ . Odpowiedź: Podany szereg jest rozbieżny.

Kolokwium 7 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania