Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Kolokwium 60 (6.06.2016, godz. 16:15) - materiał do zad. 1190 Kolokwium 61 (13.06.2016, godz. 15:15) - materiał do zad. 1218

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 6.06.2016 (grupa 1, poziom C, 3 godziny: 16–19).

Przypomnienie wzorków:

e^z=

∞

X

n=0

zⁿ

n! e^x+iy= e^x· (cosy + isiny) e^z1+z2= e^z1· e^z2

ln(1 + z) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹· zⁿ

n , |z| ¬ 1, z 6= −1 lnz = ln|z| + i argz, z 6= 0

lnz = ln|z| + i arctgy

x, z = x + iy, x > 0

1201. Wyprowadzić wzory na sumy

∞

X

n=1

sinnx

n! oraz

∞

X

n=0

cosnx n! . Podać wartości całek

(1202)

2π

Z

0

e^cosx· sinsinx dx

(1203)

2π

Z

0

e^cosx· cossinx dx

(1204)

2π

Z

0

e^cosx· cossinx · cosnx dx

(1205)

Z2π

0

e^cosx· cossinx · sinnx dx

(1206)

Z2π

0

e^cosx· sinsinx · cosnx dx

(1207)

Z2π

0

e^cosx· sinsinx · sinnx dx

(1208)

Z2π

0

e^cosx· sinsinx · sin2x · sin3x · sin5x dx

Lista 32C - 91 - Strony 91-92

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

1209. Wyprowadzić wzór na sumę

∞

X

n=0

cosnx

n .

1210. Obliczyć

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n oraz

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 2n − 1 przyglądając się na wszystkie strony ln(1 + i).

1211. Wyprowadzić wzory na

∞

X

n=0

(−1)ⁿsin2nx

(2n)! oraz

∞

X

n=0

(−1)ⁿcos2nx (2n)!

korzystając z rozwinięcia

cosz =

∞

X

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ (2n)!

oraz ze wzoru

cosz =e^iz+ e^−iz

2 .

Odpowiedź: e^sinx− e^−sinx

2 · sincosx e^sinx+ e^−sinx

2 · coscosx Podać wartości całek

(1212)

2π

Z

0

e^sinx+ e^−sinx

2 · coscosx dx

(1213)

2π

Z

0

e^sinx+ e^−sinx

2 · coscosx · sinnx dx

(1214)

2π

Z

0

e^sinx+ e^−sinx

2 · coscosx · cosnx dx

(1215)

2π

Z

0

e^sinx− e^−sinx

2 · sincosx dx

(1216)

2π

Z

0

e^sinx− e^−sinx

2 · sincosx · cosnx dx

(1217)

2π

Z

0

e^sinx− e^−sinx

2 · sincosx · sinnx dx

(1218)

2π

Z

0

e^sinx− e^−sinx

2 · sincosx · cos⁵x · sin3x dx

Lista 32C - 92 - Strony 91-92