(1)Jarosław Wróblewski Koronaliza Matematyczna 2, lato

Jarosław Wróblewski Koronaliza Matematyczna 2, lato 2019/20

490. Udowodnić zbieżność szeregu

∞ X

n=1

(−1)ⁿ· (4n − 3) · (4n + 1) (3n − 2) · (3n + 1) · (3n + 4).

491. Funkcja f : (1, +∞) →R jest określona wzorem f (x) =

Zx

1

(log₂t − 3)²⁰¹⁷ dt . Wyznaczyć punkt, w którym f osiąga najmniejszą wartość.

492. W każdym z zadań 492.1-492.20 podaj sumę szeregu (może być liczbą rzeczy- wistą albo jednym z symboli +∞ i −∞).

Niech a_n=6

n. Wówczas:

492.1.

∞ X

n=1

a_n= . . . . 492.2.

∞ X

n=1

2^an = . . . . 492.3.

∞ X

n=1

(a_n− a_n+1) = . . . . . 492.4.

∞ X

n=1

(a_n− a_n+2) = . . . . . 492.5.

∞ X

n=1

(a_n− a_n+3) = . . . . 492.6.

∞ X

n=1

(a_n+1− a_n+2) = . . . . 492.7.

∞ X

n=1

(a_n+1− a_n+3) = . . . . 492.8.

∞ X

n=1

(a_n+2− a_n+3) = . . . . 492.9.

∞ X

n=1

a²_n− a²_n+1^= . . . . 492.10.

∞ X

n=1

a²_n− a²_n+2^= . . . .

492.11.

∞ X

n=1

a²_n− a²_n+3^= . . . 492.12.

∞ X

n=1

a²_n+1− a²_n+2^= . . .

492.13.

∞ X

n=1

a²_n+1− a²_n+3^= . . . 492.14.

∞ X

n=1

a²_n+2− a²_n+3^= . . .

492.15.

∞ X

n=1

(2^an− 2^an+1) = . . . 492.16.

∞ X

n=1

(2^an− 2^an+2) = . . . 492.17.

∞ X

n=1

(2^an− 2^an+3) = . . . 492.18.

∞ X

n=1

(2^an+1− 2^an+2) = . . . 492.19.

∞ X

n=1

(2^an+1− 2^an+3) = . . . 492.20.

∞ X

n=1

(2^an+2− 2^an+3) = . . .

Lista 15 - 371 - Strony 371-373

Jarosław Wróblewski Koronaliza Matematyczna 2, lato 2019/20

493. W każdym z zadań 493.1-493.14 podaj sumę szeregu w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego.

Niech a_n=n²

2ⁿ. Wiadomo, że

∞ X

n=1

a_n=

∞ X

n=1

n² 2ⁿ = 6 . Wobec tego:

493.1. ^X∞

n=1

(a_n+ a_n+1) = . . . .

493.2. ^X∞

n=1

(a_n+ a_n+2) = . . . .

493.3. ^X∞

n=1

(a_n− a_n+1) = . . . .

493.4. ^X∞

n=1

(a_n− a_n+2) = . . . .

493.5. ^X∞

n=1



a²_n− a²_n+1^= . . . .

493.6. ^X∞

n=1



a²_n− a²_n+2^= . . . .

493.7. ^X∞

n=1

(4^an− 4^an+1) = . . . .

493.8. ^X∞

n=1

(4^an− 4^an+2) = . . . .

493.9. ^X∞

n=1

(9^an− 9^an+1) = . . . .

493.10. ^X∞

n=1

(9^an− 9^an+2) = . . . .

493.11. ^X∞

n=1

(16^an− 16^an+1) = . . . .

493.12. ^X∞

n=1

(16^an− 16^an+2) = . . . .

493.13. ^X∞

n=1

√

1 + 48a_n−^q1 + 48a_n+1^= . . . .

493.14. ^X∞

n=1

√

1 + 48a_n−^q1 + 48a_n+2^= . . . .

Lista 15 - 372 - Strony 371-373

Jarosław Wróblewski Koronaliza Matematyczna 2, lato 2019/20

494. Obliczyć wartość całki oznaczonej

Z5

0

dx x²− 4x + 5,

a następnie doprowadzić wynik do postaci wπ, gdzie w jest liczbą wymierną.

495. Obliczyć wartość całki oznaczonej

7 Z

0

4x

q3

(x + 1)² dx . podając wynik w postaci liczby całkowitej.

496. Obliczyć wartość całki oznaczonej

Z6

1

dx x³+ 3x²+ 2x.

Zapisać wynik w postaci lnw, gdzie w jest liczbą wymierną.

497. Obliczyć wartość całki oznaczonej

Z2π

0

x cos x dx . Pamiętać o uproszczeniu wyniku.

498. Obliczyć wartość całki niewłaściwej

∞ Z

1

dx x²+ x. lub wykazać, że całka ta jest rozbieżna.

499. Obliczyć całkę nieoznaczoną

Z dx x²+ 2x + 50.

500. Obliczyć wartość całki niewłaściwej

∞ Z

√ 3

2x + 1 x⁴+ x² dx . Pamiętać o uproszczeniu wyniku.

Lista 15 - 373 - Strony 371-373