Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 – a) i jego schemat blokowy (2)W układzie złożonym z serwomotoru hydraulicznego i dwóch dźwigni (rys

6. Zastosowanie metody schematów blokowych do analizy właściwości układów automatyki

Schemat blokowy układu automatyki jest formą zapisu matematycznego modelu danego układu, na podstawie której, wykorzystując zasady przedstawione rozdziale 3.7, można wyznaczyć transmitancję operatorową układu lub inne formy matematycznego opisu właściwości przyjętego modelu. W przypadku układów złożonych z wielu elementów o znanych lub łatwych do określenia właściwościach (np. wyrażonych w postaci transmitancji operatorowych), opracowanie schematu blokowego jest dogodną metodą formułowania matematycznego opisu całego układu. Schemat blokowy tworzy się na podstawie schematu ideowo-konstrukcyjnego układu, analizując obieg oddziaływań (obieg informacji) występujący pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym układu. Schemat blokowy umożliwia ocenę roli i miejsca każdego elementu w występującym w danym układzie obiegu przekazywania i przetwarzania informacji.

Prawidłowość opisu matematycznego układu, reprezentowanego przez jego schemat blokowy, zależy od poprawności tego schematu nie tylko w sensie jego struktury lecz także od poprawności określenia funkcji pełnionych w układzie przez jego elementy składowe, czego wyrazem są transmitancje zapisane w blokach reprezentujących poszczególne elementy.

Metodykę tworzenia schematów blokowych układów i badania właściwości tych układów przedstawiono na przykładach.

Przykład 6.1

a) b)

Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 – a) i jego schemat blokowy

W układzie złożonym z serwomotoru hydraulicznego i dwóch dźwigni (rys. 6.1a) sygnałem wejściowym jest przesunięcie x końca dźwigni a-b, a wyjściowym przesunięcie y tłoka siłownika hydraulicznego.

Wyznaczyć charakterystyką statyczną układu i odpowiedź na wymuszenie skokowe.

Dane : T - stała czasowa serwomotoru, długości ramion dźwigni : b3a, e0,5a. Rozwiązanie

W celu zbudowania schematu blokowego danego układu należy:

- zidentyfikować występujące w nim obiegi oddziaływań, wywołane zmianą wartości sygnału wejściowego,

- wykryć elementy przetwarzające te oddziaływania (bloki na schemacie blokowym),

- ustalić transmitancje poszczególnych elementów.

Liczba elementów występujących w schemacie blokowym może być większa niż elementów konstrukcyjnych w schemacie ideowo-konstrukcyjnym gdyż niektóre elementy konstrukcyjne mogą przetwarzać nie tylko jedno oddziaływanie.

Rozważany układ zawiera serwomotor hydrauliczny – element całkujący i dwie dźwignie a-b i b-e – elementy proporcjonalne. W schemacie blokowym występują cztery elementy.

Obieg oddziaływań w układzie ustala się zakładając, że na wejście układu, znajdującego się w stanie ustalonym, jest wprowadzany sygnał skokowy (przesunięcie x lewego końca dźwigni a-b). Analizując skutki tej zmiany należy założyć, że w dalszym ciągu położenie lewego końca dźwigni a-b nie zmienia się.

A więc, zmiana położenia lewego końca dźwigni a-b (zmiana wielkości wejściowej x) powoduje obrót tej dźwigni wokół prawego jej końca i powstanie przesunięcia

b x a

b 

 

1 (na schemacie blokowym - rys. 6.1b - jest to element o sygnale wejściowym x, wyjściowym ₁ i transmitancji operatorowej

b a s b

G( )  ), będącego jedną ze składowych (konieczność zastosowania w schemacie blokowym węzła sumacyjnego) wielkości wejściowej elementu całkującego. Przesunięcie ₁ wywołuje ruch tłoka siłownika – zmianę sygnału wyjściowego y elementu całkującego (na schemacie członu o transmitancji

s Ts

G 1

)

(  ), który z kolei oddziałuje jednocześnie na dwa elementy (co nazywamy rozgałęzieniem sygnału, przedstawianym na schemacie w

postaci węzła informacyjnego): dźwignię a-b i dźwignię b-e. Dźwignia a-b pełni rolę elementu proporcjonalnego, wytwarzającego sygnał wyjściowy ₂ (punkt obrotu dźwigni znajduje się teraz na lewym jej końcu, a więc y

b a

a 

 

2 ). Dźwignia b-e jest elementem proporcjonalnym, wytwarzającym sygnał wyjściowy y

b e

e 

 

3 . Dalsze zmiany wielkości y, powstałe pod wpływem składowych ₂ i ₃, przekazywane są na wejścia elementu całkującego poprzez omówione już elementy proporcjonalne.

Sumowanie sygnałów ₁, ₂ i ₃ z odpowiednimi znakami wyraża na schemacie węzeł sumacyjny.

Stosując reguły przekształcania schematów blokowych otrzymuje się transmitancję operatorową





 

 

 





b e

e b a

a Ts

Ts b

a b s x

s s y

G 1

1

1

) (

) ) (

( (6.1)

Po przekształceniach otrzymuje się

1 )

( ) ) (

(

1 



 Ts

k s

x s s y G

(6.2) gdzie:

) (

) )(

( ,

1 b a e

b e b T a T

e a

b k e





 



 

Dla założonych danych otrzymuje się wartości: k 7, T₁ 9,33T.

Rozważany układ ma właściwości elementu inercyjnego o wzmocnieniu k 7 i stałej czasowej przeszło dziewięciokrotnie większej od stałej czasowej serwomotoru. Z postaci transmitancji wynikają także wskazówki dla konstruktora - poprzez dobór długości ramion dźwigni i wielkości siłownika hydraulicznego, decydującej o jego stałej czasowej, można kształtować właściwości statyczne i dynamiczne układu.

Równanie charakterystyki statycznej układu ma postać x

y7

Skokowa zmiana wielkości wejściowej x(t) x_st1(t), wywołuje zmianę przesunięcia y zgodnie z równaniem

) 1 ( 7 )

( ^T1

t

st e

x t

y  

Przykład 6.2

Narysować schemat blokowy serwomechanizmu hydraulicznego przedstawionego na rys. 6.2. Ocenić jego właściwości statyczne i dynamiczne. Wielkością wejściową jest przesunięcie x końca dźwigni, a wielkością wyjściową jest przesunięcie y tłoczyska siłownika hydraulicznego. Dane: T₁ – stała czasowa serwomotoru hydraulicznego, T₂ – stała czasowa tłumika hydraulicznego, a, b , c – długości ramion dźwigni.

Rys. 6.2. Schemat serwomechanizmu hydraulicznego do przykładu 6.2 Rozwiązanie

Wprowadzona w stanie ustalonym układu skokowa zmiana wielkości wejściowej x powoduje obrót dźwigni a-b wokół jej lewego, nieruchomego w tym momencie końca i

ugięcie x

b a

a 

 

1 sprężyny (na schemacie blokowym – rys. 6.3b – jest to element o sygnale wejściowym x, wyjściowym ₁ i transmitancji operatorowej

b a s a

G( )  ), wywołujące przemieszczenie ₁ tłoczków rozdzielacza hydraulicznego i ruch y tłoka siłownika hydraulicznego. Tłoczysko siłownika oddziałuje jednocześnie na dwie dźwignie a-c i a-b (rozgałęzienie sygnału y). Przemieszczając lewy koniec dźwigni a-b wywołuje przemieszczenie y

b a

b 

 

2 (element o transmitancji

b a s b

G( )  );

przemieszczając lewy koniec dźwigni a-c wywołuje przemieszczenie y c a

c 

 



(element o transmitancji

c a s c

G( )  ). Przemieszczenie ₂ zmniejsza poprzednie przemieszczenie ₁ (sumowanie sygnałów ₁₂ ). Przemieszczenie  wywołuje ruch ₂ tłoka tłumika i tłoczków rozdzielacza (sumowanie sygnałów ₁₂  ).

W rozważanym serwomechanizmie występuje dwuwejściowy element o sygnałach wejściowych  i  i sygnale wyjściowym  , analogiczny jak na rys. 5.24. Zmieniając w schemacie wg rys. 5.24 odpowiednio oznaczenia, otrzymuje się schemat elementu jak na rys. 6.3a.

Sygnał  jest wejściowym sygnałem serwomotoru hydraulicznego – elementu całkującego o transmitancji

s s T G

1

) 1

(  , którego sygnał wyjściowy y wywołuje już omówione skutki.

Wrysowując na schemacie blokowym wykryte elementy i niezbędne węzły, otrzymuje się schemat całego układu – rys. 6.3b.

a) b)

Rys. 6.3. Schematy do przykładu 6.2: a) – schemat blokowy tłumika hydraulicznego, b) - schemat blokowy serwomechanizmu

W celu wyznaczenia transmitancji układu wyznaczmy transmitancję jego części

oznaczonej na rys. 6.3b linią przerywaną

c a

c s

T s T s T

s s T

G

 

 





1 1 1

1 )

(

2 2 1

1 1

Transmitancja całego układu ma postać





 

 

 



b a s b s G

T

s s G

T b

a a s

x s s y G

) 1 ( 1 1

) 1 ( 1

) (

) ) (

(

1 2

1 2

b a s b c a T c T s T b T a

a

 



 





 



 



2 1 2 2 1

1

Charakterystykę statyczną układu można wyznaczyć na podstawie transmitancji, korzystając z zależności (3.8)

b s a G x

y

s 



 lim ( )

0

Mianownik transmitancji układu jest trójmianem, podobnie jak w przypadku członu oscylacyjnego. W zależności od wartości wyrażenia 

b a

T bT c

a T c

T  

 



 _{1 2} ² 4 ^{1 2}

)

( ,

układ mógłby mieć właściwości członu oscylacyjnego (gdy 1), szeregowego połączenia dwóch członów inercyjnych o jednakowych stałych czasowych (gdy 1) lub szeregowego połączenia dwóch członów inercyjnych o różnych stałych czasowych (gdy 1).

Dla rzeczywistych, a więc dodatnich, wartości parametrów jest  1. Przykład 6.3

Rys. 6.4. Schemat serwomechanizmu hydraulicznego do przykładu 6.3:

T1, T₂ – stałe czasowe serwomotorów hydraulicznych, C₁, C₂ – sztywności sprężyn, A1, A₂ – powierzchnie czynne tłoków przekładni hydraulicznej, a, b , c, d – długości ramion dźwigni, , ,  ,  , l , x, y, w , w - przesunięcia

Narysować schemat blokowy serwomechanizmu hydraulicznego przedstawionego na rys. 6.4. Wielkością wejściową jest przesunięcie x, wielkością wyjściową – przesunięcie y.

Rozwiązanie

Sygnał wejściowy układu - przesunięcie x jest jedną ze składowych serwomotoru hydraulicznego o stałej czasowej T₁ (o transmitancji

s s T G

1

) 1

(  ). Drugą składową sygnału wejściowego serwomotoru jest przemieszczenie l korpusu rozdzielacza serwomotoru.

Po wprowadzeniu w stanie ustalonym skokowej zmiany wartości sygnału wejściowego x, tłok serwomotoru o stałej czasowej T₁ przemieszcza się (przemieszczenie w), oddziałując bezpośrednio na sprężynę o sztywności C₁ oraz poprzez przekładnię hydrauliczną, serwomotor o stałej czasowej T₂ i dźwignię a-b-c, wywołuje przesunięcie

 i ruch końca sprężyny o sztywności C₂.

W zależności od przemieszczeń w i  przesuwa się korpus rozdzielacza (przemieszczenie l ) serwomotoru o stałej czasowej T₁. Istotnym elementem układu jest więc element o sygnałach wejściowych w i  i sygnale wyjściowym l .

Do wyznaczenia równania ruchu tego elementu wykorzystajmy zasadę superpozycji.

Niech l₁ oznacza przesunięcie korpusu spowodowane przemieszczeniem w przy

0

 , a l₂ - przesunięcie korpusu spowodowane przemieszczeniem  przy w0. Z równań równowagi sił otrzymuje się:

przy  0

2 1 1 1)

(wl C lC ,

skąd w

C C

l C 

 

2 1

1 1

oraz przy w0

1 2 2 2)

( l C l C ,

skąd 

 

2 1

2

2 C C

l C

Przesunięcie korpusu rozdzielacza jest sumą przemieszczeń l₁ i l₂, zatem

) ( )

( )

(

2 1

2 2

1

1 t

C C t C C w C t C

l 

 

 



Kolejnymi elementami układu są:

- przekładnia hydrauliczna o równaniu ruchu )

( )

(

2

1 wt

A t  A 



- serwomotor hydrauliczny o równaniu ruchu )

( ) ) ( (

2 t t

dt t

T d _ _

- dźwignia a-b-c-d, wprawiana w ruch przez serwomotor o stałej czasowej T₂, wykorzystana do wytwarzania trzech sygnałów: (t), (t) i sygnału wyjściowego układu - y(t); spełnia więc jednocześni rolę trzech elementów proporcjonalnych o równaniach ruchu

( ) (t) c b

t a 

 

 

( ) (t) c b

t b 

 

 

( ) (t)

c b

d c t b

y 





 

Przedstawiając opisane elementy w postaci bloków z wpisanymi transmitancjami i połączeniu liniami sygnałowymi, otrzymuje się schemat przedstawiony na rys. 6.5.

Rys. 6.5. Schemat blokowy do przykładu 6.3

Przykład 6.4

Wyznaczyć transmitancję operatorową, charakterystykę statyczną i odpowiedź skokową układu przedstawionego na rys. 6.6. Wielkością wejściową jest przesunięcie x tłoczka

rozdzielacza, a wielkością wyjściową – przesunięcie y tłoczyska siłownika hydraulicznego.

Rys. 6.6. Schemat do przykładu 6.4 Rozwiązanie

Przedstawiony na rys. 6.6 układ , składa się z serwomotoru hydraulicznego jako elementu całkującego o stałej czasowej T₁, tłumika hydraulicznego jako elementu różniczkującego rzeczywistego o stałej czasowej T₂ oraz dwóch dźwigni.

Sygnał wejściowy x układu jest jedną ze składowych sygnału wejściowego serwomotoru hydraulicznego; drugą składową jest przemieszczenie  korpusu rozdzielacza, przymocowanego do dźwigni a-b. Jego transmitancja ma postać

s T s s x

s s y

G

1

1 ) ( ) (

) ) (

( 

 



Po wprowadzeniu skokowej zmiany sygnału wejściowego tłoczysko serwomotoru przemieszcza się ku górze, pociągając prawe końce obu dźwigni.

Przemieszczenie  dolnej dźwigni kształtuje się zgodnie z równaniem )

( )

( y t

c b a

t c 



 



Jest ono sygnałem wejściowym tłumika hydraulicznego (elementu różniczkującego rzeczywistego) o transmitancji

1 )

( ) ) (

(

2 2

 

 Ts

s T s s s

G 



Sygnał wyjściowy tłumika – przesunięcie  , wywołuje również ruch dźwigni a-b, tworząc składową ₂. Dźwignia a-b pełni w układzie rolę dwuwejściowego elementu proporcjonalnego o równaniu ruchu

) ( )

( )

( t

b a t b b y a

t a 

 

 

 



Uwzględniając wymienione związki pomiędzy elementami układu otrzymuje się schemat blokowy - rys. 6.7.

Rys. 6.7. Schemat blokowy układu do przykładu 6.4

Na podstawie schematu blokowego można wyznaczyć transmitancję operatorową układu



 







 

 

 

 





c b a

c s

T s T b a

b b a

a s T

s T s

x s s y G

1 1 1

1

) (

) ) (

(

2 2 1

1

Po przekształceniach otrzymuje się

) (

) )(

)(

1 ( ) (

) ) (

( ² ₂

c b a a Bs As

c b a b a s T s x

s s y

G    







 



gdzie:

bc c b a a T c b a b a T B

c b a b a T T A

























) (

) )(

(

) )(

(

2 1

2 1

Charakterystykę statyczną układu można wyznaczyć na podstawie transmitancji, korzystając z zależności (3.8)

a x b s a

G x y

s   

 lim ( )

0

Równanie charakterystyki statycznej można także wyznaczyć na podstawie analizy działania układu. Rozpatrywany układ znajduje się w stanie ustalonym tylko gdy sygnał wejściowy elementu całkującego jest równy zero (x 0); wtedy szczeliny rozdzielacza serwomotoru są zamknięte. Ponadto, w stanie ustalonym składowa ₂ sygnału  jest równa zero, gdyż wywołujące je przesunięcie  jako sygnał wyjściowy

elementu różniczkującego, w stanie ustalonym też jest równe zero. Zatem, stan ustalony wystąpi gdy

b y a

x a 

 

₁ ,

skąd a x

b y  a  .

Przykłady do samodzielnego rozwiązania

Na rys. 6.8 przedstawiono schematy ideowo – konstrukcyjne mechanicznych urządzeń automatyki do samodzielnej analizy ich właściwości metodą schematów blokowych.

a) b)

c) d)

Rys. 6.8. Przykłady mechanicznych urządzeń automatyki