################################################################################
Henri Poincarē i teoria względności
A. A. Logunow
Tytuł oryginału : „Анри Пуанкаре и теория относительноти”
Moskwa Nauka 2004
Tłumaczenie angielskie : Henri Poincare and relativity theory , 2005
*************************************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra
Pierwsze tłumaczenie 2013
Ostatnia modyfikacja 2013-04-10 Tłumaczenie całości książki.
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wstęp własny.
Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu (własne lub autorów).
CP – czasoprzestrzeń.
MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna UO – układ odniesienia
IUO – inercjalny układ odniesienia IUW – inercjalny układ współrzędnych NIUO – nieinercjalny układ odniesienia
NIUW – nieinercjalny układ współrzędnych STW – szczególna teoria względności
OTW – ogólna teoria względności TEP – tensor energii-pędu KTP – kwantowa teoria pola
M-L – (równania ) Maxwella-Lorentza
Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ... ( w tekście są to wielkości ze strzałkami u góry ) Iloczyn skalarny oznaczam kropką • , a iloczyn wektorowy krzyżykiem ×
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)
Wszystkie cytaty z dzieła Newtona pt. „The Mathematical Principles of Natural Philosophy” pochodzą z polskiego tłumaczenia :
“Matematyczne zasady filozofii przyrody” -- Isaac Newton ; Copernicus Center Press 2011 i oznaczono je jako [ Principles + odnośnik do strony tłumaczenia polskiego ]
W języku polskim ukazały się następujące książki Poincarego : Nauka i hipoteza, Warszawa 1908
Wartość nauki , Warszawa 1908 Nauka i metoda, Warszawa 1911
Omówienie działalności naukowo-filozoficznej, Poincarego wraz z tłumaczeniami wybranych rozdziałów pewnych jego prac można znaleźć w książce :
Poincare – Irena Szumilewicz ; WP 1978
************************************************************************************************
Praca została napisana w związku z 150- leciem urodzin Henri Poincarego – wielkiego matematyka, mechanika, fizyka- teoretyka
Jules Henri Poincaré
Urodzony 29 kwietnia 1854 w Cité Ducale niedaleko Nancy, Francja zmarł 17 lipca 1912 w Paryżu
Przedsłowie.
Szczególna teoria względności „pojawiła się w wyniku wspólnego wysiłku grupy wielkich badaczy – Lorentza, Poincarego, Einsteina, Minkowskiego” ( Max Born )
„I Einstein i Poincare opierali się na przygotowawczych pracach Lorentza, który bardzo blisko doszedł do ostatecznego wyniku, ale który nie zdołał wykonać ostatniego, decydującego kroku” W zbieżności wyników otrzymanych niezależnie od siebie przez Einsteina i Poincarego dostrzegam głęboki sens harmonii matematycznej metody i analizy prowadzonej z pomocą eksperymentów myślowych i opierających się na całym zbiorze danych z doświadczeń fizycznych”
( W. Pauli, 1955 )
A. Poincare, opierając się na zasadzie względności, którą sformułował on dla wszystkich zjawisk fizycznych oraz na pracy Lorentza odkrył i sformułował wszystko to, co stanowi istotę szczególnej teorii względności. A .Einstein szedł ku teorii względności , wychodząc z zasady względności, wcześniej sformułowanej przez Poincarego. Przy tym opierał się on również na idei Poincarego o definicji jednoczesności zdarzeń w różnych punktach przestrzeni z pomocą sygnału świetlnego. Właśnie dlatego wprowadził on dodatkowy postulat – stałości prędkości światła.
W przedstawionej książce podajemy porównanie artykułu A. Einsteina z 1905 roku, z artykułami Poincarego i wyjaśniamy nowości, które wprowadza każdy z nich. Minkowski, nieco później, rozwinął podejście Poincarego.
Ponieważ podejście Poincargo jest głębsze i ogólniejsze, nasz wykład dokładnie postępuje za nim.
Zgodnie z Poincare i Minkowskim istota STW jest następująca :
STW – jest to pseudoeuklidesowa geometria czasoprzestrzeni. Właśnie w takiej przestrzeni przebiegają wszytskie procesy fizyczne.
Następstwami tego postulatu są : prawa zachowania energii- pędu i momentu pędu, obecność IOU dla wszystkich zjawisk fizycznych, przekształcenia Lorentza; stałość prędkości światła we współrzędnych Galileusza IUO, spowolnienie czasu, skrócenie Lorentza, możliwość wykorzystywania NIUO, paradoks zegarów, precesja Thomasa, efekt Sagnaca itp.
Na podstawie tego postulatu i kwantowych rozważań otrzymano szereg fundamentalnych wniosków i zbudowano KTP.
Niezmienność ( forminwariantność ) równań fizycznych we wszystkich IUO oznacza, że procesy zachodzące w takich układach przy jednakowych warunkach, są tożsame. Właśnie z tego powodu wszytskie naturalne etalony we wszystkich IUO są jednakowe.
W dalszej kolejności autor składa liczne podziękowania.
A. A. Logunow 2004
§ 1. Geometria Euklidesa.
W trzecim wieku n.e. podsumowując wyniki grecko- antycznej matematyki Euklides, opublikował traktat matematyczny
„Elementy” (* tytuł grecki Stoicheia geometrias *). Właśnie w tej pracy została sformułowana geometria naszej trójwymiarowej przestrzeni – geometria euklidesowa.
Był to jeden z najważniejszych kroków w rozwoju zarówno matematyki jak i fizyki. Geometria rozwijała się bowiem na podstawie danych obserwacyjnych i doświadczeń praktycznych tj. wynikła na drodze badania samej przyrody.
A ponieważ wszytskie zjawiska przyrody zachodzą w przestrzeni i w czasie, to znaczenia geometrii w fizyce trudno jest niedoceniać, oprócz tego, geometria jest częścią fizyki.
W języku współczesnej matematyki istota geometrii Euklidesa związana jest z twierdzeniem Pitagorasa.
Kwadrat odległości dowolnego punktu o współrzędnych kartezjańskich x, y, z od początku układu współrzędnych zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa określony jest wzorem :
L2 = x2 + y2 + z2 (1.1)
lub w postaci różniczkowej kwadrat odległości między nieskończenie bliskimi punktami jest równy :
(dL )2 = (dx )2 + (dy )2 + (dz )2 (1.2)
gdzie dx, dy, dz – różniczki współrzędnych kartezjańskich.
Standardowo twierdzenie Pitagorasa dowodzi się wychodząc z aksjomatów Euklidesa, okazuje się jednak, ze można go przyjąć jako definicje geometrii Euklidesa. Trójwymiarowa przestrzeń, określona przez geometrie Euklidesa, posiada własność jednorodności i izotropowości. Oznacza to, że w takiej przestrzeni nie ma wyróżnionych punktów i
wyróżnionych kierunków.
Dokonując przekształcenia współrzędnych od jednego układu kartezjańskiego x, y, z do drugiego układu kartezjańskiego x’, y’, z’ otrzymamy :
L2 = x2 + y2 + z2 = x’2 + y’2 + z’2 (1.3)
To oznacza, że kwadrat odległości L2 jest inwariantem , podczas gdy projekcje na osie współrzędnych inwariantami nie są. Ta szczególną okoliczność podkreślamy, ponieważ w dalszym wykładzie przekonamy się, że taka sytuacja będzie miała miejsce również dla czterowymiarowej CP, a zatem w zależności od wyboru układu współrzędnych w CP projekcje na osie przestrzenne i czasową będą względne. Stąd właśnie wynika względność czasu i długości. Ale o tym powiemy później.
Geometria Euklidesa jak część składowa weszła do mechaniki Newtona. Wyobrażenie o geometrii Euklidesa jako o jedynej i niezmiennej trwały ok. 2 tysiące lat, mimo intensywnego rozwoju matematyko, mechaniki i fizyki.
Na początku XIX wieku rosyjski matematyk Mikołaj Iwanowicz Łobaczewski dokonał rewolucyjnego kroku – zbudował nową geometrię – geometrię Łobaczewskiego. Nieco później do takiej geometrii doszedł węgierski matematyk Boiyai.
Ćwierć wieku później niemiecki matematyk Riemann zbudował inne geometrie – geometrie riemnannowskie.
Pojawiło się wiele nowych konstrukcji geometrycznych. Wraz z pojawieniem się nowych geometrii powstało pytanie o geometrię naszej przestrzeni. Jaka ona jest ? euklidesowa czy też nieeuklidesowa ?
§ 2. Klasyczna mechanika Newtona.
Wszytskie zjawiska przyrody zachodzą w przestrzeni i czasie. Właśnie dlatego w XVII wieku Izaak Newton, przy sformułowaniu praw mechaniki w pierwszej kolejności zdefiniował te właśnie pojęcia :
„Absolutna przestrzeń przez jej własną naturę niezależnie od wszystkiego zewnętrznego pozostaje zawsze ta sama i nieruchoma”
[ Principles str. 191 ]
„Absolutny matematyczny i prawdziwy czas sam w sobie i przez jego własną naturę płynie równo w odniesieniu do wszystkiego zewnętrznego, który inaczej zwie się trwaniem”
[ Principles str. 190 ]
W charakterze geometrii trójwymiarowej przestrzeni Newton faktycznie wykorzystał geometrię Euklidesa, a kartezjański układ współrzędnych wybrał w taki sposób, aby jego początek był zgodny ze środkiem Słońca, a trzy jego osie miały skierowanie na dalekie gwiazdy. Właśnie taki układ współrzędnych Newton przyjął jako „nieruchomy”. Wprowadzenie absolutnie nieruchomej przestrzeni i absolutnego czasu okazało się nadzwyczaj płodne w tym okresie czasu.
Pierwsze prawo mechaniki, lub prawo bezwładności, Newton formułuje następująco :
„Każde ciało zachowuje swój stan spoczynku lub ruchu jednostajnego wzdłuż linii prostej, chyba że jest zmuszone do zmiany tego stanu przez przyłożone do niego siły”
[ Principles str. 197 ]
Prawo bezwładności po raz pierwszy odkrył Halley. Jeśli w nieruchomej przestrzeni wybierzemy kartezjański układ współrzędnych, to zgodnie z prawem bezwładności pojedyncze ciało będzie poruszało się po trajektorii, określonej przez równania :
x = vxt , y = vyt , z = vzt (2.1)
gdzie vx , vy , vz – stałe projekcje prędkości, mogą one mieć również wartości zerowe.
H. Poincare w książce „Nauka i hipoteza” (1902) sformułował ogólną zasadę :
„Przyspieszenie ciała zależy tylko od położenia tego ciała i ciał sąsiednich oraz od ich prędkości. Matematyk powiedziałby, że ruch wszystkich cząstek materialnych Wszechświata określony jest przez równania różniczkowe drugiego rzędu.
Aby wyjaśnić, że mamy tutaj do czynienia z naturalnym uogólnieniem prawa bezwładności, pozwolę sobie podać jeden wyrazisty przypadek. Wcześniej powiedziałem, że prawo bezwładności nie jest dane nam a priori ; inne prawa byłyby równie dobrze jak to prawo, zgodne z zasadą racji dostatecznej. Kiedy na ciało nie działa żadna siła, to moglibyśmy wyobrazić sobie, że niezmiennym nie jest jego prędkość, a jego położenie lub jego przyspieszenie.
Zatem, wyobraźmy sobie na chwilę iż jedno z takich dwóch hipotetycznych praw jest prawem przyrody i zastępuje nasze prawo bezwładności. Jakie byłoby jego naturalne uogólnienie ?
Myśląc chwilkę spróbujmy to wyjaśnić.
W pierwszym przypadku należałoby przyjąć, że prędkość ciała zależy tylko od jego położenia i od położenia ciał sąsiednich. W drugim przypadku, że zmiana przyspieszenia ciała zależy tylko od położenia tego ciała i ciał sąsiednich, od ich prędkości i od ich przyspieszeń.
Lub, mówiąc językiem matematycznym, równania różniczkowe ruchu byłyby w pierwszym przypadku równaniami pierwszego rzędu, a w drugim – trzeciego”
(*“The acceleration of a body depends only on its position and that of neighbouring bodies, and on their velocities.
Mathematicians would say that the movements of all the material molecules of the universe depend on differential equations of the seconal order. To make it clear that this is really generalisation of the law of inertia we may again have recourse to our imagination. The law of inertia, as I have said above, is not imposed on us ´ priori; other laws would be just as compatible with the principle of sufficient reason. If body is not acted upon by a force, instead of supposing that its velocity is unchanged we may suppose that its position or its acceleration is unchanged. Let us for moment suppose that one of these two laws is a law of nature, and substitute it for the law of inertia: what will be the natural generalisation? moment’s reflection will show us. In the first case, we may suppose that the velocity of body depends only on its position and that of neighbouring bodies; in the second case, that the variation of the acceleration of body dependsonly on the position of the body and of neighbouring bodies, on their velocities and accelerations; or, in mathematical terms, the differential equations of the motion would be of the first order in the first case and of the third order in the second” *)
Drugie prawo mechaniki Newton sformułował tak :
„Zmiana ruchu jest proporcjonalna do czynnej siły przyłożonej i ma kierunek wzdłuż linii prostej, wzdłuż której ta siła jest przyłożona”
[ Principles str. 197 ]
I na koniec, trzecie prawo mechaniki Newtona :
„Do każdej akcji zawsze istnieje przeciwna i równa co do wielkości reakcja, wzajemne działania na siebie dwóch ciał są zawsze równe co do kierunku i wielkości i zawsze przeciwne co do zwrotu”
[ Principles str. 197 ]
Na podstawie takich praw mechaniki, w przypadku sił centralnych, dla układu dwóch cząstek mamy następujące równania w nieruchomym układzie współrzędnych :
M1(d2r1/dt2 ) = F( | r2 – r1 | ) ( r1 – r2 ) / | r1 – r2 | (2.2) M2(d2r2/dt2 ) = − F( | r2 – r1 | ) ( r1 – r2 ) / | r1 – r2 | (2.2) gdzie r1 – promień wodzący pierwszej cząstki ; r2 – promień wodzący drugiej cząstki ; M1 i M2 – masy odpowiednio : pierwszej i drugiej cząstki.
Funkcja F odzwierciedla charakter działających miedzy ciałami sił.
W mechanice Newtona rozpatruje się głównie siły dwóch typów : siły ciążenia i sprężystości.
Dla sił ciążenia Newtona :
F( | r2 – r1 | ) = G M1M2 / | r2 – r1 |2 (2.3)
Gdzie : G – stała grawitacyjna.
dla siły sprężystej :
F( | r2 – r1 | ) = k / | r2 – r1 | (2.4)
gdzie : k – jest współczynnikiem sprężystości
Równania Newtona zapisane są w postaci wektorowej, zatem nie są one zależne od wyboru trójwymiarowego układu współrzędnych. Jak widać z równań (2.2) dla układu zamkniętego ma miejsce prawo zachowania pędu.
Jak już powiedzieliśmy wcześniej, równania (2.2) są słuszne według zamysłu Newtona, tylko w nieruchomym układzie współrzędnych. Jeśli jednak układ współrzędnych porusza się względem układu nieruchomego ze stałą prędkością v : r’ = r − vt (2.5) to okazuje się, że równania (2.2) nie zmieniają się tj. pozostają one forminwariantne, a to oznacza, że żadne zjawiska mechaniczne nie pozwalają ustanowić, czy znajdujemy się w spoczynku czy też w stanie ruchu jednostajnego i prostoliniowego. Na tym właśnie polega zasada względności, po raz pierwszy odkryta przez Galileusza.
Przekształcenia (2.5) nazwane zostały przekształceniami Galileusza.
Ponieważ prędkość v w (2.5) jest dowolna, to istnieje nieskończony zbiór układów współrzędnych, w których omawiane równania zachowują swoją formę. To oznacza, że w każdym z nich słuszne jest prawo bezwładności. Jeśli w jakimś z takich układów współrzędnych ciało znajduje się w spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego i prostoliniowego, to w dowolnym innym układzie współrzędnych, związanym z pierwszym przekształceniem (2.5), będzie się ono również znajdowało albo w stanie ruchu jednostajnego prostoliniowego, albo w stanie spoczynku.
Wszytskie takie układy współrzędnych nazywamy układami inercjalnymi – IUO.
Zasada względności jest to zachowanie formy równań mechaniki w dowolnym IUO. Należy podkreślić, że u podstaw definicji IUO leży prawo bezwładności Galileusza. Zgodnie z nim ruch ciała w przypadku braku sił działających na te ciała opisywany jest liniowymi funkcjami czasu.
Jak jednakże określić IUO ?
Na takie pytanie mechanika Newtona nie dawała odpowiedzi. Tym niemniej w praktyce w charakterze IUO wybierano układ współrzędnych o początku w środku Słońca, którego trzy osie skierowane były na oddalone gwiazdy.
W mechanice klasycznej Newtona czas nie zależy od wyboru układu współrzędnych, inaczej mówiąc, trójwymiarowa przestrzeń i czas są rozdzielone – nie tworzą one jednego czterowymiarowego kontinuum.
W XIX wieku Ernst Mach poddał krytyce poglądy Newtona dotyczące absolutnej przestrzeni i absolutnego ruchu. Pisał on :
„Nikt nie może niczego powiedzieć o absolutnej przestrzeni i absolutnym ruchu, są to konstrukcje raczej myślowe, nie ujawniane w doświadczeniu”.
I dalej :
„W miejsce tego aby odnosić ruch ciała ku przestrzeni ( w dowolnym układzie współrzędnych ), będziemy rozpatrywali bezpośrednio jego stosunek do ciał w świecie, za pośrednictwem tylko, których możemy określić układ współrzędnych ... nawet w najprostszym przypadku, kiedy rozpatrujemy zaledwie oddziaływanie tylko dwóch mas, nie można pomijać pozostałego świata... Jeśli ciało obraca się względem nieba gwiazd stałych, to pojawiają się siły dośrodkowe, a jeśli obraca się ono względem drugiego ciała, a nie względem nieba gwiazd stałych, to siły dośrodkowe nie występują.
Nie mam nic przeciwko, aby pierwszy ruch obrotowy nazwać absolutnym, jeśli tylko nie będziemy zapominali, iż nie oznacza to nic innego, oprócz obrotu względem nieba gwiazd stałych”
(* “No one is competent to predicate things about absolute space and absolutemotion; they are pure things of thought, pure mental constructs, that cannot be producedin experience”.
And further:
“Instead, now, of referring a moving body K to space (that is to say to a system of coordinates) let us view directly its relation to the bodies of the universe, by which alone a system of coordinates can be determined.
. . . even in the simplest case, in which apparently we deal with the mutual action of only two masses, the neglecting of the rest of the world is impossible. . . . If a body rotates with respect to the sky of motionless stars, then there arise centrifugal forces, while if it rotates around another body, instead of the sky of motionless stars, no centrifugal forces will arise. I have nothing against calling the first revolution abslute, if
only one does not forget that this signifies nothing but revolution relative to the sky of motionless stars”. *) I dalej pisze Mach :
„... że nie ma konieczności wiązania prawa bezwładności z jakąkolwiek osobną przestrzenią absolutną”
Wszytsko to jest słuszne, ponieważ Newton nie określił związku IUO z rozkładem materii – oczywiście na ówczesnym etapie rozwoju fizyki, trudno to było wykonać. Nawet Machowi nie udało się to zrobić. Jednakże jego krytyka była użyteczna, przyciągała ona bowiem uwagę uczonych do analizy podstawowych pojęć fizycznych.
Ponieważ w dalszej kolejności będziemy mieli do czynienia z rozważaniami teorio-polowymi, użytecznym będzie zastanowić się nad metodami mechaniki analitycznej, które to zostały opracowane w XVIII i XIX wieku.
Podstawowym celem jaki sobie wówczas stawiano, było to aby znaleźć dla MK najbardziej ogólne sformułowanie. Taki kierunek badań okazał się nadzwyczaj ważny, ponieważ przy tym pojawiły się metody, które później stosunkowo łatwo zostały uogólnione na układy o nieskończonej liczbie stopni swobody. Właśnie tak w MK został zbudowany bardzo poważny dział, który to z powodzeniem został wykorzystany w fizyce XX wieku.
Joseph Louis Lagrange w swoim wielkim dziele pt. „Mécanique analytique” (Mechanika analityczna , 1788 ) otrzymał znane dzisiaj pod jego nazwiskiem równania. Dalej podamy ich wyprowadzenie.
Dla układu złożonego z N punktów materialnych, poruszającego się w polu potencjalnym U, równania Newtona w IUO mają postać :
mσ(dvσ /dt ) = − ∂U/∂rσ , σ = 1, 2, ... , N (2.6) W danym przypadku siła fσ jest równa :
fσ = ∂U/∂rσ (2.7)
Dla określenia stanu układu mechanicznego w dowolnej chwili czasu należy zadać współrzędne wszystkich punktów materialnych i ich prędkości w pewnej chwili czasu. Zatem, stan układu mechanicznego jest w pełni określony poprzez zadanie współrzędnych i prędkości wszystkich punktów materialnych. W kartezjańskim układzie współrzędnych równania (2.60 przyjmują postać :
mσ(dvσ1 /dt ) = fσ1 , mσ(dvσ2 /dt ) = fσ2 , mσ(dvσ3 /dt ) = fσ3 (2.8) Jeśli przejdziemy do innego IUO i wybierzemy w nim współrzędne nie będące kartezjańskimi, to jak łatwo można się przekonać postać równań, zapisanych w nowych współrzędnych, będzie istotnie różniła się od równań (2.8).
Lagrang’e znalazł dla mechaniki Newtona kowariantne sformułowanie równań ruchu, które zachowują swoją postać przy przejściu do nowych zmiennych.
W miejsce współrzędnych rσ wybierzemy nowe tzw. współrzędne uogólnione qλ , λ = 1, 2, ... , n i n = 3N.
Przyjmiemy :
rσ = rσ( q1, ... , qn , t ) (2.9)
Mnożąc każde równanie (2.6) skalarnie przez wektor :
∂rσ/∂qλ (2.10)
i dodając :
mσ (∂vσ/∂t ) (∂rσ/∂qλ ) = − ( ∂U/∂rσ ) (∂rσ/∂qλ ) ; λ = 1, 2, ... , n (2.11) ( sumujemy po jednakowych indeksach )
Lewą część równania (2.11) zapiszemy w postaci :
d/dt [ mσvσ (∂rσ/∂qλ )] − mσvσ d/dt (∂rσ/∂qλ ) (2.12)
Ponieważ :
vσ = drσ/dt = (∂rσ /∂qλ )q•λ + (∂rσ/∂t ) (2.13)
stąd, różniczkując (2.13) po q•λ otrzymamy równość :
∂rσ/∂qλ = ∂vσ/∂q•λ (2.14)
Różniczkując (2.13) po qν, otrzymamy :
∂rσ/∂qν = (∂2rσ /∂qν∂qλ )q•λ + (∂2rσ/∂t∂qν ) (2.15) Z drugiej strony, mamy :
d/dt (∂rσ/∂qν ) = (∂2rσ /∂qν∂qλ )q•λ + (∂2rσ/∂t∂qν ) (2.16) Porównując (2.15) i (2.16), znajdujemy :
d/dt (∂rσ/∂qν ) = ∂vσ /∂qν (2.17)
We wzorach (2.13), (2.15) i (2.16) po jednakowych indeksach prowadzimy sumowanie.
Wykorzystując równości (2.14) i (2.17), wyrażenie (2.12) przedstawimy w postaci :
d/dt [ (∂/∂q•λ ( ½ mσvσ2 )] − ∂/∂qλ ( ½ mσvσ2 ) (2.18)
Ponieważ (2.18) jest lewą częścią równań (2.11), otrzymujemy równania Lagrange’a :
d/dt (∂T/∂q•λ ) − ∂T/∂qλ = − ∂U/∂qλ , λ = 1, 2, ... , n (2.19)
gdzie T – jest energią kinetyczną układu punktów materialnych :
T = ½ mσvσ2 (2.20)
( sumujemy po indeksie σ )
Jeśli wprowadzimy funkcje Lagrange’a L, równą :
L = T − U (2.21)
To równania Lagrange’a przyjmą postać :
d/dt (∂L/∂q•λ ) − ∂L/∂qλ = 0 , λ = 1, 2, ... , n (2.22)
Stan układu mechanicznego jest zatem określony całkowicie poprzez zadanie współrzędnych uogólnionych i prędkości.
Forma równań Lagrange’a (2.22) nie zależy od wyboru współrzędnych uogólnionych. Chociaż takie równania są w pełni równoważne układowi równań (2.6), to taka forma zapisu mechaniki klasycznej okazała się nadzwyczaj użyteczna, ponieważ otwarła ona możliwość jej uogólnienia na zjawiska, wychodzące daleko poza ramy mechaniki klasycznej.
Najogólniejsze sformułowanie prawa ruchu układu mechanicznego zadane jest poprzez zasadę najmniejszego działania ( lub, poprawniej zasadzie stacjonarnego działania ). Działanie zestawiamy w następujący sposób :
t2
S =∫ L(q, q• ) dt (2.23)
t1
Całka ( funkcjonał ) (2.23) zależy od zmienności q i q• we wskazanych granicach.
Zatem, funkcje takie są funkcjonalnymi argumentami całki (2.23). Zasada najmniejszego działania zapisywana jest w następującej postaci :
t2
δS = δ ∫ L(q, q• ) dt (2.24)
t1
Równania ruchu mechaniki otrzymujemy z (2.24) poprzez wariacje wyrażenia podcałkowego :
gdzie δq i δq• - są nieskończenie małymi zmianami o postaci funkcji.
Wariowanie jest przemienne z różniczkowaniem, dlatego :
δq• = d/dt (δq) (2.26)
Całkując przez części drugi człon (2.25), otrzymamy :
Ponieważ wariacje δq w punktach t1 i t2 są równe zero, wyrażenie (2.27) przyjmuje postać :
Wariacja δq wewnątrz odcinka całkowania jest dowolna i dlatego na mocy podstawowego lematu rachunku wariacyjnego wynika stąd warunek konieczny na ekstremum w postaci zerowania się pochodnej wariacyjnej :
δL/δq ≡∂L/∂q − d/dt ( ∂L/∂q• ) = 0 (2.29)
Takie równania przy opracowywaniu rachunku wariacyjnego zostały otrzymane przez L. Eulera.
Przy naszym wyborze funkcji L zgodnym z (2.21) równania takie pokrywają się z równaniami Lagrange’a.
Z przeprowadzonej analizy widać, ze ruch układu mechanicznego, spełniający równania Lagrange’a zapewnia ekstremalność całki (2.23), a zatem działanie na trajektoriach ruchu ma wartość stacjonarną.
Wykorzystanie funkcji Lagrange’a dla opisu układu mechanicznego o skończonej liczbie stopni swobody okazało się użyteczne również przy opisie pola fizycznego, posiadającego oczywiście nieskończoną liczbę stopni swobody. W przypadku pola funkcja ψ, która go opisuje, zależy nie tylko od czasu, ale również os współrzędnych przestrzennych. To oznacza, ze w miejsce zmiennych qσ , q•σ układu mechanicznego, należy wprowadzić zmienne ψ(xν ), ∂ψ/∂xν Pole, zatem rozpatrywane jest jako układ mechaniczny o nieskończonej liczbie stopni swobody.
Dalej zobaczymy ( paragrafy 10, 15), jak wykorzystuje się zasadę stacjonarnego działania w elektrodynamice i KTP.
Bardzo ważne znaczenie w fizyce teoretycznej posiada sformułowanie MK w ramach podejścia Hamiltona.
Wprowadźmy wielkość zdefiniowaną następująco :
H = pσ q•σ− L (2.30)
którą nazywamy hamiltonianem. W (2.30) prowadzimy sumowanie po σ.
Pęd uogólniony zdefiniujemy następująco :
pσ = ∂L/∂q•σ (2.31)
Znajdziemy dalej różniczkę wyrażenia (2.30) :
Wykorzystując (2.31), otrzymamy :
Z drugiej strony H jest funkcją zmiennych niezależnych qσ, pσ i t, dlatego :
Porównując (2.33) i (2.34), otrzymamy :
Zależności te otrzymaliśmy przechodząc od zmiennych niezależnych qσ , q•σ i t, do zmiennych niezależnych qσ, pσ i t.
Uwzględniając teraz w zależnościach (2.35) równania Lagrange’a (2.22), dochodzimy do równań Hamiltona :
q•σ = ∂H/∂pσ ; p•σ = −∂H/∂qσ (2.36)
W tym przypadku, kiedy hamiltonian H nie zależy od czasu :
∂H/∂t = 0 (2.37)
otrzymujemy :
dH/dt = (∂H/∂qσ ) q•σ + (∂H/∂pσ )p•σ (2.38)
Uwzględniając w tym wyrażeniu równania (2.36), otrzymamy :
dH/dt = 0 (2.39)
co oznacza, ze hamiltonian nie zmienia się podczas ruchu.
Równania Hamiltona (2.36) otrzymaliśmy, wykorzystując równania Lagrange’a. Jednakże możemy je otrzymać wykorzystując bezpośrednio zasadę najmniejszego działania (2.24), jeśli w charakterze L weźmiemy, zgodnie z (2.30), wyrażenie :
Ponieważ wariacje δqσ w punktach t1 i t2 są równe zero, a wewnątrz odcinka całkowania wariacje δqσ i δpσ są dowolne, to na mocy podstawowego lematu rachunku wariacyjnego otrzymujemy równania Hamiltona :
q•σ = ∂H/∂pσ ; p•σ = −∂H/∂qσ
Jeśli w czasie ruchu wartość pewnej funkcji :
f(q, p, t) = const. (2.40)
tj. w czasie ruchu funkcja ta ma stała wartość, to nazywa się ją całką ruchu. Znajdziemy teraz dla takiej funkcji f równania ruchu.
Weźmiemy w tym celu pochodną zupełną po czasie od wyrażenia (2.40) :
df/dt = (∂f/∂t) + (∂f/∂qσ )q•σ + (∂f/∂pσ )p•σ = 0 (2.41)
Podstawiając do (2.41) równania Hamiltona (2.36), otrzymamy :
(∂f/∂t ) + (∂f/∂qσ ) (∂H/∂pσ ) − (∂f/∂pσ ) (∂H/∂qσ ) = 0 (2.42)
Wyrażenie :
nazywamy nawiasem Poissona.
W (2.43) po indeksie σ prowadzimy sumowanie.
Na podstawie (2.43) równanie (2.42) dla funkcji f możemy zapisać w następującej postaci :
∂f/∂t + ( f, H ) = 0 (2.44)
Nawiasy Poissona mają następujące własności :
Zależność (2.46) nazywa się tożsamością Jakobiego. Na podstawie (2.43) mamy :
( f, qσ ) = −∂f/∂pσ , ( f, pσ ) = ∂f/∂qσ (2.47) Stąd znajdujemy :
( qλ , qσ ) = 0 , ( pλ , pσ ) = 0 , ( qλ , pσ ) = δλσ (2.48) Przy budowaniu MQ, analogicznie do klasycznych nawiasów Poissona (2.43), wprowadza się kwantowe nawiasy
Poissona, które również spełniają wszytskie warunki (2.45), (2.46). Wykorzystanie zależności (2.48) dla kwantowych nawiasów Poissona pozwala ustanowić zależności komutacyjne między współrzędna i pędem.
Odkrycie użyteczności metody Lagrange’a i Hamiltona w MK pozwoliło, w swoim czasie, uogólnić i rozciągnąć te metody na inne zjawiska fizyczne. Poszukiwanie różnych reprezentacji teorii fizycznych jest zawsze bardzo ważny, ponieważ na ich podstawie możemy odnajdować nowe możliwości uogólnień dla opisu nowych zjawisk fizycznych.
W mechanizmach złożonej teorii mogą znajdować się formalne zalążki przyszłych teorii. Doświadczenia w tej materii jakie uzyskaliśmy posługując się MK i MQ są wyraźnym tego świadectwem.
§ 3. Elektrodynamika. Geometria czasoprzestrzeni.
Kierując się odkryciami Faradaya w elektromagnetyzmie, Maxwell połączył zjawiska magnetyczne, elektryczne i optyczne tym samym ukończył budowę elektrodynamiki, zapisując swoje znane równania.
H. Poincare w książce „Wartość nauki” o badaniach Maxwella pisze następująco :
„W tym czasie, kiedy Maxwell rozpoczynał swoją pracę, prawa elektrodynamiki, wprowadzone do owego czasu, wyjaśniały wszytskie znane zjawiska. Przystąpił on do pracy nie dlatego, iż jakiś nowe doświadczenie ograniczało znaczenie tych praw. On rozpatrywał je z zupełnie nowego punktu widzenia – Maxwell zauważył, że równania
elektrodynamiki stają się bardziej symetryczne, jeśli wprowadzimy do nich pewien nowy człon, chociaż z drugiej strony, człon ten był zbyt mały, aby powodował zjawiska, które mogły być ocenione z wykorzystaniem ówczesnych metod.
Wiadomo, że aprioryczne względy Maxwella wymagały swojego eksperymentalnego potwierdzenia, co dokonało się po dwudziestu latach od jego pracy, innymi słowy Maxwell wyprzedził doświadczenie od dwadzieścia lat.
Jak osiągnął on taki znamienity wynik ?
Miało to miejsce dzięki temu, że Maxwell był głęboko przeniknięty odczuciem matematycznej symetrii...„
(* the laws of electrodynamics adopted before him explained all known phenomena. He started his work not because some new experiment limited the importance of these laws. But, considering them from a
new standpoint, Maxwell noticed that the equations became more symmetric, when a certain term was introduced into them, although, on the other hand, this term was too small to give rise to phenomena, that
could be estimated by the previous methods. A priori ideas ofMaxwell are known to have waited for their experimental confirmation for twenty years; if you prefer another expression, — Maxwell anticipated the experiment by twenty years.
How did he achieve such triumph?
This happened because Maxwell was always full of a sense of mathematical symmetry . . . ” *) Zgodnie z poglądami Maxwella nie ma innych prądów, oprócz prądów zamkniętych.
Cel ten osiągnął poprzez wprowadzenie dodatkowego człony – prądu przesunięcia, dzięki któremu z nowych równań wynika prawo zachowania ładunku elektrycznego.
Kiedy Maxwell formułował równania elektrodynamiki, wykorzystywał on geometrię Euklidesa trójwymiarowej przestrzeni i czas absolutny, który jest jednakowy dla wszystkich punktów tej przestrzeni. Kierując się głębokim odczuciem symetrii, dopełnił on równania elektrodynamiki w taki sposób, aby wyjaśniały one istniejące dane
doświadczalne i jednocześnie były równaniami dla fal EM. Oczywiście nie podejrzewał on, ze w zapisanych równaniach zawiera się również informacja o geometrii CP. Jednakże jego uzupełnienie równań elektrodynamiki okazało się na tyle konieczne i ścisłe, ze doprowadziło ono Poincarego, który opierał się również na pracach H. Lorentza do odkrycia pseudoeuklidesowej geometrii CP i zbudowania teorii względności. Dalej opiszemy krótko jak to się wydarzyło.
Pokażemy również, że zadziwiające dążenie niektórych autorów, aby dowieść, że Poincare „nie dokonał decydującego kroku” w budowie teorii względności, oparte jest zarówno na niezrozumieniu istoty teorii względności, jak i na powierzchownej znajomości prac Poincarego. Wszytsko to będzie pokazane w postaci komentarzy do takich opinii.
Właśnie dlatego dokładnie zastanawiam się nad wynikami prac Poincarego, które on jako pierwszy odkrył i wyjaśnił.
Przy tym pojawia się naturalna konieczność, porównać zawartość pracy A. Einsteina z 1905 roku z wynikami przedstawionymi w artykułach Poincarego [2,3], jak również z jego pracami wcześniejszymi.
Przy takim porównaniu stanie się jasnym, co nowego wprowadził każdy z tych uczonych.
Jak mogło się zdarzyć to, że wybitne prace początku XX wieku – prace H. Poincarego [2,3], wszyscy wykorzystywali, a jednocześnie zostały one całkowicie zapomniane ?
Czas już, choć minęło już sto lat, przywrócić każdemu z wymienionych autorów to co jego. Jest to naszym obowiązkiem.
Badanie własności równań elektrodynamiki pokazało, że nie zachowują one swojej postaci przy przekształceniach Galileusza (2.5), tj. nie są one form –inwariantne względem nich. Stąd możemy wnioskować, że zasada względności Galileusza jest naruszone, a zatem istnieje eksperymentalna możliwość odróżnienia jednego IUO od drugiego z pomocą pewnych zjawisk EM lub optycznych. Jednakże przeprowadzone liczne eksperymenty, a w szczególności doświadczenie Michelsona-Morley’a, pokazały, że doświadczenia EM ( i optyczne ) nie mogą z dokładnością do (v/c )2 , rozstrzygnąć czy znajdujemy się w stanie spoczynku, czy też w stanie ruchu jednostajnego i prostoliniowego.
Lorentz znalazł wyjaśnienie takich doświadczeń, jak zauważył Poincare „tylko poprzez nagromadzenie pewnych hipotez”.
W książce „Nauka i Hipoteza”, mówił :
„Teraz pozwolę sobie na pewne odstępstwo, aby wyjaśnić dlaczego ja, wbrew Lorentzowi nie myślę, iż jakieś dokładniejsze obserwacje mogą ujawnić coś innego niż tylko względnych przemieszczeń ciał materialnych.
Zostały przeprowadzone doświadczenia, które mogły odkryć człony pierwszego rzędu, jednakże ich wyniki były ujemne – czy mogło to być dziełem przypadku ?
Nike takiego faktu nie dopuszczał, wszyscy szukali ogólnego wyjaśnienia i Lorentz go znalazł – pokazał, on, ze człony pierwszego rzędu znoszą się wzajemnie. Taka sytuacja nie miała jednak miejsca dla członów drugiego rzędu.
Zatem zostały wykonane dokładniejsze doświadczenia, które ponownie dały wynik ujemny. Taka sytuacja nie mogła być sprawą przypadku – należało podać jej wyjaśnienie, które zostało następnie podane. Jednakże wyjaśnienia to za mało – hipotezy są tylko hipotezami, niczym więcej.
I to nie wszystko : czy można powiedzieć, ze przypadek nie odgrywa i tu znacznej roli ?
Przypadkowa mogła być ta dziwna okoliczność, dzięki której następuje kasowanie członów pierwszego rzędu, czy zupełnie inna przypadkowość może powodować kasowanie członów drugiego rzędu ?
Nie, należy znaleźć jedno i to samo wyjaśnienie dla obu tych przypadków i wtedy naturalną staje się myśl, że wyjaśnienie to będzie słuszne również dla członów wyższych rzędów, oraz że ich wzajemne kasowanie będzie miało charakter absolutnej ścisłości.”
(* And now allow me to make a digression; I must explain why I do not believe, in spite of Lorentz, that more exact observations will ever make evident anything else but the relative displacements of material
bodies. Experiments have been made that should have disclosed the terms of the first order; the results were nugatory. Could that have been by chance?
No one has admitted this; general explanation was sought, and Lorentz found it. He showed that the terms of the first order should cancel each other, but not the terms of the second order. Then more exact experiments were made, which were also negative; neither could this be the result of chance. An explanation was necessary, and was forthcoming; they always are; hypotheses are what we lack the least.
But this is notenough. Who is there who does not think that this leaves to chance far too important role?
Would it not also be chance that this singular concurrence should cause certain circumstance to destroy the terms of the first order, and that totally different but very opportune circumstance should cause those of the second
order to vanish? No; the same explanation must be found for the two cases, and everything tends to show that this explanation would serve equity well for the terms of the higher order, and that the mutual destruction of these terms will be rigorous and absolute *)
Na podstawie danych doświadczalnych Poincare w 1904 roku uogólnił zasadę względności Galileusza ma wszytskie zjawiska przyrody. Pisał on [1] :
„Zasada względności, zgodnie z którą prawa zjawisk fizycznych powinny być jednakowe dla obserwatora nieruchomego i dla obserwatora będącego w ruchu jednostajnym, nie daje żadnego sposobu określenia czy znajdujemy się w stanie podobnego ruchu, czy tez nie”
(* The principle of relativity, according to which thelaws of physical phenomena should be the same, whether to an observer fixed, or for an observer carried along in a uniform motion of translation, so that we
have not and could not have any means of discovering whether or not we are carried along in such a motion *) Właśnie taka zasada jest fundamentalna dla dalszego rozwoju zarówno elektrodynamiki jak i teorii względności.
Można ją również sformułować następująco :
Zasada względności – jest to zachowanie formy wszystkich równań fizycznych w dowolnym IUO.
A ponieważ w takim sformułowaniu wykorzystujemy pojęcie IUO, to oznacza, że fizyczne prawo bezwładności Galileusza już jest wbudowane w takie sformułowanie zasady względności. Tutaj właśnie kryje się pewna różnica podanego sformułowania od sformułowania jaki podali Poincare i Einstein.
Wyjaśniając tą zasadę, Poincare wiedział dokładnie, że wynika z niej niemożliwość ruchu absolutnego, ponieważ wszytskie IUO są równoprawne. Stąd wynika, że zasada względności Poincarego nie wymaga odrzucenia eteru w ogólności, a tylko pozbawia go związku z jakimkolwiek UO.
Mówiąc inaczej, eliminuje on eter w rozumieniu tego pojęcia podanym przez Lorentza. Samego pojęcia eteru Poincare nie odrzuca, ponieważ trudno wyobrazić sobie większą abstrakcje, niż pusta przestrzeń. Dlatego też słowo eter, które spotykamy w artykułach Poincarego nawet po sformułowaniu przez niego zasady względności, ma inny sens, różny od eteru Lorentza. Właśnie taki eter powinien spełniać zasadę względności. O eterze rozmyślał również Einstein od 1920 roku.
W obecnym czasie rolę eteru odgrywa próżnia fizyczna. Właśnie z tego powodu niektórzy fizycy ( nie mówiąc już o filozofach i historykach nauki ) do tej pory nie rozumieją i błędnie przypisują Poincaremu, że jakoby rozumiał on zasadę względności jako niemożliwość ujawnienia ruchu prostoliniowego i równomiernego względem właśnie eteru.
Chociaż jak sami możecie się przekonać, w samym sformułowaniu zasady względności nie występuje słowo eter.
Należy rozróżniać zasadę względności Galileusza i same przekształcenia Galileusza. Jeśli zasadę względności Galileusza Poincare rozciągnął, bez zmiany jej istoty fizycznej na wszystkie zjawiska, to przekształcenia Galileusza zachowały swoje znaczenie tylko w przypadku małych ( w porównaniu z prędkością światła ) prędkości.
W pracy [3], stosując tą zasadę do zjawisk elektrodynamicznych Poincare pisał :
„Taka niemożliwość pokazania droga doświadczalną absolutnego ruchu Ziemi przedstawia jak się wydaje ogólną zasadę przyrody, naturalnie dochodzimy do tego, aby przyjąć to prawo, które nazwaliśmy postulatem względności, bez żadnego sprzeciwu. Nie jest obecnie ważne czy później taki postulat ( który do tej pory jest zgodny z doświadczeniem ) będzie potwierdzony lub odrzucony przez dokładniejsze pomiary, obecnie w każdym aspekcie wydaje się interesujące zbadać jakie następstwa mogą z niego wypływać”
H. Lorentza, po przedstawieniu przez Poincarego pewnych krytycznych uwag w 1904 roku, dokonał nowego ważnego kroku, spróbował ponownie zapisać równania elektrodynamiki w poruszającym się UO i pokazał, że równanie falowe elektrodynamiki pozostaje niezmienione ( form inwariantne) przy następujących przekształceniach współrzędnych i czasu :
X’ = γ( X − vT ) , T’ = γ[ T − (v/c2 )X ] , Y’ = Y , Z’ = Z (3.1) Czas T’ Lorentza nazwał zmiennym czasem miejscowym, w odróżnieniu od wcześniej wprowadzonego (1895r. ) czasu miejscowego τ = T’/γ
γ = 1/ sqrt( 1 − v2/c ) (3.2)
gdzie c – stała elektrodynamiczna.
Poincare nazwał takie przekształcenia przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza, jak to widać jasno z (3.1) odnoszą się do dwóch IUO. Jednakże Lorentza nie ustanowił zasady względności dla zjawisk EM, ponieważ nie udało się mu pokazać forminwariantności przy takich przekształceniach wszystkich równań Maxwella-Lorentza.
Ze wzoru (3.1) wynika, że niezależność równania falowego od prostoliniowego i równomiernego ruchu UO osiągana jest tylko dzięki zgodnej zmianie współrzędnych i czasu. Stąd naturalnie wynika wniosek, że w każdym IUO należy
wprowadzić odpowiedni dla niego czas fizyczny.
O tym fakcie Einstein pisał (1907) :
„Jednakże nieoczekiwanie okazało się, ze konieczne jest tylko wystarczająco ścisłe sformułowanie pojęcia czasu, aby obejść przedstawioną powyżej trudność. Należało tylko zrozumieć, że wprowadzona przez Lorentza wielkość wspomagająca, nazwana przez niego „czasem miejscowym”, w istocie powinna być określona jako „czas”.
Z taką definicją czasu, podstawowe równania teorii Lorentza będą spełniały zasadę względności...”
Lub, ściślej, w miejsce czasu właściwego, pojawił się zmienny czas miejscowy Lorentza – własny dla każdego IUO.
Jednakże tego faktu Lorentza nie zauważył, w 1914 roku, pisał on o tym w artykule pt. „Dwa artykuły H. Poincarego o fizyce matematycznej” :
„Rozważania te opublikowane przez mnie w 1904 roku, skłoniły Poincarego do napisania własnego artykułu o dynamice elektronu, w którym nadał on moje imię przekształceniom, o których właśnie wspominałem. Z tego powodu powinienem jednakże zauważyć, że podobne przekształcenie zostało zapisane w jednym z artykułów Voigta, opublikowanym w 1887 roku, z którego to wyciągnąłem wszelkie możliwości. W istocie dla pewnych wielkości fizycznych, występujących w tych wzorach nie wskazałem najodpowiedniejszego przekształcenia. Zrobił to Poincare, a następnie Einstein i dalej Minkowski ... nie myślałem o najprostszej drodze, prowadzącej do nich przyjmowałem, że pomiędzy układami x, y, z, t i x’, y’, z’, t’ istnieje istotna różnica. W jednym z nich – taki był tok mojego myślenia – wykorzystano to, że osie
współrzędnych, mają określone położenie w eterze i to, ze można było używać czasu właściwego ; w drugim układzie – odwrotnie, mamy do czynienia z wielkościami jedynie wspomagającymi, wprowadzonymi tylko z pomocą
matematycznego przekształcenia. W szczególności zmiennej t’ nie można było nazwać czasem w takim sensie jakim nadawaliśmy zmiennej t. Przy takim toku rozumowania nie myślałem aby opisywać zjawiska w układzie x’, y’, z’, t’
dokładnie tak samo jak w układzie x, y, z, t...
Później z artykułu Poincarego przekonałem się, ze działając bardziej systematycznie, mógłbym osiągnąć jeszcze większe uproszczenie. Nie zauważając tego faktu nie mogłem osiągnąć pełnej inwariantności równań; moje wzory pozostawały zagmatwane zbędnymi członami, które powinny być wyeliminowane. Człony te były zbyt małe, aby okazywać znaczący wpływ na zjawiska i tym mógłbym wyjaśniać ich obserwacyjną niezależność od ruchu Ziemi, jednakże nie
sformułowałem zasady względności jako ścisłej i uniwersalnej własności.
Poincare otrzymał pełną inwariantność równań elektrodynamiki i sformułował postulat względności – pojęcie sformułowane po raz pierwszy przez niego ...
Dodam, że poprawiając w ten sposób niedostatki mojej teorii, nigdy nie robił mi z tego powodu wyrzutów.
Nie mogę teraz podać wszystkich pięknych wyników jakie otrzymał Poincare, mogę tylko podkreślić niektóre z nich.
W pierwszej kolejności, nie ograniczył się on do pokazania tego, że przekształcenia relatywistyczne pozostawiają niezmienioną formę równań elektrodynamiki. Powodzenie zastosowania transformacji tłumaczy on tym, że równania te mogą być przedstawione w postaci zasady najmniejszego działania oraz, że fundamentalne równanie, wyrażające taką zasadę, jak również operacje z pomocą których wyprowadzamy równania pola, są jednakowe w układach
x, y, z, t i x’, y’, z’, t’.
W tej ostatniej części artykułu spotykamy pewne nowe pojęcia, powinienem je omówić osobno.
Poincare zauważa np. że przy rozpatrywaniu x, y, z , t√−1 jako współrzędnych punktu w czterowymiarowej czasoprzestrzeni przekształcenia relatywistyczne sprowadzają się do obrotów w tej przestrzeni.
Przyszła mu również myśl, aby dodać do trzech składowych X, Y, Z siły, wielkość : T = Xξ + Yη + Zζ
Która przedstawia sobą nic innego, jak pracę siły w jednostce czasu i którą można w pewnym sensie rozpatrywać jako siłę czterowymiarową.
Kiedy mówimy o sile działającej na jednostkę objętości ciała, to relatywistyczne przekształcenia zamieniają wielkości X, Y, Z , T√−1 w taki sam sposób, jak wielkości x, y, z , t√−1.
Przypominamy, o tych ideach Poincarego dlatego, że są one bliskie metodom, które wykorzystuje później Minkowski oraz inni wielcy uczeni w celu wyjaśnienia działań matematycznych spotykanych w teorii względności”.
(* These considerations published by myself in 1904, have stimulated Poincar´e to write his article on the dynamics of electron where he has given my name to the just mentioned transformation. I have to note as regards this that a similar transformation have been already given in an article by Voigt published in 1887 and I have not taken all possible benefit from it. Indeed I have not given the most appropriate transformation for some physical quantities encountered in the formulae. This was done by Poincar´e and later
by Einstein and Minkowski. . . . I had not thought of the straight path leading to them, since I considered there was an essential difference between the reference systems x, y, z, t and x′, y′, z′, t′.
In one of them were used — such was my reasoning — coordinateaxes with a definite position in ether and what could be termed true time; in the other, on the contrary, one simply dealt with subsidiary quantities introduced with the aid of a mathematical trick.
Thus, for instance, the variable t′ could not be called time in the same sense as the variable t. Given such reasoning, I did not think of describing phenomena in the reference system x′, y′, z′, t′ in precisely the same way, as
in the reference system x, y, z, t . . .
I later saw from the article by Poincar´e that, if I had acted in a more systematic
manner, I could have achieved an even more significant simplification. Having not noticed this, I was not able to achieve total invariance of the equations; my formulae remained cluttered up with excess terms, that should have vanished. These terms were too small to influence phenomena noticeably, and by this fact I could explain their independence of the Earth’s motion, revealed by observations, but I did not establish the relativity principle as a rigorous and universal truth.
On the contrary, Poincar´e achieved total invariance of the equations of electrodynamics and formulated the relativity postulate — a term first introduced by him . . .
I may add that, while thus correcting the defects of my work, he never reproached me for them.
I am unable to present here all the beautiful results obtained by Poincar´e. Nevertheless let me stress some of them. First, he did not restrict himself by demonstration that the relativistic transformations left the
form of electromagnetic equations unchangeable. He explained this success of transformations by the opportunity to present these equations as a consequence of the least action principle and by the fact that the fundamental equation expressing this principle and the operations used in derivation of the field equations
are identical in systems x, y, z, t and x′, y′, z′, t′. . .
There are some new notions in this part of the article, I should especially mark them. Poincar´e notes, for example, that in consideration of quantities x, y, z, t√−1 as coordinates of a point in four-dimensional space
the relativistic transformations reduces to rotations in this space. He also comes to idea to add to the three components X, Y, Z of the force a quantity
T = Xξ + Y η + Zζ
which is nothing more than the work of the force at a unit of time, and which may be treated as a fourth component of the force in some sense. When dealing with the force acting at a unit of volume of a body the relativistic transformations change quantities X, Y, Z, T√−1 in a similar way to quantities x, y, z, t√−1.
I remind on these ideas by Poincar´e because they are closed to methods later used by Minkowski and other scientists to easing mathematical actions in the theory of relativity. *)
Lorentz, jak widzimy analizując artykuł Poincarego, zobaczył i przyjął do wiadomości , to, ze można opisywać zjawiska w układzie primowanym dokładnie w taki sam sposób jak w układzie nie primowanym oraz to, ze wszystko to znajduje się w ścisłym związku z zasadą względności sformułowaną przez Poincarego.
Stąd wynika, ze zjawiska fizyczne są tożsame, jeśli następują one przy jednakowych warunkach w IUO ( x, y, z, t ) i ( x’, y’, z’, t’ ) poruszających się jeden względem drugiego z prędkością v.
Wszytsko to jest bezpośrednim następstwem niezmienności równań fizycznych przy przekształceniach Lorentza, tworzącymi wraz z obrotami przestrzennymi grupę. Właśnie takie fakty zawarte są w artykułach Poincarego [2,3].
Lorentza w 19715 roku, w nowym wydaniu swojej książki pt. „Teoria elektronów” w uwadze pod numerem 72*, pisze :
„Główna przyczyna mojego niepowodzenia polegała na tym, ze zawsze trzymałem się myśli, iż tylko zmienna t może być rozpatrywana w charakterze czasu właściwego i że mój czas miejscowy t’ powinien być rozpatrywany jedynie jako wspomagająca wielkość matematyczna. W teorii Einsteina – przeciwnie – t’ odgrywa tę samą rolę co t; jeśli chcemy opisywać zjawiska w zależności od x’, y’, z’, t’, to powinniśmy operować takimi zmiennymi zupełnie tak samo jak operujemy zamiennymi x, y, z, t”
Porównajcie tę uwagę z analizą artykułu Poincarego, jaką przeprowadził Lorentza w 19714 roku.
Dalej wprowadza on przy tej uwadze wywód wzorów dodawania prędkości, dokładnie w tym samym duchu jak to zrobiono w pracy [3] Poincarego. W uwadze 75* rozpatruje on przekształcenie sił, wykorzystuje inwariant (3.22) tak jak to robi Poincare. Praca Poincarego jest cytowana tylko w związku z tym szczególnym zagadnieniem.
Zadziwiające, ale Lorentza mówiąc o teorii względności nawet nie wspomina o artykułach Poincarego [2, 3].
Co szczególnego stało się z Lorentzem w okresie po 1914 roku ? Jak można to wyjaśnić ?
Należy oczywiście zauważyć, ze w wyniku wojny artykuł Lorentza napisany w 1914 roku pojawił się szerszej publikacji dopiero w 1921 roku. Jednakże pojawił się on w tym roku w takiej postaci w jakiej napisał ją Lorentza już w roku 1914.
Tym faktem niejako potwierdza on swój punkt widzenia.
Ogólnie nie ma to znaczenia, ponieważ obecnie znając współczesny stan teorii, możemy głębiej i dokładniej przyjrzeć się temu, kto i co zrobił na konkretnym etapie rozwoju – możemy porównać artykuły Einsteina a 1905 roku z artykułami Poincarego.
Skale prac lepiej widać traktując ją w skali czasowej. Wspomnienia współczesnych tym czasom uczonych są dla nas świadectwem tego jako przyjmowano nowe idee fizyki w owym czasie. Można również wyciągnąć wnioski odnośnie etyki naukowej uczonych z tamtej epoki, o ich grupowych interesach i być może o czymś całkiem innym niezupełnie znanym nam obecnie.
Należy zauważyć, że w pracy z 1904 roku Lorentza przy wyprowadzaniu swoich przekształceń popełnił błąd, w wyniku którego równania Maxwella-Lorentza w poruszającym się UO okazały się różne od równań elektrodynamiki w
nieruchomym UO – posiadały one zbyteczne człony. Jednakże Lorentza to nie zrażało. Błąd ten mógł on łatwo zauważyć jeśli tylko nie była by mu obca zada względności. Właśnie to ta zasada wymaga bowiem niezmienności równań w obu tych UO. Jednakże zgodnie z ogólnym przekonaniem wydzielał on jeden UO, ten który był związany bezpośrednio z eterem.
Teraz śledząc wczesne prace Poincarego, zastanowimy się nad określeniem jednoczesności, synchronizacji zegarów znajdujących się w różnych punktach przestrzeni i wyjaśnimy fizyczny sens czasu miejscowego, wprowadzonego przez Lorentza.
Poincare w artykule „Pomiar czasu” opublikowanym w 1898 roku, dokładnie omawia zagadnienie pomiaru czasu.
Artykuł ten osobno jest osobno wymieniony w książce Poincarego „Nauka i hipoteza” i dlatego był on w pełni dostępny dla zainteresowanego czytelnika. Autor w szczególności mówi w nim :
“Przejdziemy teraz do przykładów mniej sztucznych, po to aby zagłębić się w definicji, którą niejawnie dopuszczają uczeni, popatrzymy na ich prace i poszukamy na jakich podstawie jakich zasad określają oni jednoczesność...
Kiedy astronom mówi mi, ze takie, a takie zjawisko gwiezdne widoczne w jego teleskopie w chwili obecnej, zaszło ale pięćset lat temu próbuje zrozumieć, co chce on powiedzieć i w pierwszej kolejności pytam go, skąd to wie tj. jak zmierzył on prędkość światła.
Rozpoczyna on od tego, ze przyjął prędkość światła jako stałą i w szczególności, jednakową we wszystkich kierunkach.
Jest to właśnie postulat, bez którego nie można byłoby przeprowadzić żadnego pomiaru tej prędkości. Postulatu tego nie można sprawdzić bezpośrednim doświadczeniem, doświadczenie takie mogłoby w zasadzie go zdyskwalifikować, jeśliby wyniki różnych pomiarów nie były zgodne między sobą. Powinniśmy uważać się z szczęściarzy, ponieważ takiej
sprzeczności nie ma, a te niewielkie rozbieżności które występują mogą być łatwo wyjaśnione.
W każdym przypadku, taki postulat, jest zgodny z zasadą racji wystarczającej i został ogólnie przyjęty ; dla mnie ważne jest to, że daje on nam nową zasadę dla badania jednoczesności, zupełnie różną od tej jaką przedstawiliśmy
wcześniej.
(* But let us pass to examples less artificial; to understand the definition implicitly supposed by the savants, let us watch them at work and look for the rules by which they investigate simultaneity. . . .
When an astronomer tells me that some stellar phenomenon, which his telescope reveals to him at this moment, happened, nevertheless, fifty years ago, I seek his meaning, and to that end I shall ask him first how he knows it, that is, how he has measured the velocity of light. He has begun by supposing that light has a constant velocity, and in particular that its velocity is the same in all directions. That is a postulate with out which no measurement of this velocity could beattempted.
This postulate could never be verified directly by experiment; it might be contradicted by itif the results of different measurements were not concordant. We should think ourselves fortunate that this contradiction has not happened and that the slight discordances which may happen can be readily explained.
The postulate, et all events, resembling the principle of sufficient reason, has been accepted by everybody;
what I wish to emphasize is that it furnishes us with a new rule for the investigation of simultaneity, entirely different from that which we have enunciated above *)
