Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i
Telekomunikacji
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych ELEMENTY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI
Laboratorium nr 11
PRZESZUKIWANIE GRAFÓW Z WYKORZYSTANIEM METODY A*
Prowadzący: ………..
Zakres ćwiczeń:
1. Idea metody przeszukiwania A*
2. Implementacja metody przeszukiwania A*
3. Złożoność obliczeniowa metody przeszukiwania A*
Wstęp teoretyczny
Zadaniem strategii A* podobnie jak w przypadku przeszukiwania wszerz i w głąb jest wyznaczenie drogi do węzła docelowego. Aby przyspieszyć proces poszukiwań wykorzystuje się pewną wiedzę heurystyczną specyficzną dla danego rozwiązywanego problemu, którą wprowadza się do algorytmu w postaci funkcji oceniającej węzły. Funkcja oceniająca f(n) w strategii A* jest sumą dwóch składników:
f(n)=h(n)+g(n)
Wyrażenie to oznacza, że dla danego węzła n jest wyznaczana najpierw w sposób heurystyczny estymacja h(n) kosztu drogi łączącej węzeł n z węzłem celu. Następnie wyznacza się dla węzła n dokładny koszt drogi łączącej węzeł początkowy p z węzłem n, co reprezentuje składnik g(n). Biorąc pod uwagę powyższe fakty należy stwierdzić, że funkcja oceniająca f(n) jest przybliżonym kosztem ścieżki od węzła początkowego do rozwiązania poprzez aktualnie analizowany węzeł n. Algorytm A* pozwala znajdować optymalne ścieżki prowadzące do rozwiązań jeżeli funkcja heurystyczna h(n) nie zawyża kosztu dotarcia do celu w stosunku do rzeczywistego kosztu h’(n).
h’(n)≥ h(n)
Heurystykę, która spełnia powyższy warunek nazywamy heurystyką dopuszczalną. Niestety jeżeli w grafie występują cykle, które są efektem powtarzających się stanów, algorytm A* nie jest kompletny ponieważ może utkać w cyklach co nie pozwoli mu dotrzeć do celu.
Rozwiązaniem powyższego problemu jest sprawdzanie powtarzających się stanów i nie rozwijanie węzłów, które wcześniej były już rozwijane. Prowadzi to jednak do utraty właściwości optymalności. Problem ten można przezwyciężyć konstruując odpowiednio funkcję heurystyczną tak aby wartość funkcji oceniającej była niemalejąca wzdłuż wszystkich możliwych ścieżek. W takiej sytuacji algorytm A* nie utyka w cyklach (nie ma potrzeby
sprawdzania powtarzających się stanów) i jednocześnie pozwala znajdować optymalne ścieżki do węzłów docelowych.
Kluczem do sukcesu w przypadku algorytmu A* jest zaprojektowanie odpowiedniej funkcji heurystycznej h(n). Niestety nie istnieje szczegółowe rozwiązanie, pozwalające wyznaczać w ten sam sposób funkcje heurystyczne dla różnych problemów. Każdy problem wymaga indywidualnego podejścia co niewątpliwie utrudnia implementację niniejszego algorytmu.
Można jednakże sformułować ogólne podejście, które powinno być stosowane do konstrukcji funkcji heurystycznej. Metoda ta polega na uproszczeniu zadania (łamane są niektóre zasady, ograniczenia problemu, np. w przypadku układania puzzli dopuszcza się wyjmowanie klocków i przenoszenie w inne miejsce) do tego stopnia, by w nowym uproszczonym zadaniu koszt wyznaczenia rozwiązania był niewielki. Dzięki uproszczeniu zadania jego rozwiązanie nie nastręcza problemu a koszt wykonania algorytmu dla takiego zadania uproszczonego jest szukanym oszacowaniem heurystycznym dla zadania oryginalnego. Im więcej zasad dotyczących oryginalnego problemu zostanie złamanych tym łatwiej (z mniejszym kosztem obliczeniowym) dla każdego węzła będzie można wyznaczyć wartość funkcji heurystycznej. Jednakże spowoduje to, że estymaty kosztów będą znacznie różniły się od rzeczywistych kosztów jakie należy ponieść aby dotrzeć z bieżącego węzła do węzła docelowego. Dlatego należy dążyć do pewnego kompromisu, w którym koszt obliczeniowy wyznaczenia wartości funkcji heurystycznej dla pojedynczego węzła nie powinien być zbyt duży a jednocześnie estymata kosztów nie powinna silnie różnić się od rzeczywistych kosztów dotarcia do celu. Przykład konstruowania funkcji heurystycznej dla problemu układania puzzli zaprezentowano w punkcie 3.
Implementacja strategii A* wymaga zdefiniowania dwóch list open oraz closed, na których przechowywane są węzły drzewa. Na liście open przechowywane są węzły będące krawędzią drzewa a na liście closed węzły, które były już wcześniej przeglądane, z każdym węzłem skojarzona jest wartość funkcji oceniającej. W kolejnych krokach wybierany jest węzeł z listy open, który charakteryzuje się najmniejszą wartością funkcji f(n) (lista open może być posortowana względem wartości funkcji oceniającej). Dla wybranego węzła stosowna jest ogólna procedura tzn. wybrany węzeł testowany jest czy przechowuje stan docelowy, jeśli tak to koniec poszukiwań a jeśli nie to generowane są stany potomne, które są oceniane a następnie dopisywane do listy open a węzeł macierzysty przenoszony jest na listę closed.
Prześledźmy zachowanie się algorytmu oraz zawartości list open oraz closed w kolejnych krokach dla przykładowego drzewa (Rys. 1). Inicjalizacja algorytmu wymaga umieszczenia węzła korzenia na liście open. Każdy węzeł przechowywany na listach powinien zawierać dowiązanie do swojego rodzica tak aby po znalezieniu stanu docelowego możliwe było odtworzyć ścieżkę będącą rozwiązaniem problemu.
Rys. 1. Przeszukiwanie A* (liczby wewnątrz węzłów określają kolejność przeglądania węzłów a liczby ponad węzłami określają wartość funkcji oceniającej, węzeł G
przechowuje stan docelowy)
Kolejne stany list open i closed dla kolejnych kroków algorytmu (w nawiasach podawane są węzły macierzyste, lista open i jest posortowana względem wartości funkcji oceniającej):
a) Inicjalizacja:
open=A(-) closed= pusta
b) Rozwinięcie węzła A:
open=B(A),D(A),C(A) closed=A(-)
c) Rozwinięcie węzła B:
open= E(B),D(A),C(A),F(B) closed=A(-),B(A)
d) Rozwinięcie węzła E:
open= D(A),C(A),F(B) closed=A(-),B(A),E(B)
e) Rozwinięcie węzła D:
open=C(A),J(D),F(B),I(D) closed= A(-),B(A),E(B),D(A)
f) Rozwinięcie węzła C:
open= G(C),J(D),H(C),F(B),I(D) closed= A(-),B(A),E(B),D(A),C(A)
g) Rozwinięcie węzła G (znaleziono cel):
open=J(D),H(C), F(B),I(D)
closed= A(-),B(A),E(B),D(A),C(A),G(C)
Po znalezieniu węzła docelowego następuje odtworzenie ścieżki, która doprowadziła do rozwiązania na podstawie listy closed oraz informacji o rodzicach węzłów. Złożoność czasowa jak również pamięciowa algorytmu A* jest wykładnicza, wszystkie przeglądane węzły musza znajdować się w pamięci.
Przykładowe heurystyki dla 8-elementowych puzzli
Zadanie ułożenia puzzli sprowadza się do wykonywania dozwolonych ruchów za pomocą poszczególnych elementów puzzli tak aby osiągnąć zadany stan docelowy (rys. 2b). Stan początkowy może być generowany losowo (rys 2a).
Rys 2. Stan początkowy a) i stan docelowy b)
Zadanie wyznaczenia heurystyki sprowadza się do osłabienia zasad gry w puzzle. W tym przypadku zasady można określić poprzez możliwe ruchu jakie można wykonać podczas układania puzzli. Dozwolone ruchy to ruchy puzzli tylko przy użyciu pustej przestrzeni pomiędzy puzzlami, nie wolno wyrywać puzzli i przenosić ich na inne pola oraz nie wolno przesuwać puzzli ponad innymi puzzlami. Wyznaczmy jedną z możliwych heurystyk h1(n) poprzez osłabienie ograniczeń gry w puzzle polegającą na umożliwieniu wyrywania puzzli i przenoszeniu ich na dowolne pozycje w układance. W takiej sytuacji w bardzo prosty sposób można ocenić ile ruchów należy wykonać z bieżącego stanu aby dotrzeć do stanu docelowego, wystarczy policzyć ile puzzli nie znajduje się na swoich właściwych pozycjach.
Dla stanu przedstawionego na rys. 2a wartość funkcji heurystycznej h1(n)=7. Przykładem funkcji heurystycznej w przypadku której złamano zasady gry w puzzle w mniejszym stopniu może być funkcja h2(n) przy wyznaczaniu, której pozwolono jedynie na przesuwanie puzzli ponad zajętymi polami ale nie pozwolono na wyrywanie puzzli. Wartość funkcji h2(n) wyznacza się poprze zsumowanie liczby ruchów jakie należy wykonać aby puzzle znalazły się na swoich miejscach h2(n)=2+0+3+1+0+1+3+4=14. Można stwierdzić, że heurystyka h2(n) dominuje nad heurystyką h1(n) ( h2(n)≥ h1(n) ) ponieważ estymuje koszty dotarcia do celu dokładniej. Jednakże należy zauważyć, że koszt obliczeniowy wyznaczenia heurystyki h2(n) jest większy niż koszt obliczeniowy określenia heurystyki h1(n). Aby określić wartość funkcji oceniającej f(n), konieczne jest również zdefiniowanie funkcji g(n), która określa koszt dotarcia z węzła startowego do węzła bieżącego. Wartość tej funkcji można wyznaczyć dokładnie a w przypadku puzzli określa się ją poprzez określenie poziomu drzewa, na którym znajduje się badany węzeł.
Zadania:
1. Utwórz program do gry w puzzle gdzie decyzję o kolejnych ruchach będzie podejmował komputer wykorzystując strategię przeszukiwania A*. Na wstępie program powinien wylosować stan startowy a następnie po wyznaczeniu stanu końcowego przedstawić sekwencje ruchów prowadzącą do stanu ułożenia.
2. Porównaj wyniki osiągnięte dla problemu układania puzli z wykorzystaniem strategii wszerz, w głąb i A*.
Literatura:
1. Rutkowska D.,Piliński M., Rutkowski L.: Sieci neuronowe. Algorytmy genetyczne i systemy rozmyte, PWN, Warszawa, 1997.
2. Mulawka J. J. Systemy ekspertowe, WNT, Warszawa 1996.
3. Brandys Cz, Fujarewicz K, Gałuszka A., Simek K., Świrniak K., Wojciechowski K. : Metody sztucznej Inteligencji – Laboratorium, Wydawnictwo Politechniki Ślaskiej, Gliwice 1998.
4. Rich E.: Artificial intelligence. McGraw-Hill, New York 1983.
5. http://aima.cs.berkeley.edu/
