ETAPY BUDOWY MODELU EKONOMETRYCZNEGO: 1. Ustalenie zmiennej obja

ETAPY BUDOWY MODELU EKONOMETRYCZNEGO:

1. Ustalenie zmiennej objaśnianej Y

2. Ustalenie listy zmiennych objaśniających – najwaŜniejsze metody statystyczne: Hellwiga (wskaźnik pojemności informacyjnej), regresji krokowej

3. Ustalenie postaci analitycznej modelu: hipotetycznego - opisującego ogólnie zaleŜność dla całej populacji generalnej (a w konsekwencji takŜe postaci modelu ekonometrycznego).

liniowy, nieliniowy - metody określenia: np. wg specyfiki zaleŜności, na oko z wykresu posiadanej próby, przez eksperymenty obliczeniowe – model najlepiej dopasowany do posiadanych danych.

W modelu hipotetycznym parametry zapisujemy jako litery greckie, np: Y≅β1*X+β2. Ich wartości nigdy nie poznamy. MoŜemy tylko oszacować ich wartości na podstawie jakiejś próby. Po oszacowaniu parametry zapisujemy literami łacińskimi.

MoŜliwe postaci analityczne modelu (ekonometrycznego, po oszacowaniu parametrów strukturalnych) dla danej postaci zaleŜności:

ZaleŜność liniowa

Y=b₀+b₁*X Y= b₀+b₁*X₁+ b₂*X₂+...+b_K*X_K

ZaleŜność nieliniowa

Np.:

paraboliczna: Y=b₀+b₁*X+ b₂*X²

wielomianowa: Y=b₀+b₁*X+ b₂*X²+...+b_NX^N hiperboliczna: Y= b0+b1/X

logarytmiczna: Y= b₀+b₁*log(X) wykładnicza: Y=a*p^b*X

potęgowa: Y=a*X^b

potęgowo-wykładnicza: Y= a*X^b1*p^b2*X wykładniczo-hiperboliczna: Y=a*p^b/X Tornquista: Y=a*(X-c)/(X+b) logistyczna: Y=a/(1+b*e^-c*X)

Np.:

Y=b₀+b₁₁*X₁+ b₁₂*X₁²+b₂₁*X₂+ b₂₂*X₂²+...+b_K1*X_K+ b_K2*X_K² Y=∑∑bk*Xkk

Y= b₀+ b₁/X₁+ b₂/X₂+...+b_K/X_K Y= b₀+b₁*log(X₁)+...+b_K*log(X_K) Y=a*pb1*X1+ b2*X2+...+bK*XK

Y=a* X₁^b1* X₂^b2*...* X_K^bK

MoŜliwe sposoby zapisu modelu hipotetycznego (podkreślające to, Ŝe model opisuje dana zaleŜność tylko w przybliŜeniu): Y= f(β ,X), Ŷ= f(β ,X), Y≅ f(β ,X), Y= f(β ,X)+ε ε - składnik losowy (reszta) o rozkładzie normalnym (jego występowanie tłumaczy istnienie rozbieŜności między Y obliczonym z modelu a rzeczywistymi wartościami Y), E(ε )=0, σ(ε)-stałe, parami nie skorelowane, estymacja σ(ε): s

Zapisy parametrów liniowego (róŜne konwencje): Y≅ β1*X+β2; Y≅ β0+β1*X; Y≅ α+β*X; Y≅ β*X+α i inne

4. Zebranie materiału statystycznego: ilość obserwacji: L musi być choć 3 razy większa niŜ liczba parametrów modelu (K)

5. Wyznaczenie parametrów modelu ekonometrycznego: Na podstawie próby dokonujemy estymacji (znalezienia ocen, szacunku) parametrów modelu hipotetycznego. Tak powstały model to model ekonometryczny.

Dla modeli liniowych uŜywamy klasycznej metody najmniejszych kwadratów: SKR=∑ (y-ŷ)²→ min. Takie dobranie parametrów modelu by suma kwadratów reszt była minimalna (wtedy model jest najlepiej dopasowany do danych empirycznych).

ZałoŜenia kmnk: zaleŜność liniowa, załoŜenia o ε, X nielosowe, rz(X)=K≤ L (brak współliniowości w macierzy X – moŜna ją odwrócić)

Dla modelu: Y≅ b*X+a parametry znalezione przy uŜyciu kmnk (minimalizujące SKR) moŜna obliczyć ze wzorów:

,

W dalszym ciągu będziemy zapisywać model liniowy w konwencji: Y≅ b1X+b₂ Interpretacja:

b1 – o tyle wzrośnie wartość Y jeśli X wzrośnie o jednostkę

b₂ – tyle wyniesie wartość Y dla X=0

Gdy X jest zmienną czasową (t) to mówimy o trendzie (modelu tendencji rozwojowej): Y≅ b1t+b₂, a interpretacja jest następująca:

b₁ – o tyle rośnie wartość Y z roku na rok (okresu na okres) b₂ – tyle wyniesie wartość Y dla roku/okresu 0

Przejście na zapis wektorowo-macierzowy:

Y≅≅≅≅ b₁*X₁+b₂*X₂, X₁=X, X₂≡1, b1=b, b₂=a

Y≅≅≅≅ Xb, Y - wektor L obserwacji zmiennej objaśnianej, X- macierz o wymiarach LxK (L obserwacji w wierszach, K zmiennych objaśniających w kolumnach, ostatnia kolumna - zmienna stała -jedynkowa); b - wektor K parametrów modelu (ostatni element wektora - wyraz wolny)

UŜywając kmnk wektor parametrów modelu znajdujemy ze wzoru:

b=(X^TX)^-1X^Ty

Dla ułatwienia tworzymy tabelę CROSS, która zawiera sumy iloczynów wartości wszystkich par zmiennych modelu (przypadek dla modelu z jedną zmienną objaśniającą):

Y ∑ y² ∑ yx ∑ y X ∑ xy ∑ x² ∑ x

1 ∑ y ∑ x L

Odpowiednie pola w tablicy CROSS tworzą potrzebną nam macierz (jeszcze trzeba ją odwrócić) i wektor:

Znajdziemy w niej macierz X^TX (trzeba ją jeszcze odwrócić!) oraz wektor X^Ty. Po odwróceniu X^TX mnoŜymy ją przez X^Ty i otrzymujemy wektor b:

1 L

∑ x²*L-(∑ x)²

W przypadku modelu liniowego z większą liczbą zmiennych objaśniających tabela CROSS jest większa - wtedy macierz X^TX tworzą pola tabeli z wyjątkiem pierwszego wiersza i pierwszej kolumny, a wektor X^Ty to pierwsza kolumna bez ∑ y².

6. Weryfikacja modelu:

Merytoryczna - wymaga znajomości natury zjawiska - trzeba sprawdzić, czy znaki i skala wartości parametrów są sensowne.

Statystyczna: (dla modeli liniowych) dopasowanie: ϕϕϕϕ², R², szacunkowy błąd średni parametru ββββk, istotność zmiennych objaśniających

Jakość dopasowania modelu do danych empirycznych:

Współczynnik rozbieŜności ϕ² mówi jaka część zmienności zmiennej objaśnianej (czyli Y) nie została wyjaśniona przez model:

ϕ²=SKR/OSK,

suma kwadratów reszt: SKR= ∑(y-ŷ)² = (∑y²-b^TX^Ty)=∑y²-(b*∑yx+ a*∑y) – zmienność niewyjaśniona przez model,

ogólna suma kwadratów: OSK= ∑ (y-yśr)² = ∑y²-(∑y)²/L - zmienność ogólna Y zatem: ϕ²=(∑y²-b^TX^Ty)/( ∑y²-(∑y)²/L)

Współczynnik determinacji R² mówi jaka część zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez model:

R²=1-ϕ ²

Dobrze dopasowany model ma R²>80%

Błędy ocen parametrów / szacunkowe błędy średnie i przedział ufności dla ββββk

Szacując wartość parametru βk do postaci b_k popełniamy błąd, inny dla kaŜdej próby danych. śeby dowiedzieć się jak duŜy błąd popełniliśmy liczymy wartości szacunkowych błędów średnich

Szacunkowy błąd średni / błąd oceny parametru - dk – ocena rozbieŜności moŜliwych ocen parametru β k (czyli b_k) wokół tego parametru (czyli wokół β k) Wyznaczając b_k (z róŜnych prób wziętych z populacji generalnej) mylimy się przeciętnie o d_k:

k

k

s c

d =

s - oszacowanie odchylenia standardowego składnika losowego - oszacowanie σ(ε) - ocena rozbieŜności moŜliwych wartości zmiennej objaśnianej wokół modelu hipotetycznego – siła zaburzająca składnika losowego ε.

Q

s = SKR

natomiast c_k to k-ty element przekątniowy macierzy (X^TX)^-1.

Składając te wzory otrzymujemy następujący wzór na d_k:

K T

c d

SKR

= − *

By określić czy błąd jest duŜy liczymy błąd względny oszacowania parametrów (inaczej zwany współczynnikiem precyzji parametru): d_wk=d_k/b_k - im mniejszy tym mniejszy błąd popełniliśmy szacując wartość danego parametru. Jego wartość powinna być mniejsza niŜ 20%

Istotność zmiennych objaśniających. Zmienna istotna – ma zauwaŜalny/wyraźny wpływ na Y. Dana zmienna (k-ta) jest istotna, gdy parametr przy niej stojący jest istotnie róŜny od zera: a jest tak wtedy gdy:

|t_k|>t_{KR(α ,Q)}, gdzie:

k k

k

d

t = b

7. Wykorzystanie modelu: zwięzły opis zaleŜności, prognozy, symulacje i scenariusze