MODELOWE BADANIA PROTOTYPU TŁUMIKA MAGNETOREOLOGICZNEGO
JERZY BAJKOWSKI*, MARIUSZ PYRZ**, ROBERT ZALEWSKI* *Instytut Podstaw Budowy Maszyn Politechniki Warszawskiej
**Instytut Pojazdów Politechniki Warszawskiej
e-mail: jba@simr.pw.edu.pl, mariusz.pyrz@wp.pl, robertzalewski@wp.pl
Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki badań eksperymentalnych prototypu tłumika magnetoreologicznego, przeznaczonego do wykorzystania w kontrolowanym procesie tłumienia drgań mechanicznych wybranej grupy urządzeń. Główną uwagę skupiono na przedstawieniu zastosowanego rozwiązania konstrukcyjnego oraz na analizie odpowiedzi badanego urządzenia na zadany eksperymentalnie rodzaj wymuszenia kinematycznego. Zgromadzona baza doświadczalna posłużyła, w dalszym etapie, jako punkt wyjściowy do ustalenia reprezentatywnego modelu reologicznego dla rozpatrywanego tłumika. Do analiz numerycznych wybrano model Bouc-Wena. Przeprowadzono estymację parametrów materiałowych modelu, wykorzystując algorytm symulowanego wyżarzania. W końcowej części pracy dokonano weryfikacji dokładności modelu numerycznego poprzez porównanie jego odpowiedzi z rezultatami eksperymentalnymi.
1. WPROWADZENIE
Ciecze magnetoreologiczne wykorzystywane są w różnych urządzeniach mechanicznych, takich jak hamulce, sprzęgła, zawory czy amortyzatory drgań. Wykorzystywana w nich ciecz zawiera mikroskopijne drobiny materiału o właściwościach ferromagnetycznych, które powodują znaczne zmiany lepkości. pod wpływem silnych pól magnetycznych. Jednym z zastosowań praktycznych, intensywnie badanych i rozwijanych w ostatnich latach są tłumiki z cieczą magnetoreologiczną (z ang. Magneto Rheological - MR), stosowane w zawieszeniach pojazdów, amortyzacji drgań siedzisk, budynków oraz zastosowaniach militarnych i medycznych.
Badania takie realizowane są również w Instytucie Podstaw Budowy Maszyn Politechniki Warszawskiej i dotyczą skonstruowanego tam prototypu tłumika. Mechaniczne właściwości urządzenia zostały poddane serii testów eksperymentalnych. Celem było zbadanie parametrów pracy tłumika poddanego kinematycznym wymuszeniu ruchu tłoczyska w zależności od czynnika sterującego, jakim jest natężenie prądu w uzwojeniu cewki głowicy tłumika. Wyniki doświadczalne pozwoliły na podjęcie problematyki modelowania zachowania się urządzenia z cieczą MR i charakterystyce jego właściwości dyssypacyjnych.
Do opisu wytypowano fenomenologiczny model reologiczny tłumika zaproponowany przez Bouc - Wen'a. Odpowiedź numeryczna modelu wymaga jednak prawidłowego doboru wartości parametrów, aby dokładnie oddać realne zachowanie się urządzenia. Związane to
jest z kolei z koniecznością rozwiązania problemu odwrotnego, polegającego na wyznaczeniu parametrów modelu na podstawie otrzymanych wyników eksperymentalnych.
Identyfikację parametrów modelu wykonano, stosując metodę symulowanego wyżarzania, należącą do klasy stochastycznych metod optymalizacji. W końcowej części pracy przedstawiono przykłady wyników numerycznych, porównane z eksperymentem, oraz sformułowano wnioski dotyczące efektywności proponowanego podejścia.
2. BADANIA EKSPERYMENTALNE PROTOTYPU TŁUMIKA 2.1. Budowa tłumika
Tłumik MR konstrukcyjnie jest bardzo zbliżony do zwykłego olejowego tłumika drgań. Od klasycznego rozwiązania różni się rodzajem cieczy roboczej oraz możliwością wytworzenia zmiennej co do wartości siły tłumienia. Oprócz tego w tłumiku MR występuje także cewka oraz urządzenia zasilające i sterujące. Typowy tłumik z cieczą MR składa się z cylindrycznej obudowy, tłoczyska, tłoka, uszczelnień, cewki oraz przewodów zasilających.
W badaniach eksperymentalnych wykorzystano prototyp urządzenia MR, głównie stosowanego w sterowanym tłumieniu drgań obiektów. Szerszy opis przeprowadzonych eksperymentów można odnaleźć w pracach [1-6]. Na rys. 1 zaprezentowano schemat omawianego prototypu urządzenia MR.
Rys. 1 Schemat tłumika: 1 - tłok, 2 - cewka, 3 – szczelina robocza, 4 - tłoczysko, 5 - ciecz MR, 6 - obudowa, 7 - przewody zasilające.
Siła tłumiąca powstaje wskutek przepływu cieczy roboczej poprzez szczelinę znajdującą się w głowicy. W przypadku tłumika mamy do czynienia z przepływowym trybem pracy urządzenia z cieczą MR. Dzięki obecności cewki elektrycznej w głowicy możemy wytworzyć zmienne, zależne od natężenia prądu, pole magnetyczne. Jak wcześniej wspomniano, w obecności pola magnetycznego ciecz MR zmienia swoją lepkość. Urządzenie jest tak skonstruowane, aby linie sił pola magnetycznego były prostopadłe do kierunku przepływu cieczy roboczej.
W przypadku, gdy przez cewkę nie płynie prąd, urządzenie działa na takiej samej zasadzie jak jego hydrauliczny odpowiednik. Wielkość siły tłumienia uzależniona jest od wielu czynników, takich jak wielkość szczeliny [3], natężenie prądu, temperatura [4],[5], siły tarcia oraz materiałów, z jakich zostały wykonane części składowe urządzenia.
2.2. Wyniki eksperymentalne
Program badań eksperymentalnych obejmował trzy różne wartości częstości wymuszenia kinematycznego: 0,83 Hz; 2,5 Hz oraz 5 Hz. W każdym przypadku amplituda drgań wynosiła 5 mm.
W trakcie realizacji programu badawczego wzięto pod uwagę następujące wartości parametru sterującego (natężenia prądu elektrycznego): 0 A, 0,2 A; 0,5 A; 0,7 A oraz 1,2 A.
Dla każdego zestawu parametrów eksploatacyjnych (wybranej wartości natężenia prądu elektrycznego, charakteru wymuszenia kinematycznego) wykonano trzy serie pomiarowe.
Umożliwiono tym samym wyeliminowanie występowania błędów grubych oraz umożliwiono obróbkę statystyczną danych eksperymentalnych.
Czas trwania eksperymentu wynosił 5 s, a założona częstość próbkowania 400 Hz.
W trakcie trwania eksperymentu rejestrowano wartości przemieszczenia, siły i czasu. Na rys.
2 i 3 zilustrowano przykładowe wyniki eksperymentalne.
Rys. 2. Charakterystyka dyssypacyjna siły w funkcji przemieszczenia dla zadanej wartości częstości f=2,5 [Hz] oraz zmiennej wartości natężenia prądu I [A].
Rys. 3. Charakterystyka dyssypacyjna siły w funkcji przemieszczenia dla zadanej wartości częstości f=5 [Hz] oraz zmiennej wartości natężenia prądu I [A].
Na podstawie uzyskanych danych eksperymentalnych zilustrowanych na rys. 2 i 3 można zauważyć wyraźny wpływ natężenia pola elektrycznego na rejestrowane odpowiedzi tłumika MR. Wzrostowi natężenia towarzyszy podnoszenie się charakterystyk siła-przemieszczenie i tym samym zwiększenie możliwości dyssypacyjnych urządzenia. Bardziej szczegółową analizę rezultatów badań eksperymentalnych można odnaleźć w pracach [2,3,5].
3. MODEL BOUC-WENA
Klasyczny model Bouc - Wena [9] opisuje zachowanie się zarówno cieczy MR jak i urządzeń pracujących na jej bazie. Składa się z umieszczonych równolegle: elementu tłumiącego, elementu sprężystego oraz elementu odpowiedzialnego za tworzenie pętli histerezy (rys. 4). Równanie opisujące siłę tłumiącą, jaką może wygenerować tłumik ma następującą postać:
z x x k x c
F = 0& + 0( - 0)+a (1)
zaś zmienna z, która odpowiada za tworzenie się pętli histerezy, wyraża się następująco:
x A z x z
z x
z&=g & n-1-b& n + & (2)
W powyższych wyrażeniach c0 - reprezentuje tłumienie wiskotyczne, k0 – sztywność, parametry γ, β, α, A określają kształt pętli histerezy, n – jest stopniem wielomianu, a x0 - opisuje początkowe warunki przemieszczeniowe.
Rys. 4 Model Bouc - Wena dla tłumika z cieczą MR.
Model Bouc-Wena jest efektywnym sformułowaniem teoretycznym, umożliwiającym odzwierciedlenie rzeczywistej pętli histerezy modelowanego urządzenia. Występuje w nim 7 parametrów materiałowych, które należy zidentyfikować na podstawie wykonanych eksperymentów badawczych.
4. IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELU 4.1. Identyfikacja jako problem optymalizacji
Różniczkowo- algebraiczne równania fenomenologicznego modelu Bouc-Wena (1),(2) zawierają siedem parametrów determinujących kształt charakterystyki numerycznej.
Wyznaczenie ich wartości na drodze doświadczalnej dla pełnego zakresu możliwych zastosowań jest skomplikowane (o ile w ogóle możliwe). Wymagać to może wyszukanego i kosztownego oprzyrządowania oraz skomplikowanych procedur badawczych. Problem identyfikacji można jednak sformułować jako problem optymalizacji i odnaleźć poszukiwane wartości numerycznie. Z jednej strony, dysponujemy zestawem danych doświadczalnych, z drugiej zaś potrafimy symulować komputerowo zachowanie się tłumika. Wartości
parametrów mogą być zatem wyznaczone poprzez porównanie krzywych eksperymentalnych i krzywych numerycznych. Różnice między tymi krzywymi wyrazić można w zależności od wartości parametrów, przyjmując jako funkcję celu sumę błędów, liczonych w określonych punktach badanego zakresu. Rozwiązanie zadania minimalizacji różnic pozwala na wyznaczeniu szukanych parametrów. Przedstawiony problem optymalizacji, odpowiadający identyfikacji parametrów modelu, można zapisać w następujący sposób:
wyznaczyć N parametrów modelu p1,p2,, ...,pN tak, aby zminimalizować sumę różnic S pomiędzy danymi eksperymentalnymi Dexp oraz danymi numerycznymi Dnum
rozpatrywanymi w M zadanych punktach doświadczalnych
exp
1 1
1
( ,..., N) M i inum( ,..., N) min
i
S p p D D p p
=
=
å
- ® . (3)W rozważanym zagadnieniu różnice pomiędzy krzywą eksperymentalną i numeryczną wyrażono, porównując wartości sił zarejestrowanych doświadczalnie i sił obliczonych za pomocą modelu Bouc-Wena w punktach czasowych, odpowiadających jednemu okresowi periodycznego wymuszenia kinematycznego.
W rozważanym zagadnieniu szukane są zatem parametry minimalizujące funkcję (3) (zagadnienie optymalizacji bez ograniczeń). Do rozwiązania problemu wybrano metodę symulowanego wyżarzania, mając na uwadze skomplikowane sformułowania matematyczne modelu i wielomodalny charakter rozważanego zadania optymalizacji.
4.2. Algorytm metody symulowanego wyżarzania
Metoda symulowanego wyżarzania należy do klasy stochastycznych metod optymalizacji, które podczas przeszukiwania obszaru rozwiązań wykorzystują parametry losowe. Została ona zaproponowana w [7], [8] i znajduje obecnie szerokie zastosowanie do rozwiązywania zadań, w których korzystanie z klasycznych metod staje się problematyczne.
Algorytm metody jest zainspirowany procesami wyżarzania w metalurgii, polegającymi na rozgrzewaniu i powolnym schładzaniu metali aż do osiągnięcia krystalizacji. Celem jest osiągnięcie najniższego stanu energetycznego. Energia odpowiada funkcji celu, a jej minimalizacja to poszukiwanie rozwiązania optymalnego. W fizycznym procesie wyżarzania dopuszczalne są stany związane z chwilowym zwiększeniem energii.
Właściwość ta, odtworzona w algorytmie metody, pozwala na unikanie minimów lokalnych.
Zastosowanie metody symulowanego wyżarzania wymaga definicji funkcji energii (zależnej od zmiennych decyzyjnych), określenia sposobu generacji losowych zmian rozwiązania oraz wyznaczenia schematu wyżarzania/chłodzenia (tj. podania temperatury początkowej i metody jej obniżania). Niezbędne jest ponadto zaproponowanie początkowego oszacowania rozwiązania, przyjmowanego jako punkt startowy algorytmu.
Funkcja energii jest bezpośrednią funkcją celu, której minimum poszukujemy. Procedura generująca kolejne propozycje rozwiązania (zwane sąsiadami) losowo zaburza aktualne wartości zmiennych decyzyjnych w określonym wcześniej, dopuszczalnym zakresie zmienności. Element przypadkowości realizowany jest za pomocą generatora liczb losowych. Liczba rozpatrywanych na każdym poziomie temperatury sąsiadów jest jednym z parametrów algorytmu. Początkowe oszacowanie poszukiwanego rozwiązania również jest generowane w sposób losowy. Schemat schładzania w opracowanej wersji polega na ustaleniu aktualnej temperatury w postaci stałego ułamka temperatury poprzedniej.
Aktualna temperatura ma wpływ na kierunek poszukiwania rozwiązania obierany w danym
kroku. Jeżeli w procesie poszukiwania rozwiązania wygenerowana zostanie propozycja lepsza niż znana dotychczasowo, to jest ona przyjmowana jako nowe rozwiązanie problemu. Jeżeli natomiast wygenerowany sąsiad okaże się gorszy, to może on (ale nie musi) posłużyć jako punkt wyjściowy do poszukiwania lepszych sąsiadów. Kryterium wyboru jest wtedy określane przez porównanie zmiennej losowej z wartością funkcji akceptacji. Prawdopodobieństwo akceptowania gorszych rozwiązań jest stosunkowo duże na początku algorytmu, umożliwiając eksplorację obszaru rozwiązań, i maleje wraz ze spadkiem temperatury, prowadząc do eksploracji obszaru przyciągania znalezionego minimum. Funkcja akceptacji fa określona jest wzorem
(Es Ea)/T
fa =e- - (4)
gdzie Es- wartość optymalizowanej energii sąsiada, Ea - wartość energii w aktualnym położeniu, T - temperatura na danym poziomie przeszukiwania.
Efektywność metody symulowanego wyżarzania zależy od odpowiedniego doboru parametrów algorytmu, takich jak liczba sąsiadów, liczby i badanych poziomów temperatury. Algorytm metody może być zapisany w następującej postaci:.
Losowy wybór rozwiązania początkowego s=s0
Obliczenie funkcji energii E=E(s0) Aktualne rozwiązanie srozw=s, Erozw=E
Dopóki (temperatura końcowa nie osiągnięta) wykonaj Dopóki (nie wszyscy sąsiedzi sprawdzeni) wykonaj
Utwórz rozwiązanie sąsiednie s’=sąsiad(s) Obliczenie funkcje energii sąsiada E’=E(s’) Jeżeli E’<E to srozw=s’ oraz Erozw=E’
Jeżeli funkcja akceptacji fa(E,E’,temperatura) > zmienna losowa to s=s’ oraz E=E’
Obniż temperaturę
5. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
5.1. Parametry metody symulowanego wyżarzania
Do identyfikacji parametrów modelu wykorzystana została metoda symulowanego wyżarzania, opracowana w programie Scilab. Minimalizowano funkcję energii E sformułowaną w postaci sumy bezwzględnych wartości różnic miedzy wartościami siły eksperymentalnej i numerycznej, liczonych w N=100 punktach czasowych rozłożonych równomiernie w jednym pełnym okresie wymuszenia kinematycznego.
min )
( )
(
1
® -
=
å
= N i
i num i
eks t F t
F
E (5)
W schemacie schładzania przyjęto 10 poziomów temperatury, stosując miedzy nimi iloczynowy współczynnik spadku 0.8 i startując z wartości początkowej 500 °C. Na każdym poziomie temperatury analizowano 20 sąsiadów rozwiązania aktualnego, generując losowo wartości szukanych parametrów w zadanych granicach zmienności.
5.2. Wyniki modelowania zachowania tłumika
Na rys. 5, 6, 7 przedstawiono przykładowe wyniki symulacji, porównując wyniki numeryczne z doświadczalnymi.
Rys. 5 Eksperymentalne charakterystyki F=f(x) oraz F=f( x& ) dla f = 2,5 Hz oraz I = 0 A.
Rys. 6 Eksperymentalne charakterystyki F=f(x) oraz F=f( x& ) dla f = 5 Hz I = 0 A.
Rys. 7 Eksperymentalne charakterystyki F=f(x) oraz F=f( x& ) dla.f = 5 Hz I = 0,7 A.
6. PODSUMOWANIE
Analizując dane przedstawione na rys. 5-7, można zauważyć zadowalającą zbieżność rezultatów eksperymentalnych i numerycznych. Fakt ten świadczy zarówno o przydatności zastosowanego modelu matematycznego jak również o skuteczności wykorzystanej w procesie identyfikacji optymalizacyjnej procedury symulowanego wyżarzania.
W celu wykorzystania opisywanego prototypu tłumika MR w modernizacji rzeczywistych konstrukcji, należy dodatkowo opracować odpowiednią metodologię sterowania odpowiedzią urządzenia na zewnętrzne siły wymuszające. W tym celu wskazane jest wyznaczenie uniwersalnych zależności łączących wartości parametrów materiałowych modelu konstytutywnego z wartością czynnika sterującego, jakim w przypadku rozpatrywanych tłumików MR jest natężenie pola magnetycznego.
LITERATURA
1. Zalewski R., Bajkowski J.: Analogie i różnice właściwości cieczy magnetoreologicznych oraz granulatów umieszczonych w przestrzeni z podciśnieniem. „Modelowanie Inżynierskie” 2008, nr 36, s. 313-320.
2. Bajkowski J., Zalewski R.: Dynamic model of special object with magnetorheological shock absorber. „Machine Dynamics Problems” 2007, Vol. 31, No 4, p. 5-14.
3. Bajkowski J., Dudziak B., Zalewski R.: Experimental research of a magnetorheological damper with various . „Modeling and Simulations, Machine Dynamics Problems” 2008, Vol. 32, No 1, p. 14-23.
4. Zalewski R., Grzesikiewicz W., Bajkowski J.: Some problems in modeling of devices with MR dampers. In: Proceeding on “CAD in Machinery Design. Implementation and Educational Problems.”, CADMD’2008, Lviv, 2008, p. 12-14,
5. Bajkowski J., Bajkowski M., Grzesikiewicz W., Zalewski R.: Modeling, research and application of MR fluids and devices in controlled damping of impacts and vibrations, Modelling and simulation in machine design. Ch. 3, Mirosław Wrocławski Publishing House, Bydgoszcz 2009, p. 87-117
6. Bajkowski J., Bajkowski M. Grzesikiewicz W., Zalewski R.: Temperature ipact on MR devices. In: Proceedings of the IV ECCOMAS Thematic Conference of Smart Structures and Materials, SMART’09 Porto, Portugal, 2009, p. 513-515.
7. Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D., Vecchi, M.P.: Optimization by simulated annealing.
„Science” 1983, 220, 1983, 671-680.
8. Cerny, V.: A thermodynamical approach to the travelling salesman problem: an efficient simulation algorithm. “Journal of Optimization Theory and Applications” 1985, 45, p. 41- 51.
9. Wen, Y.,K. : Method for random vibration of hysteretic systems. “Journal of Engineering Mechanics”, Division, ASCE102, EM2, 1976, p. 193-199.
MODEL ANALYSIS OF THE MR DAMPER PROTOTYPE Summary. The experimental results of the magnetorheological damper prototype, designed for controlled damping of mechanical vibrations are presented in this work. Main attention is devoted to the description of the considered construction and to the investigation of the damper’s response to kinematical excitation applied experimentally. The acquired data was the initial point for the choice of a suitable rheological model for the device under consideration. The Bouc-Wen model has been selected for numerical analysis. The estimation of model parameters was made using the simulated annealing algorithm. At the final part of the paper the exactitude of the numerical model has been verified by comparing it with experimental results.
