ROZŁADOWANIE KONDENSATORA

(1)

ROZŁADOWANIE KONDENSATORA

I. Cel ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia U (i/lub prądu I ) rozładowania kondensa- tora C w funkcji czasu t : U = U(t), wyznaczanie stałej czasowej τ = RC.

II. Przyrządy: źródło prądu stałego o napięciu U = 10÷24V, woltomierz cyfrowy, kondensator o pojemności C = 25 ÷100µF, stoper.

III. Literatura: 1. A.Portis Laboratory Physics.

2. A.H.Piekara Elektryczność i magnetyzm.

3. E.M.Purcell Elektryczność i magnetyzm.

IV. WPROWADZENIE

Okładki kondensatora o pojemności C podłączamy do źródła stałego napięcia Uo (rys.1, klucz K w położeniu 1). Kondensator bardzo szybko naładuje się do napięcia Uo. Przełączając klucz K w położenie 2 odłączamy źródło ładujące kondensator i zamykamy obwód zawierający opór R. Nastąpi rozładowanie kondensatora przez opór R.

Popłynie prąd o malejącym natężeniu co wskaże mikroamperomierz. Chwilowa wartość tego prądu:

R

I = U. ( 1 )

Ubytek ładunku kondensatora w czasie dt oznaczamy przez −dq. Chwilowa wartość natężenia prądu I:

dt

I=−dq. ( 2 )

Uwzględniając równanie (1) mamy zatem R

U dt

dq =− ( 3 )

Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek:

U C

q= ⋅ . ( 4 )

Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy:

RC q dt

dq =− ( 5 )

Z równania (5) wynika, że prędkość ubywania ładunku kondensatora dq/dt jest proporcjonalna do chwilowej wielkości q. W miarę upływu czasu ubywanie ładunku początkowo zachodzi szybko a później wskutek zmniejszania się q coraz wolniej.

Uo

C

µ µµ µA

U R K

−−−−q + +q

−−−−

1 2 I

Rys.1

(2)

Równanie (5) możemy zapisać w postaci RC

dt q

dq =− . ( 6 )

Jest to proste równanie różniczkowe. Rozwiązaniem tego równania (przy uwzględnieniu, że dla t

= 0 mamy q = qo) jest funkcja:

RC t o e q

q= ⋅ ⁻ . ( 7 )

Uwzględniając zależność (4) mamy relacje:

q = U⋅C i qo = Uo⋅C ( 8 )

i otrzymujemy U=U_o⋅e⁻^t^RC ( 9 )

gdzie Uo napięcie kondensatora w chwili t = 0.

Ponieważ

dt

I=−dq, więc przy uwzględnieniu zależności (7) otrzymujemy

( )

o ^t^RC

RC t o

RC t

o e I e

RC q 1

e dt q

I d ⁻ ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻



 

−

⋅

−

=

⋅

−

= ( 10 )

gdzie Io jest prądem płynącym przez opór w chwili t = 0.

Równania (7), (9) i (10) wyrażają zależność ładunku q, napięcia U i natężenia prądu I w funkcji czasu t. Zależność ta jest funkcją wykładniczą, malejącą w miarę upływu czasu t. Wykres 2 przedstawia zależność U(t) i podstawowe własności krzywej wykładniczej rozładowania kondensatora.

Iloczyn RC ma wymiar czasu i nazywa się stałą czasową (obwodu RC) lub charakterystycznym czasem relaksacji. Zwykle oznaczamy τ = RC. Dla t = RC = τ mamy:

3679 , 0 U e

U 1

o

=

= ⁻ ( 11 )

W czasie t = τ ładunek q, napięcie U, natężenie prądu I maleją e krotnie (2,72 razy). Po upływie tego czasu kondensator zawiera 36,8% ładunku początkowego.

U[V]

0,5Uo

Uo

2 t

t1 ττττ 2ττττ 3ττττ 0

0,693ττττ

0,368U_o

Rys.2 Wykres zależności = ⋅ ⁻^τ

t o e U U

(3)

Z każdego ze wzorów (7), (9) i (10) można otrzymać związek między t₁₂ i τ (po uwzględnieniu relacji

2 1 q

q

o

= lub

2 1 U

U

o

= lub 2 1 I

I

o

= ). Na podstawie np. równania (7) mamy ^RC

t

o

2 1

2 e 1 q

q = = ⁻ . Po prostych przekształceniach algebraicznych (po zlogarytmowaniu obu stron tego równania) otrzymamy

τ

⋅

=

⋅

=RC ln2 0,69315

t₁₂ ( 12 )

Odkładając na osi x czas t w jednostkach t₁₂ a na osi y wielkości q/qo, U/Uo lub I/Io otrzymamy dobrą ilustrację wykładniczych zależności (7), (9) i (10).

V. POMIARY

V.1. Układ pomiarowy.

o o

o I

I U

U q

q , ,

Rys.3 W każdym przedziale czasowym t₁₂ładunek, napięcie i natężenie prądu maleją o połowę.

2 1

1

t

2

t1

2 3t12 4t12

2

t1

4 1

16 8 1 1

K1 K2

C

ZNN Uo

+

−−−−

R = RV

V

a)

K1 K2

C

ZNN Uo

+

−−−−

R

µ µµ µA b)

Rys.4 Schemat połączeń układu pomiarowego; (a) rozładowanie kondensatora poprzez wol- tomierz, (b) rozładowanie kondensatora poprzez opór R (1MΩ lub 2MΩ) i mikroamperomierz (pomiar natężenia prądu).

(4)

Do zacisków przy symbolu pojemności C (rys.5) dołączamy kondensator (lub kombinacje połą- czeń równoległych i szeregowych kondensatorów).

Do zacisków oznaczonych symbolem woltomierza dołączamy woltomierz cyfrowy. Wolto- mierz cyfrowy charakteryzuje się bardzo dużym oporem wewnętrznym (RV > 10 ÷ 1000MΩ).

Dla zakresu 20V i 200V opór RV > 10MΩ. Wskazane przez niego napięcie jest właśnie spadkiem potencjału na jego oporze Rv. W naszym ćwiczeniu (rys.4a) będzie on spełniał rolę miernika napięcia na kondensatorze C i oporu R, przez który zachodzi rozładowanie kondensatora. Przy zamkniętych obu kluczach K₁ i K₂ woltomierz wskazuje różnicę potencjałów między okładkami kondensatora naładowanego do napięcia źródła U_o (wciśnięte przyciski „ŁAD” i „V”).

V.2. Metoda pomiaru

Logarytmując równanie (9) otrzymujemy

RC

U t ln U

ln = _o − ( 12 )

Przyjmując: y = lnU, a = lnUo , b = RC

− 1 , x = t otrzymujemy prostą y = a + bx o parametrach a i b. Znajdując współczynnik nachylenia b prostej, znajdziemy stałą czasową τ ze związku

b

−1

=

τ ( 13 )

oraz opór woltomierza

b C

1 R C

R _V

− ⋅ τ =

=

= ( 14 )

µ µµ µA

C V

WŁ ŁAD 1MΩΩΩ 2MΩΩ ΩΩΩ V

gniazdka do podłą- czenia woltomierza cyfrowego

gniazdka do podłą- czenia kondensatora

Rys.5 Płyta czołowa układu pomiarowego

(5)

VI. POMIARY I OPRACOWANIE WYNIKÓW.

Pomiary

1. Do odpowiednich zacisków obwodu (rys. 4a) dołączamy woltomierz cyfrowy (charakteryzuje się dużym oporem wewnętrznym, RV > 10MΩ). Ładujemy kondensator C wciskając przycisk

„ŁAD” a następnie „V” (zamknięte oba klucze K1 i K2 na rysunku 4a). Po kilkunastu sekun- dach kondensator jest całkowicie naładowany. Po tym czasie naciskamy przycisk „ŁAD”, powodując jego wyciśnięcie (otwarcie klucza K1 na rys. 4a) co powoduje rozładowanie kondensatora C. Powolny spadek napięcia na kondensatorze umożliwia pomiar tego napięcia U woltomierzem cyfrowym w funkcji czasu t. Odczytów napięcia dokonujemy w odstępach czasu stosownych do szybkości zmian napięcia. Wyniki zapisujemy w tabelce. Pomiar powta- rzamy dla innej pojemności kondensatora C.

Tabela 1 t[s]

U[V]

2. Jeśli układ umożliwia pomiar prądu rozładowania poprzez mikroamperomierz (rys. 4b) może- my dokonać w podobny sposób pomiaru prądu rozładowania kondensatora przez opór 1MΩ lub 2 MΩ (wówczas należy odłączyć woltomierz). Kondensator ładujemy wciskając przycisk

„ŁAD” a następnie jeden z przycisków: „1MΩΩΩΩ” lub „2MΩΩΩΩ”. Rozładowanie rozpoczynamy wyciskając przycisk „ŁAD” (jeden z przycisków: „1MΩΩΩ” lub „2MΩΩ ΩΩΩ” pozostaje wciśnięty).

Opracowanie.

1. Sporządzić wykres zależności napięcia U w funkcji czasu t rozładowania kondensatora (ewen- tualnie natężenia prądu I w funkcji czasu t jeśli pomiary I(t) wykonano).

2. Sporządzić wykres zależności lnU w funkcji czasu t. Metodą najmniejszych kwadratów (patrz I pracownia fizyczna J. L. Kacperski, K. Niedźwiedziuk) wyznaczyć parametry a i b prostej y = a + bx.

Parametry a i b można wyznaczyć bezpośrednio korzystając z wykresu (prostą w takim przy- padku wykreślamy metodą graficzną).

Uo

=ln a

∆t tgα ∆lnU

b= = ,

t U ln RC

1

∆

=∆

− ,

∆t = t₂ – t₁ ,

∆lnU = lnU2 – lnU1 ,

1 2

U ln U ln

t t U

ln RC t

−

− −

∆ =

− ∆

=

ττττ .

lnU_o

∆∆∆

∆t

∆

∆lnU lnU

t [s]

α α α α

0

Rys.6 Wyznaczanie parametrów a i b bez- pośrednio z wykresu

lnU₁

lnU₂

t1 t₂

(6)

Stosując tę uproszczoną metodę uzyskujemy wynik mniej dokładny, a ponadto trudniej jest oszacować błąd ∆τ.

3. Wyznaczyć stałą czasową τ (wzór (13)) i opór woltomierza cyfrowego znając pojemność kon- densatora C

C b

1 R C

− ⋅ τ =

= ( 15 )

4. Oszacować błędy pomiarowe ∆τ i ∆R.

b b b

b ∆

⋅ τ

= τ

∆

∆ ⇒ τ =

τ

∆ ( 16 )

C R

R C⋅



 



 ∆

τ + τ

= ∆

∆ ( 17 )

Przyjąć, że błąd względny pojemności ∆C/C = 0,1