Rozładowanie kondensatora

Rozładowanie kondensatora

I. Cel ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia U na kondensatorze C podczas jego rozła- dowania w funkcji czasu t: U = U(t), wyznaczenie stałej czasowej τ = RC.

II. Przyrządy: interfejs (konsola) CoachLabII⁺, woltomierz różnicowy 210i (czujnik na- pięcia), źródło prądu stałego o napięciu U_o = 4÷6V, 2 kondensatory o po- jemności 470 µF oraz 1 kondensator o pojemności 4,7 µF, 2 oporniki o war- tościach 6,25kΩ i 12,50 kΩ, płytka montażowa..

III. Literatura: 1. A.Portis Laboratory Physics.

2. A.H.Piekara Elektryczność i magnetyzm.

3. E.M.Purcell Elektryczność i magnetyzm.

4 Coach 5 – Zeszyt ćwiczeń.

5 Instrukcja pracowniana T−0 – Możliwości systemu Coach.

IV. WPROWADZENIE

Okładki kondensatora o pojemności C podłączamy do źródła stałego napięcia Uo (rys.1, klucz K w położeniu 1). Kondensator bardzo szybko naładuje się do napięcia Uo. Przełączając klucz K w położenie 2 odłączamy źródło ładujące kondensator i zamykamy obwód zawierający opór R.

Nastąpi rozładowanie kondensatora przez opór R.

Popłynie prąd o malejącym natężeniu co wskaże mikroamperomierz. Chwilowa wartość tego prądu:

R

I = U. (1)

Ubytek ładunku kondensatora w czasie dt oznacza- my przez −dq. Chwilowa wartość natężenia prądu I:

dt

I=−dq. (2)

Uwzględniając równanie (1) mamy zatem R

U dt

dq =− (3)

Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek:

U C

q= ⋅ . (4)

Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy:

RC q dt

dq =− (5)

Z równania (5) wynika, że prędkość ubywania ładunku kondensatora dq/dt jest proporcjonalna do chwilowej wielkości q. W miarę upływu czasu ubywanie ładunku początkowo zachodzi szybko a później wskutek zmniejszania się q coraz wolniej.

Uo

C

µ µµ µA

U R K

−−−−q + +q

−−−−

1 2 I

Rys. 1

RC dt q

dq =− . (6)

Jest to proste równanie różniczkowe. Rozwiązaniem tego równania (przy uwzględnieniu, że dla t

= 0 mamy q = qo) jest funkcja:

RC t o e q

q= ⋅ ⁻ . (7)

Uwzględniając zależność (4) mamy relacje:

q = U⋅C i q_o = U_o⋅C (8)

i otrzymujemy U=U_o⋅e^−tRC (9)

gdzie Uo napięcie kondensatora w chwili t = 0.

Ponieważ

dt

I=−dq, więc przy uwzględnieniu zależności (7) otrzymujemy

( )

RC t o

RC t

o e I e

RC q 1

e dt q

I d ⁻ ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻



 

−

⋅

−

=

⋅

−

= (10)

gdzie Io jest prądem płynącym przez opór w chwili t = 0.

Równania (7), (9) i (10) wyrażają zależność ładunku q, napięcia U i natężenia prądu I w funkcji czasu t. Zależność ta jest funkcją wykładniczą, malejącą w miarę upływu czasu t. Wykres 2 przed- stawia zależność U(t) i podstawowe własności krzywej wykładniczej rozładowania kondensatora.

Iloczyn RC ma wymiar czasu i nazywa się stałą czasową (obwodu RC) lub charakterystycznym czasem relaksacji. Zwykle oznaczamy τ = RC. Dla t = RC = τ mamy:

3679 , 0 U e

U ₁

o

=

= ⁻ (11)

W czasie t = τ ładunek q, napięcie U, natężenie prądu I maleją e krotnie (2,72 razy). Po upływie tego czasu kondensator zawiera 36,8% ładunku początkowego.

Z każdego ze wzorów (7), (9) i (10) można otrzymać związek między t₁₂ i τ (po uwzględnieniu relacji

2 1 q

q

o

= lub

2 1 U

U

o

= lub 2 1 I

I

o

= ). Na podstawie np. równania (7) mamy ^RC

t

o

2 1

2 e 1 q

q = = ⁻ . Po U[V]

0,5Uo

Uo

2 t

t1 ττττ 2ττττ 3ττττ 0

0,693ττττ

0,368Uo

Rys. 2 Wykres zależności = ⋅ ^−τ

t o e U U

prostych przekształceniach algebraicznych (po zlogarytmowaniu obu stron tego równania) otrzy- mamy

τ

⋅

=

⋅

=RC ln2 0,69315

t₁₂ (12)

Odkładając na osi x czas t w jednostkach t₁₂ a na osi y wielkości q/qo, U/Uo lub I/Io otrzymamy dobrą ilustrację wykładniczych zależności (7), (9) i (10).

V. Układ pomiarowy, metoda pomiarów.

V.1. Układ pomiarowy.

Płytka montażowa (rys. 5) zawiera jedną parę zacisków laboratoryjnych do podłączenia źródła napięcia stałego (Uo = 4 ÷ 6V), dwie pary gniazdek radiowych (oznaczonych cyframi „1” i „2”) do podłączenia płytek z kondensatorami oraz gniazdka do podłączenia oporników i czujnika na- pięcia (woltomierza). Funkcję kluczy K1 i K2 pełnią wyłączniki klawiszowe umieszczone na płyt- ce.

o o

o I

I U

U q

q , ,

Rys. 3 W każdym przedziale czasowym t₁₂ładunek, napięcie i natężenie prądu maleją o połowę.

2 1 1

t

2

t1

2 3t₁₂ 4t¹²

2

t1

4 1

16 8 1 1

a)

Rys. 4 Schemat połączeń układu pomiarowego. Rozładowanie kondensatora: a) przez opór R (R << RV), b) przez opór wewnętrzny RV woltomierza.

K₁ K₂

Uo C

+

−−−− R V

R = RV

K₁ K₂

Uo C

+

−−−− V

b)

Czujnik napięcia podłączamy do gniazdek oznaczonych symbolem woltomierza – czerwona końcówka do gniazdka o wyższym potencjale, czarna do gniazdka o niższym potencjale. Przewód wyjściowy z wtykiem BT podłączamy do wejścia „1” lub „2” konsoli pomiarowej. Opór we- wnętrzny użytego czujnika napięcia jest większy od 1 MΩ (10⁶ Ω).

W przypadku schematu z rysunku (4a) czujnik mierzy napięcie na oporniku R i jednocześnie na kondensatorze C. Na rys.(4b) czujnik pełni rolę oporu R, przez który zachodzi rozładowanie kondensatora a wskazywane przez czujnik napięcie jest różnicą potencjałów na okładkach kon- densatora C. Przy zamkniętych obu kluczach K1 i K2 czujnik napięcia wskazuje różnicę potencja- łów między okładkami kondensatora naładowanego do napięcia źródła U_o.

V.2. Metoda pomiaru V.2.1 Metoda I

Doświadczalne punkty pomiarowe opisuje matematyczna postać funkcji dopasowania typu:

f(x) = a⋅exp(bx) + c ( 13 )

Funkcję dopasowania znajduje się wykorzystując odpowiednie narzędzie oprogramowania zawar- te w np. Coach 5, Excel.

Porównując przewidywaną przez teorię postać funkcji rozładowania kondensatora (równanie (9)) z funkcją dopasowania (13)

c ) bx RC exp(

exp t

U_o = +



 

−

= a (14)

znajdujemy doświadczalną wartość stałej czasowej τ układu

b RC 1 1

RC

b 1 ⇒ τ= =−

−τ

=

−

= (15)

Wymiarem stałej τ jest sekunda [s].

C R

v

C

K1 K2

U_o < 6V

1 2

Rys. 5 Płytka montażowa układu pomiarowego i czujnik napięcia.

Differential voltage -10 +10V 0210i do konsoli pomiarowej

wejście „1” lub „2”

przyciski kluczy K1 i K2

V.2.2 Metoda II

Logarytmując równanie (9) otrzymujemy

RC

U t ln U

ln = _o − (16)

Przyjmując: y = lnU, a = lnUo , b = RC

− 1 , x = t otrzymujemy prostą y = a + bx o parametrach a i b. Znajdując współczynnik nachylenia b prostej, znajdziemy stałą czasową τ ze związku

b

−1

=

τ (17)

oraz opór woltomierza

b C

1 R C

R _V

− ⋅ τ =

=

= (18)

VI. Wykonanie pomiarów

W ćwiczeniu badamy rozładowanie kondensatorów o różnej pojemności zachodzące przez opory o różnej wartości. Badamy następujące układy pojemności i oporności:

C = 470 µF, R = 6,25 kΩ,

C = 470 µF, R = 2×6,25 kΩ = 12,50 kΩ,

C = 2×470 µF = 940 µF, R = 6,25 kΩ,

C = 4,7 µF, R = RV = ? (obliczamy z pomiarów).

1. Zbuduj obwód wg schematu z rysunku (4a) używając płytki montażowej i dołączonych elemen- tów.

Jako źródło napięcia stałego (4 ÷ 6V) wykorzystaj baterię 4,5V lub stabilizowany zasilacz na- pięcia. Do gniazdek radiowych oznaczonych cyfrą „1” włóż płytkę „1” z kondensatorem o po- jemności C = 470 µF. Płytkę z opornikiem R = 6,25 kΩ włóż między gniazdka oznaczone symbolem oporu. Czerwoną i czarną końcówkę czujnika napięcia podłącz do wyjścia zbudo- wanego obwodu a przewód z końcówką BT połącz z wejściem „1” lub „2” konsoli pomiaro- wej.

2. Uruchom program Coach 5.

3. Kliknij ikonę czujnika napięcia (wejście „1” lub „2” na obrazie konsoli) prawym przyciskiem myszy, z menu wybierz Prezentuj wykres i umieść go np. w prawej górnej części ekranu, kli- kając lewym przyciskiem myszy po przeciągnięciu w tą część ekranu. W podobny sposób umieść tabelę w lewej górnej części ekranu.

4. W pasku narzędzi (góra) kliknij ikonę Nastawienie pomiaru. Można także wybrać ją z linijki menu Narzędzia. Nastaw czas pomiaru 35 s, częstotliwość 50 Hz.

5. Kliknij myszką w ikonę młotka lub prawym przyciskiem myszki obszar wykresu. Z otwartego okienka wybierz opcję Tworzenie/edycja wykresu. Otworzy się okienko jak na rys 6 z zazna- czonym polem Zbiór danych C1. Dla tego zbioru danych zaznacz lub dokonaj zmian we wła- ściwych polach:

Pokaż siatkę, Wielkość: t , Dziesiętne: 2 .

Następnie zaznacz Zbiór danych C2. Dla tego zbioru danych wpisz w odpowiednie pola jak na rys 7:

Dziesiętne: 3 Min: 0 Max: 10,00 , Znacznik Duża kropka , Rodzaj Brak .

6. Wciśnij na płytce montażowej oba klucze K₁ i K2 (przyciski czerwony i czarny). Kondensator zostaje naładowany.

7. Uruchom pomiar klikając lewym przyciskiem myszki w zielony kwadrat ikony (Start po- miaru) a następnie wyciśnij na płytce montażowej przycisk czerwony − klucz K1 zostaje otwarty i kondensator rozładowuje się przez opór R.

Uwaga: Można zakończyć pomiar w dowolnej chwili przez najechanie kursorem myszy i kliknię- cie w czerwony kwadrat ikony (Stop).

8. Wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (dodając tytuł, wartości pojemności C i oporu R)

9999.... Zapisz wyniki w programie Coach 5 w katalogu (projekcie) Pomiary w fizyce. Pozwoli to wracać wielokrotnie do tych danych w celu wykonania ich analizy. W tym celu:

• najedź kursorem myszy na ikonę zapisu wyników (lewa strona górnej części ekranu i klik- nij lewym przyciskiem myszy. Otworzy się okno Zapisz wyniki jako,

• w polu opis umieść swoją nazwę pliku danych np. Rozładowanie XY1.

10. Usuń z wykresu wszystkie wartości pomiarów – opcja jest dostępna po kliknięciu myszką w ikonę młotka.

11. Zmień opornik R w obwodzie na dwukrotnie większy − 12,50 kΩ (druga płytka z oporni- kiem).

12. Przeprowadź pomiar wg punktów 6 ÷÷÷÷ 10. Zapisz nowe wyniki (patrz punkt 9) w pliku pod nazwą Rozładowanie XY2. Pamiętaj o dokonaniu aktualizacji okienka adnotacji wykresu.

13. Włóż płytkę „2” z kondensatorem o pojemności C = 470 µF do gniazdek radiowych oznaczo- nych cyfrą „2”. Sumaryczna pojemność obwodu jest teraz dwukrotnie większa i wynosi C = 940 µF. Opornik zmień na poprzedni o wartości R = 6,25 kΩ.

14. Przeprowadź pomiar wg punktów 6 ÷÷÷÷ 10. Zapisz nowe wyniki (patrz punkt 9) w pliku pod nazwą Rozładowanie XY3.

Rys. 6 Rys. 7

15. Wyjmij płytki z kondensatorami (oznaczone cyframi „1” i „2”) oraz płytkę z opornikiem.

Umieść płytkę z kondensatorem o pojemności C = 4,7 µF (czerwony) w miejscu przewidzia- nym do montażu kondensatora (np. pozycja „1”).

Zmień czas pomiaru na 35 sekund (w pasku narzędzi (góra) kliknij ikonę Nastawienie po- miaru i w otwartym okienku dokonaj zmiany ustawienia).

16. Przeprowadź pomiar wg punktów 6 ÷÷÷÷ 10. Zapisz nowe wyniki (patrz punkt 9) w pliku pod nazwą Rozładowanie XY4.

VII. Opracowanie otrzymanych wyników

Opracowanie będzie polegało na uzyskaniu 4 wykładniczych wykresów napięcia rozładowania kondensatora U = U(t), uzyskania parametru b krzywej i na jej podstawie obliczenie stałej czaso- wej τ = RC (patrz wzory (14) i (15)).

Dla układu C = 4,7 µF i R = RV należy wykonać również wykres w układzie współrzędnych (y

= lnU, x = t). policzyć współczynnik b i obliczyć opór czujnika R_V (wzory (16), (17), (18)).

1. Wczytaj wyniki zapisanie pod nazwą Rozładowanie XY1.

2. Odczytaj wartość czasu t = to, dla którego rozpoczęło się rozładowanie kondensatora. Jest to czas odpowiadający ostatniej największej wartości napięcia na kondensatorze. W tym celu:

2.1 Powiększ wykres na cały ekran i wybierz kursorem myszki interesujący cię frag- ment wykresu (rys 8).

2.2 Kliknij w obszar wykresu prawym przyci- skiem myszki i z otwartego okienka wy- bierz opcję Odczytuj wartości.

2.3 Najedź kursorem krzyżyka na interesujący cię punkt (ostatni o maksymalnej wartości napięcia) i w górnym prawym okienku od- czytaj wartość odpowiadającego mu czasu to.

2.4 Wyłącz tryb odczytu. Kliknij prawym przyciskiem myszki w wykres i z otwartego okienka wybierz Zakończ odczyt wartości.

3. Wróć do pierwotnej postaci wykresu. Kliknij wykres prawym przyciskiem myszki i wybierz opcję Pomniejsz.

4. Dokonaj przesunięcia osi czasu wykresu tak, by początek krzywej rozładowania znajdował się dla chwili t = 0. W tym celu:

4.1 Wybierz opcję Tworzenie/Edycja wykresu (kliknij wykres prawym przyciskiem myszki

− otworzy się okienko wyboru)).

4.2 W otwartym okienku zaznacz zbiór danych C3: Zbór danych C1 C2 C3 C4 C5 . 4.3 Dla tego zbioru wprowadź Wzór w pole Źró-

dło danych: Wzór . Okno się zmieni i za- znacz w nim Oś:  Pozioma.

4.4 Kliknij lewym przyciskiem myszki w ikonę kapelusza. W polu edycji wzoru wprowadź wzór używając dostępnych symboli i znaków oraz zmierzonego czasu t : t – t.

Rys.8

t = t_o

4.5 Wpisz w pola:

Wielkość: t1 , Jednostka: s ,

Dziesiętne: 2 Min: 0 Max: 30 ,

5. Dokonaj selekcji danych. Z okienka opcji wykresu wybierz Przetwarzanie>Selekcja danych.

W otwartym oknie Wybór/Usuwanie danych:

w polu Metoda zaznacz Zakres (może już być ustawiony),

wybierz przedział czasowy 0 − (3÷4)t1/2,

zaznacz  Wybierz i kliknij OK.

6. Dopasuj obszar wykresu do punktów pomiarowych – kursorem myszki lub opcją Dopasuj ska- lę. Powiększ wykres na cały ekran.

7. Dopasuj funkcję do punktów pomiarowych.

Wybierz opcję Analiza>Dopasowanie funkcji. Otworzy się okno Dopasowanie funkcji:

• w polu Funkcja wybierz funkcję postaci a⋅⋅⋅⋅exp(bx) + c ,

• kliknij Auto i zapisz uzyskaną postać funkcji (współczynniki a, b, c),

• zaznacz  Dodaj wykres (jeśli nie jest zaznaczony) i kliknij OK.

• wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (tytuł, postać funkcji dopasowania), Zapisz wyniki pod nazwą Rozładowanie XY1_1 a wykres do swojego pliku Word’a.

8. Powtórz procedurę z punktów 2 ÷ 7 dla wyników zapisanych w plikach Rozładowanie XY2 i Rozładowanie XY3 (każdy plik najpierw otwieramy).

9. Wczytaj wyniki zapisanie pod nazwą Rozładowanie XY4 (rozładowanie przez opór czujnika).

Powtórz procedurę z punktów 2 ÷ 7 prowadzącą do uzyskania parametrów krzywej rozłado- wania kondensatora dla wczytanych wyników.

10. Dla pliku Rozładowanie XY4 przekształć wykładniczą krzywą rozładowania w funkcję li- niową korzystając z programu Excel. W tym celu przejdź do trybu tabeli (lub tabeli i wykre- su) oraz

10.1 Zmniejsz liczbę punktów pomiarowych do ok. 150:

• kliknij prawym przyciskiem myszki tabelę i z otwartego okienka wybierz Wiersze>Wytnij,

• w odpowiednich polach (okno obok) wpisz:

Pierwszy 1 (pierwszy wiersz), Ostatni end (ostatni wiersz), Krok: taki, by

150 ersz ostatni wi krok =





 Zachowaj wiersze

10.2 Zaznacz kolumnę czasu i napięcia i przekopiuj je poprzez schowek do programu Excel.

10.3 Wykonaj w Excelu wykres zależności ln(U) w funkcji czasu t.

Oblicz współczynnik nachylenia prostej b (patrz wzór (16)) oraz jego niepewność ∆∆∆∆b (wykorzystaj do tego celu funkcję REGLINP).

11. Dla każdej krzywej rozładowania oblicz wartość stałej czasowej τ ze wzoru (15):

b RC=−1

= τ

oraz wartość czasu t_1/2 = 0,693⋅τ (patrz wzór (12)).

Oblicz wartości stałych czasowych wynikające z podanych wartości nominalnych pojemności i oporności.

Dla pojemności C = 4,7 µF i R = R_V oblicz stałą czasową τ także ze znajomości współczyn- nika kierunkowego b prostej wzór (17). Następnie oblicz opór czujnika RV (wzór (18)):

C b

1 R_V C

− ⋅ τ =

=

VIII. Analiza wyników

1. Jak zwiększenie pojemności i oporności obwodu wpływa na wartość stałej czasowej τ ?

2. Czy dwukrotne zwiększenie pojemności lub oporu, przez który ten kondensator rozładowuje się wpłynęło na dwukrotny wzrost doświadczalnej wartości τ?

3. Zaznacz na wykresach napięcie U odpowiadające czasowi t1/2. Czy wartość U(t_1/2) jest równa Uo/2?

4. Podaj wartość oporu czujnika napięcia wraz z niepewnością.

Ze wzoru (18) wynika następujący wzór na niepewność ∆RV:

V

V R

C C b

R b ⋅

 



 ∆

∆ +

±

=

∆

Przyjmij, że błąd względny pojemności ∆C/C = 0,1 Wynik podaj w postaci:

R = RV ± ∆RV

Dodatek

I. Kondensatory użyte w ćwiczeniu

W ćwiczeniu użyto dwóch kondensatorów tantalowych o pojemności 470 µF każdy i tolerancji ±20%. Polaryzacja kondensatora – plus od strony paska na kondensatorze patrz rys. obok.

Trzecim kondensatorem wykorzystanym jest kondensator foliowy o pojemności 4,7 µF i tolerancji ±10%.

Kondensatory tantalowe

Kondensatory elektrolityczne, w których elektroda metaliczna wykonana jest z tantalu. Warstwę dielektryczną tworzy pięciotlenek tantalu (Ta₂O₅). Właściwości:

• wysoka odporność na warunki zewnętrzne,

• niewielkie rozmiary: dla pojemności mniejszych od kilkuset µF porównywalne lub mniej- sze od kondensatorów aluminiowych o tym samym maksymalnym napięciu przebicia.

• mniejszy niż w przypadku mokrych kondensatorów aluminiowych prąd upływu.

Kondensatory foliowe

Dielektrykiem jest folia z tworzywa sztucznego np. poliestrowa (kondensatory oznaczane są wte- dy jako MKSE). Elektrody mogą być napylone na tę folię lub wykonane w postaci osobnej folii metalowej, zwijanej lub prasowanej wspólnie z folią dielektryka

II. Wykorzystanie funkcji REGLINP do obliczania parametrów prostej i ich błędów (Excel).

1. Wprowadź formułę funkcji do dowolnej komórki arkusza, która będzie rogiem tablicy (np.

przy pomocy ikony fx lub z menu WstawFunkcja). Odnajdujemy funkcję REGLINP i za- znaczamy ją. Klikamy myszą OK. – otwiera się okienko formuły:

znane y zaznaczamy kolumnę y znane x zaznaczamy kolumnę x stała pusta

statystyka prawda

2. Zakończ wprowadzanie formuły przez kliknięcie myszą w kwadrat z OK (w okienku for- muły). Formuła wpisze się tylko do jednej komórki przewidywanej tablicy.

3. Zaznacz obszar przewidywanej tablicy rozpoczynając od komórki z formułą. W tym celu ustawiamy kursor w komórce z formułą i przy wciśniętym lewym klawiszu myszy przecią- gamy zaznaczając wymagany obszar (dwie kolumny i 5 wierszy).

4. Uaktywnij edycję formuły przez wprowadzenie kursora na koniec wiersza edycyjnego (góra ekranu) i kliknięcie.

5. Zaakceptuj formułę za pomocą klawiszy CTRL+ SHIFT + ENTER.

W tabelce pojawią się liczby. Ich znaczenie podaje tabelka poniżej:

m – współczynnik kierunkowy prostej, b – wyraz wolny,

se – błąd standardowy współczynnika kierunkowego, seb – błąd standardowy wyrazu wolnego.

m b

se seb

r2 sey

F df

ssreg ssresid

+