Algebra 2 dla MSEM , 2019/2020 ćwiczenia 4. – rozwiązania
5 marca 2020
1. Udowodnij, że jeśli w pewnej dziedzinie a ∼ b oraz c ∼ d, to ac ∼ bd.
Rzeczywiście, to znaczy, że a∣b oraz c∣d, czyli aa′=b oraz cc′=d, zatem aca′c′=bd, czyli ac∣bd. Analogicznie dowodzimy, że bd∣ac.
2. Wskaż wielomiany stopnia > 1, które są elementami nierozkładalnymi odpowiednio w pierścieniach Z3[x]
oraz Q[x].
Ponieważ Z3i Q to ciała, wystarczy wskazać takie wielomian drugiego stopnia, które nie mają nad tymi ciałami pierwiastków, bowiem każdy wielomian nad ciałem K z pierwiastkiem a ∈ K dzieli się przez (x−a).
Takimi wielomianami są, na przykład, odpowiednio x2+1 oraz x2−2.
3. Udowodnij, że liczba 3 jest nierozkładalna w pierścieniu Z[
√
−5].
Załóżmy przeciwnie, że 3 = (a + b
√
−5)(c + d
√
5). Wtedy 9 = ∣a + b
√
−5∣2∣c + d√
5∣2= (a2+5b2)(c2+5d2). Wobec tego albo a2+5b2=c2+5d2=3, albo a2+5b2=1 lub c2+5d2=1. Ale ta pierwsza ewentualność nie może zajść, a ta druga tylko jeśli a = ±1 i b = 0 lub c = ±1 i d = 0, ale wtedy jeden z czynników to ±1, czyli jest odwracalny, więc 3 jest nierozkładalnym elementem.
4. Wykaż, że pierścień Z[√
−6] nie jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.
Zauważmy, że 2 ⋅ 3 = 6 =√
−6 ⋅ (−√
−6). Oczywiście, te elementy są nierozkładalne. Rzeczywiście, np. jeśli 2 = (a + b√
−6)(c + d√
−6), to 4 = (a2+6b2)(c2+6d2), ale jeśli to niemożliwe, że któryś z tych nawiasów to 2, zatem któryś z tych nawiasów to 1, ale to oznacza, że jeden z tych wyrazów to 1 lub −1, czyli element odwracalny. Bardzo podobnie wygląda dowód dla 3.
Podobnie
√
−6 nie jest odwracalny, bowiem jeśli
√
−6 = (a + b
√
−6)(c + d
√
−6), to 6 = (a2+6b2)(c2+6d2).
Jak już ustaliliśmy, żaden z tych nawiasów nie może być równy 2 ani 3, więc ponownie jeden z nich musi być równy 1.
Zauważmy jeszcze, że jeśli (a+b
√
−6)(c+d
√
6) = 1, to (a2+6b2)(c2+6d2) =1, czyli jedynymi odwracalnymi elementami w Z[
√
−6] są 1 i −1. Zatem 2 ani 3 nie jest stowarzyszone z
√
−6.
5. Wykaż, że każdy element pierwszy w dziedzinie P jest nierozkładalny.
Załóżmy, że p jest pierwszy oraz p = ab. W takim razie p∣ab, zatem p∣a lub p∣b. Załóżmy to pierwsze. Wtedy p∣a, ale też a∣p, czyli a ∼ p. Zatem b jest elementem odwracalnym.
6. Wykaż, że jeśli d oraz d′są największymi wspólnymi dzielnikami elementów a, b dziedziny P , to d ∼ d′. Z definicji faktu, że d′jest NWD a i b oraz tego, że d∣a oraz d∣b, wynika, że d∣d′. Podobnie wnioskujemy, żeby udowodnić, że d′∣d.
7. Wykazać, że w pierścieniu Z[
√
−6] nie istnieje NWD elementów 6 oraz 10
√
−6.
Zauważmy, że obie te rzeczy są podzielne przez 2 i
√
−6. Tymczasem nie jest prawdą, że 2∣
√
−6, bo jeśli 2(a + b
√
−6) =
√
−6, to 4(a2+6b2) =6, co nie jest możliwe – i na odwrót,
√
−6 nie dzieli 2, bowiem jeśli
√
−6(a + b
√
−6) = 2, to 6(a2+6b2) =4, co też nie jest możliwe.
8. Wskazać w pierścieniu Z[
√
−6] dwa różne od zera i nieodwracalne elementy, dla których istnieje NWD.
Np. 2 oraz 3. Rzeczywiście, argumenty użyte już wcześniej pokazują, że 2 i 3 są nierozkładalne, a zatem jedynym ich wspólnym dzielnikiem jest 1.
1
9. Udowodnij, że ideał generowany przez element nierozkładalny w dziedzinie ideałów głównych jest maksy- malny.
Niech p będzie nierozkładalny. W takim razie nie jest odwracalny, czyli (p) ≠ P . Niech (p) ⊆ I. Ponieważ P jest dziedziną ideałów głównych, to I = (q) dla pewnego q ∈ I. Ale skoro (p) ⊆ q, to q∣p, a zatem skoro p jest nierozkładalny, q ∼ p lub q jest odwracalny. W pierwszym przypadku I = (q) = (p), w drugim I = (q) = P . 10. Niech P będzie dziedziną ideałów głównych oraz niech a, b ∈ P będą niezerowe. Udowodnij, że wtedy
d ∼ nwd(a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy (d) = (a, b).
Niech (d) = (a, b) Zatem d ∈ (a, b), czyli istnieją c, c′, że d = ca + c′b. Więc jeśli d′∣a oraz d′∣b to d′∣d. Co więcej, skoro a, c ∈ (d), to d∣a oraz d∣b, czyli d ∼ nwd(a, b).
Odwrotnie, jeśli d ∼ nwd(a, b), to zauważmy, że (a, b) jest główny, więc (a, b) = (d′), ale skoro a, b ∈ (d′), to na mocy pierwszej części dowodu d′∼nwd(a, b) zatem d ∼ d′ i w takim razie (d) = (d′) = (a, b).
11. Udowodnij, że Z[x] nie jest dziedziną ideałów głównych.
Ideał (2, x) nie jest główny. Rzeczywiście, jeśli (2, x) = (w) to 2, x ∈ w, ale to znaczy, że w = 1, ale 1 ∉ (2, x).
12. Udowodnij, że pierścień Z[i] jest dziedziną euklidesową.
Rozważmy normę N (a+bi) = a2+b2= ∣a+bi∣2. Jest to norma z własności modułu na liczbach zespolonych. Ta norma jest euklidesowa, bowiem jeśli (a+bi), (c+di) ∈ Z[i], to niech e+f i = (a+bi)/(c+di) ∈ C oraz e, f ∈ Q.
Niech e′, f′∈Z będą takie, że ∣e−e′∣ ≤1/2 oraz ∣f −f′∣ ≤1/2. Wtedy niech r = (a+bi)−(c+di)(e′+f′i) ∈ Z[i]
oraz r
c + di =e + f i − (e′+f′i), czyli
N (r) = ∣r∣2= ∣(c + di)(e + f i − (e′+f′i)) = N (c + di)∣e + f i − (e′+f′i)∣2≤N (c + di)(1/4 + 1/4) < N (c + di).
13. Znajdź nwd(1886, 1610) w Z oraz takie liczby x, y ∈ Z, że 1886x + 1610y = nwd(1886, 1610).
1886 = 1610 + 276, 1610 = 5 ⋅ 276 + 230, 276 = 230 + 46, 230 = 5 ⋅ 46, zatem nwd(1886, 1610) = 46.
276 = 1886−1610, 230 = 1610−5(276) = −5⋅1886+6⋅1610, 46 = 276−230 = 1886−1610−(−5⋅1886+6⋅1610) = 6 ⋅ 1886 − 7 ⋅ 1610.
2
