ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚLĄ S K IE J Seria: A U TO M A TY K A z. 134
2002 N r kol. 1554
Piotr FO R M A N O W IC Z Politechnika P oznańska
Instytut Chemii B ioorganicznej Polskiej Akadem ii N auk
ALGORYTMY TABU SEARCH DLA PROBLEMÓW SZEREGOWANIA ZADAŃ NA JEDNEJ MASZYNIE Z OGRANICZONA DOSTĘPNOŚCIĄ
S tr e s z c z e n ie . W p racy zaprezentow ano algorytm y o p a rte n a m eto d zie ta b u d la problem ów szeregow ania zad ań niepodzielnych n a jednej m aszynie z okresam i niedostępności i k ry te riu m m inim alizacji długości uszeregow ania, sum y czasów zakończenia z a d ań oraz m aksym alnego opóźnienia. Jakość zaprezentow anych al
gorytm ów p rze b ad an o w obszernym eksperym encie obliczeniowym.
TABU SE A R C H A L G O R IT H M S F O R SC H E D U L IN G TA SK S ON A SINGLE M A C H IN E W IT H L IM IT E D A V A ILA BILITY
S u m m a r y . In th e p a p e r alg o rith m s b ased on ta b u search m e th o d for scheduling non-preem ptable ta sk s on a single m achine w ith lim ited availability have been presented. T h e criterio n functions to b e m inim ized are th e m akespan, th e to ta l com pletion tim e, a n d th e m axim um lateness. T h e q uality o f th e algorithm s h as been exam ined in an extensive co m p u tatio n al experim ent.
1. Wprowadzenie
W determ inistycznej teorii szeregow ania za d ań n a ogół przy jm u je się, że m aszyny dostępne są w sposób ciągły. Założenie to , m im o iż pow szechnie akceptow ane, nie zawsze jest dobrze u zasadnione z p raktycznego p u n k tu w idzenia. W realnym świecie często się zdarza bowiem, że m aszyny są w pew nych okresach n iedostępne d la p rze tw arzan ia zadań.
Okresy te m ogą być b ąd ź nie być zn an e z góry. W ty m drugim p rzy p a d k u m ogą one wynikać np. z awarii m aszyn. W p racy zajm ujem y się m odelam i, w któ ry ch okresy takie znane są z góry. M ogą być one re z u lta te m m . in. realizacji zaplanow anych wcześniej prac konserwacyjnych, stosow ania algorytm ów p lanow ania z przesuw anym horyzontem
116 P. Formanowlr-
czasow ym , m ogą się też p ojaw iać w system ie kom puterow ym w p rzy p a d k u wykonywania z a d a ń o różnych p rio ry teta ch .
A lgorytm y planow ania z przesuw anym horyzontem czasowym stosow ane są sto
sunkow o często ze w zględu n a fakt, że większość problem ów planow ania produkcji ma n a tu rę d ynam iczną. O znacza to , że dan e wejściowe d la ta k ich problem ów często są ak tualizow ane w trak cie trw a n ia procesu produkcyjnego. N atu ra ln y m podejściem do rozw iązyw ania tego ty p u problem ów je s t ustaw ienie nowego hory zo n tu czasowego, gdy je s t to u zasad n io n e z m ian ą dan y ch wejściowych. Je d n a k ze w zględu n a występowank ró żnorodnych ograniczeń, m. in. technologicznych, nierzadko konieczne je s t przyjęci:
pew nej części dotychczas ustalonego p la n u z a niezm ienną, co oczywiście ogranicz;
dostęp n o ść m aszyn d la szeregow ania kolejnych zadań.
Z kolei w system ie kom puterow ym , w k tó ry m szeregow ane są dw ie grupy zadań -o niskim i w ysokim p riorytecie, ta k ich że te o sta tn ie m a ją określone m om enty gotowosd oraz linie krytyczne, konieczne je s t uszeregow anie w pierw szej kolejności z a d a ń z drugi:;
grupy. Ponow nie, o g ranicza to dostępność procesorów d la szeregow ania z a d a ń o nisMn priorytecie. P ro c e d u ra szeregująca “p o strze g a” okresy, w k tó ry ch procesory zostały przy
dzielone do za d ań o priorytecie wysokim jako okresy ich niedostępności.
P ro b lem y szeregow ania z a d a ń z ograniczoną dostępnością m aszyn od pewnego czas;
coraz b ardziej p rzy c iąg a ją uw agę badaczy. L ite ra tu ra dotycząca tego n u rtu teorii szere
gow ania nie je s t jeszcze zbyt obszerna, ty m niem niej istn ie ją ju ż ciekawe prace poświęcę:;
tego ty p u zagadnieniom . P rzeg ląd tak ich p ra c m ożna znaleźć m. in. w [6] oraz [3].
N iniejsza p ra c a dotyczy jednom aszynow ych problem ów szeregow ania zadań : ograniczoną dostępnością. D otychczas opublikow anych zostało zaledw ie kilka prr.' dotyczących tego ty p u zagadnień. W [1] zostało udow odnione, że problem szeregowali za d aii niepodzielnych n a m aszynie z je d n y m okresem niedostępności w celu minimalizsą sum y czasów zakończenia je s t N P -tru d n y . W p racy [5] p o d a n y został pro stszy dowód ter:
fak tu oraz p okazane zostało, że algorytm S P T zastosow any do rozw iązania tego probles d a je w n ajg o rszy m p rzy p a d k u rozw iązanie z błędem w zględnym nie w iększym niż I. ■ p rac y [4] p okazane zostało, że problem y szeregow ania z a d a ń niepodzielnych n a maszyna je d n y m okresem niedostępności s ą w ogólności N P -tru d n e i s ta ją się silnie N P-trudne, f:
okresów ta k ic h je s t dow olna liczba. W ty m sam ym arty k u le p o d an e zostały również o »
Algorytmy ta b u search d la problem ów szeregow ania zad ań 117
cowania błędów w zględnych algorytm ów L P T , ED D oraz algorytm u M oore’a-H odgsona zastosowanych do rozw iązania, odpow iednio, problem ów m inim alizacji długości uszere
gowania, m aksym alnego opóźnienia oraz liczby spóźnionych zadań. P o n a d to w p rac y tej został w prow adzony nowy ty p zadań, ch arak tery sty czn y d la problem ów z ograniczoną dostępnością - z a d a ń wznawialnych. W ykonyw anie za d ań tego ro d z a ju m oże zostać przer
wane wyłącznie ze w zględu n a rozpoczęcie okresu niedostępności m aszyny, a po jego zakończeniu je s t ono kontynuow ane bez dodatkow ego kosztu (n a tej sam ej m aszynie - z a d a
nia tego ty p u m ogą być oczywiście w ykonyw ane również w system ach wielom aszynow ych, stąd uwaga t a je s t konieczna). A u to r cytow anej p racy pokazał, że n iek tó re problem y, trudne obliczeniowo w p rzy p a d k u z a d ań niepodzielnych, s ta ją się łatw e w p rzy p a d k u zadań wznawialnych. N iektóre z w yników przedstaw ionych w [4] zostały rozszerzone n a przypadki problem ów z w ielom a okresam i niedostępności m aszyny w p rac ach [2] oraz [3].
Problemy szeregow ania zadań, w któ ry ch uw zględniona je s t okresow a niedostępność maszyn, są n a ogól tru d n iejsze (w sensie złożoności obliczeniowej) od swoich klasycznych odpowiedników [3]. Je st ta k zw łaszcza w p rzy p a d k u szeregow ania za d ań niepodzielnych.
Stąd też w ynika konieczność opracow yw ania algorytm ów dokładnych wyliczeniowych (wykładniczych), np. ty p u p o d ziału i ograniczeń, b ąd ź algorytm ów heurystycznych (wielo
mianowych), w szczególności m etaheurystycznych.
W pracy przedstaw ione są algorytm y o p a rte n a m etodzie ta b u d la problem ów szeregowania z a d a ń niepodzielnych n a jednej m aszynie ze znanym i z góry okresam i niedostępności. R ozw ażane są trz y k ry te ria optym alności uszeregowari: długość uszere
gowania, sum a czasów w ykonania za d ań oraz m aksym alne opóźnienie. R ozdział 2. zaw iera sformułowanie problem ów . W rozdziale 3. opisane są zaproponow ane algorytm y, n a to miast w rozdziale 4. zaprezentow ane są w yniki eksperym entów obliczeniowych. R ozdział 5. stanowi podsum ow anie.
2. Sformułowanie problemów
Dana je st je d n a m aszy n a oraz zbiór z a d ań T = { T i , ^ , . . . , Tn }. D la każdego z a d a
nia Tj, j = 1 , 2 , . . . , n określony je s t czas p rzetw arzan ia oraz być może żąd an y te rm in zakończenia d j. M aszyna może wykonyw ać co najw yżej je d n o zadanie w d an y m m om en
118 P. Formanowiw.
cie. P o n a d to je s t o n a n ie d o stę p n a w pew nych przedziałach czasu. O znaczm y przez s*. oraz h k , odpow iednio, m om ent rozpoczęcia oraz długość fc-tego okresu niedostępności. Niech
p o n a d to K będzie liczbą ta k ich okresów. W ykonyw anie żadnego z za d ań , jeżeli zostało rozpoczęte, nie m oże zostać przerw ane przed zakończeniem .
P ro b le m m inim alizacji długości uszeregow ania m ożna sform ułow ać w postaci n astęp u jące g o zagad n ien ia program ow ania m atem atycznego [2, 3]:
zm inim alizow ać C max (1)
p rzy ograniczeniach:
= 1, j = l , . . . , n (2)
1=1
J 2 z :i = 1, i = l , . . . , n (3)
j =i
zjt € { 0,1} , j = l , . . . , n ; l = l , . . . , n (4)
ii > 0 (5)
n
+ 1 2 P j zj ‘ < s k V U > s k + h k; Z = 1 , . . . , n; k = 1 , . . . , K (6) j= i
n
ij-H ^ i/ "ł~ P iz ji> Z = 1 , . . . , n 1 (1 i j=i
Cmoi = ,m ax < ii + >
1=1 n l 3=1 J
1, jeżeli zad an ie T j zn a jd u je się n a Z-tej pozycji w uszeregow aniu
(
8
)gdzie:
zśl =
|
1 0 w przeciw nym przy p ad k u
i; - m om ent rozpoczęcia w ykonyw ania z a d a n ia n a pozycji l.
R ów ności (2), (3) oraz (4) przyporządkow ują z a d an ia i pozycje w uszeregowaniu do siebie naw zajem . D zięki nierów ności (5) m om ent rozpoczęcia z a d a n ia znajdującego się n a pierw szej pozycji w uszeregow aniu nie może być ujem ny. N ierów ności (6) gwarantują, że żad n e z z a d ań nie będzie w ykonyw ane w czasie niedostępności m aszyny, z kolei dzięki nierów nościom (7) z a d an ia nie n a k ła d a ją się n a siebie w uszeregow aniu. Równość (8) stanow i określenie w artości Cmai-
Algorytmy ta b u search d la problem ów szeregow ania za d ań . 119
Jeżeli w zagadnieniu ( l) - ( 8 ) zam ienim y (8) n a
n n
¿m ai — ^ m ax \ ¿i 4“ ( PjZji 'y ' djZji
n
j =i j =i1=1 (9)
otrzymamy sform ułow anie problem u m inim alizacji m aksym alnego opóźnienia [2, 3],
Jeżeli n a to m ia st (8 ) zam ienim y n a
otrzymamy zagadnienie program ow ania m a tem atycznego d la problem u m inim alizacji sumy czasów zakończenia z a d a ń [2, 3].
3. Algorytmy
Jak ju ż zostało pow iedziane we W prow adzeniu, problem y szeregow ania zad ań niepodzielnych n a m aszynie z okresam i niedostępności są obliczeniowo tru d n e . W zw iązku z tym, w niniejszej p rac y zaproponow ano algorytm y heurystyczne o p a rte n a m etodzie ta b u search dla problem ów m inim alizacji długości uszeregow ania, sum y czasów zakończenia zadań oraz m aksym alnego opóźnienia.
Każdy z zaproponow anych algorytm ów ro zpoczyna przeszukiw anie p rzestrzeni rozwiązań od sekw encji za d ań zgodnej z tą , w jakiej w ystąp iły one w in stan c ji problem u.
Sąsiedztwo danego rozw iązania określone je s t jako zbiór tych w szystkich rozw iązań, któ re osiągalne są z niego przez zam ianę pozycji w uszeregow aniu dowolnej p a ry zadań.
W każdym kroku zaproponow anych algorytm ów ocen ian a je s t w artość odpow iedniej funkcji celu (C m ai, J 2 C j lub L max) d la każdego z rozw iązań należących do sąsiedztw a bieżącego rozw iązania. Z sąsiedztw a jako kolejne bieżące rozw iązanie w ybierane je s t to, które posiada n ajm n ie jsz ą w artość funkcji celu, n a to m ia st ruch, którego w ykonanie do
prowadziło do p rzejścia do w spom nianego nowego rozw iązania, w pisyw any je s t n a listę tabu. Oczywiście, ruchy z n a jd u ją ce się n a tej liście s ą zabronione i m ożna je w ykonać tylko w sytuacji, gdy p row adzą do osiągnięcia rozw iązania o najlepszej z d otychczas osiągniętych wartości funkcji celu (k ry te riu m aspiracji). Jeżeli algorytm w pew nym ciągu kroków , którego długość je s t p a ra m e tre m algorytm u, nie uzyskuje nowego rozw iązania o w artości
(
10)
120 P. Formanowir.?
funkcji celu m niejszej niż w artość poprzednia, w ykonyw ana je s t se ria ruchów losowych (której długość również je s t p a ra m e tre m algorytm u). Po w ykonaniu określonej z góry liczby cykli ruchy d eterm inistyczne - ruchy losowe, algorytm y za trz y m u ją się podając ja k o rozw iązanie najlepsze z uszeregow ań znalezionych w trak cie d ziała n ia m etody.
4. Wyniki eksperymentu obliczeniowego
Z aproponow ane algorytm y zostały przetestow ane w obszernym eksperymencie obliczeniow ym . W ygenerow ane zostały dw a zbiory instancji. Zbiór A zaw iera instancje przeznaczone do te sto w an ia algorytm ów m inim alizujących długość uszeregow ania oraz sum ę czasów zakończenia, n a to m ia st zbiór B - instan cje przeznaczone do testo w an ia al
g o ry tm u m inim alizującego m aksym alne opóźnienie. Sposób generow ania instancji był następujący. L iczba okresów niedostępności K przyjm ow ała w artości 2 ,4 ,6 ,8 ,1 0 , nato
m ia st liczba za d ań n w artości 1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 . D la każdej p a ry K i n wygenerowanych zostało 5 in stan c ji w każdym ze zbiorów. Długości okresów niedostępności oraz zadań losowane były z przedziału [1,100]. O prócz czasów w ykonyw ania za d ań oraz długości okresów niedostępności in stan c je zaw ierały również m om enty rozpoczęcia tych okresów, a in stan c je ze zbioru B również m om enty gotowości zadań.
Jakość rozw iązań otrzy m an y ch z a pom ocą zaproponow anych algorytm ów oceniono p orów nując je z rozw iązaniam i, w któ ry ch za d an ia z n a jd u ją się w kolejności niemalejących czasów w y konania (S P T ), nierosnących czasów w ykonania (L P T ) oraz w kolejnoścpzgod- nej z kolejnością żądanych term in ó w zakończenia (ED D ). Z aprezentow ane poniżej wyniki o trzy m an o za p o m o c ą m eto d , w któ ry ch lis ta ta b u m iała długość ró w n ą 10% liczby szere
gowanych za d ań , liczba ruchów bez p opraw y w artości funkcji celu, p o k tó ry ch następowała seria ruchów losowych, w ynosiła 10, liczba ruchów losowych w jednej serii w ynosiła 5, nato
m ia st liczba serii ruchów losowych, po k tó ry ch algorytm y zatrzym yw ały się, wynosiła 4.
W ta b lic ac h 1 i 2 przedstaw iono w yniki dotyczące jakości rozw iązań dostarczanych przez alg o ry tm ta b u d la problem u m inim alizacji długości uszeregow ania. K aż d a pozy
cja w ta b lic y 1 zaw iera śred n ią w artość sto su n k u (w artość k ry te riu m d la uszeregowania S P T )/(w a rto ś ć k ry te riu m d la uszeregow ania wygenerow anego przez alg o ry tm ta b u ). Dla każdej z in sta n c ji w ykorzystanych w eksperym encie obliczeniow ym alg o ry tm ta b u urn-
Algorytmy ta b u search d la problem ów szeregow ania zad ań 121
chomiony zo stał 5 razy. P o n a d to , ja k zostało pow iedziane w cześniej, d la każdej p a ry K i n wygenerowanych zostało 5 in stan cji. Ś rednia, o której mowa, obliczona je s t d la 25 uruchomień alg o ry tm u - 5 uruchom ień d la każdej z pięciu in stan c ji d la danej p a ry K , n.
Tablica 2 zaw iera analogiczne w yniki porów nań z uszeregow aniam i L P T .
T ablica 1 P o rów nanie uszeregow ań S P T i ta b u - k ry teriu m C max L iczba z a d ań L iczba okresów niedostępności
2 4 6 8 10
10 1.10 1.84 1.13 1.35 1.09
20 1.06 1.97 1.87 1.23 1.03
30 1.06 1.75 16.34 1.14 1.07
40 1.04 1.08 1.35 1.87 1.02
50 1.02 1.07 1.38 1.10 2.54
T ablica 2 P o rów nanie uszeregow ań L P T i ta b u - k ry teriu m Cmax L iczba zad ań L iczba okresów niedostępności
2 4 6 8 10
10 1.12 1.13 1.02 1.01 1.06
20 1.07 1.18 1.30 1.30 1.04
30 1.06 1.37 1.50 1.54 1.09
40 1.04 1.10 1.09 2.04 1.05
50 1.03 1.10 1.70 1.15 1.14
Z uzyskanych rez u ltató w w ynika, że uszeregow ania S P T oraz L P T są dłuższe niż usz
eregowania w ygenerow ane przez algorytm ta b u , p rzy czym uszeregow ania S P T i L P T mają zbliżoną jakość z p u n k tu w idzenia k ry teriu m C max.
122 P. Formanowif-7.
T ablice 3 oraz 4 za w ierają inform acje dotyczące jakości uszeregow ań znajdowanych przez alg o ry tm ta b u m inim alizujący sum ę czasów zakończenia zadań. Sposób przedsta
w ienia tych inform acji je s t analogiczny ja k w p rzy p a d k u ta b lic 1 i 2.
T ab lica 3 P orów nanie uszeregow ań S P T i ta b u - k ry teriu m Cj Liczba zad ań Liczba okresów niedostępności
2 4 6 8 10
10 1.00 1.03 1.01 1.00 1.01
20 1.03 1.02 1.02 1.03 1.02
30 1.02 1.01 1.02 1.05 1.01
40 1.05 1.02 1.02 1.02 1.02
50 1.01 1.02 1.04 1.02 1.02
T ablica 4 P orów nanie uszeregow ań L P T i ta b u - k ry teriu m £ Cj Liczba zad ań Liczba okresów niedostępności
2 4 6 8 10
10 1.84 1.44 1.51 1.81 1.56
20 1.90 1.51 1.78 1.69 1.94
30 1.65 1.71 1.90 1.76 1.75
40 1.84 1.67 1.60 1.62 1.75
50 1.92 1.91 1.60 1.76 1.76
W yniki te zgodne s ą z intuicją. U szeregow ania S P T m a ją o p ty m a ln ą w artość kry
te riu m ¿2 C j w p rzy p a d k u klasycznym i są często również dobrym i rozw iązaniam i sub- op ty m aln y m i w p rzy p a d k u m aszyny z ograniczoną dostępnością, co su g e ru ją wyniki z ta b lic y 3. J e d n a k algorytm ta b u w ygenerow ał również w ty m p rzy p a d k u rozwiązania nieco lepsze.
Algorytmy ta b u search d la problem ów szeregow ania za d ań 123
W tablicach 5, 6 oraz 7 zaprezentow ane zostały inform acje n a te m a t jakości trze
ciego z zaproponow anych algorytm ów , tj. algorytm u m inim alizującego m aksym alne opóźnienie. Tablice te za w ierają średnie różnice m aksym alnego opóźnienia w uszeregow a
niu, odpowiednio, S P T , L P T i E D D i takiego opóźnienia w uszeregow aniu w ygenero
wanym przez alg o ry tm ta b u .
T ab lica 5 P o rów nanie uszeregow ań S P T i ta b u - k ry te riu m L max L iczba za d ań L iczba okresów niedostępności
2 4 6 8 10
10 163 194 284 306 232
20 604 523 450 580 537
30 807 754 916 899 935
40 1087 1177 1437 1145 1419
50 1560 1359 1413 1366 1618
T ablica 6 P orów nanie uszeregow ań L P T i ta b u - k ry teriu m L max L iczba z a d a ń L iczba okresów niedostępności
2 4 6 8 10
10 325 384 316 432 301
20 626 805 437 714 628
30 1072 828 1230 1154 1117
40 1325 1258 1491 1650 1667
50 1756 1838 1822 1483 1857
I w tym p rzy p a d k u uszeregow ania op ty m aln e d la klasycznej wersji p roblem u (E D D ) okazują się być d o brym i uszeregow aniam i subo p ty m aln y m i d la problem u z ograniczoną
124 P. Formanowir?
T ab lica 7 P orów nanie uszeregow ań E D D i ta b u - k ry teriu m L max L iczba zad ań Liczba okresów niedostępności
2 4 6 8 10
10 0 6 0 0 0
20 8 2 9 23 -4
30 18 -4 7 -26 0
40 -56 -34 -65 -8 -46
50 -178 -8 -51 -116 -21
d o stę p n o ścią m aszyny. A lgorytm ta b u dał uszeregow ania d użo lepsze o d uszeregowań S P T i L P T , ale w wielu p rzypadkach nieco gorsze od uszeregow ań EDD.
5. Zakończenie
W p rac y przedstaw ione zo stały algorytm y o p a rte n a m e tah e u ry sty ce ta b u search dla problem ów szeregow ania z a d ań niepodzielnych n a jednej m aszynie p rz y kryterium mini
m alizacji Cmai, 52C j oraz L max. W yniki przeprow adzonego ek sp ery m en tu obliczeniowego pokazują, ze alg o ry tm y te d a ją n a ogół rozw iązania lepsze niż uszeregow ania S P T i LPT.
Je d n a k w p rzy p a d k u m inim alizacji m aksym alnego opóźnienia uszeregow ania zgodne z kolejnością E D D były często nieco lepsze. M oże to św iadczyć o słabości algorytm u tabu, lu b o w yjątkow o dobrej jakości uszeregow ań E D D , optym alnych w p rzy p a d k u klasycznym, rów nież w p rzy p a d k u z ograniczoną dostępnością.
N ie było, niestety, możliwe porów nanie jakości uszeregow ań znajdow anych przez za
proponow ane algorytm y z uszeregow aniam i optym alnym i, an i z uszeregow aniam i subopty- m alnym i generow anym i przez algorytm y zap rojektow ane do rozw iązyw ania rozważanych problem ów , gdyż algorytm y ta k ie nie były d o tą d publikow ane.
P rz ed sta w io n e algorytm y ta b u m ogą być p u n k te m w yjściow ym d o dalszych badań w tej dziedzinie. Je d n y m z m ożliwych ulepszeń opisanych m e to d m ogłoby być z a c h o w y w a n i e
w trak c ie p oszukiw ania najlepszego rozw iązania tych części uszeregow ania, któ re składają
Algorytmy ta b u search d la problem ów szeregow ania zad ań 125
się z zadań d okładnie w ypełniających p rzestrzeń m iędzy dw om a sąsiednim i okresam i niedostępności m aszyny. W zaprezentow anych w ersjach algorytm ów ta k ie dobrze d o p a
sowane grupy za d ań m ogą z o stać ro zb ite w trak cie poszukiw ania lepszego uszeregow ania.
LITERATURA
1. Adiri I., B runo J., F ro stig E ., R innoy K an A. H. G.: Single m achine flow -tim e scheduling w ith a single breakdow n. A c ta In fo rm ática, 26, 1989, 679-696.
2. Błażewicz J ., F orm anow icz P.: Scheduling ta sk s on a single m achine w ith lim ite d availability, R esearch re p o rt R A -005/2000, In s titu te o f C o m p u tin g Science, P oznań University of Technology, P o zn ań 2000.
3. Formanowicz P.: Szeregowanie z a d a ń w system ach z ograniczoną d o stęp n o ścią pro cesorów, R ozpraw a doktorska, P olitechnika P oznańska, P oznań 2000.
4. Lee C.-Y.: M achine scheduling w ith an availability co n s tra in t Jo u rn a l of G lobal O ptim ization, 9, 1996, 395-416.
5. Lee C.-Y., L im an S. D.: Single m achine flow-tim e scheduling w ith scheduled m a in tenance A c ta Inform ática, 29, 1992, 375-382.
6. Schmidt G.: S cheduling w ith lim ited m achine availability. E u ro p e an Jo u rn a l of O perational R esearch, 121, 2000, 1-15.
R ecenzent: D r hab . inz. Ew a D udek-D yduch, Prof. AGH
A bstract
In determ inistic scheduling th e o ry it is usually assum ed th a t m achines are continuously available for processing tasks. T h is assu m p tio n is n o t well ju stified from p rac tica l p o in t of view. In m any situ a tio n s it m ay h a p p e n th a t m achines are n o t available for processing in certain periods o f tim e. T h is lim ite d availability m ay re su lt from preschedules, preventive maintenance activ ities or from a n ap p licatio n of rolling tim e horizon p la n n in g algorithm s.
Also in com puter system s processors m ay b e n o t available.
Scheduling p roblem s concerning m achines w ith lim ite d availability are m o st often com putationally h a rd e r th a n th e ir classic, i.e. w ith continuously available m achines, coun
terparts. T his especially ta k es p lace in case of n o n -p re em p tab le tasks. O n th e o th e r hand, such problem s are o f g rea t p rac tic a l im p o rta n ce , since th e lim ite d availability h as
126 P. Formanowiw
its origins in real life situ atio n s. Hence, developm ent of good polynom ial tim e heuristic alg o rith m s is an im p o rta n t issue.
In th e p a p e r ta b u search algorithm s for scheduling n o n -p re em p tab le ta sk s on a single m achine w ith lim ite d availability have been presented. T h e algorithm s are dedicated for pro b lem s of m in im izatio n th e m akespan, th e to ta l com pletion tim e, a n d th e maximum lateness. T h e q u ality of th e alg o rith m s h a s been ex am ined in an extensive computational ex p erim en t.
