ZESZYTY HĄUKOWE POLITECHNIKI ŚLflSKIE J
1311
S e r ia s G&RKICTWO z . 96 Kr k o l .595
Teodor LUBIHA
HOWY MODEL łlATEMATYCZHEGO OPISU DEFOHBIACJI G&ROTWORU W CZASIE
S t r e s z c z e n ie . W pracy przedstawiono ogólny wzór różniczkowy nowego modelu geometrycznego opisu zjaw iska deformowania s ię górotworu w cz a s ie pod wpływem e k s p lo a t a c ji g ó r n ic z e j w oparciu
o z a ło ż e n ia t e o r i i sta ty sty cz n o -c a łk o w e j T.Kochmańskiego. W no
wym modelu uwzględniono zmienność parametru r Q charakteryzu ją ce g o w łasn ości fizyko-m achaniczne s k a ł nad eksploatowanym pokładem.
Zagadnienie wpływu czasu na deform acje górotworu pod wpływem eksploa
t a c j i g ó r n ic z e j było przedmiotem badań w ielu naukowców /J .L itw in ls z y n po] , A .SałU stow icz Q 6 ,1 7 ] , S.Knothe [ 6 ] , T.Kochmański [7] Z.Kowalczyk [ 9 ] , K .Trojanow ski [ 2 2 ,2 3 ,2 5 ] , B.Skinderow icz [1 8 ,1 9 ,2 0 ] , M .Borecki [j
M.Chudek [ 2 ,3 ,4 ] , H .G il [ 5 ] , A.Sroka [21] i i n n i / . Trudno w ramach k r ó t k i e j p u b lik a c ji przedstaw ić poglądy w t e j d zie d z in ie poszczególnych autorów , d lateg o ograniczono s i ę ty lk o do podania tytułów n a ji s t o t n i e j szych prac ty c h autorów .
W pracy n i n i e j s z e j, m a ją ce j c h a r a k te r komunikatu naukowego o wyni - kach badań p1] , przedstawiono w p o s ta c i równania różniczkowego nowy.
model geometrycznego opisu mechanizmu rozchodzenia s i ę wpływów robót g órn iczy ch w górotw orze, w op arciu o założen ia t e o r i i s ta ty s ty c z n o -c a ł
kowe j T.Kochmańskiego.
2 . PODSTAWO’,TE ZAŁOŻEKIA W DOTYCHCZASOWYCH BADAHIACH
W dotychczasowych badaniach wpływu czynnika czasu na deform acje gó
rotworu w iększość autorów przyjm uje założen ie S.Knothego [ 6 ] , że "pręd
k ość osiad ania punktu j e s t prop orcjonalna do różnicy między końcowym obniżeniem Wg, jakiem u punkt może u lec na skutek wybrania pewnej p a r t i i pokładu, a w ie lk o ś c ią obniżenia punktu w danej c h w ili w / t / »
g d z ie : 1 . WSTJP
/ ! /
148 T . Lubina
/ 2 /
"a podstawie warunków brzegow ych / t =0, w=0 oraz t = “ , w = v,^./, przyjm ując u p roszczenie, że daną /n iesk o ń czen ie małą: dP/ p a rc e lę wy
eksploatowano w jednym momencie / d t / rozw iązanie równania i'óżniezko- wego /1/ ma p ostać / r y s .1/s
w / t / = wjj / 1 - e“e t / g d z ie :
e - podstawa logarytmów n atu ralny ch ,
t - c z a s , ja k i upłynął od momentu wyeksploatowania danej p a r c e li do momentu, w którym obliczamy w artość osiad a
nia w / t / .
czas t
Ua podstawie an alizy wyników pomiarów geodezyjnych K .Trojanow ski {25] zmodyfikował założenie / 1 / wprowadzając dodatkową fu n k cję czasu f / t / :
$ £ = ° jw¿ / t / - w / t / j . f / t / / 3 / W oparciu o powyższe założen ie K.Trojanow ski [253 wyprowadził wzór
ujmujący zależność w artości osiadania punktu od czasus
*
w / t / » e exp f - e F / t / ] .
J
wg / t / . f / t / . exp [e P / t / ] dt / 4 /* i
F / t / = / f / t / dt / 5 /
W pracy [2 3 j K.Trojanowski p o d aje, że fu n k cja czaau f / t / występu
ją c a we wzorach / 4 / i / 5 / ma p o sta ć :
f / t / - t * -1 / 6 /
4
Rowy modal m atem aty czn eg o .... 149
gdzie i b - llczb g wyznaczona na podstawie an alizy wyników pomiarów o siadań . Ha podstawie wielu danych pomiarowych p rz y ję cia b « 2 s to sunkowo dobrze opisuje dynamiczną nieckę osiadania [ 2 3 ] .
Mając na uwadze f a k t , że w równaniu / 4 / otrzymujemy c a łk i dwukrot
n e , ewentualne z a le ż n o ści n ie dające s i ę rozwiązać] przez kwadraturę /s t ą d konieczność stosowania metod całkowania numerycznego lub g r a f i cznego albo te ż rozw in ięcia w szereg potęgowy, trygonom etryczny/ n ale
ży przypuszczać, że 1 tak skomplikowana do praktycznego stosowania po
s t a ć równania / 4 / ulegnie jesz cz e większym komplikacjom w przypadku wyznaczania w arto ści innych wskaźników deform acji górotworu /pochod
nych o sia d a n ia , przesunięć poziomych, odkształceń i t d / .
M ając powyższe na uwadze w In s ty tu c ie P ro je k to w a n ia , Budowy Kopalń i Ochrony Pow ierzchni P o lit e c h n ik i Ś l ą s k i e j w G liw icach prowadzono ba
dania i szukano in n ego, p ro strzeg o modelu matematycznego uw zględniają
cego w szystkie dotychczas podane z a le ż n o ś c i, ja k również nowe sp o strz e
ż e n ia , k tó re trudno o p is a ć dotychczasowymi wzorami.
3 . NOWI M0D2L OPISO DYFOBMACJI DYNAMICZNYCH
A naliza wyników pomiarów osiad ań punktów w cz a sie £ 1 1 ,1 2 ,1 3 ] wskazu
j e , że w momencie kiedy w punkcie nad e k s p lo a ta c ją prędkość osiadania m aleje do zera wtedy w punkcie położożym daleko od e k s p lo a t a c ji zaczy
na s i ę dopiero p roces o sia d a n ia . W dotychczasowych badaniach zakładano że w p ro c e sie d e fo rm a cji w każdym momencie b ie rz e u d ział s t a ł a , okreś
lona zasięgiem wpływów o b ję to ś ć górotworu bez względu na czas trwania p ro cesu . Nowo zauważone fa k ty w skazu ją, że w o k resie trw ania procesu d e fo rm a cji górotworu w różnych momentach czasu bierze u d ział różna /c o r a z w ięk sza/ o b ję to ś ć górotw oru.
Na podstawie a n a liz y wyników pomiarów dynamicznych n iecek osiadania 0 -f} zaproponowano nowy model matematycznego opisu mechanizmu rozcho
dzenia s i ę wpływów g órniczy ch w g órotw orze, w oparciu o założen ia te o r i i s ta ty s ty c z n o -c a łk o w e j T.Kochmańskiego.
Ogólny wzór różniczkowy o k r e ś la ją c y w artość osiad ania punktu pod wpły
wem wyeksploatowania elem entu pow ierzchni pokładu o równej grubości / r y s .2/ ma p o s ta ć :
dw / P , t / M 8 g . f , A / . f 2 / a / . dP . dt / 7 /
150 T,Lubina
z
S y s .2 . Sohsmat przestrzenny pola eksploatacy jn sgo P wanie punktu A na powierzciini teren u
Itys.3* Wykras w artoécl fu n k c jl f ^ / t /
»
i u a jtu o -
4
Nowy modal matematycznego» 151 g d z ie :
dw - ró żn iczka osiad an ia w badanym punkcie w danym momencie t pod wpływem wyeksploatowanego pola dP,
a - współczynnik e k s p lo a ta c y jn y , g - grubość pokładu,
/ t / - fu n k cja cz a su , k t ó r e j w artość zmienia s i ę od O do 1 , przedstawiona w formie wykresu / r y s . 3 . /
f 2 ¡ 2 / - fu n k cja oddziaływania e k s p lo a t a c ji w z a le ż n o ści od o d le g ło ś c i badanego punktu od elementu e k s p lo a t a c ji dP i czasu t , / r y s . 4 / ,
c £b/z/J - s t a ła w a rto ść , k tó r ą można wyznaczyć z warunków brzegowych,
b / z / - param etr t e o r i i T.Kochmańskiego zależny od wysokości badanego punktu nad stropem eksploatowanego pokładu wg wzoru:
5 - 1 , 1 2 log z
b / z / 3 ---^--- --- / 9 / 1 + 0,672 lo g z
2. - o d le g ło ść pozioma /r z u t poziomy o d le g ło ś c i/ elementu e k s p lo a t a c ji dP od badanego punktu / r y s . 3 /
r0/ x , y , z , t / - param etr t e o r i i T.Kochmańskiego ch araktery zu jący w łasn o ści fizyko-m echaniczne nadległego górotworu nad eksploatowanym pokładem, w artość jeg o zależy od usytuowania / x , y , z / badanego punktu od całeg o pola wybranego, kierunku postępu e k s p l o a t a c ji , k s z t a łt u pola g ó rn icz e g o , czasu i dotychczasow ej e k s p lo a t a c ji w danym górotw orze, m,
W dotychczasowych badaniach przyjmowano zmienność parametru r Q ty lk o w p łaszczy źn ie pionow ej, t z n . r0/ z / , natom iast w p łaszczy źn ie poziomej przyjmowano r0 / x , y / =* c o n s t.
Rozwiązanie powyższych równań / 7 / i /8/ j e s t tru d n a, d lateg o dla uproszczenia można traktow ać ró żn iczk ę dw jako skończony p rzyrost osiad an ia A w i rozwiązywać w sposób p rzy b liżo n y , numeryczny , uwzględ
n ia ją c zmienność r Q / x , y , z , t / i f ^ / t / . Hależy zaznaczyć, ża przed p rzystąp ieniem do o b licz a n ia w a rto śc i osiadań dynamicznych konieczna je s t znajom ość, przynajm niej p rz y b liż o n a , przebiegu zmienności r Q i f.j / t / dla konkretnego górotw oru. W artości ty ch fu n k c ji można okreś
152 T .L u b ln a
c j z i d V
H ys.4. Schemat geometryczny proponowanego nowego modelu opisu d eform acji dynamicznych górotworu
4 . ZAKOiiCZJHIS
Ze względu na duże znaczenie zagadnienia dynamicznych d efo rm acji gó
rotworu pod wpływem e k s p lo a t a c ji g ó r n ic z e j obecnie trw a ją d a ls z e , in te n sywne badania w szeregu ośrodkach naukowych /Ada. Kraków, In s ty tu t Mecha
n ik i Górotworu PAiJ Kraków, P o lite c h n ik a śląsk a G liw ice , P o lite c h n ik a Wrocławska, Główny In s ty tu t Górnictwa K ato w ice/, mające na ce lu lep sze poznanie i p re c y z y jn ie jsz e opisanie tego skomplikowanego zjaw iska oraz ś c iś l e js z e prognozowa'¿e wpływu robót górniczych na górotwór i obiek
ty usytuowane wewnątrz lub na pow ierzchni górotworu,
LIPZBA2UBA-
[l] BORECKI H ., BILIuSKI 4 . , KIDYBlfiSKI 4 . t Wpływ prędkości w ybierania na zachowanie się' górotworu i obudowy. Prace Głównego In s ty tu tu Gór
nictw a. Komunikat n r 3o1, Katowice 1962.
[ąj. BORECKI 14., CHUDEK E .t Mechanika górotworu. Ś lą s k , Katowice 1972.
[j| CHUDEK M., 0L4SZ0WGKI W., P4CH 4 . , ZYIótiJSKI 3 . : Problemy utrzymania rurociągów na teren ach g órn iczy ch . Przegląd G órniczy, 1969, nr 3 . [4] CHUDEK 14., ShgZ4ilSKI Z.» Deformacje górotworu i powierzchni przy
prowadzeniu e k s p lo a ta c ji rud żelaza w k op alniach re jo n u częstochow s- k o-k łobu cko-łęczy ck iego . Prace Głównego In sty tu tu Górnictwa. Komu
n ik at nr 582, Katowice 1973.
4
Nowy model matematycznego 153 [5] GIL H.s Próba teo rety czn eg o U jęcia procesu rozw arstw iania górotworu.
Archiwum G órnictw a, t .X V I , n r 2 . Warszawa 1 9 7 1 .
[g] KHOTHB S .s Wpływ czasu na k ształto w an ie s i ę n ie c k i o sia d a n ia . A rchi
wum Górnictwa i H utnictw a. T . I . , z . 1 , Warszawa 1953.
[7] KGCHMAÎÏ3K1 T . : The movement o f the Surfaee of the Ground Considered as an in t e g r a l of undreground e x t r a c t io n in f lu e n c e s . B u lle tin de l 'Académie P olon aise des S c ie n c e s e t des L e t t r e s . C lasse des S cie n ce s Mathématiques e t n a t u r e l le s . S e r ie A .V ol. 1 , nr 3 , 1951
[8j KOCHMASsKI t . , LUBINA t . , MAGDZIOEZ J . , ZÏCH J . 1 In t e r p r e ta c ja wy
ników pomiarów geodezyjnych prowadzonych w r e jo n ie fila ró w ochronnych Huty Batory i o s ie d la Chorzów-Batory /do pomiaru z 1969 roku. G liw i
ce 1970 / n i e publikow ana/.
[93 KOWALCZYK Z ,: O kreślen ie wpływów e k s p lo a t a c ji g ó r n ic z e j metodą prze
krojów pionowych, Ś lą s k , Katow-ice 1 972.
[1Ó] LITWINISZYN J . t Wpływ czasu na s ta n o d k sz ta łcen ia i naprężenia g ó ro t
woru. Archiwum Górnictwa i H utnictw a. T .I I I , z .4, Warszawa 1 955.
[11] LUBINA T .s Wy brane zagadnienia wpływu czynnika czasu na deform acje górotw oru. P raca doktorska /n ie publikow ana/. G liw ice 1 973.
[1 Z] LULI LA T .s Uwagi w ynikające z a n a liz y dynamicznych n ie ce k o sia d a n ia . Zeszyty Iiaukowe AGH. Geodezja z . 3 1 , PWN, Warszawa-Kraków 1976.
[13] LUBINA T .s A naliza momentu n a jw ię k sz e j p ręd kości osiadania punktu na pow ierzchni te re n u pod wpływem e k s p lo a t a c ji g ó r n ic z e j na podsta
wie wyników pomiarów geodezyjnych. ZH P o lit e c h n ik i Ś l ą s k i e j. G órn ict
wo z . 7 1 , G liw ice 1 9 7 6 .
[14] LUBINA T .s O kreślen ie w a rto śc i parametru r Q z p o ek sp lo a ta cy jn ej n ie c k i o s ia d a n ia . ZN P o lit e c h n ik i ś l ą s k i e j . Górnictwo z ,64, G liw ice 1 975.
[15] PIWOWARSKI W.s Prognozowanie przem ieszczeń pionowych pow stałych w p ro c e sie r o z w ija ją c e j s i ę e k s p lo a t a c ji g ó r n ic z e j w oparciu o liniow y model matematyczny z ja w isk a . P raca doktorska nie publikow ana/. Kra
ków AGH, 1 9 7 7 .
[163 SAŁUSTOWICZ A .sZarys m echaniki górotw oru. Ś lą s k , Katowice 1965.
[173 SALUSTOWICZ A .s Wpływ cza su na w ielk ość poziomych przem ieszczeń górotw oru. Archiwum G órnictw aV ,.T»II, z . 1 - 2 , 1957.
[18] SKINDBROWICZ B ,s C zęstość wykonywania pomiarów od k ształceń powierz
chni wywołanych e k s p lo a ta c ją g ó rn icz ą złó ż pokładowych. Przegląd Górniczy n r 2 , 1 9 7 0 .
A2£ T . Lubina
[20] SKIKBEROWICZ B.« Wpływ czasu na kształtow anie s i ę dynamicznych n ie cek o siad an ia. Prace Głównego In s ty tu tu G órnictwa. Komunikat n r 66 6 . Katowice 1976.
[21] SROKA A .i Wpływ postępu fro n tu e k s p lo a t a c ji g ó r n ic z e j na k ształto w a
nie s i ę wskaźników d efo rm a cji. Praca doktorska /n ie publikow ana/.
AGH, Kraków 1975.
[22] TR0JAK07/3KI K .t Przyczynek do t e o r i i kształtow ania s i ę ruchów g ó ro t
woru w c z a s ie . Przegląd Eaukowo-Techniczny AGH, S e ria G, nr 6 , z . 4 . Kraków 1959.
[23] TROJAK03SKI K .t Wpływ czasu i postępu fro n tu górniczego na ruchy po
w ierzch n i. Rudy i Metale H ieżelazne, n r 7 , 1965.
[243 TROJANOWSKI K .t Dynamiczne w arto ści d eform acji pow ierzchni wywołane wpływem podziemnej e k s p lo a t a c ji g ó r n ic z e j. P rzegląd Górniczy nr 12, 1967.
[25] TROJAKOWSKI K ;i Zagadnienie wpływu czynnika czasu i postępu eksp loa
t a c j i g ó rn ic z e j na przebieg procesu ruchów powierzchni w św ie tle ba
dań geodezyjnych. Prace K om isji Górniczo-Geodezyjnej.PAK.Oddz.Kraków Górnictwo z . 11, Kraków 1972.
[26] WICISŁO Kt Wpływ czasu na przebieg obniżeń górotworu nad e k sp lo a ta c
j ą g ó rn icz ą . Praca doktorska. AGH, Kraków, 1964»
HoBAfl MOKEIb IiA T H 5A T O T E 0K 0r0 OimCAHHH RK O PK A IiH H TOPHOrO ’ 1ACCHBA, BO B P E .I E -
ra
Pe3»wet
B CTaTte npMBOflJłTCH oCmaji sH^epeHUKOHajinaui iiopMyjia reoMeTpHqecKo» Mo.nejin oniicanaa aeiiopMHpywneroca ropHoro waccHBa bo BpeueHii n os BjnomneM ropnoS sKcn^yaranHK, onapanct Ha HcxosHue sannue CTaTHCTmjecKO-KHTerpajiŁHoft Te- opnn T. Koxi,:aHfcCKoro. B hoboR itoaejiH yqHTaBaeTCH nepei-ienHOCTb napaj-ieipa xapaKTnpn3yK>mero $ h3hko- MexaHduecKHe cboRctbs nopos SKcnsyaTHpyeuhiw nsacTOM .
A HEW MATHEMATICAL MODEL OP DESCRIPTION OP THE OROGEH DEFORMATION IM TIME
S u m m a r y
The paper p resen ts the g en era liz e d d i f f e r e n t i a l formula of the new geom etrical model of d e sc rip tio n of the phenomenon of orogen deforma
tio n in tin e due to the in flu en ce of the mining e x p lo ita tio n basing on the assumptions of the s t a t i s t i c a l - i n t e g r a l theory of T .Kochmański, The new model accounts f o r the w arlatio n of the r Q param eter c h a ra c- t riz in g the p h isica l-m ech a n ica l p ro p e rtie s of rock lay in g over the ex p lo ited co al-b e d .
