J ó z e f G R A B O W S K I, Aneta M A R C HEW K A Politechnika W roc ław ska
Z A G A D N I E N I A S Z E R E G O W A N IA W Y R O B Ó W W P R Z E P Ł Y W O W Y C H P R O C E S A C H M O N T A Ż O W Y C H
Streszczenie. W niniejszej pracy przedstawia się zagadnienie oraz algorytm ha rm o n o g ra m o w a n ia w yrobów w przepływowym procesie produkcyjn ym , w którym proces przetw arzania zawiera operacje o bróbcze o r a z operacje m o n ta żo w e , a ponadto wyroby są przedstawiane w postaci grafu drzewa.
S C H E D U L I N G O F J O B S IN A S S E M B L Y F L O W -S H O P P R O B L E M
S u m m a ry . This pape r deals with a algorithm for the flo w -shop scheduling problem w h ere the jo b s are presented by a graph-tree. Such problem appears in a p r o duction, w hen several elements are assembled into one job.
1. W s t ę p
W wielu procesach, w dyskretnych systemach produkcyjnych, przy w yznaczaniu harm o n o g ram u produkcji, oddzielnie rozpatruje się proces w ytw arza nia elem entów oraz oddzielnie p roce s m ontażu tych elementów. Dla w y ro b ó w o mało złożonej b udow ie m o n ta ż odbyw a się na jednym stanowisku montażowym, k tó r y j e s t o sta tn ią o p e r a c ją w danym cyklu produkcyjnym. Dla bardziej złożonych w y r o b ó w m onta ż odbyw a się na wielu stanowiskach, które sta now ią linię m o n ta ż o w ą lub sieć m o n ta ż o w ą [7], W niniejszej pracy przedstawia się zagadnienia h a rm o n o g ram o w a n ia w yrobów , w któryych o p ró c z produkcji elementów, występuje sieć m onta żow a . Celem optymalizacji j e s t minimalizacja terminu zakończenia wszystkich w yrobów . P ra ca za w iera opis te chnologiczny procesu, model matematyczny zagadnienia, algorytm op arty na te chnic e Tabu Search (TS) oraz wyniki obliczeniowe.
2. O p is o w e p r z e d s ta w ie n ie zagad n ien ia
W ro zw aż an y m dyskretnym procesie przepływowym w yrób finalny jest uzyskiw any p o p rz e z m ontaż podzespołó w na ostatnim (finalnym) sta now isku
54 J. Grabowski. A. M a rc h e w k a
m o n ta żo w y m . Z kolei podzespoły te są przedmiotem produkcji, w tym również m o n ta żu , na wcześniejszych stanowiskach produkcyjnych.
Fig. 1 •
Ogólnie, p roce s produkcyjn y składa się z dwóch części: produkcyjn ej o r a z sieci m o n ta żo w e j. W części produkcyjnej są realizowane czynności o b r ó b c z e w ytw arza jąc e p o s z c z e g ó ln e elementy składowe, które dalej są "składane" w sieci monta żow ej w p o dze społy, zespoły itd. aż do zm ontow ania w yrobu g o to w e g o ( r y s . l) . D o czynności obróbczych zaliczane są również czynności p r z y g o to w a w c ze , pomiary, ko n tro la , p r a c e w ykończ eniow e itp. Część produkcyjn a składa się z linii te ch n o lo g icz n y ch (LT) w yposażonych w maszyny służące do w y tw arza n ia elementó w.
M a szy n y te będzie m y o zna cz ać symbolem M * . Z kolei, sieć m o n ta ż o w a (S M ) zaw iera s ta n o w isk a m o n ta żo w e , k tóre będziemy również (dla wygody dalszych
r o z w a ż a ń ) naz yw ać maszynami i oznaczać symbolem M M .
W proce sie produkcyjn ym m ogą być realizowane różne p r o d u k ty finalne w postaci pojedynczych w yrobów lub ich partii. Czasy trwania operacji obróbcz ych są zna ne i różne dla różnych w yrobów. Zagadnienie optymalizacji procesu sp r o w a d z a się do w yzna cz enia ta kiego harm onogram u (kolejności) realizacji w y ro b ó w finalnych ( o ra z kolejności w ykonyw ania ich elem entó w składowych i p o d z e sp o łó w ) , aby m inim alizow ać o k reślo n e kryterium optymalizacji. Zwykle, w tego rodzaju procesach, w p o c z ą t k o w y m etapie produkcyjnym realizowane są operacje p r z y g o to w a w c z e , takie
ja k tr a n s p o r t elem entów surowych, czyszczenie, kontrola itp. O p eracje te są w y k o n y w an e przy użyciu środków transportowych, grup p r a c o w n ik ó w itp. Ł ąc zna moc pro d u k cy jn a tych śro d k ó w je st dostatecznie duża, tak że nie s ta n o w ią one w ąskiego g ard ła (gniazda krytycznego), zatem nie musimy tutaj za kła dać konieczności sz eregow ania wyrobów . Ten zbiór środków możemy tr a k to w a ć ja k o je d n ą maszynę o nieograniczonej przepustow ości ("bez ograniczeń") realizującą po je d y n cz ą operację o czasie trw an ia równym sumie czasów kolejnych operacji. Czas tr w ania tej operacji m oże być tra k t o w a n y ja k o najwcześniejszy możliwy termin ro zp o c zęc ia r f realizacji elementu k dla w yrobu Wt .
N a w ykresie G antta przedstawio no proces produkcji wyrobu Wi .
Fig.2.
3. M o d el m a te m a t y c z n y zagad n ien ia
Załóżm y, że zadanie produkcyjne je st zadane w postaci zb ioru partii różnych w yrobów:
P={Pt,P2,: Pj-
K aż d a pa rtia składa się ze zbioru jednakow ych w yrobów W-. L iczba w y r o b ó w w partii Pt wynosi n,., czyli |/)| = nt.
56 J. Grabowski. A. M a rc h e w k a
K aż d y w yrób W, może być przedstawiony w postaci g rafu -d rze w a (ry s.3):
WI = { N I,PT I) ,
g d z i e ; N , = } j e s t zbiorem wszystkich operacji (obróbczych i m o n ta żo w y c h ), k tóre należy zrealizować w trakcie produkcji w y ro b u W ,, natom ia st PT, j e s t relacją (zbio rem par operacji) reprezentujących p o rzą d ek te chnologiczny w y k o n y w an ia operacji. Jeżeli {0'k, 0 '^ s P T „ to oznacza, że opera cja 0 [ je s t w y k o n y w an a przed opera cją 0 \ . O peracja 0 \ jest w ykonyw ana w czasie p ik.
Produkcja elem entów Sieć montażowa
O - oznacza operacje obróbcze lub montażowe wykonywane na maszynach ze zbioru M O B lub MMT.
A - oznacza operacje w ykonywane na maszynach o nieograniczonej przepustowości ("bez ograniczeń").
R ys.3.
F ig.3.
Z b ió r operacji N , możemy przedstaw ić w postaci:
N,
=
N] kjN J,
gdzie :N ¡- j e s t zbiorem operacji obróbczych związanych z p r o d u k c ją elem e n tó w dla w y ro b u W, . N f - je s t zbiorem wszystkich operacji m ontażow ych występujących w trak c ie p r odukcji w yrobu W ,.
O p e ra c je zb ioru N] s ą w ykonyw ane przy użyciu zbioru maszyn:
gdzie : { M * ,M \ } je st podzbiorem maszyn w Ar-tej linii technolo gicznej,
mk - liczba maszyn w tej linii, t - lic zb a linii technologicznych.
O p eracje ze zbioru N f są realizowane na odpow iednich stanow iskach m o nta żow yc h, których zbiór oznaczam y przez:
M M T = [MM, ,M M 2,...,M M m}, gdzie : m j e s t liczbą sta now isk montażowych.
Z a d a n ie optymalizacji całego procesu polega na znalezieniu ta kiego usz e re g o w a n ia (h arm onogram u) partii w yrobów finalnych, ich p o d z e s p o łó w i elemen
tó w składow ych, aby minimalizować termin zakończenia w szystk ich w y ro b ó w
= m a x C , , gdzie C, je s t term inem zakończenia realizacji w yrobów z partii Pr
Niech 7zf oraz 7Ty oznacza, odpowiednio, permutację określa ją cą kolejność w ykonyw ania partii pomp P = {Pu P2,..P rl} , na M , maszynie oraz M M . sta now isku m ontażow ym . Będziem y zakładać, że kolejność partii będzie j e d n a k o w a na w szystkich maszynach danej linii technologicznej, czyli 7rf = 7Ą =...= iłmi - n* , (k = J ,2 ,...,t). Zatem, zbiór ,1? ,n „ n 2, .. ., n m} będzie określał kolejność
w ykonyw ania e lem e ntów oraz kolejność montażu partii w yrobów P.
Z ad a n ie optymalizacji będzie polegać na znalezieniu permutacji n takiej, że C m»(7r‘ ) = min (t t)
.
Z a ga dnienie ro zpatryw ane w niniejszej pracy je st ogólniejsze od zagadnień ro zp a try w a n y ch w literaturze [2],[3],[9],
D la każdej permutacji n - {«*, 7Z2,..., i ł , /r„ n2,..., zr„} możemy p rze d staw ić g r a f zadania pro d u k cy jn e g o dla zbioru partii w yrobów P. N a rys. 4 p rze d staw io n o przy k ła d o w y g r a f produkcji elementów i montażu pomp dla « = 3, n, = 2, = «, = 3, t = 4 , m , - m 2 - m 2 = m i = 'l, m = 3 oraz = i ł = j? = n? = n, = n2 = n 2 - (2,1,3).
Dla k aż d eg o dopuszczalnego rozwiązania (permutacji n) możem y w yznaczyć d ro g ę k ry ty c z n ą bę d ą c ą pewnym ciągiem operacji (rys. 4). F ragm ent drogi krytycznej (p o d cią g operacji) zawierający maksymalną liczbę operacji w ykonyw anych na danej maszynie będzie m y nazywać blokiem B. W pracy [1] pokazano, że jeżeli perm utacja 3 je s t o trzy m an a z permutacji 7t p oprzez zamianę operacji w ew n ą trz d o w o ln e g o bloku w 7t, to (/?) > (7r). Stąd wynika, że warunkiem konie cznym (ale nie do sta te czn y m ) otrzym ania permutacji 3 takiej, że (ft) < ( n ) , je s t przesunięcie co najmniej je dnej operacji z wew nątrz bloku przed pierw szą lub za osta tn ią operację bloku. W łasn o ść ta będzie wykorzysta na przy konstrukcji algorytmu.
MM, M o n ta i finalny
Łuki poziom e reprezentują kolejność wykonywania operacji na maszynach.
Pozostałe luki reprezentują porządek technologiczny
cocn
Rys. 4.
Fig.4.
J. Grabowski. A. Marchewka
4. A lg o ry tm przybliżony
R o z p a t r y w a n e zagadnienie je st NP-zupełne, bowiem problem y bę d ą c e je g o szczególn ymi przypadkami, są NP-zupełn e [4], [6], Stąd te ż możliwośc i sk o n s tru o w a n ia algorytmu dokładnego, który rozwiązywałby ten problem w realnym czasie, s ą raczej niewielkie. Zatem, algorytmy przybliżone m o g ą sta now ić je dyne praktyc zne podejście.
D la ro zw iązania naszego problemu proponujemy algorytm oparty na technice Tabu S earch (TS). Technika TS jest aktualnie jednym z najlepszych podejść [5] dla r ozw ią zania te g o rodzaju zagadnień szeregowania. Algorytm TS sta rtu je z pewnej permutacji p o cz ątk o w e j 7t°, przeszukuje wszystkich jej "sąsiadów" ( p o p rz e z przesunięcie zadań w 7t°) w celu znalezienia lepszego (najlepszego) rozw ią zania (tzn.
permutacji P) o najmniejszej wartośc i funkcji celu. Wybrane w ten sposób rozw ią zanie staje się rozw iązaniem początkowym w następnym kroku. W celu zapobieżenia p o w s ta w a n ia cyklu oraz zapewnienia możliwości wyjścia z minimum lo kalnego tw orzy się cykliczną listę przesunięć (ru chów) zabronionych (lista tabu), b ę d ą c ą sw ego rodzaju "pam ięcią historii" przeszukiwań. W algorytmach TS stosuje się szereg w a r u n k ó w za k o ń cz en ia działania, np. zadana liczba iteracji, czas obliczeń, w ykonanie maksymalnej liczby iteracji b ez zmniejszania wartośc i funkcji celu itp.
W naszym algorytm ie wykorzysta no własności eliminacyjne bloków, co pozw oliło na ograniczenie sąsiedztw a przeszukiwań. Ze względu na o g raniczoną obję tość artykułu, niestety nie możem y przedstaw ić wszystkich sz czegółó w algorytmu.
P o d c z a s w yznaczania początkowej permutacji tc° założyliśmy, że dla linii te chnologicz nych o r a z stanowisk montażowych uszeregow anie w y ro b ó w je s t takie samo, czyli r f = = 7? =...= j ł = 7T, =...= nm. W celu znalezienia tc° wykorzystaliśm y odpo w ied n io zm odyfikowany algorytm N E H [8], Podstaw ow ym elem entem tego algorytm u je s t lista p riorytetów dla wyrobów. N a potrzeby naszego zagadnienia, lista ta zaw ierała w yroby W{ uporzą d k o w a n e zgodnie z nierosnącymi wartościam i ich naj
dłuższych d ró g grafu-drze w a, w którym węzły są obciążone czasami trw ania operacji.
W pierwszym głównym kroku algorytmu wybiera się pierw sze zadanie z listy p riorytetów . T w o rz y ono je dnoele m e ntow e uporządkowanie W ( l ) . W kolejnym s+1 głó wnym k ro k u do częściow o uporządkowanych s-w yrobów [ W ( l) ,W ( 2 ) ,. .. W ( s ) ] dodajem y następny wyrób W (s+1) z naszej listy priorytetów oraz w ykonujem y s+1 lokalnych k ro k ó w , polegających na wstawianiu naszego w yrobu pom ię dzy u s z e r e g o w an e j u ż wyroby. Otrzymujemy s+1 uszeregować: [ W ( s + l ) ,W ( l ) ,W ( 2 ) , .. ., W ( s ) ] , [ W ( l ) ,W ( s + l ) ,W ( 2 ), .. .W ( s ) ] ,. .. ,[ W ( l ) ,W ( 2 ) ,. .W (s ), W ( s + l ) ] , z których wybieramy u sz eregow anie, dające najmniejszą w artość terminu zakończenia wykonyw ania
60 J. G rabowski. A. M a rc h e w k a
p o w y ższ y ch wyrobów . Po wykonaniu n głównych kro k ó w otrzym ujem y p o sz u k iw a n ą p e rm u ta c ję p o c z ą t k o w ą rc°.
5. W y n ik i o b liczen iow e
A lgorytm Tabu Search został zaprogram ow any w języku Pasc al i uruchom iony na k o m p u te rz e IB M RIS C System /6 000,2 00 M H z oraz został prz e te sto w a n y dla danych w y gene row a nych losowo. Wartości czasów realizacji posz cz ególnyc h operacji o r a z w arto śc i r, dla « partii zostały w ygenerow ane z przedziału [1,100]
0 je d n o sta jn y m rozkładzie. W badaniach eksperymentalnych przyjęliśmy, że wyroby.
po sia d ają j e d n a k o w ą strukturę w postaci grafu-drzew a binarnego, w tedy mamy m - t - 1 . Przyjęliśmy również, że /Z7^=3 dla k = l,2 t. Zatem liczba w szystkich maszyn (o b ró b c zy c h i m ontażow ych) wynosi lm = 3 t+ t- l= 4 l- J Dla eksperym entu oblic ze n io w eg o przyjęliśmy ł=2,4,8, czyli lm=7,15,31. Dalej, przyjęliśmy, że
« = 1 0 ,2 0 , 4 0 ,8 0 o ra z że liczby w yro b ó w w partiach są je d n a k o w e i w y n o sz ą «,= 10 0 = 7 , 2 , . . . , « ) . Dla każdego przykładu o rozmiarach lw x n : 7x10, 7x20, 7 x 4 0 ,7 x 8 0 , 15 x l 0 , . . . , 1 5 x 8 0 ,3 1 x 1 0 ,...,3 1 x 8 0 wygenerowano 10 przykła dów testujących.
D la k a ż d e g o przykładu w yznaczono następujące wielkości:
C 0 - w a r to ś ć funkcji celu dla permutacji początkowej,
Ca - najlepsza w a rto ś ć funkcji celu otrzymana w ciągu pierwszych 1000 iteracji, C g - najlepsza w a r to ś ć funkcji celu otrzymana w ciągu pierw szych 10000 iteracji, C/olc - w a r to ś ć funkcji celu otrzym ana przez algorytm dla minimum lokalnego, T IM E - czas obliczeń CPU.
W oparciu o te w arto ści wyznaczyliśmy:
P R (lo k) = 100% (C o -C i0 /( )/C 0 - średnia (procentow a) w arto ść popraw y funkcji celu dla minimum lo kaln ego względem wartości początkowej C 0 .
P R (x) = 100% (C o -Cx )/C 0 - średnia (procentow a) w artość po p raw y funkcji celu w zglę dem w arto śc i początkowej Ca , x e { A ,B } .
lim e /ite r - średni czas jednej iteracji CPU (w milisekundach).
W tablicy 1 przedstaw iono wyniki obliczeniowe.
Z a p r o p o n o w a n y algorytm poprawiał rozwiązanie p o c z ą tk o w e w granic ach 6 -2 0 % dla pie rw sz e g o 1000 iteracji oraz 6-21% dla pierwszych 10000 iteracji. N ajw iększa p o p r a w a ( ponad 90% ) została uzyskana w ciągu pierw szych 1000 iteracji. P o p ra w a funkcji celu zw iększa się w raz ze w zrostem liczby maszyn Im, ja k i liczby partii « 1 o sią g a p oziom stabilny ok. 21%.
Tablica 1 Wyniki obliczeniowe
Im x n PR(lok) PR(A) PR(B) tim e/ite r
7 x 1 0 2.63 6.29 6.2 9 0.3
7 x 2 0 3.98 7.41 8.35 0.9
7X 40 4 .9 6 10.44 10.61 2.4
7 x 8 0 5.77 11.92 11.92 9.0
1 5 x 1 0 7.05 12.40 12.42 0.6
15X20 8.43 14.00 14.90 1.6
15X40 9.10 14.15 14.19 5.3
1 5 x 8 0 9.72 14.99 15.08 10.0
3 1 x 1 0 9.98 17.21 17.21 0.8
3 1 x 2 0 11.58 17.70 17.77 2.2
3 1 x 4 0 12.34 20.23 20.23 6.1
3 1 x 8 0 15.76 20. 93 20 .94 12.8
A naliza w yn ik ó w pokazuje, że przy poszukiw aniu minimum loka lnego w ielkość p o p ra w y ró w n ież się zw iększa w raz ze w zrostem n i Im. W o parciu o uzy s k an e dane m ożna stw ie rdzić , że ewentu alne zawężenie działania algorytm u do znalezienia minimum lo kalnego byłoby niekorzystne, bowiem je st on bardziej sk u te cz n y przy pełnym przebiegu, a zw łaszcza dla pierw sz ego 1000 iteracji. P o n a d to , analiza w yników obliczeniow ych pokazuje, że algorytm N E H (za sto so w an y w celu znalezienia p o c z ą t k o w e g o rozw ią zania) daje zadowalające rezultaty, choc ia ż dla w iększych w artośc i n oraz lm nie są one zbyt imponujące. Stąd te ż w przyszłych badaniach należałoby ro z w a ż y ć możliwość zastosow ania innych specjalistycznych a lgorytm ów heu rysty cznych znajdujących rozwiązanie początkowe.
L IT E R A T U R A
1. G ra bow ski J., S kubalska E., Smutnicki C. : On flo w-shop with release and due d ates to minimize maximum lateness. Jo u rn a l o f O p e ra tio n a l R e se a rc h S o c ie ty 3 4 ,1 9 8 3 ,2 7 8 -2 8 5 .
2. Hitom i K., H a m I.: G roup scheduling for multiproduct, m ultistage m anufacturing systems. T ra n sa ctio n s A S M E - Jo u rn a l o f E n g in e erin g f o r In d u stry 1 9 7 7 ,7 5 9 - 765.
3. Hitom i K .,H a m I.: Machine loading and p roduct-m ix analysis for g ro u p te c hnology. T ra n sa ctio n s A S M E - J o u rn a l o f E n g in e e rin g f o r In d u s tr y 100, 1 9 7 8 ,3 7 0 -3 7 4 .
62 J. Grabowski. A. M a rc h e w k a
4. M o n m a C.L., P o tts C.N.: On the complexity o f scheduling with batch set-up times.
O p e ra tio n R e se a rc h 37,1989, 798-804.
5. N o w ic k i E., Smutnicki C. : A fast tabu search algorithm for the perm u tatio n flow shop problem. E u ro p ea n J o u r n a l o f O p era tio n a l R esea rch 9 1 ,1 9 9 6 ,1 6 0 -1 7 5 . 6. P o t t s C.N., V an W a ssenhove L.N. : Integrating scheduling with b atching and lot-
sizing : a review o f algorithms and complexity. J o u r n a l o f O p e ra tio n a l R ese a rc h S o c ie ty 43,1992, 395-406.
7. Saw ik T.: Planow anie i sterowanie produkcji w elastycznych systemach m o nta żow yc h. WNT, W arszaw a 1996.
8. T aillard E.: S om e effeicient heuristic methods for flow shop sequencing. E u ro p ea n J o u r n a l o f O p e ra tio n a l R ese a rc h 47,1990,65-74.
9. Z d rz a łk a S.: P rz ep ły w o w e problemy harm onogram ow ania z przezbrojeniami maszyn. R a p o rt serii: P re p rin ty nr 7/95 I C T P o lite c h n ik i W rocław skiej 1995.
1 0 .Z d rz a łk a S.: Algorytm y dla niektórych zagadnień sz e re g o w a n ia zadań z przezbrojeniam i maszyn. R a p o rt serii: P rep rin ty nr 1 8/94 I C T P o lite c h n ik i
W ro cła w skiej 1994.
Recenzent: Dr hab.inż. Mirosław Zaborowski, prof.Pol.Śl.
A b str a ct
This pape r deals with the assembly flow-shop problem which arises in p r o d u c tio n o f j o b s which are assembled with several elements, so that, the stru ctu re o f each jo b can be presented by a graph-tree. The problem arises to determ in e a se q u e n c e o f the batches o f jobs, taking into account technological requirem ents, that maxim um com pletion time o f jo b s is minimized. To solve the problem, we p r o p o s e an ap p ro x im atio n algorith m based on the tabu search approach.
The co m p u tatio n al results are presented.
