Hydrodynamika

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

STATYKA I

DYNAMIKA

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Plan wykładu

•Opór elektryczny i opór elektryczny właściwy •Zależność oporu od temperatury

•Prawo Ohma – obraz klasyczny i mikroskopowy •I i II prawo Kirchhoffa

•Siła elektromotoryczna •Łączenie oporników

•Praca i moc prądu stałego

•Prąd elektryczny w cieczach, prawa elektrolizy Faradaya •Prąd elektryczny w próżni i gazach

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Ciecz, której gęstość nie zależy od ciśnienia.

Jest to ośrodek ciągły, w którym istnieją jedynie napięcia normalne jednakowe w każdym kierunku, napięcia styczne natomiast znikają.

Równanie stanu dla takiej cieczy ma postać: = const.

Y

Z

X

O

r

Y Z X O i r j r i j r c o n s t  i j r Y Z X O i r j r i j r c o n s t  i j r MODEL PUNKTU MATERIALNEGO MODELE SUBSTANCJI MODEL BRYŁY SZTYWNEJ MODEL CIECZY NIELEPKIEJ

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

S

F

p







S

F

p

S







 

lim

0

Gęstość płynów zależy od wielu czynników takich jak temperatura, czy ciśnienie.

V

m





Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni. Ciśnienie jest wywierane zarówno na ścianki naczynia jak i na dowolne przekroje płynów zawsze prostopadle do tych ścianek i przekrojów.

W cieczy siła powierzchniowa, zwana siłą parcia, musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu, gdyż spoczywający płyn nie może równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może zmieniać kształt i płynąć.

Jednostką ciśnienia jest pascal (Pa); 1 Pa = 1 N/m2

Do opisu płynów stosujemy również pojęcie gęstości ρ :

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

wyporu

F

S

p

p

pS



(



d

)



wyporu dp p p

F

F

F



_



y

gS

pS

pS

pS





d





d

g

y

p

_

_

_

d

d









1 0 1 0

d

d

h h p p

y

g

p





_{0 1}



0 1

p

g

h

h

p









gh

p

_h





y

gS

S

p

p

pS



(



d

)





d



_{0 1}



0 1

p

g

h

h

p









( p + d p ) S d Q p S

d y

y

y = 0

h ₀ h ₁ CIŚNIENIE HYDROSTATYCZNE

Z równowagi sił w kierunku pionowym wynika :

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

g

y

p

_

_

_

d

d

0 0

p

p







0 0

d

d

p

p

g

y

p

_

_

_









h p p

y

p

g

p

p

0 0 0

_d

d

0



y

p

g

p

p

d

d

0 0







_p

p

g

_p

h

0 0 0

ln























h

p

g

p

p

0 0 0

exp



W atmosferze ziemskiej wraz ze wzrostem wysokości zmienia się gęstość powietrza.

Zakładając, proporcjonalność gęstości do panującego ciśnienia możemy wyznaczyć zmiany ciśnienia

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Rozpatrzmy teraz ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który działamy siła F₁. Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia.

C i e c z 1

F

1

d

2

d

2

F

1

S

S

2 2 2 1 1

S

F

S

F

p







1 2 1 2

S

S

F

F



2 1 1 2

S

S

d

d



2 2 1 1

d

S

d

S

V





1 1 2 1 1 1 2 1 2 2

F

d

S

S

d

S

S

F

d

F

W

_





























PRAWO PASCALA

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie, to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i nazywa się siłą wyporu.

gV

F

_wyp





_pł

Ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest

wypierane ku górze siłą

równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu

gV

S

h

h

g

S

gh

p

S

gh

p

F

_wyp























)

(

)

(

)

(

1 2 1 0 2 0 PRAWO ARCHIMEDESA 1 2

F

F

F

_wyp





WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Kiedy ciało jest zanurzone w całości:

PRAWO ARCHIMEDESA

)

(

₁ 1





















gV

gV

gV

F

mg

F

F

_wyp - gęstość płynu

₁- średnia gęstość ciała  < ₁ – ciało tonie

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Opis Lagrange’a - podajemy położenie

każdej cząstki cieczy w funkcji czasu

)

,

,

,

,

(

x

₀

y

₀

z

₀

t

₀

t

x

)

,

,

,

,

(

x

₀

y

₀

z

₀

t

₀

t

y

)

,

,

,

,

(

x

₀

y

₀

z

₀

t

₀

t

z

DYNAMIKA CIECZY

Opiszmy ruch płynu czyli dynamikę. Można to zrobić na dwa sposoby: opisując ruch poszczególnych cząstek płynu, albo podając jej gęstość i prędkość w każdym punkcie w funkcji czasu

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Opis Eulera - wybieramy punkt przestrzeni,

rejestrujemy prędkości, z którymi przechodzą przez dany punkt cząstki cieczy.

)

,

,

,

(

x

y

z

t



)

,

,

,

(

x

y

z

t

v

DYNAMIKA CIECZY

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Ustalony: V = const w dowolnym punkcie w czasie. Nieustalony: V  const w dowolnym punkcie w czasie.

Wirowy:   const w dowolnym punkcie w czasie.

Bezwirowy: cząstka nie ma wypadkowej  w żadnym punkcie płynu. Ściśliwy:   const

Nieściśliwy:  = const

Lepki i nielepki: opór płynów przeciwko płynięciu pod działaniem sił zewnętrznych

DYNAMIKA CIECZY – RODZAJE PRZEPŁYWU CIECZY

W naszych rozważaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich. Co to oznacza?

Oznacza to tyle, ze każda cząstka przechodząca przez dowolny punkt cieczy ma taką samą prędkość w tym punkcie a w innym inną

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Laminarny: Przepływ ma charakter warstwowy.

Cząstki cieczy nie przechodzą z warstwy do warstwy.

Turbulentny: Płyn miesza się (nie zachowuje charakteru warstwowego).

Prędkość cząstek w danym punkcie zmienia się chaotycznie. Kryterium podziału na ruch laminarny i turbulentny jest wielkość

bezwymiarowa zwana liczbą Reynoldsa R_e.





vl

R

_e



gdzie:

 – gęstość cieczy

 – średnia (w przekroju poprzecznym) prędkość

 – współczynnik lepkości

l – charakterystyczny rozmiar przekroju poprzecznego (bok kwadratu)

Dla małych R_e – przepływ laminarny. Począwszy od tzw. wartości krytycznej R_ekr – przepływ turbulentny.

Przejście przepływu laminarnego w turbulentny zachodzi, gdy R_e > R_ekr. Wielkość R_ekr zależy od szeregu czynników: gładkości ścianek rury,

sposobu wprowadzania cieczy do rury. Dla gładkich powierzchni rur R_ekr  2300.

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Tor cząstek przechodzących przez określony punkt

nazywamy linią prądu

Linie prądu są równoległe do prędkości w każdym punkcie i nie mogą się przecinać

Dla przepływu ustalonego (laminarnego) linie prądu tworzą wiązkę zwaną strugą prądu. Ograniczenia strugi są równoległe do prędkości cząsteczek płynu i cząsteczki płynu nie wypływają.

Strugę tworzą skończona liczba linii prądu

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

t

Sv

m









1 1 1 1

S

v

S

_m





2 2 2 2

S

v

S

_m





2 2 2 1 1 1

S

v



S

v





_S

₁

_v

₁

_

_S

₂

_v

₂

_Sv

_

_const

Dla cieczy nieściśliwych ₁= ₂ stąd:

t

m

S

_m

d

d



Strumień masy: 1 1 1 1

d

d

v

S

t

m

_

_

2 2 2 2

d

d

v

S

t

m

_

_

t

Sv

m

d

d





m z y x

_S

t

z

v

y

v

x

v

_



_

















d

)

(

)

(

)

(









W przypadku ogólnym: RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

2 2 1 1

l

F

l

F

W











2

2

2 1 2 2

mv

mv

E

_K







E

E

W











)

(

h

₂

h

₁

mg

E

_P







PRAWO BERNOULIEGO 2 2 2 1 1 1

S

l

p

S

l

p

W











P₁ – siła parcia na powierzchnię S₁; P₁ = p₁S₁ p₁ – ciśnienie na powierzchnię S₁

P₂ – siła parcia na powierzchnię S₁; P₂ = p₂S₂ p₂ – ciśnienie na powierzchnię S₂

W czasie t przez powierzchnię S₁ przepływa ciecz o masie: m₁ = ₁ l₁S₁, zaś przez S₂: m₂ = ₂ l₂S₂.

Z prawa ciągłości: ₁ l₁S₁ = ₂ l₂S₂.

Przyrost energii 



warstwy cieczy o masie m₁

= m₂ = m równy jest pracy wykonanej przez siły zewnętrzne nad tą warstwą cieczy.

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA



m

p

p

pV

W







(

₁



₂

)



2

2

)

(

)

(

2 1 2 2 1 2 2 1

mv

mv

h

h

mg

m

p

p













2 2 2 2 1 2 1 1

2

2

gh

v

p

gh

v

p



















const

2

2







v

gh

p







m

l

S

l

S

V



₁



₁



₂



₂



PRAWO BERNOULIEGO

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

const

p

2

1

:

B

dla

const

gh

p

:

A

dla

o 2 o









B





Wzór Torricellego

2gh



B



o 2 o

p

2

1

gh

p









_B



PRZYKŁADY

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

B 2 2 1 A 2 2 1



_p





_p

B

v

v

A





B B A A

S

v

S

v



2 2 1 2 2 1 B A

p

p







v

B





v

A B A A B

S

S

v

v





















p

1

p

₂ 2 2 2 1 B A B A

S

S

v

A



gh



p

p

_A



_B



1

2

2 2

















B A A

S

S

gh

v

Rurka Ventouriego

Równanie Bernouliego może być wykorzystane do wyznaczenia prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnienia. Posłużymy się rurką

z przewężeniem z dwiema rurkami służącymi do pomiaru ciśnienia.

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

const.

p

2 2 1



_v





const



vS

B B A A

S

v

S

v



B 2 2 1 A 2 2 1



_p





_p

B

v

v

A





B

v

v

S

S

A A





B B

p

p

A



PARADOKS HYDROSTATYCZNY

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

•Rozkład prędkości płynu w różnych przekrojach cylindrycznych rury.

•Odległość miedzy przekrojami 1-1 i 5-5 nazywamy długością odcinka stabilizacji hydrodynamicznej.

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

W przepływie cieczy istotną rolę odgrywa siła tarcia pomiędzy warstwami cieczy zwana siłą lepkości. W laminarnym przepływie cieczy siła lepkości między dwiema sąsiednimi warstwami, poruszającymi się z prędkościami ,  + d wynosi:

d

F

S

dr









wzór Newtona gdzie: F_ – siła lepkości  – współczynnik lepkości

S – powierzchnia styku warstw

d dr



– szybkość zmian prędkości w kierunku prostopadłym do samej prędkości (gradient prędkości cieczy)

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Zmianie odległości od osi rury równej dr odpowiada zmiana prędkości o d.

Rozważmy ciecz w walcu o promieniu r i długości l;

p₁, p₂ – ciśnienie na powierzchnie 1, 2.

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Siła parcia na powierzchnię 1 wynosi: p₁ r2_{, zaś na powierzchnię 2: p}

2 r2.

wypadkowa siła parcia wynosi: (p₁ – p₂)  r2_.

Zwrot tej siły jest zgodny z ruchem cieczy. Jednocześnie działa siła lepkości:

2

d

F

rl

dr











Warunek stacjonarności ma postać:

2 1 2

(

p

p

)

r

d

2

rl

dr













WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Wartość wypadkowej siły parcia równa jest wartości siły lepkości

(zwroty tych sił są przeciwne).

Prędkość maleje wraz ze wzrostem odległości od osi rury czyli:

2 1 2

(

)

2

d

d

dr

dr

d

p

p

r

rl

dr













 



 

Stąd: 1 2

(

)

2

d

p

p r

dr

l











WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Rozdzielamy zmienne 1 2

(

)

2

p

p

d

rdr

l







 

Całkujemy stronami 2 1 2

(

)

2 2

p

p

r

C

l







 





Stałą całkowania obliczamy przyjmując, że dla r = R  = 0

2 1 2

(

)

0

4

p

p

R

C

l





 



stąd 1 2

(

)

4

p

p

C

R

l







2 stała całkowania

*

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

podstawiając tę wartość C do wzoru otrzymujemy:

2 2 1 2

(

)

(

)

4

p

p

R

r

l











lub 2 2 1 2 2

(

)

1

4

p

p

r

R

l

R













_



_





**

*

Wartość prędkości na osi rury wynosi:

2 1 2 0

(

)

(

0)

4

p

p

R

r

l











Można zatem wzór zapisać

gdzie:

  prędkość w odległości r od osi

**

PRZEPŁYW CIECZY PRZEZ OKRĄGŁA RURĘ

)

1

(

₂ 2 0

R

r

v

v





WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Przy założeniu, że przepływ jest laminarny obliczamy tzw. wydajność strumienia cieczy Q.

Wartość liczbowa Q równa jest objętości cieczy, która przepływa przez przekrój poprzeczny rury w jednostce czasu.

Poprzeczny przekrój rury dzielimy na pierścienie o grubości dr.

Przez pierścień o promieniu r przepływa w jednostce czasu ciecz o objętości równej iloczynowi powierzchni poprzecznego przekroju pierścienia

2



rdr

i prędkości przepływu w odległości r od osi rury

2 0

1

₂

r

R

 





_





_





Zatem 2 0

1

2

2

r

dQ

rl dr

R











_



_







WYDAJNOŚĆ STRUMIENIA

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

2 0

1

2

2

r

dQ

rl dr

R











_



_







2 0 2 0 2 3 2 4 0 2 0 2 0 2 0 0 0 _{0 0} 2 4 4 2 0 ₂ 0 0

1

2

1

1

2

2

2

2

4

1

2

2

2

4

4

2

R R R R R R

r

Q

rl dr

R

r

r

r

r

Q

rl dr

r dr

dr

R

R

R

R

R

R

R

R









 

 



 

 









_



_





















_



_





_





_



_



_













_



_







_



_

















R

2

Wydajność strumienia cieczy Q otrzymamy całkując to wyrażenie w granicach od zera do R.

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

ale 1 2 2 0

(

)

4

p

p

R

l









stąd 4 1 2

(

)

4

p

p

R

Q

l









wzór Poiseuille’a

Q zależy od rodzaju cieczy (temperatury). Tę zależność określa współczynnik .

Q jest odwrotnie proporcjonalne do współczynnika lepkości .

Wydajność strumienia Q jest wprost proporcjonalna do spadku ciśnienia na jednostkę długości rury  p1 _l p2 

  oraz czwartej potęgi promienia rury R.

8



l

WYDAJNOŚĆ STRUMIENIA

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

F

_┴

- siła nośna

F

║

- siła oporu czołowego

S

p

F

S

i

d

d





_n







S

S

p

F

i

_n

d

 







p

v

p

v

2 2

2

1

2

1

_

_

 







v

v

p

p

2 2

2

1

2

1

_

_















_

_





_{ } S

S

p

v

v

F

i

d

2

1

2

1

n 2 2





WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

s

s

p

F

C C

d

i

2

1

d

i

)

2

1

(

2 _n n 2













_



_









_y x

ρΓυ

F















_

_





_{ } C

s

p

v

v

F

i

d

2

1

2

1

n 2 2





Dla walca nieskończonego:







C

ds







_x y

ρΓυ

F

0

d

i

)

2

1

(

_

2 _n

_



_{ }



C

s

p



gdzie  jest krążeniem wektora prędkości po konturze C: Wzory Kutta-Żukowskiego:

0







_{ } 

F

x

υ

x

F

y

υ

y

v

F 



_

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

2 C

2

d

r

-d

d

s

r

s

s

r

Γ

C C



























0

2

0

2

_









  x x y x

υ

πρωr

ρΓυ

F

F

0

0

:





  y x

gdy





WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

S

r

v

S

F

d

d











_r

l

p

p

r

v

d

2

)

(

d

1 2









2 2 1

)

(

p

p

r

F

_p







l

p

p

r

r

v



2

)

(

d

d

_

₁



₂



C

r

l

p

p

v





1



2 2



4

)

(



Siła lepkości: (Wzór Newtona)

Wypadkowa siła parcia:

rl

r

v

r

p

p





2



d

d

)

(

₁



₂ 2





Warunek stacjonarności: p

F

F

_



r

v

r

v

d

d

d

d





WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

_{1 2 2}

4

)

(

R

l

p

p

C







)

(

4

)

(

_{1 2}

_R

2

_r

2

l

p

p

v









)

1

(

4

)

(

2 2 2 2 1

R

r

R

l

p

p

v









)

0

(

4

)

(

_{1 2 2} 0







R

r

l

p

p

v



)

1

(

₂ 2 0

R

r

v

v





WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA











R R

r

rl

R

r

v

Q

Q

0 2 2 0 0

d

2

)

1

(

d



2

4

2

4

1

2

2

d

rd

2

2 0 2 0 0 4 2 0 2 0 0 2 3 0 0

R

v

R

v

r

R

r

v

r

R

r

r

v

Q

R R R R





















































4 2 1

8

)

(

R

l

p

p

Q









r

rl

R

r

v

Q

(

1

)

2

d

d

₂ 2 0







2 2 1 0

4

)

(

R

l

p

p

v







wzór Poisenville’a

?

1



l

WYKŁAD 2 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Przy laminarnym (warstwowym) przepływie cieczy lepkiej przez rurę spadek ciśnienia jest wprost proporcjonalny do objętości cieczy przepływającej przez przekrój rury w jednostce czasu i do długości rury, a odwrotnie proporcjonalny do czwartej potęgi promienia rury.

Q

R

l

p

p

p

_{1 2}

8

₄









