ALGORYTM MEB PRZEJMOWANIA CIEPŁA PRZY PRZEPŁYWIE LAMINARNYM PRZEZ PRZEWODY PROSTOOSIOWE Z UWZGLĘDNIENIEM DYSSYPACJI LEPKOŚCI

(1)

ALGORYTM MEB PRZEJMOWANIA CIEPŁA PRZY PRZEPŁYWIE LAMINARNYM

PRZEZ PRZEWODY PROSTOOSIOWE Z UWZGLĘDNIENIEM DYSSYPACJI LEPKOŚCI

Tomasz Janusz Teleszewski

Katedra Ciepłownictwa, Politechnika Białostocka e-mail: t.teleszewski@pb.edu.pl

Streszczenie

W publikacji przedstawiono algorytm metody elementów brzegowych wyznaczania pól temperatur w przejmowaniu ciepła przy przepływie laminarnym w przewodach prosto osiowych niezależnie od kształtu przekroju poprzecznego przewodu z uwzględnieniem dyssypacji lepkości. Algorytm stanowi alternatywę wobec najczęściej stosowanych siatkowych metod numerycznych takich jak metoda różnic skończonych, metoda objętości skończonych czy metoda elementów skończonych. Weryfikacja algorytmu została wykonana na podstawie znanego rozwiązania teoretycznego rozkładu temperatury w przewodzie prostokątnym. W pracy przedstawiono przykład obliczeniowy przepływu przez przewód o przekroju sześciokąta, dla którego nie jest znane rozwiązanie analityczne. W celu wykonania symulacji komputerowych został napisany w języku Fortran autorski program obliczeniowy.

Słowa kluczowe: dyssypacja lepkości, przejmowanie ciepła, liczba Brinkmana, metoda elementów brzegowych.

BOUNDARY ELEMENT METHOD ALGORITHM

FOR THE LAMINAR VISCOUS DISSIPATION ON THE

HEAT TRANSFER OF FLOW THROUGH STRAIGHT PIPES

Summary

The paper presents the numerical application Boundary Element Method to calculate the temperature distribu- tion effects of viscous dissipation on the heat transfer in forced straight pipes of arbitrary cross-section shapes.

The BEM algorithm is an alternative to mesh method: Finite Difference Method, Finite Element Method or Finite Volume Method. The efficiency and the credibility of proposed algorithm were verified by numerical tests and the BEM solution is compared with theoretical results of laminar viscous dissipation on the heat transfer in rectangular duct. A numerical examples are presented to effects of viscous dissipation on the heat transfer in forced in hexagonal duct. All numerical simulation were obtained the computer program, which was written in Fortran programming languages.

Keywords: viscous dissipation, heat transfer, forced convection, Brinkman number, boundary element method.

1. WSTĘP

W licznych zagadnieniach przepływowo-cieplnych wykorzystuje się przejmowanie ciepła przy przepływie laminarnym przez przewody prostoosiowe. W przypadku

płynów o dużej lepkości również uwzględnia się dyssypa- cję lepkości [1].

(2)

Dotychczas w literaturze problematykę przejmowania ciepła przy przepływie laminarnym bądź dyssypacji lepkości w przewodach prostoliniowych najczęściej rozpatrywano jako oddzielne zagadnienia [1,2,3]. Połą- czenie tych dwóch zagadnień zostało wykonane tylko dla najprostszych przypadków, takich jak przepływy między płytami [4,5,6], przepływy w kanałach okrągłych [7,8,9,10,11,12], eliptycznych [13], w przewodach o przekroju trójkąta równobocznego [13] oraz w przewodach prostokątnych [14].

W pracy przedstawiono algorytm metody elementów brzegowych (BEM) wyznaczania pola temperatury w przejmowaniu ciepła przepływu laminarnego w przewodach prostoosiowych niezależnie od kształtu przekroju poprzecznego przewodu z uwzględnieniem dyssypacji lepkości przy stałej wzdłuż osi przewodu gęstości strumienia ciepła.

Prezentowany algorytm MEB stanowi alternatywę w stosunku do najczęściej stosowanych metod siatkowych, takich jak: metoda różnic skończonych [15], metoda elementów skończonych [16] czy metoda objęto- ści skończonych [17]. W celu wykonania symulacji wyprowadzono algorytm metodą elementów brzegowych i napisano w języku Fortran program obliczeniowy

“Dissipation-Convection in Duct”.

Przepływ newtonowskiego płynu rzeczywistego jest opisany układem równań różniczkowych wynikających z zasady zachowania masy (1), momentu pędu (2) i energii (3) [1,2]:

0

divv= (1)

2 ;

D p g

ρ Dtv= −∇℘+ ∇µ ℘ = ∇ −ρ

v (2)

2 v_i

p ij

i

c DT T

Dt x

ρ = ∇λ +µτ ^∂

∂ (3)

gdzie: v jest prędkością przepływu, p jest to ciśnienie, g jest przyśpieszeniem ziemskim, ρ jest gęstością cieczy, µ jest współczynnikiem lepkości dynamicznej, cp jest to ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, λ jest współ- czynnikiem przewodzenia ciepła, natomiast τij jest lepkim tensorem naprężeń.

W przypadku stacjonarnego w pełni rozwiniętego laminarnego przepływu jednokierunkowego w przewodach prostoosiowych, gdzie składowe vx=0, vy=0 oraz przy stałej wzdłuż osi przewodu gęstości strumienia ciepła, równania (1-3) ulegają uproszczeniu (rys.1):

v^z 0

∂ =z

∂ (4)

2 2

v v

; 0

z z p p p

x y z x y

µ^^∂ +^∂ ^=^∂ ^∂ =^∂ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  (5)

2 _p Tv_z

T c

λ∇ =ρ ^∂z − ℑ

∂ (6)

gdzie:

2 2

v_z v_z

x y

µ^^^^∂ ^ ^^∂ ^ ^^ ℑ = −   + 

∂ ∂

 

   

  (6a)

Równania różniczkowe (5-6) zostały rozwiązane me- todą elementów brzegowych. Napisany program obliczeniowy “Dissipation-Convection in Duct” składa się z dwóch części. W pierwszej części z równania (5) wyznaczono pole prędkości oraz rozwiązanie członu odpo- wiedzialnego za dyssypacje lepkości ℑ

(6a)

. Rezultaty obliczeń równania (5) są warunkiem dla równania (6).

Natomiast w drugiej części programu rozwiązywano równanie (6), z którego wyznaczono pole temperatury.

Rys. 1. Szkic obrazujący zagadnienia brzegowe w przepływach przez przewody prostoosiowe

2. BRZEGOWE RÓWNANIA CAŁKOWE OPISUJĄCE PRZEJMOWANIE CIEPŁA PRZY PRZEPŁYWIE

LAMINARNYM PRZEZ

PRZEWODY PROSTOOSIOWE Z UWZGLĘDNIENIEM

DYSSYPACJI LEPKOŚCI

W celu wyznaczenia pola prędkości w przekroju ( )Λ równanie Poissona (5) zredukowano do równania Lapla- ce’a przez podział składowej prędkości przepływu v_z na składową prędkości przepływu niezakłóconego v_∞ oraz składową prędkości przepływu wzbudzonego ściankami prostoliniowego kanału v_w [18,19]:

2 2

v v

0 ; v ( ) v ( ) ;

w w

w L

x y ^∞

∂ +∂ = = − ∈

∂ ∂ q q q

(7)

gdzie:

2 2

1 1

v ( ) ( ) ; 0

4 x y dp

µdz

∞q = ℘ q+ q ℘= < (7a)

LT

Lq Y

X Z

rpq

q

p

Λ v (x, y)z

(3)

Ostatecznie prędkość w przekroju kanału ( )Λ wyznacza się z zależności:

v ( )_z p =v ( )_∞p +v ( )_w p ; p∈ Λ

(8) Zakładając podział brzegu L przekroju poprzecznego przewodu prostoliniowego zgodnie z kierunkiem wskazó- wek zegara w obszarze płaskim ( )Λ

,

rozwiązaniem równania różniczkowego (5) jest następujące równanie całkowe (rys.1) [18,19]:

( )

1v ( ) ( ) ( , ) 2

v ( ) ( , )

w w q

L

w q

L

g K dL

E dL

+ =

=

∫

p q p q

q p q

(9)

gdzie:

1 1

( , ) ln 2

; ( ) , ( )

K r

r L L

π

 

=  

 

= − ∈ ∈

pq

p q

p q p q

(10a)

2

( ) ( )

( , ) 1 2

, , ; ( ) , ( )

x y

x x n y y n

E r

y x

n n L L

L L

π

δ δ

− + −

=

 

 = −  ∈ ∈

 

 

 

p q p q

pq

q q

p q

p q

(10b)

gdzie: n^x oraz n^y są to wersory normalnej do brzegu (L).

Po wyznaczeniu gęstości g_w( )q na linii brzegowej (L), prędkość vz w dowolnym punkcie obszaru ( )Λ wyznacza się z zależności:

( )

v ( ) ( ) ( , )

v ( ) ( , ) v ( ) ( ) , ( )

z w q

L

w q

L

g K dL

E dL

L

∞

= − +

+ +

∈ Λ ∈

∫

p q p q

q p q p

p q

(11)

W pracy wyprowadzono funkcje podcałkowe dyssypacji lepkości, różniczkując wyrażenie całkowe (11) zgodnie z (6a):

( )

v ( ) ( , )

( )

( , ) v ( )

v ( )

( ) , ( )

z

w q

L

w q

L

g K dL

x x

E dL

x x

L

∞

∂ = − ∂ +

∂ ∂

+ +

∂ ∂

∈ Λ ∈

∫

p p

p p q

q

p q p

q

p q

(12)

oraz

( )

v ( ) ( , )

( )

( , ) v ( )

v ( )

( ) , ( )

z

w q

L

w q

L

g K dL

y y

E dL

y y

L

∞

∂ = − ∂ +

∂ ∂

+ +

∂ ∂

∈ Λ ∈

∫

p p

p p q

q

p q p

q

p q

(13)

gdzie:

( )

( , ) 1

2 x x K

x π r

∂ = − −

∂

p q

p pq

p q (13a)

( )

( , ) 1

2 y y K

y π r

∂ = − −

∂

p q

p pq

p q (14a)

(

² ²

)

4

( , )

( ) ( ) 2( )( )

2

x y

E x

y y x x n x x y y n

πr

∂ =

∂

− − − − − −

=

p

p q p q p q p q

pq

p q

(13b)

(

² ²

)

4

( , )

( ) ( ) 2( )( )

2

y x

E y

x x y y n x x y y n

πr

∂ =

∂

− − − − − −

=

p

p q p q p q p q

pq

p q

(14b)

W pracy [19] przeprowadzono weryfikację wyznaczo- nego pola prędkości z zależności (11).

Zagadnienie brzegowe dla równania różniczkowego (6) formułuje się w postaci złożonego warunku brzego- wego Dirichleta i Neumanna zakładającego znane warto- ści temperatury T%( )q na części brzegu LT (q∈LT) i znane wartości strumienia ciepła ( )q% q na części brzegu Lq (q∈Lq) (rys. 1):

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( , ) ( ) ( , )

v ( ) ( , ) ,

( ),( ) ; ( )

q

T

T q

q L

T L

T q

L L

p z

T q dL

T dL

q dL T dL

c T d

z

L χ

ρ µ

Λ

− + +

+ =

= − − +

∂

 

+  + ℑ Λ

∂

 

∈ ∈ Λ

∫

∫ ∫

∫∫

p p q K p q

q E p q

q K p q q E p q

w K w q

p q w

% %

(15)

gdzie dla brzegu gładkiego ( )χ ^p =1/2 oraz:

2 2

1 1

( , ) ln ,

2

( ) ( )

r

r x x y y

πλ

 

=  

 

= − + −

pq

pq p q p q

K p q

(15a)

2

( ) ( )

( , ) 1 2

x y

x x n y y n

π r

− + −

= ^p ^q ^p ^q

pq

E p q

(15b)

2 2

1 1

( , ) ln ,

2

( ) ( )

r

r x x y y

πλ

 

=  

 

= − + −

wq

wq w q w q

K w q

(15c)

Po wyznaczeniu z równania całkowego (15) T( )q oraz q( )q temperaturę w dowolnym punkcie p∈ Λ rozpatrywanego obszaru (Λ) wyznacza się ze związku całkowego:

( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )

v ( ) ( , ) ,

( ) ; ( ), ( )

q q

L L

p z

T T dL q dL

c T d

z

L

ρ µ

Λ

= + +

∂

 

−  ∂ + ℑ Λ

∈ ∈ Λ

∫ ∫

∫∫

p q E p q q K p q

w K w q

q p w

(16)

(4)

3. WERYFIKACJA ALGORYTMU

Weryfikacja prezentowanego algorytmu metody ele- mentów brzegowych została wykonana poprzez porów- nanie rezultatów obliczeń numerycznych MEB ze zna- nym rozwiązaniem teoretycznym bezwymiarowego pola temperatury w przepływie laminarnym w przewodzie prostokątnym z uwzględnieniem dyssypacji lepkości [14]:

*

, ,

2 2 2 2

1, 1,

2 2 2 2

1, 1,

( , )

4 sin( ) sin

sin( ) sin

( ) ( )

TEO

q n m n m

n odd m odd

T x y

Br a b y

n x m

n m n x m y

A nm n m

β π π

π β β

π π

β β

π β β

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

=

+  

=  +

+  

 

 

 

− +

∑ ∑

(17)

gdzie:

1 2

, 0 0

sin( ) sin

n m

a V n x m y

x

β π πβ

 

∂

 

=    

∂

   

∫∫

^(17a)

1 2

, 0 0

sin( ) sin

n m

b V n x m y

y

β π π

β

∂   

=    

∂  

 

∫∫

^(17b)

2 2 2 2 2 2

1, 1,

4 1

( ) n odd m odd ( )

Aβ m n n m

π β

∞ ∞

= =

=

∑ ∑

+ (17c)

v2_sr

Brq

q

=µ (17d)

gdzie: β jest stosunkiem podstawy do wysokości przewodu prostokątnego, Brq jest liczbą Brinkmana, vsr jest to prędkość średnia w przewodzie prostokątnym, q jest całkowitą gęstością strumienia ciepła, natomiast

µwspółczynnikiem lepkości kinematycznej.

Bezwymiarowa temperatura otrzymana metodą ele- mentów brzegowych jest opisana następującą zależno- ścią:

* ( ( , ) )

( , ) ^MEB ^S

MEB

T x y T T x y

q

λ −

= (18)

gdzie: Ts jest to temperatura ścianki przewodu, TMEB(x,y) jest temperaturą wewnątrz przewodu wyzna- czoną metodą elementów brzegowych (16), natomiast λ jest to współczynnik przewodzenia ciepła.

Do obliczeń przyjęto: kwadratowy przekrój przewodu (β=1.0), jednostkową lepkość kinematyczną, Brq=0.01 oraz zerową temperaturę na ściance przewodu.

Błąd rozwiązania metody elementów brzegowych dla temperatury wyznaczono z zależności:

* *

MEB ^TEO* ^MEB100%

TEO

T T

δ = ⁻ (19)

gdzie: T_MEB^* jest to bezwymiarowa temperatura wyznaczona metodą elementów brzegowych, natomiast T^*_TEO jest rozwiązaniem teoretycznym (17) [14].

W tabeli 1 zestawiono błąd metody MEB dla brzegu składającego się z 40 i 80 liniowych elementów w wy-

branych punktach przekroju Y=0. Maksymalny błąd metody MEB dla brzegu składającego się z 40 liniowych elementów nie przekracza 0.17 [%], natomiast dla brzegu zbudowanego z 80 elementów błąd MEB nie przekracza 0.09 [%].

Tab. 1. Bezwymiarowa temperatura przy przepływie laminarnym w przewodzie prostokątnym dla Brq=0.01 - błąd rozwiązania MEB Współrz. Rozwiązanie Rozwiązanie Błąd met.

węzłów teoretyczne num. MEB MEB

Yw=0.00 40

Xw T*TEO T*BEM dTBEM

-0,50 0,0000E+00 0,0000E+00 - -0,40 -3,0201E-02 -3,0176E-02 8,2538E-02 -0,30 -6,0133E-02 -6,0091E-02 7,0065E-02 -0,20 -8,4200E-02 -8,4099E-02 1,2047E-01 -0,10 -9,9500E-02 -9,9348E-02 1,5316E-01 0,00 -1,0472E-01 -1,0455E-01 1,6326E-01

80

-0,50 0,0000E+00 0,0000E+00 - -0,40 -3,0201E-02 -3,0188E-02 4,1932E-02 -0,30 -6,0133E-02 -6,0114E-02 3,2124E-02 -0,20 -8,4200E-02 -8,4152E-02 5,7303E-02 -0,10 -9,9500E-02 -9,9423E-02 7,8154E-02 0,00 -1,0472E-01 -1,0463E-01 8,4686E-02 Zagęszczenie podziału linii brzegowej konturu przekroju przewodu prostoliniowego powoduje zmniejszenie błędu metody MEB. Graficzne rezultaty porównania metody MEB w wybranych punktach przekroju Y=0 z rozwiązaniem teoretycznym dla zadanych Brq=0.01 oraz Brq=0.03 zostały przedstawione na rys. 2.

Rys. 2. Porównanie rozkładu temperatury (y=0.0) w wyzna- czonej MEB z rozwiązaniem analitycznym (17) [14]

Na rys. 3. wykreślono izotermy wyznaczone metodą elementów brzegowych dla Brq=0.01 w przewodzie prostokątnym (β=1.0).

(5)

Rys. 3. Izotermy wyznaczone metodą elementów brzegowych dla Brq=0.01 w przewodzie prostokątnym (β=1.0)

4. PRZYKLADY OBLICZENIOWE

Poniżej przedstawiono przykład obliczeniowy przejmowania ciepła w przewodzie o przekroju sześciokąta, dla którego nie jest znane rozwiązanie teoretyczne.

Przyjęto przepływ gliceryny o następujących parame- trach [20]: µ=1.499[Pa*s], ρ=1261.08[kg/m³], cp=2386.0[J/(kgK)], λ=0.2797 [W/(mK)]. Na brzegu przewodu L założono stałą temperaturę Ts=20 [^oC].

Liczba Nusselta została wyznaczona z następującego wzoru [14]:

(

w^w ^hm

)

^; ^h ⁴

Nu q D D

T T L

λ

= = Λ

− (20)

gdzie: Dh jest średnicą hydrauliczną , L jest obwodem przewodu, Λ jest polem powierzchni przewodu, natomiast średnia masowa temperatura płynu Tm określona jest następującą zależnością [21]:

1 v

m v

sr

T Td

Λ

= Λ

Λ

∫

(21)

gdzie vsr jest to średnia prędkość przepływu w kanale, wyznaczona z pola prędkości:

v_sr 1 vd

Λ

= Λ

Λ

∫

(22)

Liczba Reynoldsa została wyznaczona ze wzoru:

Re⁼v^srνD^h ; ν⁼µρ ⁽²³⁾

gdzie: ν jest współczynnikiem lepkości kinematycznej Wszystkie obliczenia wykonano metodą elementów brzegowych.

Na rys. 4 przedstawiono izotachy przepływu gliceryny przez przewód o przekroju sześciokąta (Re=1.33), natomiast na rys. 5 zaprezentowano widok 3D pola prędkości.

Na rys. 6 wykreślono izotermy dla tego przepływu (Nu=3.92, Br^q=0.01), natomiast rys. 7 przedstawia trójwymiarowy widok rozkładu temperatury.

Rys. 8 przedstawia trójwymiarowy widok funkcji dyssypacji lepkości ℑ (6a) przewodzie sześciokątnym.

Na rys. 9 zaprezentowano wyznaczoną funkcję Nu=f(Br^q) przepływu w kanale o przekroju sześciokąta, którą obliczono na podstawie obliczeń numerycznych metody elementów brzegowych.

Rys. 4. Izotachy przepływu gliceryny w przewodzie o przekroju sześciokąta (Re=1.33) – rozwiązanie numeryczne MEB

Rys. 5. Widok 3D pola prędkości w przewodzie o przekroju sześciokąta przepływu gliceryny (Re=1.33) – rozwiązanie

numeryczne MEB

Rys. 6. Izotermy przepływu gliceryny w przewodzie o przekroju sześciokąta – rozwiązanie numeryczne MEB

(6)

Rys. 7. Widok 3D pola temperatury w przewodzie o przekroju sześciokąta przepływu gliceryny (Re=1.33, Nu=3.92, Brq=0.01)

– rozwiązanie numeryczne MEB

Rys. 8. Widok 3D funkcji dyssypacji lepkości ℑ(6a) w przewodzie o przekroju sześciokąta– rozwiązanie numeryczne MEB

Rys. 9. Funkcja Nu=f(Brq) przepływu w przewodzie o przekroju sześciokąta wyznaczona na podstawie rezultatów obliczeń

MEB

5. WNIOSKI

Zaprezentowany algorytm metody elementów brzegowych przejmowania ciepła przy przepływie laminarnym w przewodach prostoliniowych niezależnie od kształtu przekroju przewodu z uwzględnieniem dyssypacji lepkości pozwala w sposób efektywny wyznaczać pola prędkości i rozkłady temperatur wewnątrz przewodów.

Mały błąd MEB świadczy o dużej dokładności przed- stawionego algorytmu. Główną zaletą metody elementów brzegowych jest eliminacja skomplikowanych i praco- chłonnych trójwymiarowych siatek wewnątrz przewodu.

Należy tu zaznaczyć, że tylko nieliczne najprostsze rozwiązania tego typu przepływów mają rozwiązania analityczne. Prezentowana metoda elementów brzegowych w przejmowaniu ciepła w przewodach prostoosiowych z dyssypacją lepkości również może być wykorzy- stana do wyznaczenia liczb kryterialnych opisujących tego typu przepływy, np. liczba Nusselta, liczba Brink- mana.

Opracowanie zrealizowano w ramach pracy statutowej Politechniki Białostockiej.

Literatura

1. White F. M.: Viscous fluid flow. International Edition, McGraw-Hill, 2005

2. Lifshitz E. M., Landau L. D.: Fluid mechanics. Vol. 6. Elsevier Ltd. Oxford, Butterworth Heinemann, 2000.

3. Muzychka Y.S., Yovanovich M. M.: Laminar forced convection heat transfer in the combined entry region of non-circular ducts. “Journal of Heat Transfer” 2004 , Vol.126, p. 54 - 61

4. Sheela-Francisca J., Tso C.P.: Viscous dissipation effects on parallel plates with constant heat flux boundary conditions. In: “International Communications in Heat and Mass Transfer” 2009, Vol. 36, p. 249 - 254.

5. Aydin O., Avci M.: Viscous-dissipation effects on the heat transfer in a Poiseuille flow. “Applied Energy” 2006, Vol. 83, p. 495 - 512.

(7)

6. Mondal P.K., Mukherjee S.: Viscous dissipation effects on the limiting value of Nusselt numbers for a shear driven flow between two asymmetrically heated parallel plates. “Frontiers in Heat and Mass Transfer” 2012, Vol. 3, No. 3, p. 1 - 6

7. Aydin O.: Effects of viscous dissipation on the heat transfer in forced pipe flow. Part 1: both hydrodynamically and thermally fully developed flow. “Energy Conversion and Management” 2005, Vol. 46, p.757 - 769.

8. Aydin O.: Effects of viscous dissipation on the heat transfer in forced pipe flow. Part 2: Thermally developing flow. “Energy Conversion and Management” 2005, Vol. 46, p.3091 - 3102.

9. Barletta A., Rossi di Schio E.: Effect of viscous dissipation on mixed convection heat transfer in a vertical tube with uniform wall heat flux. “Heat and Mass Transfer” 2001, Vol. 38, p. 129 - 140.

10. Pinho F.T., Oliveira P.J.: Analysis of forced convection in pipes and channels with the simplified Phan-Thanner fluid. “International Journal of Heat and Mass Transfer” 2000, Vol. 43, p. 2273 - 2287.

11. Barletta A.: Fully developed laminar forced convection in circular ducts for power-law fluids with viscous dissipation. “International Journal of Heat and Mass Transfer” 1997, Vol. 40, No. 1, p. 15 - 26.

12. Zanchini E.: Effect of viscous dissipation on the asymptotic behavior of laminar forced convection in circular tubes. “International Journal of Heat and Mass Transfer” 1997, Vol. 40, No. 1, p. 169 - 178.

13. Tyagi V. P.: Laminar forced convection of a dissipative fluid in a channel. “ASME J. Heat Transfer” 1966, Vol.

88, p. 161 - 167.

14. Morini G.L., Spiga M., Tartarini P.: Laminar viscous dissipation in rectangular ducts. “International Communi- cations in Heat and Mass Transfer” 1998, Vol. 25, No. 4, p. 551 - 560.

15. Mitchell A.R.: The finite difference method in partial differential equations. John Wiley&Sons Inc., 1980 16. Zieniewicz O.C., Taylor R.L.: The finite element method fluid dynamics. Fifth Edition Vol. 3. Elsevier Singa-

pore, 2005

17. Versteeg H., Malalasekra W.: An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. Pren- tice Hall 2007

18. Brebbia C.A., Telles J.F.C., Wrobel L.C.: Boundary element techniques: theory and applications in engineering.

New York: Springer-Verlag, 1984

19. Teleszewski T.J., Sorko S.A.: Zastosowanie metody elementów brzegowych do wyznaczania jednokierunkowego przepływu w przewodach prostoosiowych o dowolnym kształcie przekroju poprzecznego. „Acta Mechanica et Au- tomatica” 2011, Vol.5, nr 3, p. 124 - 132

20. Aylward G., Tristan Findlay T.: SI chemical data book (4th ed.). John Wiley and Sons Ltd, 1999 21. Wiśniewski S., Wiśniewski T.S.: Wymiana ciepła. Warszawa: WNT, 2012