Wykład 5 modyfikacja 201920L

( )

_{( )}

_{( )}

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )



( )

( )



( )

( )

( )x ( )x FP x x FP FP FP

e

x

e

x

D

x

L

t

x

p

e

x

e

x

D

t

x

J

x

D

x

x

D

x

x

L

L

x

D

D

x

D

D

t

x

J

x

t

x

p

L

t

t

x

p

  −   −









=







−

=





+





−

=

=



=

=





−

=

=





2 2 2 2 2 1 2 2 1 1

,

,

,

,

,

,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )









−





x

x

d

x

D

x

D

x

D

x

0 2 1 2

ln

Funkcje i wartości własne operatora Fokkera-Plancka

Rozpatrujemy jednowymiarowe równanie Fokkera – Plancka

operator Fokkera – Plancka

gdzie potencjał

Poszukujemy funkcji i wartości własnych operatora Fokkera – Plancka

( ) ( )

x

p

x

p

( )

x

L

_{FP n}

=

−



_{n n}





+ FP FP

L

L

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )



( )

( )



( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

L

L

dx

P

P

L

dx

P

P

L

e

dx

P

L

e

P

dx

P

e

x

e

D

x

e

P

b

J

a

J

b

P

a

P

dx

P

e

e

P

x

e

D

x

P

e

e

P

x

e

D

dx

P

e

x

e

D

e

P

x

P

e

x

e

D

e

P

b

J

a

P

e

x

e

a

D

a

J

b

P

a

P

dx

P

e

x

e

D

e

P

x

P

e

x

e

D

e

P

dx

P

e

x

e

D

x

e

P

dx

t

x

P

x

L

t

x

P

D

x

L

e

x

L

b a b a FP b a FP b a b a b a b a b a a a b a b a b a b a FP x

~

~

~

0

2

0

1

0

0

,

0

2

0

1

,

~

,

.

~

2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 0 2 2 0 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 0 1 1 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

=



=

=

=









=

=





















=

=



=

=

=

































+

















=

=





















−

=

=

























=







=

=





−

=



=

=

=

=





















−





=









=



+     −     −    −   −    −    −   −    −    −  



















jest operatorem hermitowskim

dla warunków

brzegowych typu bariery pochłaniającej lub

odbijającej

(całkujemy przez części)

L

e

L

e

e

L

e

L

e

e

e

L

e

L

D

e

L

e

e

L

e

L

_FP

=

=

=

























=













=

=



 −  −  − +  − +  − +  − +  −  − +  −   −  − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

~

~

~

~

.

~

_{jest również operatorem hermitowskim}

Związek pomiędzy wartościami i funkcjami własnymi L i LFP

( )

( )

(

) (

)

( )

( )

















+ − +    +  +  +  +  +  −  −  −  −  −   −  −

=

=

=

=

=

=

=

−

=

















−

=















−

=





−

=

dx

p

p

x

p

dx

p

p

e

dx

p

e

e

p

dx

p

e

e

p

dx

p

e

p

e

dx

p

p

L

e

p

e

e

L

e

e

L

e

e

e

x

x

L

m n s m n m n m n m n m n m n n n n FP n n n n n FP n n n FP n n n 1 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2





























są funkcjami własnymi LFP

L jest hermitowski, więc jego funkcje własne tworzą układ ortogonalny

odwrotność stacjonarnej gęstości prawdopodo-bieństwa (z dokł. do stałej)

Wniosek: funkcje własne operatora niehermitowskiego LFP tworzą układ ortogonalny z

Ponieważ LFP w ogólności nie jest hermitowski, potrzebujemy oddzielnego układu funkcji własnych operatora L+FP.

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

( )

(

)

m n m n m n m n m n n s n n n n n m s n m m n m n m n n n n n n FP n n n FP n n n FP n n n FP FP FP n n n n n n n n n

p

q

dx

p

q

dx

p

e

q

e

dx

q

p

q

e

q

e

e

e

p

dx

q

q

x

p

dx

q

q

e

dx

q

e

q

e

dx

e

q

q

q

L

e

e

L

e

e

L

e

e

e

L

e

L

e

e

L

e

L

e

L

e

L

L

L

,

,

,

2 2 , 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



=

=

=

=

=

=



=

=

=

=



−

=



−

=



−

=





−

=

=

=



=





−

=

−

=



−

=















  − + + +  − +  −  −  − + +  − +  −  − + +  + +  +  + +  +  +  −   + + +  +  − +  −  +  −  + + + + +























































są funkcjami własnymi L+FP

Korzystając z ortogonalności funkcji własnych operatora L, otrzymujemy

Funkcje własne L+FP są ortogonalne z wagą równą stacjonarnej gęstości

prawdopodobieństwa

tworzą układ biortogonalny Wniosek

Wartości własne operatora L są nieujemne n b a n n b a n n b a n FP n b a n FP n

e

L

p

dx

p

e

e

L

e

e

p

dx

L

dx

dx

p

D



=



=







=

−







=

−



  −    _{2 2 2 2} 2

.

( ) ( ) ( )



0

0

0 0 2 2 2 2























−

=

=





















−

=









=









  −     −    −   n b a n b a n n b a n n b a n FP n

dx

e

D

e

p

x

dx

p

e

x

e

D

e

p

x

dx

p

e

x

e

D

x

e

p

dx

p

L

e

p



(całkujemy przez części i korzystamy z warunków brzegowych w postaci bariery odbijającej lub pochłaniającej)

(funkcja podcałkowa jest nieujemna, więc i całka jest nieujemna)

Rozwiązania równania Fokkera-Plancka można poszukiwać w postaci

p

L

t

p

FP

=





( ) ( )

x

t

p

x

e

L

p

p

p

,

=

−t



_FP

=

−



Wniosek: dowolne rozwiązanie równania Fokkera-Plancka można rozłożyć w bazie funkcji własnych

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

_m n mn n n n m n m n n n n t n n A A dx x p x q A dx x p x q x p A x p e x p A t x p n = = =  =  =



 







−



 0 , 0 , ,

Np. prawdopodobieństwo przejścia uzyskujemy, przyjmując warunek początkowy

(

)

(

)

( ) (

)

( )

(

)

₌

_

( ) ( )



−  = − =  − = n t n n m m m n e x p x q x t x p x q dx x x x q A x x x x p 





0 0 0 0 0 0 0 , , 0 , 0 , Rozwiązanie stacjonarne

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

x p

( )

x p x q x q dx x p x q dx t x p x p x q e x p A t x p n s t n t n n n n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 , , 3 , 2 , 1 , 0 , 0 =    =  =  = → =  =  =







− _→







( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 1 , 2 1 ˆ , 2 1 2 1 1 2 1 ln 2 1 ˆ , , ˆ , dx D d dx dD D dx dD D x V x V x D x L x D x x D x D D x a x D x x D x D x D a f D x D D x f D x f D f D D x D D D x d x D x D D x f D f x D f e x e D af e D x e a e x e D a a a e x e D e D x e e L e L e x e x D x L x FP x x FP − +       − = −     =        −   +   − =       −   +   =        −   +   =   +       −   = =          − =  =   +    =   =   −     − =     = =     =



  −  −    −   −  −   −   

− _{Jawna postać operatora L}

Dla dowolnej funkcji f

(wyprowadzenie na następnym slajdzie)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

(

( )

)

( )

x

f

x

f

D

dx

dD

D

D

x

V

x

V

x

D

L

x

f

D

x

D

e

x

e

D

a

x

f

D

x

D

e

x

e

D

a

x

f

dx

dD

x

f

x

D

D

x

f

x

D

D

dx

d

D

x

f

x

d

x

D

D

D

const

D

D f D f D f D f x



−



=

+

=

−





=



+





−

=





−





+





=





=



−

=



−

=





=

−

=









−

=





=

− −



2

1

4

1

2

1

4

1

,

2

1

ˆ

2

1

,

1

1

ln

2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 1

Dowolne równanie Fokkera-Plancka z niezależnymi od czasu współczynnikami można przez odpowiednią zamianę zmiennych sprowadzić do postaci z

D(2) = D = const, wówczas

(♠)

Równanie Fokkera-Plancka z D(2) _{=D=const jest równoważne równaniu Schrödingera}

( )

( )

( )









      −   =    =  − = +   − = =   −   = =     = =    =       −    x V x D t D m t i t x V x m H H t i x V x D L p L t p p e p p Le p e e L e t p e e p L t p s s FP FP 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , , ~ ~ ~     W równaniu Schrödingera

dokonajmy transformacji zmiennych

która prowadzi do przetransformowanego równania Fokkera-Plancka z Vs(x)=V(x)

Podobnie równoważne są niezależne od czasu równania Schrödingera i Fokkera-Plancka

Funkcje własne dla procesu Wienera Bariera odbijająca

_{( )}

_{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

) ( ) (

)

( )

( ) ( )

(

)

( )

(

)

(

)

4 1 exp 1 2 8 4 1 0 , , 0 1 exp cos cos 2 1 0 , , 0 , , 2 , 1 , 0 , , cos 2 , cos 2 , 1 1 , 1 , 0 0 0 ln 0 , 1 , 0 , 0 1 2 4 4 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 , 1 0 2 2 0 0 0 2 2 2 2  →  = + −  →  = → − + + = = = = → − + = − = = = = = =   = = =  = − =    =  = =  → =  =   =     =  











t n n s s s t n n n m m n n n n n n n n n FP t n x p x t x p xx dx dx x t x x p t x n x n x t x p x x x t x p m n dx x q x p x n x q x n x p Dn n x q x p n p x p D p L L D t x p t x p x p D t p































Można przyjąć (dowolną stałą można włączyć do stałej normującej)

Zagadnienie własne Wartości i funkcje własne Normowanie Warunek pocz. Rozwiązanie Stacjonarna funkcja autokorelacji

Funkcje własne dla procesu Ornsteina-Uhlenbecka

( )

( ) ( )

( )

_{( )}

n n n n n n x

b

b

L

b

b

a

a

L

b

b

x

D

x

D

x

D

x

D

x

D

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

D

x

x

D

a

D

x

x

D

a

x

x

f

D

x

f

x

D

x

D

D

x

d

x

D

D

D

D

x

D

x

p

D

xp

x

t

p































































=



−

=



−

=

−

=













+





−

=













+





=

















+





=

+





=

=

=





=





+





−

=

+





=

=



=

=



→

+

=





+

=



=

−

=







+





=





+ + + + +



ˆ

2

1

,

2

1

2

2

2

2

1

2

1

ˆ

ˆ

,

2

ˆ

,

2

2

2

2

ln

1

ln

,

2 2 2 0 2 1 2 2

Wprowadźmy nowe operatory i zmienne

(

)

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )











−













=



=

=



=



=

=

=





=



+

=



=

 −   − + − + +



2 2 2 , 2 4 2 1

2

exp

2

!

2

1

2

,

2

2

,

!

2

1

2

,

2

,

1

,

0

,

2

x

D

x

D

H

n

D

x

p

x

e

x

p

x

D

x

dx

x

x

x

D

e

H

n

D

x

n

n

E

a

a

H

b

b

n n n n x n n m m n n n n n n n n n n n n



















































Zagadnienie własne

przypomina zagadnienie własne (oscylator harmoniczny)

Normowanie

Funkcje własne operatora Fokkera – Plancka przyjmują więc postać

wielomiany Hermitte’a