Transformata Fouriera funkcji z L
2(R
1)
zadania na kolokwium
Zad. 1. Oblicz
1. R0∞(a2+t2t)(b2 2+t2)dt, 2. R0∞(1+xdx2)2.
Zad. 2. (2002) Oblicz całkę
Z ∞ 0
dt
(a2+ t2)(b2+ t2), a, b > 0.
Zad. 3. (2002) Oblicz
Z ∞ 0
sin at sin bt t2 dt.
Zad. 4. (2003) Wiedząc, że transformata Fouriera funkcji f (x) = cos ax 1l[−π,π](x) ma postać
f (ξ) =ˆ sin(a − 2πξ)π
a − 2πξ +sin(a + 2πξ)π a + 2πξ , a) podaj wzór odwrotnej transformaty Fouriera funkcji f , b) wyznacz funkcję g, której transformata ma postać
g(ξ) =ˆ sin(a − ξ)π
a − ξ + sin(a + ξ)π a + ξ , c) oblicz całkę
Z ∞
−∞
sin(a − ξ)π
a − ξ +sin(a + ξ)π a + ξ
2
dξ.
Zad. 5. (2003) Wiedząc, że transformata Fouriera funkcji f (x) = e−λx1I(0,∞)(x), λ > 0 ma postać
f (ξ) =ˆ 1 λ + 2iπξ,
a) podaj wzór odwrotnej transformaty Fouriera funkcji f ; b) wyznacz funkcję g, której transformata ma postać
ˆg(ξ) = 1 λ + iξ; c) oblicz całkę
Z ∞
−∞
(a − iξ)(b + iξ) (a2+ ξ2)(b2+ ξ2) dξ.
1
