Zakład Sztucznej Inteligencji - ISE PW

Wykªad 1

Piotr W ˛ asiewicz

Zakład Sztucznej Inteligencji - ISE PW

pwasiewi@elka.pw.edu.pl

systemów

1. M.J. Kasperski, "Sztuczna Inteligencja", Helion, 2003 2. J.J. Mulawka, "Systemy Ekspertowe", PWN, 1996 3. P. Cichosz, "Systemy ucz ˛ ace si ˛e", WNT, 2000

4. L. Bolc, W. Borodziewicz, M. Wójcik "Podstawy

przetwarzania informacji niepewnej i niepełnej", seria

Współczesna Nauka i Technika - Informatyka, PWN, 1991 5. R. Rychlik, M. Wójcik, "Od logiki do reprezentacji wiedzy",

WNT - Informatyka, PWN

6. A. Skowron, "Podstawy Sztucznej Inteligencji", WNT - Informatyka, PWN

7. L. Bolc, Zaremba, "Wprowadzenie do uczenia si ˛e maszyn",

PWN, 1993

Sztuczna Inteligencja - SI - nauka o budowaniu maszyn robi ˛ acych rzeczy, które, jako

skonstruowane przez człowieka, wymagałyby inteligencji (M. Minsky)

Stworzenie obrazu my ´sl ˛ acej ludzkiej istoty - stworzenie człowieka elektronicznego

Sztuczna Inteligencja - jest radykalnym wyrazem

mo˙zliwo´sci komputera cyfrowego, jest pochwał ˛ a

nowej technologii

Celem Sztucznej Inteligencji jest stworzenie systemów:

my´sl ˛ acych jak ludzie tzn.

formułuj ˛ acych w podobny sposób my´sli np. GPS

my´sl ˛ acych rozumnie tzn.

formułuj ˛ acych my´sli z po- moc ˛ a komputerowych mo- deli np. systemy eksperto- we

działaj ˛ acych jak ludzie tzn.

o reakcjach wygl ˛ adaj ˛ acych tak samo np. Eliza

działaj ˛ acych rozumnie tzn.

podaj ˛ acych suboptymalne,

satysfakcjonuj ˛ ace rozwi ˛ a-

systemów inteligentny h

• Arystoteles - człowiek jest zwierz ˛eciem wyposa˙zonym w logos tnz.

mówienie lub pojmowanie, czy te˙z my´slenie logiczne, łaci ´nski odpowiednik ratio oznacza ju˙z tylko obliczanie

• Kartezjusza res cogitans tzn. software (umysł) oraz res extensa tzn.

hardware (ciało). Zwierz ˛eta s ˛ a maszynami jak mechaniczne lalki.

Kartezjusza sensus communis to zmysł wspólny według Lema

inteligencji nie da si ˛e wytworzy´c w zamkni ˛etym ´srodowisku (mózg w słoju tylko ´sniłby)

• La Mettrie - umysł konsekwencj ˛ a skomplikowania materii, ale sam j ˛ezyk odró˙znia człowieka od zwierz ˛ at

• W 1614 r. Jan Napier odkrywa logarytmy , a 8 lat pó´zniej Wiliam Oughtred jest wynalazc ˛ a suwaka logarytmicznego, za´s w 1642 r.

Bła˙zej Pascal w konstruuje maszyn ˛e dodaj ˛ ac ˛ a 8 cyfrowe liczby tzw.

"Pascalin ˛e" . Kilka lat wcze´sniej w 1623 r. Wilhelm Schickard,

• Dalgarna "Sztuka znaków" mówi o uniwersalnym j ˛ezyku wszystkich ludzi np. je´sli n oznacza "˙zyw ˛ a istot ˛e", e - "zwierz ˛e", k -

"czworonoga", to neke jest odpowiednikiem słowa "ko ´n", neki to

"osioł" itd.

• Gottfried Leibniz tworzy poj ˛ecie maszyny my´sl ˛ acej w sensie Leibniza systematyzuje wiedz ˛e tworz ˛ ac odpowiedni j ˛ezyk. Ma pami ˛e´c,

sensory i uczy si ˛e (dodaje nowe obiekty) oraz przeprowadza dowody w uniwersalnym j ˛ezyku opartym na systemie dwójkowym z zapisem na maszynie kulkowej przypominaj ˛ acej bilard (analogicznie do

przepływu elektronów). W 1694 r. powstaje jego maszyna dodaj ˛ aca, odejmuj ˛ aca, mno˙z ˛ aca i pierwiastkuj ˛ aca, wcze´sniej niezale˙znie z Isaac’iem Newtonem odkrywa rachunek ró˙zniczkowy

• Charles Babbage i Ada Lovelace - maszyna licz ˛ aca jak mechaniczne krosno "tka" wzory i nigdy nie wychodzi poza program. Podczas, gdy Karol my´sli o konstrukcji maszyny ró˙zniczkowej, Ada marzy o

maszynie graj ˛ acej i maluj ˛ acej. Niedoko ´nczona uniwersalna maszyna

"ró˙zniczkowa" Karola ma 15 ton i składa si ˛e z wielu zegarków i

• Boole w połowie XIX wieku tworzy swoj ˛ a algebr ˛e operuj ˛ ac ˛ a na

liczbach w systemie dwójkowym i staje si ˛e ona podstaw ˛ a najbardziej uniwersalnego j ˛ezyka na ´swiecie, ale j ˛ezyka maszyn.

• Syn Karola, Henry Prevost, konstruuje liczydło "młynek"

• Godel ogłasza ˙ze dla dowolnego systemu formalnego, który oznaczymy jako M , zawieraj ˛ acego cz ˛e´s´c arytmetyki liczb

naturalnych jest mo˙zliwe skonstruowanie w j ˛ezyku systemu M takiego zdania, które nie tylko nie da si ˛e udowodni´c w tym M , ale jego negacja pozostanie tak˙ze bez dowodu.

• Konrad Zuse w 1936 r. opracowuje na przeka´znikach

elektromagnetycznych pierwszy kalkulator Z1, a do 1941 Z2 i Z3.

Wszystkie pracowały na dziurkowanej ta´smie filmowej. Ostatni był Z5, do 1955 r. pracował na politechnice w Zurichu

• Polscy matematycy Marian Rejewski, Henryk Zygalski, Jerzy

• Turing tworzy model teoretyczny ka˙zdego komputera tzw. Maszyn ˛e Turinga podobn ˛ a do rybosomu organelli komórkowej czytaj ˛ acej ni´c rna (dna) i tworz ˛ acej odpowiednie ła ´ncuchy peptydów (białka)

• Ten sam Turing w czasie wojny zajmuje si ˛e tysi ˛ acami deszyfruj ˛ acych

"bomb" i konstruuje pot ˛e˙zniejsze urz ˛ adzenie utrzymywane do 1976 r.

w tajemnicy tzw. Collossusa składaj ˛ acego si ˛e z 15 tysi ˛ecy lamp i

odczytuj ˛ acego ta´sm ˛e perforowan ˛ a z pr ˛edko´sci ˛ a 5 tys. znaków/s czyli około 50 km/h! 10 podobnych maszyn zmusiło Niemców do

zmieniania szyfrów Enigmy, nie co miesi ˛ ac, ale codziennie

• John von Neumann w latach 40-stych XX wieku unowocze´snia

ENIACA licz ˛ acego z pr ˛edk. 5 tys. 10-cio cyfrowych liczb na sekund ˛e, o rozmiarach 12 na 6 metrów, zło˙zonego z 42 stalowych szaf, 19 tys.

lamp, 50 tys. oporników, pobieraj ˛ acego 140 kWh oraz z systemem

wentylacyjnym opartym na dwóch wielkich silnikach Chryslera. Przy

okazji tworzy model sekwencyjnej maszyny zwanej maszyn ˛ a von

Neumanna, gdzie program i dane s ˛ a przechowywane w stałej

pami ˛eci w postaci binarnej, a pobierane s ˛ a sekwencyjnie do

• Lem przytacza przykład planety gramofonu z gigantyczn ˛ a pami ˛eci ˛ a znaj ˛ ac ˛ a odpowied´z na wszystkie pytania (np. Deeper Blue z

programem gigantem tworzonym 6 lat, który wygrał z Kasparowem), ale z drugiej strony wspomina o opowiadaniu Dnieprowa, gdzie

tranzystory zast ˛epuj ˛ a ludzie i podczas procesu tłumaczenia pojedy ´nczy tranzystor nic nie wie o samym tłumaczeniu, gdy˙z przekazuje pojedy ´ncze litery i operacje na nich tzw. pó´zniejszy argument Chi ´nskiego Pokoju Searle’a

• Jednak mimo nie´swiadomo´sci neuronów mózg ludzki ma

´swiadomo´s´c jako cało´s´c tzw. pó˙zniejszy argument Jasnego Pokoju (poruszanie magnesem w pokoju nie generuje ´swiatła, ale mo˙ze jest zbyt wolne, to samo stosujemy do oblicze ´n i komputerowych

architektur czyli magnetyzm i elektryczno´s´c jako programy wystarcz ˛ a

razem z energi ˛ a jako składni ˛ a zda ´n do udowodnienia istoty ´swiatła

tutaj inteligencji)

• 1943 r. - Thomas Watson z IBM-a szacuje zapotrzebowanie na

komputery na 5 sztuk, a ju˙z w latach 60-tych w ka˙zdej korporacji jest co najmniej jeden komputer np. pierwszy twardy dysk 5MB IBM-a z 1956 r. kosztował milion dolarów

• 1977 r. - Ken Olson szacuje, ˙ze nie b ˛edzie popytu na osobiste

komputery, kilka lat pó´zniej Steve Jobs i Stephen Wozniak sprzedaj ˛ a tysi ˛ ace takich komputerów

• 1982 r. - człowiekiem roku tygodnika "Time" zostaje komputer

• Analogicznie mo˙zliwo´sci powstania Internetu, czy darmowego systemu Linux nie brano w ogóle pod uwag ˛e

• 1997 r. - Bill Gates w "Droga do przyszło´sci" opisuje przyszło´s´c

pełn ˛ a komputerów zaspokajaj ˛ acych codzienne potrzeby: pomoc przy leczeniu, zakupach, rozrywce. Rok pó´zniej Howard Segal w "Nature"

stwierdza, ˙ze to naiwne teorie, ˙zycie człowieka jest pełne uczu´c,

• 1995 r. - w "Business Week" artykuł o zbli˙zaj ˛ acej si ˛e sztucznej

inteligencji opisuj ˛ acy sieci neuronowe, algorytmy ewolucyjne, system ekspertowy itd.

• Inni badacze wspominaj ˛ a o superkomputerach o mo˙zliwo´sciach mózgu małych ssaków, a wszyscy zapominaj ˛ a o znacznie wi ˛ekszej zło˙zono´sci własnych organizmów, a nawet jednej komórki, której dokładnej budowy jeszcze nie poznali, a mo˙ze i nigdy nie poznaj ˛ a.

Przykładem mo˙ze by´c inteligencja pantofelka

• St ˛ ad wniosek, ˙ze pojedy ´nczy mózg to 20 miliardów komputerów czyli komórek, których poł ˛ aczenia, gdyby rozpl ˛ ata´c, zło˙zone razem

si ˛egałyby do Sło ´nca (150 milionów kilometrów) lub i dalej

• Dla przykładu dese ´n zwykłego li´scia zajmuje wi ˛ecej informacji ni˙z

mie´sci si ˛e w 20 tomach Encyclopaedia Brytannica

• "There’s Plenty of Room at the Bottom" Richard Feynmana -

podstawowe kompendium wiedzy z 1959 roku na nast ˛epne sto lat

• Główka szpilki powi ˛ekszona 25000 razy umo˙zliwia zapisanie

wszystkich stron 20 tomów Encyklopedii Brittanica, gdy˙z najmniejsza kropka zmniejszona 25000 razy zawiera ci ˛ agle 1000 atomów

• Wszystkie ksi ˛ a˙zki na ´swiecie to około 50 mln ksi ˛ a˙zek (np. British Museum posiada 5 mln ksi ˛ a˙zek) zmieszcz ˛ a si ˛e na ok. 40 kartkach rozmiaru A4 lub je´sli jeden bit informacji to kostka o boku 5 atomów (125 atomów) to zmieszcz ˛ a si ˛e w sze´scianie wielko´sci

najmniejszego ziarnka piasku (DNA dla przykładu zu˙zywa 50 atomów na bit informacji)

• Miniaturyzacja ukladów scalonych powoduje przyrost mocy

obliczeniowej i pojemno´sci pami ˛eci - po 2050 roku według prawa

Moore’a (moc obliczeniowa podwaja si ˛e co 1,5 roku) komputery

• "Deep Blue" IBM-a 1996 r. i 1997 r. rozgrywał mecze w szachy z mistrzem ´swiata Kasparowem

• Po 100 posuni ˛eciach jest ju˙z około 10

mo˙zliwo´sci czyli jeden ruch jest wybierany spo´sród wielu mo˙zliwych - przeci ˛etnie 35 przy ka˙zdym ruchu jednego przeciwnika np. na pocz ˛ atku 20 ruchów białych i 20 ruchów czarnych daje 400 mo˙zliwo´sci po pierwszej kolejce

• Drzewo posuni ˛e´c zawiera wszystkie partie szachowe od pocz ˛ atku istnienia tej gry, a tak˙ze wszystkie przyszłe, ale niemo˙zliwe jest

zapisanie go na jakichkolwiek dyskach cho´cby w odległej przyszło´sci.

Komputer pami ˛eta wszystkie partie arcymistrzów do 100 lat wstecz

• 200 mln operacji na sekund ˛e w 256 procesorach czyli 50 mld w ci ˛ agu paru minut. Wraz algorytmem eliminacji słabych posuni ˛e´c komputer widzi wszystkie mo˙zliwe do sytuacje 10 ruchów naprzód

• Algorytm eliminacji polega na stosowaniu heurystyk - praktycznych

zasad pobranych z ludzkiego do´swiadczenia

• "ChessBrain" projekt podobny do SETI (search for

extraterrestrial intelligence), gdzie w ka˙zdy mo˙ze uruchomi´c program klienta, który np. w nocy b ˛edzie uczestniczył w grze w szachy lub jak w SETI przeszukiwał dane z radioteleskopów

• ChessBrain działa jak 300Ghz komputer stworzony z sieci wielu tysi ˛ecy klientów udost ˛epniaj ˛ acymi swoje wolne zasoby obliczeniowe

• Najszybszy komputer ASCI Purple IBM-a (100 trylionów operacji na sekund ˛e) zbli˙za si ˛e do mo˙zliwo´sci ludzkiego umysłu. HAL z "Odysei 2001" to IBM o jedn ˛ a liter ˛e do tyłu

• Kasparow w 2003 zremisował z X3D Fritz-em dowodz ˛ ac tezy

o zło˙zono´sci ludzkiego umysłu

perspektywy rozwoju

• Mózg człowieka jest "maszyn ˛ a z mi ˛esa" dla Marvina Minsky’ego, pioniera sztucznej inteligencji

• Prof. Richard Dawkins z Oxford University uwa˙za analogie mi ˛edzy kodem DNA, a pami ˛eci ˛ a komputera za pocz ˛ atek ery postrzegania

˙zywej materii jako niewiele ró˙zni ˛ acej si ˛e od martwej

• Za 30 lat chip tzw. "łowca dusz" zaszczepiony za okiem b ˛edzie

filmował wszystkie momenty naszego ˙zycia - uwa˙za Peter Cochrane, jeden z szefów British Telcom

• Po rewolucjach rolniczej i przemysłowej nast ˛ api rewolucja

informacyjna - głosi futorolog Alvin Toffler czyli b ˛edziemy ˙zy´c i

pracowa´c w cyberprzestrzeni

• W fantastyce tzw. science fiction jednym z głównych nurtów były opowie´sci i nowele o sztucznej inteligencji, a w konsekwencji o robotach. Teraz coraz wi ˛eksz ˛ a popularno´s´c zdobywaj ˛ a ksi ˛ a˙zki o cyborgach, hybrydach, nie tylko mechanicznych, ale i genetycznych np. "Impostor"

• Filmy "Terminator3", trylogia "Matrix" mówi ˛ a o przewadze maszyn nad lud´zmi poza kilkoma genialnymi jednostkami

• Awatary z gier komputerowych pocz ˛ atkiem cyberprzestrzeni

• Pies AIBO czy kot NeCoRo ucz ˛ a si ˛e zachowa ´n w trakcie

u˙zytkowania, zatem s ˛ a troch ˛e inteligentne ("Blade Runner")

Współczesne idee:

• Ashby stwierdza, ˙ze wszystkie układy przekazuj ˛ ace informacj ˛e w ilo´sci powy˙zej 10

bitów na sekund ˛e powinny by´c ´swiadome. Dzisiaj istniej ˛ a ju˙z takie komputery, ale daleko im jeszcze do inteligencji człowieka

• Adleman w laboratorium in˙zynierii genetycznej konstruuje komputer oparty na DNA i jego przetwarzaniu. W pojedy ´nczej probówce mie´sci si ˛e około 10

odcinków DNA z zakodowan ˛ a informacj ˛ a

przetwarzan ˛ a masywnie równolegle

• Bariera oblicze ´n - problemy NP-trudne (Nondeterministic

polynomial). Maszyna deterministyczna i niedeterministyczna, a równoległo´s´c i czas oblicze ´n. Pami ˛e´c asocjacyjna

• Problemy NP-zupełne - zadanie spełnialno´sci zdania logicznego

(funkcji logicznej)

Warunki testu:

• Mamy co najmniej dwóch ludzi i maszyn ˛e my´sl ˛ ac ˛ a zdoln ˛ a do konwersacji

• Jeden z ludzi jest s ˛edzi ˛ a i nie widzi maszyny ani innych ludzi, z którymi porozumiewa si ˛e tylko

słowami

• Je´sli s ˛edzia po dowolnej ilo´sci jakichkolwiek pyta ´n, dojdzie do wniosku, ˙ze rozmawia tylko z lud´zmi, to wspomniana maszyna jest maszyn ˛ a my´sl ˛ ac ˛ a w sensie Turinga

• Nagroda Loebnera jest otrzymywana za najbardziej

"ludzki" komputer ang. most human computer. Test

Turinga ograniczony jest do jednej dziedziny wiedzy

Patient: Men are all alike.

ELIZA: In what way?

Patient They’re always bugging us about something or other.

ELIZA: Can you think of a specific example?

Patient: Well, my boyfriend made me come here.

ELIZA: Your boyfriend made you come here?

Patient: He says I’m depressed much of the time.

ELIZA: I am sorry you are depressed.

Stanowiska według Rogera Penrose’a (od "silnej AI" do "słabej AI"):

A My´slenie to po prostu obliczenia, a ´swiadome doznania to wynik tych oblicze ´n (test Turinga wystarczaj ˛ acy)

B Symulacje komputerowe ´swiadomo´sci nie maj ˛ a nic wspólnego z sam ˛ a ´swiadomo´sci ˛ a

C Procesów fizycznych w mózgu nie da si ˛e zasymulowa´c (brak dokładniejszych lub nowych praw fizyki)

D Swiadomo´sci nie da si ˛e wyja´sni´c w ˙zaden obliczeniowy i ´

naukowy sposób (agnostycyzm)

Inteligentny jak człowiek program powinien

• komunikowa´c si ˛e np. po angielsku,

• gromadzi´c wiedz ˛e,

• wysnuwa´c na jej podstawie wnioski,

• korzystaj ˛ ac z do´swiadczenia dostosowywa´c si ˛e do zmieniaj ˛ acych si ˛e warunków uzupełniaj ˛ ac wiedz ˛e nowymi wnioskami

• oraz wykorzystywa´c zaawansowane systemy

robotyki i wizji

• Programy do prowadzenia dialogu z maszyn ˛ a np.

ELIZA

• Programy do rozwi ˛ azywania problemów np. GPS

• Systemy ekspertowe

• Pozyskiwanie wiedzy

• Uczenie si ˛e maszyn

Okres Kluczowe osi ˛agni ˛ecia

Lata przed II wojn ˛a ´swiatow ˛a Logika formalna, psychologia poznawcza Lata powojenne 1945-1954 Powstanie komputerów, rozwój cybernetyki Rozpocz˛ecie bada ´n w dziedzinie sztucznej in-

teligencji 1955-1970

Rozwój komputerów, 1956 - John McCar- thy wprowadza termin "Sztuczna Inteligencja", LISP, sformułowanie programu ogólnego roz- wi ˛azywania problemów

Badania w dziedzinie rozwi ˛azywania proble- mów 1961-1970

Heurystyki, robotyka, programy do gry w sza- chy

Systemy oparte na bazach wiedzy 1971-1980 MYCIN, HEARSAY II, MACSYMA, EMYCIN, Prolog

Po 1981 r. liczne zastosowania praktyczne PROSPECTOR, nie zrealizowany japo ´nski projekt komputerów pi ˛atej generacji, powsta- nie wielu firm zajmuj ˛acych si ˛e zastosowaniem sztucznej inteligencji

• rozwi ˛ azywanie problemów i strategie przeszukiwa ´n

• teoria gier

• automatyczne dowodzenie twierdze ´n

• przetwarzanie j ˛ezyka naturalnego (wł ˛ aczaj ˛ ac przetwarzanie mowy)

• systemy ekspertowe

• robotyka

• procesy percepcji (wizja, słuch, dotyk)

• uczenie si ˛e maszyn

• wyszukiwanie informacji (inteligentne bazy danych)

• Deep Blue pokonał mistrza ´swiata Gary Kasparova w 1997 r.

• Program PEGASUS rezerwuje miejsca w ameryka ´nskich liniach lotniczych słuchaj ˛ ac polece ´n klientów

• Program ALVINN mo˙ze w ka˙zdych warunkach atmosferycznych

kierowa´c ci ˛e˙zarówk ˛ a np. przejechał ni ˛ a z Washingtonu do San Diego

• Inteligentne programy rozpoznaj ˛ a twarze np. w bankach, odr ˛eczne pismo, sprawdzaj ˛ a lub projektuj ˛ a układy elektroniczne np. EURISKO, rekonstruuj ˛ a projekty architektów, szuka złó˙z geologicznych np.

PROSPECTOR, DIPMETER, interpretuje zwi ˛ azki chemiczne np.

SCANMAT, DENDRAL

• Programy zwane systemami ekspertowymi pomagaj ˛ a lub s ˛ a lepsze w diagnozach lekarskich np. MYCIN, CADUCEUS, CASNET,

Intellipath, Pathfinder; konfiguruj ˛ a sprz ˛et komputerowy np. XCON;

pomagaj ˛ a w podejmowaniu finansowych decyzji znajduj ˛ ac

zdefraudowane, nietypowe lub bł ˛edne transakcje np. AMEX credit

• Programy mog ˛ a udowadnia´c matematyczne twierdzenia, tłumaczy´c

na j ˛ezyki obce np. Altavista, planowa´c procesy produkcyjne,

Symbol - encja reprezentuj ˛ aca element ze zbioru znacze ´n zdefiniowanych a priori

Dane - zapisany zbiór symboli

Informacja - dane z przypisanym znaczeniem

Poj ˛ecie - zbiór encji z jakiego´s powodu zunifikowany J ˛ezyk - zbiór poj ˛e´c i reguł do tworzenia opisu

rzeczywisto´sci

Opis - wyra˙zenie w pewnym j ˛ezyku

charakteryzuj ˛ ace obiekt lub zbiór obiektów Wiedza - zorganizowana, uogólniona i/lub

abstrakcyjna informacja

Wiedza deskrypcyjna to - opisy obiektów, ich klasy

Wiedza preskrypcyjna to - procedury opisuj ˛ ace dopuszczalne operacje, jakie mo˙zna dokona´c na relacjach, funkcjach tzw.

przepisy

Wiedza to zbiór faktów, reguł, domniema ´n (ang. believes - fakty i reguły nie w pełni wiarygodne), heurystyk

Wiedza mo˙ze by´c prywatna (np. in˙zyniera architekta), publiczna (ogólnodost ˛epna), ´sci´sle tajna

Wiedza mo˙ze by´c płytka (opiera si ˛e na rozpoznaniu np. stylu architektury danego budynku), gł ˛eboka (si ˛ega gł ˛ebiej, opiera si ˛e na regułach np. dokładne poznanie wymiarów i materiałów u˙zytych w konstrukcji budynku)

Ksi ˛ a˙zki to wiedza starego typu w formie pasywnej . Zanim

Wiedza Zakres Cel(sposób)Wa˙zno´s´c Pies jest ssakiem specific descriptive certain Pies ma cztery łapy specific descriptive uncertain Aby wykaza´c, ˙ze X jest

psem nale˙zy pokaza´c, ˙ze ro- dzice X s ˛ a psami

specific prescriptive certain

Aby udowodni´c P (X), wy- ka˙z, ˙ze ¬P (X) jest niemo˙z- liwe

general prescriptive uncertain

Rzeczy - obiekty rzeczywiste s ˛ a obserwowalne

general descriptive uncertain

oznacza to, ˙ze za- wsze je wida´c)

Reprezentacja proceduralna - polegaj ˛ aca na okre´sleniu zbioru procedur, których działanie reprezentuje wiedz˛e o dziedzinie np. V = 4

3 πr

Reprezentacja deklaratywna - polegaj ˛ aca na okre´sleniu zbioru specyficznych dla rozpatrywanej dziedziny faktów, stwierdze ´n i reguł (np. katalog rzeczy)

Zalet ˛ a reprezentacji proceduralnej jest wysoka efektywno´s´c re- prezentowania procesów.

Zalet ˛ a reprezentacji deklaratywnej jest to, ˙ze jest ona bardziej

"oszcz˛edna" (ka˙zdy fakt lub reguła zapisywany tylko raz) i łatwiej-

sza w formalizacji.

• Zastosowania logiki (rachunek zda ´n, rachunek predykatów, syntaktyka, semantyka)

• Zapis twierdze ´n, zapis reguł w systemach ekspertowych (schemat rezolucji na klauzulach Horna, wnioskowanie w przód i wstecz)

• Wiedza nieprecyzyjna (teoria Bayesa, współczynniki

niepewno´sci w systemie MYCIN, teoria Dempstera-Shafera)

• Teoria zbiorów przybli˙zonych (tablice warunkowo-działaniowe, relacje nierozró˙znialno´sci, klasyfikacje, aproksymacja dolna i górna, reguły pewne i mo˙zliwe)

• Teoria zbiorów rozmytych (funkcja przynale˙zno´sci, liczby rozmyte, relacje rozmyte)

• Sieci semantyczne

• Algorytmy genetyczne i sieci neuronowe

R - zbiór reguł F - zbiór faktów

Q - zbiór stosowalnych reguł

Cond(r) - wszystkie warunki reguły r

f act(r, s) - generowanie faktu z konkluzji reguły r poprzez podstawienia

match (r, F, s) - dopasowanie faktu F do jednej z przesłanek reguły r

match (r, g, s) - dopasowanie faktu g do akcji reguły r

FORWARD _ ^CHAINING

BEGIN

Q := φ;

REPEAT

FOR EACH r ∈ R

IF match(r, F, s) ^THEN Q := Q ∪ {(r, s)};

IF Q = φ ^THEN

BREAK ;

(r, s) := select(Q);

Q := Q − {(r, s)};

F := F ∪ {f act(r, s)};

UNTIL FALSE

BACKWARD

_

(g)

BEGIN

IF

g ∈ F

RETURN

TRUE;

Q := φ;

FOR EACH

r ∈ R

IF

match(r, g, s)

Q := Q ∪ {(r, s)};

IF

Q = φ

FALSE;

REPEAT

(r, s) := select(Q);

Q := Q − {(r, s)};

SATISFIED

:=TRUE;

FOR EACH

c ∈ Cond(r)

IF

not

_

(c)

THEN BEGIN

;

:=FALSE;

BREAK

;

;

IF SATISFIED THEN BEGIN

F := F ∪ {g};

RETURN

TRUE;

END UNTIL

Q = φ;

END

Wyra˙zenia j ˛ezyka składaj ˛ a si ˛e z term i formuł.

1. termy - encje, obiekty

• symbole stałych (zwykle z pocz ˛ atku alfabetu):

a, b, . . .

• symbole zmiennych

• n-argumentowe symbole funkcyjne f (t ¹ , . . . , t ⁿ ) , gdzie t ¹ , . . . , t ⁿ to termy

np. a, f (g(x, b), c) to termy zamkni ˛ety (bez

zmiennych) oraz otwarty (ze zmiennymi), termy

mog ˛ a by´c z indeksami: a ¹ , f 3 ⁿ , gdzie n to ilo´s´c

argumentów funkcji

2. formuły - fakty zachodz ˛ ace w ´swiecie

• formuły atomowe - symbole relacji

0-argumentowych zwanych stałymi zdaniowymi oraz relacje n-argumentowe oznaczane P tzn.

P (t ¹ , . . . , t ⁿ ) , gdzie t ⁿ to termy dla n ≥ 1

• formuły - z formuł atomowych, ¬ , ⇒ , ∀ i) α , β

ii) (¬α)

iii) (α ⇒ β)

iv) (∀x α) , gdzie x jest zmienn ˛ a

Relacja n-argumentowa oznaczana liter ˛ a P jest zwana predy- katem np. predykat P zwi ˛ azany jest z poj ˛eciem jakiej´s konkret- nej rzeczy tzn. P (a) np. jest symbolem rzeczy osoby oznaczo- nej termem a np: Joanny.

Literałem pozytywnym jest α, a negatywnym ¬α .

Korzystaj ˛ ac z podanych definicji tworzenia formuł rozszerza si ˛e zbiór spójników i kwantyfikatorów j ˛ezyka poprzez nast ˛epuj ˛ ace definicje:

• (α ∨ β) = ((¬α) ⇒ β)

• (α ∧ β) = (¬((¬α) ∨ (¬β)))

• (∃x α) = (¬(∀x(¬α)))

Symbol ∃ jest kwantyfikatorem szczegółowym

(egzystencjalnym), α ∨ β - alternatyw ˛ a formuł, α ∧ β -

koniunkcj ˛ a formuł.

Formuła zamkni ˛eta zwana tak˙ze zdaniem lub formuł ˛ a zdanio- w ˛ a jest formuł ˛ a bez zmiennych wolnych (zmiennych nie zwi ˛ a- zanych z kwantyfikatorem ∀ lub ∃ ) w przeciwie ´nstwie do for- muły otwartej np. P (x, y) ⇒ ∃x∀zP (x, y) jest formuł ˛ a otwart ˛ a.

W celu poprawienia czytelno´sci mo˙zna pomija´c tak˙ze nawia-

sy kieruj ˛ ac si ˛e nast ˛epuj ˛ ac ˛ a list ˛ a - od najmocniej do najsłabiej

wi ˛ a˙z ˛ acych - spójników i kwantyfikatorów: ¬ ∀ ∃ ∧ ∨ ⇒

Piotr nie jest wysoki.

¬wysoki(Piotr)

Na stole le˙zy tylko owoc.

∀x na(x, stół) ⇒ owoc(x)

Liczba całkowita mo˙ze by´c parzysta i nieparzysta.

∀x całkowita(x) ⇒ (parzysta(x) ∨ nieparzysta(x)) Wszyscy studenci s ˛ a zdolni.

∀x student(x) ⇒ zdolny(x)

Ka˙zdy na ´swiecie student jest zdolny.

∀x student(x) ∧ zdolny(x)

Co niektóry student jest zdolny.

∃x student(x) ∧ zdolny(x) OK!

∃x student(x) ⇒ zdolny(x) Zła składnia!

Ka˙zdy delfin jest ssakiem.

∀x delfin(x) ⇒ ssak(x)

Istnieje ssak, który znosi jaja.

∃x ssak(x) ∧ znosi_jaja(x) OK!

∃x ssak(x) ⇒ znosi_jaja(x) Zła składnia!

Ka˙zdy ogrodnik lubi sło ´nce.

∀x ogrodnik(x) ⇒ lubi(x, sło ´nce)

Wszystkie czerwone grzyby s ˛ a truj ˛ ace.

∀x(grzyb(x) ∧ czerwony(x)) ⇒ truj ˛ acy(x) Zaden czerwony grzyb nie jest truj ˛ ˙ acy.

¬∃x czerwony(x) ∧ grzyb(x) ∧ truj ˛ acy(x)

∀x( grzyb (x) ∧ czerwony (x)) ⇒ ¬ truj ˛ acy (x) S ˛ a dokładnie dwa czerwone grzyby.

∃x∀y grzyb(x) ∧ czerwony(x) ∧ grzyb(y) ∧ czerwony(y) ∧ ¬(x = y) ∧ ∀z(grzyb(z) ∧

czerwony(z)) ⇒ ((x = z) ∨ (y = z))

Ka˙zdy lubi kogo´s.

∀x∃y lubi (x, y) Kto´s lubi ka˙zdego.

∃x∀y lubi(x, y)

Mo˙zesz kocha´c niektórych ludzi cały czas.

∃x∀t(osoba(x) ∧ czas(t)) ⇒ mo˙zna_kocha´c(x, t)

Mo˙zna kocha´c ka˙zdego człowieka przez pewien okres czasu.

∀x∃t(osoba(x) ∧ czas(t)) ⇒ mo˙zna_kocha´c(x, t)

Istnieje student, który interesuje si ˛e co najmniej dwoma ró˙znymi przedmiotami wykładanymi na jego wydziale.

∃x(student(x)∧∃y∃z(y 6= z∧wykładany(y, wydział(x))∧)wykładany(z, wydział(x))∧

interesuje_si ˛e(x, y) ∧ interesuje_si ˛e(x, z)))

Semantyka logiczna zwana teori ˛ a modeli opisuje zwi ˛ azki po-

mi ˛edzy j ˛ezykiem, a fragmentem lub fragmentami "´swiata rze-

czywistego". W logice fragmenty takie nazywane s ˛ a struktura-

mi.

S = (D, F, R, C) ,

gdzie D 6= 0 zwany jest dziedzin ˛ a struktury, a jego elementy - obiektami struktury, F jest zbiorem funkcji D

→ D, (R) jest zbiorem relacji w D

, za´s C jest funkcj ˛ a realizacji j ˛ezyka (interpretacj ˛ a), która:

• ka˙zdemu symbolowi stałej przyporz ˛ adkowuje jaki´s obiekt z D,

• ka˙zdemu symbolowi funkcji n-argumentowej przyporz ˛ adkowuje funkcj ˛e z F ,

• ka˙zdemu symbolowi predykatowemu przypisuje relacj ˛e ze zbioru R ,

• ka˙zdej stałej zdaniowej przyporz ˛ adkowuje warto´sci logiczne 0 , 1, którym przypisuje si ˛e odpowiednio warto´sci fałszu i

prawdy .

KLOCKI

D = (K

, . . . , K

)

góra(K

) = K

dół(K

) = K

K

K

K

K

K

K

K

góra: D → D na: D

→ {0, 1}

dół: D → D nad: D

→ {0, 1}

S = (D, F, R, C)

⇒ D, F, R

⇓

stałe: a, b, c, d, e, f, g funkcje: q, h

symbole predykatowe: P, Q ⇐

zmienne: x, y

C(a) = K

, . . . C(g) = K

C(q) = góra

C(h) = dół

C(P ) = na

Ka˙zd ˛ a funkcj ˛e ω, która symbolowi zmiennej x przyporz ˛ adko- wuje pewien obiekt z D nazywa si ˛e warto´sciowaniem zmien- nych w S = (D, F, R, C) , a ich zbiór to Ω ^S . Interpretacj ˛e termu t w S przy warto´sciowaniu ω oznaczamy jako I ω ^S (t).

i) I ω ^S (t) = C(t) , je˙zeli t jest symbolem stałej;

ii) I ω ^S (t) = ω(t), je˙zeli t jest symbolem zmiennej;

iii) I ω ^S (f (t ¹ , . . . , t ⁿ )) = C(f )(I ω ^S (t ¹ ), . . . , I ω ^S (t ⁿ ));

i) I ω ^S (α) = C(α) , je´sli α jest stał ˛ a zdaniow ˛ a;

ii) I ω ^S (P (t ¹ , . . . , t ⁿ )) = C(P )(I ω ^S (t ¹ ), . . . , I ω ^S (t ⁿ )) ; iii) I ω ^S (α) = 1 − I ω ^S (β) , je´sli α ma posta´c ¬β ;

iv) je˙zeli α = (β ⇒ γ) , to I ω ^S (α) = 1 , je´sli I ω ^S (β) = 0 lub I ω ^S (γ) = 1 , za´s I ω ^S (α) = 0 w przeciwnym razie

v) je˙zeli α = ∀xβ , to I ω ^S (α) = 1 , je´sli dla ∀ω ^′ ω ^′ ∈ ω[x]

jest I _ω ^S (β) = 1 , za´s I _ω ^S (α) = 0 w przeciwnym razie,

gdzie ω[x] to zbiór warto´sciowa ´n dla wszystkich

zmiennych, oprócz co najwy˙zej zmiennej x.

• α jest spełniona (prawdziwa) w S dla ω ∈ Ω ^S

⇔ I ω ^S (α) = 1

• α jest spełnialna, je˙zeli ∃S∃ω dla ω ∈ Ω ^S , dla których I ω ^S (α) = 1

• Spełnialno´s´c formuł zdaniowych zale˙zy jedynie od struktury

• α jest spełniona ⇒ S jest

modelem (semantycznym) formuły α

• Modelem zbioru formuł jest struktura, która jest

modelem dla ka˙zdej formuły z tego zbioru.

α jest semantyczn ˛ a konsekwencj ˛ a zbioru formuł Φ ⇔ dowolny model zbioru Φ jest modelem formuły α, co zapisujemy

Φ |= α

Dla Φ = 0 α jest zawsze prawdziwa i zwana tautologi ˛ a

|= α

α jest równowa˙zna β ⇔ α |= β i β |= α

α jest modelowo równowa˙zna β ⇔ α |= β

α = (¬P ∨ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) α = (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P )

1)

α(P = 1, Q = 1) = 1

(¬1 ∨ 1) ⇔ (¬1 ⇒ ¬1) (0 ∨ 1) ⇔ (0 ⇒ 0)

1 ⇔ 1

2)

α(P = 1, Q = 0) = 1

(¬1 ∨ 0) ⇔ (¬0 ⇒ ¬1) (0 ∨ 0) ⇔ (1 ⇒ 0)

0 ⇔ 0

3)

α(P = 0, Q = 1) = 1

(¬0 ∨ 1) ⇔ (¬1 ⇒ ¬0) (1 ∨ 1) ⇔ (0 ⇒ 1)

1 ⇔ 1

4)

α(P = 0, Q = 0) = 1

(¬0 ∨ 0) ⇔ (¬0 ⇒ ¬0) (1 ∨ 0) ⇔ (1 ⇒ 1)

1 ⇔ 1

Wnioskowanie to inaczej inferencja .

Reguł ˛ a wnioskowania nazywamy dowoln ˛ a operacj ˛e, która sko ´nczonemu ci ˛ agowi formuł α ¹ , . . . , α ⁿ nazywanych przesłan- kami (ang. premises), przyporz ˛ adkowuje formuł ˛e β , nazywan ˛ a wnioskiem (ang. conclusion), co zapisuje si ˛e jako:

α ₁ ,...,α _n

β

Reguła modus ponens zwana tak˙ze reguł ˛ a odrywania ma po- sta´c

α,α ⇒β β

Reguła uogólniania ma posta´c

α

∀x α

Formuła α jest wyprowadzalna ze zbioru formuł Φ za pomoc ˛ a reguł ze zbioru R ⇔ ∃ ci ˛ ag formuł β ¹ , . . . , β ^k taki, ˙ze:

i) α = β ^k ;

ii) ∀(i ≤ k) β ⁱ ∈ Φ lub β ⁱ jest wnioskiem reguły

nale˙z ˛ acej do R z pewnych formuł z {β ¹ , . . . , β _k−1 }.

Ci ˛ ag formuł β ¹ , . . . , β ^k nazywamy dowodem formuły β ^k z Φ z

zastosowaniem reguł wnioskowania z R .

Teoria jest sformalizownym opisem ´swiata rzeczywistego i

składa si ˛e z j ˛ezyka czyli zbioru formuł oraz struktury dedukcyj-

nej: zbioru aksjomatów logicznych , zbioru aksjomatów specy-

ficznych i zbioru reguł wnioskowania .

Aksjomaty logiczne musz ˛ a by´c tautologiami .

Niech α, β, γ b ˛ed ˛ a dowolnymi formułami teorii. Typowe aksjo- maty logiczne teorii pierwszego rz ˛edu to:

1. α ⇒ (β ⇒ α)

2. (α ⇒ (β ⇒ γ)) ⇒ ((α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ)) 3. (¬β ⇒ ¬α) ⇒ ((¬β ⇒ α) ⇒ β)

4. ∀x α(x) ⇒ α(t) ,

gdzie t jest termem, α(x) - formuł ˛ a, za´s α(t) -

formuł ˛ a α(x) po zast ˛ apieniu ka˙zdego wolnego

wyst ˛ apienia zmiennej x termem t, ponadto ∃

zmienna z termu t ⇒ ∀ wolne wyst ˛ apienie

zmiennej x nie le˙zy w zasi ˛egu działania

kwantyfikatorów ∀z lub ∃z .

Jako reguły wnioskowania przyjmuje si ˛e reguł ˛e modus ponens i uogólniania .

Mo˙zliwy jest dobór innych aksjomatów logicznych i reguł wnio- skowania np. system Gentzena.

Skoro aksjomaty logiczne oraz reguły wnioskowania s ˛ a usta-

lone, to teori ˛e okre´sla si ˛e lub te˙z w praktyce uto˙zsamia ze

zbiorem aksjomatów specyficznych.

Aksjomaty specyficzne s ˛ a formułami, które arbitralnie zostały uznane przez twórców teorii za prawdziwe , a opisuj ˛ ace cechy

´swiata rzeczywistego np. formuła

(∀x)(czowiek(x) ⇒ miertelny(x))

opisuje fakt, ˙ze ka˙zdy człowiek jest ´smiertelny.

α jest wyprowadzalna w teorii T lub jest jej twierdzeniem ⇔ α jest wyprowadzalna za pomoc ˛ a reguł wnioskowania tej teorii z formuł pochodz ˛ acych ze zbiorów jej aksjomatów logicznych i specyficznych, co zapisujemy tak

T ⊢ α

W przypadku rachunku predykatów (brak aksjomatów specy- ficznych) zapis jest nast ˛epuj ˛ acy:

⊢ α

Teoria jest niesprzeczna ⇔ ∀α ¬α i α nie s ˛ a jednocze´snie twierdzeniami tej teorii. Mo˙zna wykaza´c, ˙ze

• Teoria jest niesprzeczna ⇔ ∃ model tej teorii

• Dla dowolnej niesprzecznej teorii istnieje przeliczalny model.

α jest twierdzeniem niesprzecznej teorii ⇔ α jest prawdziwa w dowolnym modelu tej teorii, co formalnie mo˙zna zapisa´c

T ⊢ α ⇔ T |= α

Teoria jest zupełna ⇔ ∀ zamkni ˛etej formuły α tej teorii, albo

T ⊢ α albo T ⊢ ¬α . Taka teoria opisuje wszystkie informacje

zwi ˛ azane z reprezentowanym przez ni ˛ a ´swiatem.

Teori ˛e nazywa si ˛e rozstrzygaln ˛ a , je˙zeli mo˙zna w sko ´nczonej liczbie kroków stwierdzi´c, czy dowolna formuła nale˙z ˛ aca do j ˛ezyka tej teorii jest, czy te˙z nie jest jej twierdzeniem.

Teori ˛e nazywa si ˛e półrozstrzygaln ˛ a , je˙zeli mo˙zna w sko ´n- czonej liczbie kroków udowodni´c ka˙zde twierdzenie tej teorii.

Nie ma jednak gwarancji, na efektywne okre´slenie, czy da- na formuła nie jest twierdzeniem w T . Teorie I rz ˛edu w ogól- nym przypadku nie s ˛ a rozstrzygalne, lecz s ˛ a półrozstrzygalne.

Niemniej jednak istniej ˛ a pewne rozstrzygalne klasy formuł, np:

formuły z predykatami jednoargumentowymi lub poprzedzone

tylko kwantyfikatorami ogólnymi lub poprzedzone tylko kwan-

tyfikatorami egzystencjonalnymi.

Zbiór twierdze ´n teorii I rz ˛edu zwi ˛eksza si ˛e wraz ze wzrostem

aksjomatów specyficznych. Własno´s´c ta nazywa si ˛e monoto-

niczno´sci ˛ a .

Standaryzacja polega na przekształceniu formuł wyj´sciowych w formuły, które cechuj ˛ a si ˛e tym, ˙ze

• wszystkie kwantyfikatory wyprowadzane s ˛ a na

pocz ˛ atek formuły - posta´c preneksowa normalna ;

• kwantyfikatory egzystencjalne zostaj ˛ a

wyeliminowane - posta´c normalna Skolema F ^S |= F ;

• wyra˙zenie pod kwantyfikatorami jest koniunkcj ˛ a alternatyw.

Z koniunkcji alternatyw przechodzi si ˛e do ich zbioru. Je´sli al-

ternatywa jest zło˙zona tylko z formuł atomowych pozytywnych

i negatywnych, to nazywa si ˛e klauzul ˛ a .

α ⇔ β ≡ (α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α) α ⇒ β ≡ ¬α ∨ β

¬(¬α) ≡ α

¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β

¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β

¬∀xα ≡ ∃x¬α

¬∃xα ≡ ∀x¬α

α ∧ (α ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) α ∨ (α ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)

Q ∈ {∃, ∀}

Qxα ∨ β ≡ Qx(α ∨ β) Qxα ∧ β ≡ Qx(α ∧ β),

gdzie β bez wolnych zmiennych

∀xα ∧ ∀xβ ≡ ∀x(α ∧ β)

∃xα ∨ ∃xβ ≡ ∃x(α ∨ β) Qxα ≡ Qxα[x/y],

gdzie y bez wolnych zmiennych, a x z wolnymi zmiennymi

CNF: ¬p ∨ . . . ∨ p

DNF: ¬p ∧ . . . ∧ p - fałsz!

PNF: Q

x

Q

x

. . . Q

x

µ,

gdzie µ jest koniunkcj ˛a alternatyw

Klauzul ˛e postaci

¬β ¹ ∨ . . . ∨ ¬β ^m ∨ γ ¹ ∨ . . . ∨ γ ⁿ

nazywa si ˛e klauzul ˛ a Horna ⇔ n = 0 lub n = 1 dla m ≥ 0 . Inny zapis to

β ¹ ∧ . . . ∧ β ^m ⇒ γ

Schematem rezolucji (Robinson - 1965) nazywa si ˛e reguł ˛e inferencyjn ˛ a

A ∨B,C∨¬B A ∨C ,

gdzie A, B, C s ˛ a formułami, A∨C jest rezolwent ˛ a binarn ˛ a klau- zul wej´sciowych, a klauzula pusta (NIL) nie jest spełniona w

˙zadnej strukturze.

Do danego zbioru klauzul Φ doł ˛ acza si ˛e zbiór klauzul modelowo równowa˙z- nych negacji formuły ¬α, któr ˛ a zamierzamy udowodni´c. Potem stosuje si ˛e wielokrotnie schemat rezolucji. Uzyskanie rezolwenty równej NIL oznacza,

˙ze zbiór Φ ∪ {¬α} jest sprzeczny i α nie jest twierdzeniem.

K

K

K

K

K

Kuch- nia

K

K

K

K

Robot c1,2

K

¬c2,2

K

K

K

¬c1,1

K

¬c2,1

K

K

c - zapach kawy w pokoju (i, j) k - kuchnia w pokoju (i, j)

Wiedza: ¬c

, ¬c

, ¬c

, c

Korzystaj ˛ ac ze zmysłu zapachu ro- bot znajduje kuchnie!

R1 ¬c1,1 ⇒ (¬K1,1 ∧ ¬K1,2 ∧ ¬K2,1) R² ¬c2,1 ⇒ (¬K1,1 ∧ ¬K2,1 ∧ ¬K2,2 ∧

¬K3,1)

R3 ¬c2,2 ⇒ (¬K2,1 ∧ ¬K1,2 ∧ ¬K2,2 ∧

¬K3,2 ∧ ¬K2,3)

R⁴ c1,2 ⇒ (K1,2 ∨K2,2 ∨ K1,1 ∨K1,3) R1: modus ponens lub rezolucja

¬K1,1 ∧ ¬K1,2 ∧ ¬K2,1

eliminacja ∧: ¬K1,1, ¬K1,2, ¬K2,1

R2 : ¬K1,1, ¬K2,1, ¬K2,2, ¬K3,1

R3 : ¬K2,1, ¬K1,2, ¬K2,2, ¬K3,2, ¬K2,3

R4 : K1,3 ∨ K1,2 ∨K2,2 ∨ K1,1

rezolucja

⇒

R4 ∨ ¬K1,1 : K1,3 ∨K1,2 ∨K2,2

R4 ∨ ¬K1,1 ∨ ¬K2,2 : K1,3 ∨ K1,2

R⁴ ∨ ¬K1,1 ∨ ¬K2,2 ∨ ¬K1,2 : K1,3