Wprowadzenie do Sztucznej Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Inteligencji

©AM©AM

Wprowadzenie do Sztucznej Wprowadzenie do Sztucznej

Inteligencji Inteligencji

Wyk Wykł ład 2 ad 2 Informatyka Studia In

Informatyka Studia In żynierskie ż ynierskie

Automatyczne dowodzenie twierdze Automatyczne dowodzenie twierdzeń ń

•• O teoriach formalnie na przykO teoriach formalnie na przykłładzie rachunku zdaadzie rachunku zdańń

•• Zastosowanie dedukcji: system Zastosowanie dedukcji: system LogicLogic TheoristTheorist

•

• RezolucjaRezolucja

•• Strategie rezolucyjne Strategie rezolucyjne -- heurystyki w procesie heurystyki w procesie dowodzenia

dowodzenia

©AM©AM

Rachunek zda

Rachunek zdań ń – – syntaktyka syntaktyka

Alfabet

Alfabet rachunku zdarachunku zdańń tworztworząą wyrażwyrażenia:enia:

•• zbiózbiór nieskońr nieskończony (przeliczalny) czony (przeliczalny) zmiennych zdaniowychzmiennych zdaniowych:: p, q, r,

p, q, r, …… zwanych

zwanych atomamiatomami lub lub formuformułłami atomowymiami atomowymi,,

•• oraz sporaz spóójnikijniki(operatory) logiczne(operatory) logiczne::



, , 

zwane odpowiednio

zwane odpowiednio negacjnegacjąą i implikacji implikacjąą..

Rachunek zda

Rachunek zdań ń – – syntaktyka syntaktyka

ZbióZbiór formułr formuł jest najmniejszym zbiorem spejest najmniejszym zbiorem spełłniajniająącym cym warunki:

warunki:

•• atomy (zmienne zdaniowe) sąatomy (zmienne zdaniowe) sąformułformułami,ami,

•• jeśjeśli li jest formułąjest formułą, to , to rórówniewnieżż jest formułąjest formułą,,

•• jeśjeśli li oraz oraz sąsą formułformułami, to ami, to  rórównieżwnież jest formułąjest formułą.. Dla uproszczenia wprowadza si

Dla uproszczenia wprowadza sięę spóspójniki: jniki: , , , ,  zwane odpowiednio koniunkcj

zwane odpowiednio koniunkcjąą, dysjunkcj, dysjunkcjąą i rói równowawnoważżnonośściciąą, , okreśokreślone jako:lone jako:

 (())



  

(())(( ))

©AM©AM

Rachunek zda

Rachunek zda ń ń – – pomocnicze definicje pomocnicze definicje

Litera

Literałłememnazywamy formułęnazywamy formułęatomowąatomową lub jej negacjęlub jej negację.. Klauzula

Klauzulato alternatywa literałto alternatywa literałóów.w.

Klauzul

Klauzulęę, , ktktóóra ra nie zawiera nie zawiera żżadnego adnego literaliterałłu u nazywamy

nazywamy klauzulklauzuląą pustpustąąi oznaczamy i oznaczamy .. Klauzula

Klauzula HornaHorna to klauzula zawierająto klauzula zawierająca co najwyca co najwyżżej ej jednjednąą formuformułęłę atomowąatomową w postaci prostej (nie w postaci prostej (nie zanegowanej).

zanegowanej).

Rachunek zda

Rachunek zdań ń – – semantyka semantyka

Niech

Niech  bębędzie dowolndzie dowolnąą formułąformułą, za, zaśśAA₁₁,A,A₂₂,…,…,,AA_nnwszystkimi wszystkimi atomami, kt

atomami, któóre w niej wystęre w niej występujpująą. . InterpretacjInterpretacjąą IIformułformułyy  nazywamy funkcj

nazywamy funkcjęęodwzorowujodwzorowująąccąą ze zbioru atomóze zbioru atomów w {

{AA₁₁,A,A₂₂,,……,,AA_nn} w zbió} w zbiór wartor wartośści logicznychci logicznych {0, 1}.{0, 1}.

Warto

Wartośćść formuformułły atomowejy atomowejppw interpretacji w interpretacji IIjest rójest równa wna warto

wartośści logicznej przypisanej tej formule przez interpretacjci logicznej przypisanej tej formule przez interpretacjęę::



_II(p(p))= I= I((pp))

©AM©AM

Rachunek zda

Rachunek zdań ń – – semantyka semantyka

Warto

Wartośćść formuformułły zy złłoożżonejonejw interpretacji Iw interpretacji Izależzależy od y od warto

wartośści podformuci podformułłskłskładowych (z ktadowych (z któórych zbudowana jest rych zbudowana jest formu

formułła za złłoożżona) i okreona) i okreśślona jest ona nastlona jest ona nastęępujpująąco:co:



  







 





przypadku przeciwnym

w

oraz gdy

przypadku przeciwnym

w

gdy

I I

I

I I

, 1

0 ) ( 1

) ( ,

) 0 (

, 0

0 ) ( ,

) 1 (







 







 





  







 





przypadku przeciwnym

w

oraz gdy

przypadku przeciwnym

w

gdy

I I

I

I I

, 1

0 ) ( 1

) ( ,

) 0 (

, 0

0 ) ( ,

) 1 (







 







 



Rachunek zda

Rachunek zdań ń – – semantyka semantyka

Definicje Definicje Formu

Formułła a jest prawdziwa przy interpretacjijest prawdziwa przy interpretacjiwtwwtw, gdy jej , gdy jej warto

wartośćśćw tej interpretacji wynosi 1, czyli w tej interpretacji wynosi 1, czyli _(()=1. )=1.

M

Móówimy wwimy wóówczas, żwczas, że interpretacja e interpretacja IIjest modelem dla jest modelem dla (albo: spe

(albo: spełłnia) nia) .. Formu

Formułła a jest prawdziwa jest prawdziwa (inaczej: jest (inaczej: jest tautologitautologiąą) ) wtwwtw, , gdy ka

gdy każżda interpretacja da interpretacja  jest modelem formujest modelem formułły y , czyli , czyli formu

formułła a  prawdziwa jest przy kaprawdziwa jest przy każżdej interpretacjidej interpretacji.. Formu

Formułła a  jest jest spełspełnialna nialna wtwwtw, gdy istnieje taka , gdy istnieje taka interpretacja

interpretacja  przy ktprzy któórej formurej formułła jest prawdziwa.a jest prawdziwa.

©AM©AM

Rachunek zda

Rachunek zdań ń – – semantyka semantyka

Definicje Definicje Formu

Formułła a jest fajest fałłszywa przy interpretacjiszywa przy interpretacji wtw, gdy jej wtw, gdy jej warto

wartośćśćw tej interpretacji wynosi 0, czyli w tej interpretacji wynosi 0, czyli _(()=0.)=0.

Formu

Formułła a jest fajest fałłszywa szywa (inaczej: (inaczej: niespeniespełnialnałnialna) ) wtwwtw, gdy , gdy



 jest formujest formułąłą fafałłszywszywąąw każw każdej interpretacji dej interpretacji .. Formu

Formułła a jest falsyfikowalna jest falsyfikowalna wtw, gdy istnieje taka wtw, gdy istnieje taka interpretacja

interpretacja , ż, że e _(()=0.)=0.

Rachunek zda

Rachunek zdań ń – – semantyka semantyka

Wnioski z definicji Wnioski z definicji Formu

Formułła a jest prawdziwa wtwjest prawdziwa wtw, gdy jej formu, gdy jej formułła a jest jest fałfałszywa.szywa.

Je

Jeżżeli eli jest formułjest formuła prawdziwa prawdziwąą, to , to jest formułjest formuła a spełspełnialnnialnąą (ale nie odwrotnie!)(ale nie odwrotnie!)

JeżJeżeli eli jest formułąjest formułąprawdziwąprawdziwą, to , to  nie jest formunie jest formułąłą fałfałszywszywąą (ale nie odwrotnie!)(ale nie odwrotnie!)

Formu

Formułła a nie jest prawdziwa wtwnie jest prawdziwa wtw, gdy jest , gdy jest

©AM©AM

Rachunek zda

Rachunek zdań ń – – semantyka semantyka

Wnioski z definicji Wnioski z definicji Formu

Formułła a jest fałjest fałszywa szywa wtwwtw, gdy formu, gdy formułła a jest jest prawdziwa.

prawdziwa.

Je

Jeżżeli eli jest formułjest formuła faa fałłszywszywąą, to , to jest formujest formułąłą falsyfikowaln

falsyfikowalnąą (ale nie odwrotnie!)(ale nie odwrotnie!)

JeżJeżeli eli jest formułąjest formułą fałfałszywszywąą, to , to nie jest formunie jest formułąłą prawdziw

prawdziwąą(ale nie odwrotnie!)(ale nie odwrotnie!) Formu

Formułła a nie jest fałnie jest fałszywa szywa wtwwtw, gdy jest spe, gdy jest spełłnialna.nialna.

Rachunek zda

Rachunek zda ń ń – – wnioskowanie wnioskowanie

Formu

Formułła a jest jest konsekwencjkonsekwencjąąlogicznąlogicznązbioru formuzbioru formułłUU={={₁₁, , ₂₂, ... ,, ... ,_nn}, }, co zapisujemy

co zapisujemy U╞U╞, je, jeżżeli kaeli każżda interpretacja, ktda interpretacja, któóra spera spełłnia nia UU (tzn. jest jego modelem) spe

(tzn. jest jego modelem) spełłnia taknia takżże e ..

JeżJeżeli zbieli zbióór formur formułłUUjest pusty, to pojjest pusty, to pojęęcie konsekwencji logicznej jest cie konsekwencji logicznej jest totożsame z pojżsame z pojęęciem prawdziwociem prawdziwośści, co zapisujemy ci, co zapisujemy ╞╞..

Twierdzenie o dedukcji Twierdzenie o dedukcji Niech

Niech UU={={₁1, , ₂2, ... ,, ... ,_nn} b} bęędzie zbiorem formudzie zbiorem formuł, zał, zaśśbębędzie pojedynczdzie pojedyncząą formu

formułąłą. Zachodzi w. Zachodzi wóówczas:wczas:

U╞U╞wtedy i tylko wtedy, gdy formuwtedy i tylko wtedy, gdy formuła ła ₁₁……_nnjest jest prawdziwa, czyli gdy

prawdziwa, czyli gdy ╞╞₁₁……_nn..

©AM©AM

Rachunek zda

Rachunek zda ń ń – – wnioskowanie wnioskowanie

Twierdzenie Twierdzenie Formu

Formułła a  jest logicznąjest logicznąkonsekwencjkonsekwencjąązbioru formułzbioru formułUU={={₁₁, , ₂₂, ... ,, ... ,_nn}} wtedy i tylko wtedy, gdy formu

wtedy i tylko wtedy, gdy formułła a ₁₁……_nn jest niespełjest niespełnialna.nialna.

Twierdzenie o rozstrzygalno Twierdzenie o rozstrzygalnościści Rachunek zda

Rachunek zdańńjest rozstrzygalny, tzn. mojest rozstrzygalny, tzn. możżna zawsze obliczyna zawsze obliczyććwartowartośćść logiczn

logicznąąformułformuły.y.

Podstawowe poj

Podstawowe poję ęcia dotycz cia dotycz ące teorii ą ce teorii

•• Teoria Teoria

ZbióZbiór formur formułłTT nazywamy teoriąnazywamy teoriąwtwwtw, gdy jest on zamkni, gdy jest on zamknięęty ze ty ze wzglęwzględu na konsekwencje logiczne. Zbidu na konsekwencje logiczne. Zbióór formur formułłTT jest zamknięjest zamknięty ty ze wzgl

ze wzglęędu na konsekwencje logiczne du na konsekwencje logiczne wtwwtw, gdy dla wszystkich , gdy dla wszystkich formu

formułłzachodzi zalezachodzi zależżnonośćść: je: jeżżeli eli TT╞╞, to , to TT. Elementy . Elementy zbioru

zbioru TTnazywamy twierdzeniaminazywamy twierdzeniamiteorii.teorii.

Niech

Niech UUbębędzie zbiorem formudzie zbiorem formułł. Zbi. Zbióór r T(T(UU)={)={| U| U╞╞} } nazywamy teori

nazywamy teoriąązbioru formułzbioru formułU, zaU, zaśśformułformuły naley należążące do ce do UU nazywamy

nazywamy aksjomatamiaksjomatami..

©AM©AM

Wnioskowanie (dow Wnioskowanie (dowó ó d) d)

Wnioskowaniem

Wnioskowaniemze zbioru formułze zbioru formułUU(przesł(przesłanek) formuanek) formułły y  (wniosku) nazywamy sko

(wniosku) nazywamy skońńczony ciczony ciąąg formug formułłW=W=WW₁₁,...,W,...,W_nn, taki, ż, taki, że e WW_nn==oraz kaoraz każżda z formuda z formułłWW_ii(1 (1 iinn) jest elementem zbioru ) jest elementem zbioru UU (aksjomatem) b

(aksjomatem) bąąddźźwnioskiem wyprowadzonym za pomocąwnioskiem wyprowadzonym za pomocąpewnej pewnej regułreguły wnioskowaniay wnioskowaniaz wczez wcześśniejszych przesniejszych przesłłanek anek WW_jj..

JeżJeżeli dla danej formueli dla danej formułły y  oraz zbioru Uoraz zbioru Uistnieje wnioskowanie, to istnieje wnioskowanie, to piszemy

piszemy UU├├. .

Wnioskowanie: poprawno

Wnioskowanie: poprawno ść ść i peł i pe łno ność ść

Twierdzenie o poprawno

Twierdzenie o poprawności.ści. Niech Niech UU bębędzie zbiorem formudzie zbiorem formuł, zał, zaśś  dowoln

dowolnąąformułąformułą, wtedy: je, wtedy: jeżżeli eli UU├├, to , to UU╞╞.. Twierdzenie o pe

Twierdzenie o pełłnonośści.ci.Niech UNiech Ubębędzie zbiorem formudzie zbiorem formułł, za, zaśśdowolnądowolną formu

formułąłą, wtedy: je, wtedy: jeżżeli eli UU╞╞, to U, to U├├..

DzięDzięki twierdzeniu o peki twierdzeniu o pełłnonośści problem stwierdzenia, czy formuci problem stwierdzenia, czy formułła a  jest jest logiczn

logicznąą konsekwencjkonsekwencjąą zbioru formułzbioru formuł UU możmożna sprowadzina sprowadzićć do do zagadnienia poszukiwania wnioskowania formu

zagadnienia poszukiwania wnioskowania formułły y  ze zbioru ze zbioru U, co U, co jest o tyle istotne,

jest o tyle istotne, żże konstrukcja wnioskowania ma charakter wye konstrukcja wnioskowania ma charakter wyłąłącznie cznie syntaktyczny i poddaje si

syntaktyczny i poddaje sięęautomatyzacji.automatyzacji.

©AM©AM

Peł Pe łno ność ść procedury dowodowej - procedury dowodowej - dlaczego? dlaczego?

Istnienie pe

Istnienie pełłnej procedury dowodowej:nej procedury dowodowej:

•• zredukowazredukowałłoby proces dowodzenia jedynie do oby proces dowodzenia jedynie do

„„mechanicznychmechanicznych””manipulacji skłmanipulacji składniadniąąformuformułł logicznychlogicznych

•• oznaczaoznaczałłoby, iżoby, iżwszystkie wnioski i twierdzenia logiki sąwszystkie wnioski i twierdzenia logiki są zawsze i jedynie pochodn

zawsze i jedynie pochodnąąprzyjęprzyjętego zbioru aksjomattego zbioru aksjomatóóww

•• i umoi umożżliwiliwiłłoby tym samym automatyzacjęoby tym samym automatyzacjęprocesu procesu rozwi

rozwiąązywania kazywania każżdego problemu sformudego problemu sformułłowanego w jowanego w jęęzyku zyku logiki (pomijamy problem z

logiki (pomijamy problem złłoożżonoonośści obliczeniowej takiego ci obliczeniowej takiego procesu!)

procesu!)

Dedukcja Dedukcja

Dedukcja jest wnioskowaniem, w kt

Dedukcja jest wnioskowaniem, w której podstawowórej podstawowąą regułąregułą wnioskowania (dowodow

wnioskowania (dowodowąą) jest regu) jest regułła odrywania:a odrywania:

A, A, AABB alboalbo AA, , AABB B

B BB

RegułReguła odrywania wymaga aby formua odrywania wymaga aby formułły miay miałły postay postaććatomowąatomową lub by

lub byłły klauzulami y klauzulami HornaHorna..

©AM©AM

Logic

Logic Theorist Theorist (LT) (LT)

Reprezentacja wiedzy:

Reprezentacja wiedzy:

•• rachunek zdańrachunek zdańi predykati predykatóóww Mechanizmy wnioskowania:

Mechanizmy wnioskowania:

•• podstawieniepodstawienie

•• zastązastąpieniepienie

•• regułreguła odrywaniaa odrywania

•

• „regu„regułła a łałańńcuchacucha””

Sterowanie wnioskowaniem:

Sterowanie wnioskowaniem:

•• przeszukiwanie począprzeszukiwanie począwszy od celu we wszystkich wszy od celu we wszystkich możmożliwych kierunkachliwych kierunkach

Logic

Logic Theorist Theorist (LT): wnioskowanie (LT): wnioskowanie

Podstawienie Podstawienie

W ka

W każżdym twierdzeniu, o ktdym twierdzeniu, o któórym wiemy, rym wiemy, żże jest e jest prawdziwe mo

prawdziwe możżna podstawina podstawiććza zmiennąza zmiennądowolne dowolne wyrażwyrażenie (w kaenie (w każżdym wystdym wystąąpieniu tej zmiennej).pieniu tej zmiennej).

Przyk Przykłładad

(B(BB) B) BB ...aksjomataksjomat

AAzazaBB ...podstawieniepodstawienie (

(AAAA) ) AA ...wynikwynik

©AM©AM

Logic

Logic Theorist Theorist (LT): wnioskowanie (LT): wnioskowanie

ZastąZastąpieniepienie Operator wyra

Operator wyrażżeniaeniamomożna zastżna zastąąpipiććwyrawyrażeniem logicznie żeniem logicznie r

róównowawnoważżnymnymlub jego definicjlub jego definicjąą.. Przyk

Przykłładad

((AAB) B) (A(AB)B) ......DefinicjaDefinicja ((AAAA) ) A A ......WyrażWyrażenieenie (A(AAA) ) AA ......ZastąZastąpieniepienie

Logic

Logic Theorist Theorist (LT): wnioskowanie (LT): wnioskowanie

RegułReguła odrywania (modus ponens)a odrywania (modus ponens) Z prawdziwo

Z prawdziwośści implikacji i jej przesci implikacji i jej przesłłanek możanek możemy emy wnioskowa

wnioskowaććo prawdziwośo prawdziwości jej konkluzji:ci jej konkluzji:

[(

[(AAB) B) AA] ] BB albo:

albo:

AAB, B, A A BB

„Regu„Regułła a łłaańńcuchacucha””

JeżJeżeli mamy A eli mamy A BBoraz oraz BBC, to mamy nowy C, to mamy nowy problem (

problem (podcelpodcel): ): AACC

©AM©AM

Logic

Logic Theorist Theorist (LT): sterowanie (LT): sterowanie

Funkcjonowanie systemu LT opiera si

Funkcjonowanie systemu LT opiera sięęna nastęna następujpująącej sekwencji cej sekwencji dziadziałłaańń::

•• Po pierwsze, wykonanie wszystkich moPo pierwsze, wykonanie wszystkich możżliwych zmian w liwych zmian w bie

bieżążącym celu z wykorzystaniem operacji cym celu z wykorzystaniem operacji podstawieniapodstawienia,,

•• Po drugie, jePo drugie, jeżżeli to nie prowadzi do dowodu, stosujemy eli to nie prowadzi do dowodu, stosujemy wszystkie mo

wszystkie możżliwe liwe oderwaniaoderwaniai zasti zastąąpieniapieniado naszego celu; do naszego celu;

jejeżżeli nie doprowadzi to eli nie doprowadzi to żżadnego z wyraadnego z wyrażżeeńńdo aksjomatu, wyniki do aksjomatu, wyniki dodawane s

dodawane sąądo listy do listy podcelpodcelóóww,,

•• Po trzecie, stosujemy Po trzecie, stosujemy reguregułęłęłłaańńcuchacucha,,

•• Po czwarte, jePo czwarte, jeżżeli eli żżadne z trzech powyadne z trzech powyżższych dziaszych działłaańńnie nie doprowadzi

doprowadziłło do dowodu, przechodzimy do o do dowodu, przechodzimy do listy podcellisty podcelóówwi i wybieramy kolejny nie rozwa

wybieramy kolejny nie rozważżany dotany dotąąd podceld podcel

Logic

Logic Theorist Theorist (LT): sterowanie (LT): sterowanie

Warunki stopu systemu LT:

Warunki stopu systemu LT:

•• znaleziono dowznaleziono dowóódd

•

• lista podcellista podcelóówwjest pusta (tzn. nie możjest pusta (tzn. nie można wywiena wywieśćść z z posiadanych przes

posiadanych przesłłanek)anek)

•• dostdostęępny czas i/lub pamipny czas i/lub pamięćęćzostałzostały wyczerpaney wyczerpane

©AM©AM

Logic

Logic Theorist Theorist (LT): przyk (LT): przykł łady ady

cel p  (q  p) nie jest aksjomatem zastąpienie (q  p)  (q  p) wynik: p  (q  p) podcel p  (q  p)

podstawienie q za q p  (q  p) to aksjomat c.b.d.u.

cel p  (q  p) nie jest aksjomatem zastąpienie (q  p)  (q  p) wynik: p  (q  p) podcel p  (q  p)

podstawienie q za q p  (q  p) to aksjomat c.b.d.u.

cel (p  p)  p nie jest aksjomatem

zastąpienie (p  p)  (p  p) wynik: (p  p)  p podcel (p  p)  p

podstawienie p za p (p  p)  p to aksjomat c.b.d.u.

cel (p  p)  p nie jest aksjomatem zastąpienie (p  p)  (p  p) wynik: (p  p)  p podcel (p  p)  p

podstawienie p za p (p  p)  p to aksjomat c.b.d.u.

Logic

Logic Theorist Theorist (LT): podsumowanie (LT): podsumowanie

•

• Program napisany przez Program napisany przez NewellaNewella, Simona i , Simona i ShawaShawaw w roku 1956, kt

roku 1956, któóry dowodziry dowodziłłpodstawowe twierdzenia podstawowe twierdzenia pierwszego rozdzia

pierwszego rozdziałłu u Principia Principia MathematicaMathematica

•• Wnioskowanie: dedukcjaWnioskowanie: dedukcja

•• Procedura pomocnicza: unifikacja wyraProcedura pomocnicza: unifikacja wyrażżeeńń

•

• Problemy: zProblemy: złłoożżonoonośćść, sterowanie wnioskowaniem, sterowanie wnioskowaniem

©AM©AM

Reguł Regu ła a modus ponens modus ponens: niepe : niepeł łno ność ść

Przyk

Przykłładowy zbiadowy zbióór aksjomatr aksjomatóóww ppqq

pprr qqss rrss

DowóDowód nieformalny dla s:d nieformalny dla s:ssjest prawdziwe, gdy qjest prawdziwe, gdy qlub rlub rjest prawdziwe; jest prawdziwe;

qqlub rlub rmusi bymusi byććprawdziwe, bo prawdziwe, bo pplub lub ppjest prawdziwe (zawsze!). jest prawdziwe (zawsze!).

Zatem

Zatem ssz pewnoz pewnośściciąąjest prawdziwe!jest prawdziwe!

Modus Ponens:

Modus Ponens:



pprrnie monie możżna przeksztana przekształłciciććdo postaci Hornado postaci Horna(był(byłoby wtedy oby wtedy pprr, , czyli dwa litera

czyli dwa literałły proste) i tym samym nie moy proste) i tym samym nie możżna skorzystana skorzystaććz regułz reguły y odrywania by dowie

odrywania by dowieśćśćprawdziwośprawdziwości ci s.s. Wniosek:

Wniosek:IstniejąIstniejątwierdzenia (konsekwencje logiczne) prawdziwe w twierdzenia (konsekwencje logiczne) prawdziwe w rachunku zda

rachunku zdańń, kt, któórych nie morych nie możżna dowiena dowieśćśćza pomocąza pomocąmodus ponens.modus ponens.

Postacie normalne Postacie normalne

Formu

Formułła jest w a jest w koniunkcyjnej postaci normalnejkoniunkcyjnej postaci normalnej (CNF(CNF) ) wtw, gdy jest wtw, gdy jest ona postaci

ona postaci  ==₁₁  ₂₂  ... ...  _nn (dla (dla nn  1), gdzie 1), gdzie ₁₁,,₂₂,...,,...,_nn sąsą klauzulami.

klauzulami.

Formu

Formułła jest w a jest w dysjunkcyjnej postaci normalnejdysjunkcyjnej postaci normalnej(DNF(DNF) ) wtwwtw, gdy jest , gdy jest ona postaci

ona postaci  ==₁₁  ₂₂  ... ...  _nn (dla (dla nn  1), gdzie 1), gdzie ₁₁,,₂₂,...,,...,_nn sąsą koniunkcjami litera

koniunkcjami literałłóów.w.

Twierdzenie Twierdzenie

Dla dowolnej formu

Dla dowolnej formułły y  istniejąistnieją formułformuły jest ry jest róównowawnoważżne w ne w koniunkcyjnej i dysjunkcyjnej postaci normalnej.

koniunkcyjnej i dysjunkcyjnej postaci normalnej.

©AM©AM

Sprowadzanie do postaci normalnej Sprowadzanie do postaci normalnej

W celu sprowadzenia do postaci normalnej nale W celu sprowadzenia do postaci normalnej należży:y:

1)1) wyeliminowaćwyeliminowaćspóspójniki jniki , , za pomocąza pomocąregułreguł::

 (())((),),

 ((),), 2)

2) wprowadzićwprowadzićnegacjnegacjęębezpośbezpośrednio przed formurednio przed formułły atomowe zgodnie y atomowe zgodnie z wzorami:

z wzorami:



 ((),),



(() )  ,,

(() )  ,,

3)3) wyprowadzićwyprowadzićkoniunkcjękoniunkcję(postać(postaćCNF) albo dysjunkcjCNF) albo dysjunkcjęę(postać(postać DNF) na zewn

DNF) na zewnąątrz nawiastrz nawiasóów przy uw przy użżyciu praw:yciu praw:

(() ) (()) ((),),

(() ) (()) (().).

Zasada rezolucji:

Zasada rezolucji:

AAB, B, BBCC alboalbo AAB, B, BBCC AACC A A  CC

Reguł Regu ła rezolucji: a rezolucji: zasada zasada

Interpretacja (dysjunkcji):

Interpretacja (dysjunkcji):

JeśJeśli li BBjest fałjest fałszywe, to w pierwszej dysjunkcji szywe, to w pierwszej dysjunkcji AAmusi bymusi byćć prawdziwe (skoro ca

prawdziwe (skoro całła alternatywa jest prawdziwa); ale jeśa alternatywa jest prawdziwa); ale jeśli li BB jest prawdziwe, to wtedy w drugiej dysjunkcji

jest prawdziwe, to wtedy w drugiej dysjunkcji CCmusi byćmusi być prawdziwe (skoro ta alternatywa te

prawdziwe (skoro ta alternatywa teżżjest prawdziwa);jest prawdziwa);

zatem,

zatem, AAlub lub CCsąsąprawdziwe.prawdziwe.

Interpretacja (implikacji):

Interpretacja (implikacji):poprawnośćpoprawnośćzasady rezolucji wynika zasady rezolucji wynika

©AM©AM

AABB, , BBCC AACC

Rezolucja:

Rezolucja: poj poj ęcia podstawowe ę cia podstawowe

przes przesłłankaanka przes

przesłłankaanka

rezolwenta rezolwenta litera literałły y komplementarne komplementarne

Rezolucja ma charakter

Rezolucja ma charakter binarnybinarnytzn. dotyczy dokłtzn. dotyczy dokładnie dwadnie dwóóch ch klauzul, a rezolwenta jest wyprowadzana z jednej pary litera klauzul, a rezolwenta jest wyprowadzana z jednej pary literałłów ów komplementarnych.

komplementarnych.

Rezolucja:

Rezolucja: zasada rezolucji a modus ponens zasada rezolucji a modus ponens

A, A, AABB TrueTrueA, A, AABB BB TrueTrueBB

TrueTrueA, A, AABB FalseFalseA, A,  AABB

TrueTrueBB FalseFalseBB

Zasada rezolucji jest uog

Zasada rezolucji jest uogóólnieniem regulnieniem regułły odrywania.y odrywania.

Modus ponens

Modus ponensnie daje możnie daje możliwoliwośści generowania dysjunkcji ci generowania dysjunkcji (implikacji)

(implikacji) -- momożżliwe jest jedynie wywodzenie formuliwe jest jedynie wywodzenie formułł atomowych

atomowych..

©AM©AM

Rezolucja:

Rezolucja: wyw wywó ó d rezolucyjny oraz dowó d rezolucyjny oraz dow ód d

Wywodem rezolucyjnym

Wywodem rezolucyjnymklauzuli Cklauzuli Cze zbioru klauzul ze zbioru klauzul UU nazywamy ci

nazywamy ciąąg klauzul g klauzul W=W=WW₁₁,...,W,...,W_nn, kt, którego elementami sórego elementami sąą wy

wyłąłącznie elementy zbioru cznie elementy zbioru UUoraz rezolwenty klauzul oraz rezolwenty klauzul wystęwystępujpująących wczecych wcześśniej w tym ciniej w tym ciąągu, zagu, zaśśWW_nn=C=C. . Wyw

Wywóód rezolucyjny d rezolucyjny klauzuli pustejklauzuli pustejze zbioru Uze zbioru Unazywamy nazywamy dowodem niespe

dowodem niespełnialnołnialnośścici ((sprzecznosprzecznośścici) dla ) dla UU..

Rezolucja:

Rezolucja: przypadki wnioskowania przypadki wnioskowania

PP



PPQQ ((PPQQ))

P PQQ



PPQQ

Q QQQ P PPP

PPRR (P(PRR))

PPQQ (P(PQ)Q)

QQRR (Q(QRR))



PP PP P PQQ



PPQQ

Q Q

QQ modus ponensmodus ponens Q

QQQdaje Qdaje Q rezolwenta sklejana rezolwenta sklejana dwie rezolwenty dwie rezolwenty (obie tautologie) (obie tautologie) klauzula pusta klauzula pusta (oznaka sprzeczno (oznaka sprzecznośści)ci) wnioskowanie

wnioskowanie „„łłaańńcuchowecuchowe”” (ang.

(ang. chainingchaining)) Przes

Przesłłankianki RezolwentyRezolwenty UwagiUwagi

©AM©AM

Zasada rezolucji:

Zasada rezolucji: peł pe łno no ść ść czy niepeł czy niepe łno ność ść ? ?

Zasada rezolucji

Zasada rezolucji nie jest penie jest pełłnana, gdyż, gdyżnie jest możnie jest możliwe wywiedzenie liwe wywiedzenie formu

formułły y pppp(bę(będdąącego tautologicego tautologią) dla pustego zbioru klauzul ą) dla pustego zbioru klauzul poczpocząątkowych (aksjomattkowych (aksjomatóów).w).

Zasada rezolucji jest jednak

Zasada rezolucji jest jednak pepełna w sensie refutacjiłna w sensie refutacji tzn. zawsze tzn. zawsze umo

umożżliwia wyprowadzenie klauzuli pustej (faliwia wyprowadzenie klauzuli pustej (fałłszywej w kaszywej w każżdej dej interpretacji!), je

interpretacji!), jeśśli dany zbili dany zbióór klauzul jest niesper klauzul jest niespełłnialny.nialny.

Refutacja (

Refutacja (reductioreductioad absurdum) -ad absurdum) -dowódowód d „„nie wprostnie wprost”” Aby dowie

Aby dowieśćść, , żże klauzula e klauzula PPjest logicznąjest logicznąkonsekwencjąkonsekwencjązbioru zbioru klauzul

klauzul SSwystarczy wykazaćwystarczy wykazać, , żże zbie zbióór r {{SSPP}} jest sprzeczny.jest sprzeczny.

Rezolucja:

Rezolucja: procedura dowodowa procedura dowodowa

•• PrzekształćPrzekształćprzesprzesłanki lub aksjomaty w formłanki lub aksjomaty w formęęklauzulklauzul

•• Dodaj do zbioru aksjomatóDodaj do zbioru aksjomatów zaprzeczenie twierdzenia, w zaprzeczenie twierdzenia, któktóre ma byre ma byćć udowodnione (w formie klauzuli)udowodnione (w formie klauzuli)

•

• Generuj nowe klauzule (rezolwenty), wynikająGeneruj nowe klauzule (rezolwenty), wynikające z tego ce z tego zbioru (zgodnie z zasad

zbioru (zgodnie z zasadąą rezolucji) i powirezolucji) i powięększaj o nie kszaj o nie zbiózbiórr

•

• Szukaj sprzecznośSzukaj sprzeczności, podci, podążążajająąc ku klauzuli pustejc ku klauzuli pustej

©AM©AM

Rezolucja:

Rezolucja: graf graf wywodu (przykł wywodu (przyk ład) ad)



rr pp ppqq pprr

pp

Rezolucja:

Rezolucja: drzewo drzewo wywodu (przykł wywodu (przyk ład) ad)



rr pp ppqq pprr

qq rr pp

©AM©AM

Rezolucja:

Rezolucja: strategie dowodzenia strategie dowodzenia

•• Strategie wyboruStrategie wyboru –

– Strategia liniowa (ang. linearStrategia liniowa (ang. linearresolution)resolution) –– Strategia źStrategia źrróóddłłowa (ang. owa (ang. inputinputresolution)resolution) –

– Strategia preferencji jednostkowej (ang. unit preferenceStrategia preferencji jednostkowej (ang. unit preferenceresolution)resolution) –

– Strategia zbioru podpierająStrategia zbioru podpierającego/zbioru uzasadniecego/zbioru uzasadnieńń(ang. set of(ang. set ofsupportsupport resolution

resolution))

–– Przeszukiwanie „Przeszukiwanie „wszerzwszerz””(saturacja)(saturacja)

•• Strategie eliminacjiStrategie eliminacji –

– usuwanie klauzul zawierająusuwanie klauzul zawierających cych „„czysteczyste””literaliterałły (brak drugiej y (brak drugiej klauzuli zawieraj

klauzuli zawierająącej literacej literałłkomplementarny)komplementarny)

–– usuwanie tautologii (klauzul zawierająusuwanie tautologii (klauzul zawierających literacych literałły komplementarne)y komplementarne) –

– usuwanie klauzul pochłusuwanie klauzul pochłonionięętychtych

Rezolucja:

Rezolucja: przyk przyk ład saturacji (krok 1) ł ad saturacji (krok 1)



rr pp ppqq pprr

qq rr pp

©AM©AM

Rezolucja:

Rezolucja: przyk przyk ład saturacji (krok 2) ł ad saturacji (krok 2)



rr pp ppqq pprr

qq rr pp

Rezolucja:

Rezolucja: strategia zbioru podpierają strategia zbioru podpieraj ą cego cego

•• ZbiZbióór uzasadnier uzasadnieńńTT--dowolny niepusty podzbidowolny niepusty podzbióórr zbioru Szbioru S klauzul pocz

klauzul począątkowych (skotkowych (skońńczonego i niepustego)czonego i niepustego)

•

• W kaW każżdym kroku wywodu przynajmniej jedna z przesdym kroku wywodu przynajmniej jedna z przesłłanek anek jest klauzul

jest klauzuląąze zbioru Tze zbioru Tbąbąddźźklauzuląklauzuląwyprowadzonąwyprowadzonąwe we wczewcześśniejszej fazie wywodu (inaczej: zbiniejszej fazie wywodu (inaczej: zbióór r TTjest po jest po wykonaniu ka

wykonaniu każżdego kroku wzbogacany o wyprowadzony dego kroku wzbogacany o wyprowadzony wniosek/

wniosek/rezolwentrezolwentęę))

•• Strategia zupeStrategia zupełłna wtedy i tylko wtedy, gdy zbina wtedy i tylko wtedy, gdy zbióór r SSjest jest sprzeczny, za

sprzeczny, zaśś S\S\TTjest spełjest spełnialnynialny

•• IstniejIstniejąąrróżóżne metody wyboru zbioru ne metody wyboru zbioru TT(najczęś(najczęściej zbiciej zbióór r ten zawiera negacj

ten zawiera negacjęędowodzonego twierdzenia)dowodzonego twierdzenia)

©AM©AM

Rezolucja:

Rezolucja: strategie zbioru podpieraj strategie zbioru podpierają ą cego cego (przyk

(przyk ł ł ad) ad)

: :zbizbióórrTT



qq



pp

p p q

q Zbi

ZbióórrS\S\TT::

Sprzeczny zbi Sprzeczny zbióór r SS::



rr p

p qq pprr qqrr

Rezolucja:

Rezolucja: strategia liniowa strategia liniowa

•• W kaW każżdym kroku jedna z przesdym kroku jedna z przesłłanek jest ostatnio anek jest ostatnio wygenerowan

wygenerowanąąrezolwentąrezolwentą, a druga jednym z , a druga jednym z wczewcześśniejszych wnioskniejszych wnioskóów (rezolwent) lub klauzulw (rezolwent) lub klauzuląą poczpocząątkowtkowąą

•• DowDowóód rozpoczyna sid rozpoczyna sięęod dowolnie wybranej klauzuli od dowolnie wybranej klauzuli poczpocząątkowej (chotkowej (choććnajlepiej aby bynajlepiej aby byłło to twierdzenie do o to twierdzenie do udowodnienia)

udowodnienia)

•• DowDowóód ma charakter przejrzysty i d ma charakter przejrzysty i „„ciciąąggłłyy””--ostatni ostatni wniosek jest przes

wniosek jest przesłłankankąąw kolejnym krokuw kolejnym kroku

•• Strategia zupeStrategia zupełłnana

•• MoMożżna na łąłączyczyććze strategiąze strategiązbioru uzasadnieńzbioru uzasadnień

©AM©AM

Rezolucja:

Rezolucja: strategia liniowa (przyk strategia liniowa (przykł ład) ad)



rr p

p qq pprr qqrr



pp

q q

rr

p p

r r



qq

Rezolucja:

Rezolucja: strategia strategia ź źr ró ód d łowa ł owa

•• W kaW każżdym kroku przynajmniej jedna przesdym kroku przynajmniej jedna przesłłanka jest anka jest klauzul

klauzuląąpocząpoczątkowtkowąą(a nie rezolwentą(a nie rezolwentą))

•• Odmiana strategii liniowej (bardziej rygorystyczna!)Odmiana strategii liniowej (bardziej rygorystyczna!)

•• Strategia niezupeStrategia niezupełłna!na!

•• Strategia zupeStrategia zupełłna w klasie klauzul Hornana w klasie klauzul Horna