MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 171-178, Gliwice 2012
MODELOWANIE WPŁYWU LICZBY WARSTW
RĘCZNIE WYTWARZANYCH LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH NA ICH WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE PRZY ZGINANIU
MARIUSZ KUKLIŃSKI
Zakład Mechaniki Stosowanej, Uniwersytet Technologiczno – Przyrodniczy w Bydgoszczy e-mail: mariusz.kuklinski@utp.edu.pl
Streszczenie. W artykule przedstawiono wyniki badań symulacyjnych wpływu liczby warstw laminatu na jego wytrzymałość przy zginaniu z uwzględnieniem wpływu współczynnika wzmocnienia. Modelowanie wyżej wspomnianej zależności przeprowadzono z zastosowaniem zastępczych modeli jednowarstwowych (ESL) [1], które bazują głównie na klasycznej teorii płyt laminowanych oraz na teorii ścinania pierwszego rzędu. Przyjmując, że warstwy laminatu są jednakowe, wyniki symulacji wykazują, że laminat czterowarstwowy powinien posiadać największą wytrzymałość na zginanie. Będą prowadzone dalsze badania w celu weryfikacji otrzymanych wyników.
1. WSTĘP
Materiały kompozytowe dają szerokie możliwości w planowaniu ich właściwości mechanicznych, niezbędnych w projektowaniu wytrzymałych, lekkich i niezawodnych konstrukcji. Ostatnie osiągnięcia na polu mechaniki materiałów kompozytowych sprawiły, że w coraz szerszym zakresie zastępują one tradycyjne materiały konstrukcyjne, takie jak metale czy drewno. Obecnie dostępne są materiały kompozytowe o wysokim stopniu złożoności i dokładności wykonania. Na naszym rodzimym gruncie wciąż jednak dominują kompozyty wytwarzane z powszechnie dostępnych i tanich komponentów, takich jak maty i tkaniny z włókna szklanego oraz żywice poliestrowe i epoksydowe. Z wielu powszechnie stosowanych technologii, takich jak nasycanie ciśnieniowo-próżniowe (Resin Transfer Moulding), infuzja próżniowa (Resin Film Infusion), technologia LFI (Long Fibre Injection) czy też metoda kontaktowa (ręczna) najczęściej stosowana jest ta ostatnia. Metoda kontaktowa zwykle nie pozwala na uzyskanie konkurencyjnych współczynników wzmocnienia i pozostawia duży procent pustek. Przy niewielkiej ilości produkowanych elementów jest najprostsza i najczęściej stosowana.
W kompozytach produkowanych metodą kontaktową, które charakteryzują się małym współczynnikiem wzmocnienia, poszczególnych warstw nie można uznać za jednorodne na całej ich grubości. Wzmocniona jest jedynie środkowa część warstwy laminatu, natomiast jej części zewnętrzne stanowi głównie żywica. Do modelowania elementów konstrukcyjnych z laminatów stosuje się elementy skończone, które nie uwzględniają zmian parametrów mechanicznych warstwy laminatu wzdłuż jego grubości. To uproszczenie prowadzi do
zaniedbania bardzo ważnej cechy laminatów produkowanych metodą kontaktową, jaką jest zależność parametrów mechanicznych od liczby warstw laminatu.
W niniejszej pracy przedstawiono wyniki symulacji dla zginania trójpunktowego belki prostej wykonanej z laminatu metodą kontaktową. Wyprowadzone równania konstytutywne opierają się na klasycznej teorii płyt laminowanych oraz na teorii odkształcenia postaciowego pierwszego rzędu (teorii ścinania pierwszego rzędu). Przy stosowaniu tych dwóch teorii nie jest spełniony warunek ciągłości naprężeń stycznych na granicach warstw [2]. Wynika stąd konieczność stosowania teorii ścinania wyższych rzędów [3]. Symulację przeprowadzono dla laminatów symetrycznych o parzystej liczbie warstw. Do oceny otrzymanych wyników zastosowano metodę porównawczą. Obliczano współczynnik zwiększenia naprężeń αS (7) jako iloraz wartości maksymalnych naprężeń normalnych w belce zginanej z laminatu o danej ilości warstw do wartości maksymalnych naprężeń normalnych obliczonych dla belki jednorodnej o tej samej grubości oraz w tych samych warunkach obciążenia.
2. WYPROWADZENIE RÓWNAŃ KONSTYTUTYWNYCH 2.1. Właściwości warstwy laminatu
Przyjęto ortotropowy model warstwy laminatu, dla którego równania konstytutywne mają postać:
C S
G G G E E E
E E
E
E E
E
6 5 4 3 2 1
12 13 23 3
2 23
1 13
3 32
2 1 12
3 31
2 21
1
6 5 4 3 2 1
0 1 0 0 0
0
1 0 0 0 0
0
0 1 0
0 0
0
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 1 0
. (1)
Rys.1. Osie układu współrzędnych dla warstwy laminatu wzmocnionej jednokierunkowo
Stałe materiałowe warstwy laminatu obliczono, stosując regułę mieszanin, zgodnie z którą wartość określonego parametru kompozytu jest proporcjonalna do objętościowych udziałów poszczególnych składników tworzących kompozyt.
Zgodnie z orientacją układu współrzędnych przedstawionego na rys.1 przyjęto następujące zależności pomiędzy stałymi materiałowymi warstwy laminatu a właściwościami jej składników:
5 . 0
) 1 (
) 1 )] (
1 ( [
) 1 )] (
1 ( [
) 1 (
12 2
12 12
12 12 12 2
12
2 22 22 2
22
11 11
f f
f G
f G
G f G
f G
f E
f E
E f E
f E
f E f E E
m
m
m m
m m
(2)
W powyższych zależnościach f jest objętościowym współczynnikiem wzmocnienia, η2 oraz η12 są parametrami podziału naprężeń między włókna a osnowę, indeks m odnosi się do osnowy, wielkości z podwójnymi indeksami do wzmocnienia, a wielkości z kreską są stałymi materiałowymi warstwy laminatu [4].
Ponieważ celem symulacji jest zbadanie zależności pomiędzy liczbą warstw laminatu a jego właściwościami mechanicznymi przy zginaniu, nie stosowano obrotu warstwy laminatu wokół osi x3. Przyjęte uproszczenie ma na celu wyeliminowanie wpływu różnic materiałowych pomiędzy poszczególnymi warstwami na badaną zależność. Do symulacji przyjęto laminat składający się z warstw wzmocnionych jednokierunkowo o tym samym kącie skręcenia względem osi x3 równym 0º (rys.1.). Zastosowano stałe materiałowe dla żywicy epoksydowej jako osnowy oraz dla szkła typu E jako wzmocnienia. Wartość współczynnika wzmocnienia objętościowego przyjęto f = 0,3 jako wartość charakterystyczną dla większości kompozytów produkowanych metodą kontaktową. Grubość warstwy laminatu zależy od rodzaju wzmocnienia i jego gramatury. Na podstawie przeprowadzonych badań [5]
przyjęto, że pojedyncza warstwa laminatu składa się z części wzmocnionej o grubości 0,5 [mm] i z bocznych warstw żywicy o grubości 0,025 [mm]. Zatem przyjęta całkowita grubość warstwy laminatu wynosi 0,55 [mm]. Ponieważ w metodzie kontaktowej produkcji laminatu grubość bocznej warstwy żywicy zależy od jakości wykonania, symulacje przeprowadzono także dla innych grubości tych warstw.
2.2. Klasyczna teoria płyt laminowanych
Laminaty powstają poprzez sekwencyjne nakładanie warstw wzmocnienia w formie mat, welonów lub tkanin rowingowych ułożonych pod odpowiednim kątem oraz osnowy, którą najczęściej jest żywica. Elementy konstrukcyjne z laminatów, których grubość jest o jeden lub dwa rzędy mniejsza od pozostałych wymiarów, często obciążone są momentem zginającym. Dlatego traktowane są jako elementy płytowe. Za pomocą zastępczych modeli jednowarstwowych, wprowadzając odpowiednie założenia odnośnie do kinematyki odkształcenia oraz stanu naprężenia wzdłuż grubości laminatu sprowadza się problem trójwymiarowy do problemu dwuwymiarowego. W klasycznej teorii płyt laminowanych Kirchhoffa [6], która jest traktowana jako najprostszy, zastępczy model jednowarstwowy, obowiązują następujące założenia:
linie proste prostopadłe do powierzchni środkowej przed odkształceniem
pozostają proste po odkształceniu,
nie ulegają wydłużeniu,
pozostają prostopadłe do powierzchni środkowej po odkształceniu.
Z pierwszych dwóch założeń wynika, że przemieszczenie punktu w kierunku normalnym do powierzchni płyty nie zależy od jego położenia wzdłuż grubości płyty i równe jest przemieszczeniu powierzchni środkowej w0 oraz, że wydłużenie względne εzz jest zerowe.
Skutkiem trzeciego założenia jest brak poprzecznych odkształceń postaciowych: εxz = εyz = 0.
Rys.2. Zależności przemieszczeń wg klasycznej teorii płyt laminowanych Kirchhoffa Zgodnie z rys.2 pole przemieszczeń w klasycznej teorii płyt laminowanych przedstawia się zależnościami:
) , , ( ) , , , (
) , , ( ) , , , (
) , , ( ) , , , (
0
0 0
0 0
t y x w t z y x w
y z w t y x v t z y x v
x z w t y x u t z y x u
. (2)
Natomiast nieliniowe pole odkształceń w funkcji przemieszczeń ma postać [7]:
0 0 0
2 1 2 1
2 1
2 0 2 2
0 0
0 2 0
0 0 0
2 0 2 2
0 0
zz yz xz yy xy xx
y z w y
w y
v
y x z w y w x w x v y u
x z w x
w x
u
(3)
Jeżeli przyjąć, że obroty w0/x oraz w0 /y prostych normalnych do powierzchni środkowej przyjmują wartości do 15º, to ich iloczynów nie można uznać za pomijalne, dlatego występują w zależnościach (3).
Równania ruchu zostały wyprowadzone na podstawie zasady prac wirtualnych:
0T UVK dt0, (4)gdzie δU, δV oraz δK oznaczają odpowiednio wirtualną energię odkształcenia, wirtualną pracę sił zewnętrznych i wirtualną energię kinetyczną. Problem zginanej belki o stałej szerokości, gdy obciążenia działają wyłącznie w kierunku osi z, można zredukować do jednowymiarowej analizy kompozytowej płyty laminowanej. W wyniku zastosowanej redukcji otrzymuje się następujące zależności dla składowych stanu naprężenia w k-tej warstwie:
0 0
*
*
*
*
*
*
*
*
*
2
66 26
16
26 22
21
16 12
11 ) (
66 26 16
26 22 21
16 12 11
0 2
2 0 2
2 0 2
) (
66 26 16
26 22 21
16 12 11 )
(
M
D D
D
D D
D
D D
D
C C C
C C C
C C C
y x
w y
w x
w
C C C
C C C
C C C
k k k
xy yy xx
(5)
gdzie
C jest zredukowaną do rozważanego problemu macierzą sztywności, M jest momentem zginającym w danym przekroju, a macierz [D*] jest macierzą odwrotną do tzw.macierzy sztywności zginania [D] obliczaną z zależności:
N
k Z z
k ij ij
k k
dz C z D
D D
1
) (
1 1 2
3 1 ,
* . (6)
2.3. Teoria ścinania pierwszego rzędu
W tej teorii, zwanej również teorią Reissnera-Mindlina [8], pomija się trzecie założenie teorii Kirchhoffa, tzn. przyjmuje się, że linie proste prostopadłe do powierzchni środkowej przed odkształceniem nie muszą pozostawać do niej prostopadłe po odkształceniu. Jeżeli jednak zawęzi się problem do trójpunktowego zginania belki z poprzedniego podrozdziału, to naprężenie normalne przedstawiać się będzie taką samą zależnością, jak w teorii xx Kirchhoffa.
3. WYNIKI SYMULACJI I ICH INTERPRETACJA
Dla danych przyjętych w podrozdziale 2.1 oraz dla różnych liczb warstw w najbardziej obciążonym przekroju obliczano współczynnik wzrostu naprężeń według zależności:
j jednorodne belki
laminatu z
belki
max _
max _
xx xx
S
. (7)
Minimalną wartość współczynnika αS otrzymano dla czterech warstw (rys.3) dla niewielkich grubości zewnętrznych warstw samej żywicy. Dla grubości zewnętrznych powłok żywicy g poszczególnych warstw laminatu do ok. 0,05 [mm] zależność pomiędzy αS a liczbą warstw laminatu ma przebieg podobny do górnego wykresu przedstawionego na rys.3 i wykazuje minimum dla czterech warstw. Gdy grubość samej żywicy g na zewnętrznych powierzchniach warstw laminatu zwiększono do 0,055 [mm] i więcej, minimalna wartość współczynnika zwiększenia naprężeń wypada dla dwóch warstw.
Rys.3. Zależność współczynnika zwiększenia naprężeń αS od liczby warstw laminatu dla grubości zewnętrznych powłok żywicy poszczególnych warstw laminatu g = 0,025 [mm]
(u góry) oraz g = 0,055 [mm] (u dołu)
Na rys.4 przedstawiono rozkład naprężeń w przekroju belki, której grubość zewnętrznych powłok żywicy warstw laminatu jest w przybliżeniu równa zeru, oraz laminatu składającego się z czterech warstw (dla g = 0,025 [mm]). Otrzymana wartość współczynnika zwiększenia naprężeń pierwszej belki αS = 1, co świadczy o poprawności algorytmu. Występujące linie poziome na górnym wykresie rys.4 świadczą o nieciągłości naprężeń normalnych na granicy
1,056 1,058 1,06 1,062 1,064 1,066 1,068 1,07
2 4 6 8 10 12
współczynnik αs
ilość warstw g=0,025 [mm]
1,115 1,12 1,125 1,13 1,135 1,14 1,145 1,15
2 4 6 8 10 12
współczynnik αs
ilość warstw g=0,055 [mm]
pomiędzy wzmocnionym rdzeniem warstwy laminatu a zewnętrznym filmem żywicy, chociaż w tym przypadku jego grubość jest w przybliżeniu równa zeru.
Rys.4. Rozkład naprężeń normalnych w belce zginanej o grubości filmu żywicy g ≈ 0 (u góry) oraz w belce wykonanej z czterowarstwowego laminatu (u dołu)
Przyjmując model Kirchhoffa dla rozpatrywanej belki kompozytowej, zginanej trójpunktowo i nieulegającej rozdzieleniu, odkształcenia εxx mają rozkład liniowy i nie zależą od zmian właściwości materiału wzdłuż grubości belki. W rozpatrywanym przykładzie rozkład naprężeń normalnych σxx wzdłuż grubości belki również jest liniowy, jednak różny w każdej warstwie, w zależności od jej właściwości mechanicznych.
4. PODSUMOWANIE
W wyniku symulacji numerycznych zależności własności mechanicznych przy zginaniu kompozytów wytwarzanych ręcznie od liczby warstw, otrzymano wyniki, które wykazują, że laminat czterowarstwowy powinien mieć największą wytrzymałość przy zginaniu. Wartości współczynników zwiększenia naprężeń różnią się nieznacznie. Konieczne jest zatem zweryfikowanie wyników przeprowadzonych symulacji. Wykorzystanie teorii ścinania wyższych rzędów jest uzasadnione, chociaż pojawia się w nich trudność interpretacji występujących współczynników. W celu sprawdzenia otrzymanych wyników zostanie wykorzystana również metoda oparta na dyskretnych modelach wielowarstwowych (Layer- Wise), w której z kolei liczba niewiadomych zależy od liczby warstw. Końcowym etapem badań będzie eksperyment.
LITERATURA
1. Carrera E.: Historical review of zig-zag theories for multilayered plates and shells.
“Applied Mechanics Review”: 2003, 56, p. 287–308.
2. Carrera E.: A refined multilayered finite-element model applied to linear and nonlinear analysis of sandwich plates. “Composites Science and Technology” 1998, 58, p. 1553- 1569.
3. Sheikh A.H., Chakrabarti A.: A new plate bending element based on higher-order shear deformation theory for the analysis of composite plates. “Finite Elements in Analysis and Design” 2003, 39, p. 883-903.
4. Ochelski F.: Metody doświadczalne mechaniki kompozytów konstrukcyjnych.
Warszawa: WNT, 2004.
5. Kukliński M.: Influence of voids and layers number on mechanical properties of hand lay-up bended laminates. In: Polish CIMAC, 2011, Vol.6, No. 3, p. 69-74.
6. Tanigawa Y, Murakami H, Ootao Y.: Transient thermal stress analysis of a laminated composite beam. “Journal of Thermal Stresses” 1989, 12, p. 25–39.
7. Reddy J.N.: Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis.
Boca Raton, Florida: CRC Press, 2004.
8. Reissner E.: The effects of transverse shear deformation on the bending of elastic plates.
“Journal of Applied Mechanics” 1945, 12, p. 69-76.
MODELLING OF LAYER NUMBER INFLUENCE ON MECHANICAL PROPERTIES OF HAND LAY-UP
BENDED COMPOSITE PLATES
Summary. This paper presents results of tests focused on investigating the relation between number of layers of laminate and its bending strength considering the influence of enforcement ratio. Methods used for modelling the relation between number of layers of laminate and its strength in bending are based mainly on classical laminated plate theory and first-order shear deformation theory. The obtained results need to be verified by the higher-order shear deformation theory, the layer-wise theory and by an experiment.
