Sur les extensions de groupe de Galois

LXII.1 (1992)

Sur les extensions de groupe de Galois A e 4 par

C. Bachoc et S.-H. Kwon (Talence)

0. Introduction. Soit K/k 0 une extension s´ eparable de degr´ e n, et soit N/k 0 sa clˆ oture galoisienne (dans une clˆ oture s´ eparable k ^s ₀ de k 0 ). Le groupe de Galois G de N/k 0 se plonge dans le groupe sym´ etrique S n , de fa¸con canonique ` a automorphisme int´ erieur pr` es. Nous nous limiterons aux extensions paires, c’est-` a-dire pour lesquelles l’image de G est con- tenue dans A n . On sait depuis Schur que, pour n ≥ 4, H <sup>2</sup> (A n , {±1}) est d’ordre 2, et d´ efinit donc une extension de G, unique ` a isomorphisme pr` es, que nous notons e G. Nous nous int´ eressons dans cet article au cas o` u G est isomorphe ` a A 4 . L’unique extension non triviale de A 4 par {±1} a une r´ ealisation dans le groupe des quaternions usuels de norme 1 : {±1, ±i, ±j, ±k, (±1 ± i ± j ± k)/2}. L’autre groupe pair en degr´ e 4 est le groupe bicyclique de type (2, 2); c’est le 2-sous-groupe de Sylow de A 4 , et son extension correspondante est le groupe quaternionien H 2 .

Lorsque k 0 n’est pas de caract´ eristique 2, ce qui est le cas dans nos appli- cations, un th´ eor` eme de Serre ([S1]) permet de lier la possibilit´ e de plonger N/k 0 dans une extension e N /k 0 de groupe de Galois e G ` a un calcul d’invariant de Witt de la forme Tr K/k

(x ² ). En outre, dans le cas A 4 , e N est la clˆ oture galoisienne d’une extension e K/k 0 de degr´ e 8 contenant K/k 0 .

Dans cette note, nous consid´ erons le cas o` u k 0 = Q. Nous calculons des polynˆ omes d´ efinissant les corps de groupe de Galois e A 4 r´ ealisant les plonge- ments des corps de groupe de Galois A 4 extraits de la table [BPS] de corps de degr´ e 4 et totalement r´ eels; pour cela nous utilisons un crit` ere de plonge- ment arithm´ etique valable pour k 0 = Q (proposition 1.3), et l’existence d’un “plongement pur” (th´ eor` eme 2.2), c’est-` a-dire non ramifi´ e en dehors des id´ eaux premiers d´ ej` a ramifi´ es dans K.

Le th´ eor` eme 2.5 montre l’existence d’une classe au sens restreint d’ordre 2

pour toute extension de Q de groupe de Galois A 4 totalement r´ eelle. Cette

propri´ et´ e remarquable est aussi v´ erifi´ ee par toute extension bicyclique de Q

plongeable dans une extension quaternionienne.

Le paragraphe 3 donne les r´ esultats num´ eriques, et en particulier les dis- criminants minimaux pour les deux signatures possibles (proposition 3.2).

Ces calculs num´ eriques ont ´ et´ e faits dans le syst` eme PARI, mis au point par C. Batut, D. Bernardi, H. Cohen, M. Olivier.

Cet article est extrait des chapitre 3 des th` eses de chacun des auteurs (Bordeaux, 1989).

Remerciements. Les auteurs remercient Jacques Martinet pour les avoir guid´ ees dans ce travail, Jean-Pierre Serre pour leur avoir commu- niqu´ ees le r´ esultat sur l’existence d’un plongement non ramifi´ e du lemme 2.4, et Henri Cohen pour son aide dans l’utilisation du syst` eme PARI.

1. Probl` eme de plongement. Reprenons les notations de l’intro- duction. Dans le cas o` u K = k 0 ( √

x 1 , √

x 2 ) est une extension bicyclique de k 0 , le th´ eor` eme de Serre ([S1], Th. 1) donne le crit` ere de plongement suivant, d´ ej` a d´ emontr´ e par Witt dans [W]. On note (x, y) le symbole de Hilbert.

1.1. Proposition ([S1]). K/k 0 est plongeable dans une extension qua- ternionienne si et seulement si

(−1, x 1 )(−1, x 2 )(x 1 , x 2 ) = 1.

En effet, il suffit de remarquer que l’invariant de Witt de la forme Tr _K/k

(x ² ), calcul´ e dans la base {1, √

x 1 , √ x 2 , √

x 1 x 2 }, est ´ egal ` a l’expres- sion de gauche.

Ce crit` ere se g´ en´ eralise aux extensions de groupe de Galois A 4 . Soit K/k 0

une telle extension, et soit N sa clˆ oture galoisienne. Soit S le 2-sous-groupe de Sylow de G, et posons k = N ^S et N = k( √

x 1 , √

x 2 ). Alors, comme [G : S] est impair, l’homomorphisme de restriction Res : H ² (G, {±1}) → H ² (S, {±1}) est injectif.

Soit s l’´ el´ ement de H ² (S, {±1}) correspondant ` a l’extension de S par le groupe des quaternions. Soit x = Cor (s) la Corestriction de s; x correspond

`

a l’extension non triviale de G que l’on note e G.

1.2. Proposition. Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, N/k 0 est plongeable dans une extension de groupe de Galois e G si et seulement si

(−1, x 1 )(−1, x 2 )(x 1 , x 2 ) = 1.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit G k

le groupe de Galois absolu de k 0 , et soit π : G k

→ G l’homomorphisme surjectif d´ efinissant N .

Alors N/k 0 est plongeable si et seulement si il existe un rel` evement

e π : G k

→ e G de π rendant commutatif le diagramme suivant : 1 → {±1} → e G → G → 1

˜ π - ↑ π

G k

Un tel rel` evement est n´ ecessairement surjectif, car la suite exacte n’est pas scind´ ee.

L’homomorphisme π induit un ´ el´ ement π ^∗ x de H ² (G k

, {±1}). L’exis- tence de e π est ´ equivalente ` a la condition π ^∗ x = 1.

La commutativit´ e du diagramme suivant :

H ² (G, {±1}) −→ ^Res H ² (S, {±1})

π



y ^(π|

⁾

x

 H ² (G k

, {±1}) −→ ^Res H ² (G k , {±1}) et l’injectivit´ e des restrictions montrent que

π ^∗ x = 1 ⇔ (π| G

) ^∗ s = 1,

c’est-` a-dire : N/k 0 est plongeable dans une extension de groupe de Galois e G si et seulement si N/k est plongeable dans une extension quaternionienne.

On peut donc appliquer la proposition 1.1.

Dans le cas o` u k 0 = Q, le crit`ere de la proposition 1.2 se traduit par des conditions arithm´ etiques. On retrouve les conditions de plongement d´ emontr´ ees dans [K], et g´ en´ eralis´ ees dans [B] au cas d’un groupe G isomor- phe ` a PSL(2, l).

Notation : L’indice figurant dans un id´ eal premier d´ esigne son degr´ e r´ esiduel.

1.3. Proposition. Soit K un corps quartique sur Q dont le groupe de Galois de la clˆ oture galoisienne est isomorphe ` a A 4 . Alors K est plongeable dans une extension de groupe de Galois e A 4 si et seulement si :

(i) K est totalement r´ eel ,

(ii) pour tout nombre premier impair p divisant le discriminant d K

de K,

pO K = p ² ₂ ⇒ p ≡ 3 mod 4 et pO K = (p 1 p ⁰ ₁ ) ² ⇒ p ≡ 1 mod 4.

Nous utiliserons plus particuli` erement dans le paragraphe 3 le corollaire suivant :

1.4. Corollaire. Si K est totalement r´eel et si d K d ⁻¹ _k = 1 ou est une

puissance d’un nombre premier , alors K est plongeable.

D ´ e m o n s t r a t i o n d u C o r o l l a i r e. La condition de la proposi- tion 1.2 se localise aux places v de k. Elle est trivialement v´ erifi´ ee si v est non ramifi´ ee dans N . Sous les hypoth` eses du corollaire, elle est donc v´ erifi´ ee partout sauf peut-ˆ etre aux places au-dessus d’un seul nombre premier p; la formule du produit pour le symbole de Hilbert montre qu’elle l’est partout.

1.5. R e m a r q u e. Il n’y a que deux signatures possibles pour e K. En effet, on a vu que, si K est plongeable, alors il est totalement r´ eel. Si K = K( e √

γ) est une r´ ealisation du plongement, alors pour tout σ appar- tenant ` a G, γ ^σ γ ⁻¹ est un carr´ e dans N , donc γ est soit totalement positif soit totalement n´ egatif et e K et soit totalement r´ eel soit totalement imaginaire.

1.6. A p p l i c a t i o n n u m ´ e r i q u e. La table de [BPS] des corps r´ eels de degr´ e 4 et de discriminant inf´ erieur ` a 10 <sup>6</sup> fournit une description des 31 premiers corps r´ eels de degr´ e 4 et de groupe de Galois isomorphe ` a A 4 . Ils v´ erifient tous les hypoth` eses du point (ii) de la proposition 1.3 sauf deux d’entre eux, pour lesquels

d K = 520 ² = (2 ³ · 13 · 5) ² , d K = 728 ² = (2 ³ · 7 · 13) ² ,

d k = 13 ² , d k = 7 ² ,

(5) = p ² ₂ , (13) = p ² ₂ .

D’apr` es la proposition 1.3, ils sont donc tous plongeables sauf les deux corps dont le discriminant est 520 ² et 728 ² .

2. Plongement et ramification. Le corps de base est k 0 = Q. Si K est un corps de degr´ e 4 sur Q de type A ⁴ et plongeable dans une extension de type e A 4 , on cherche ` a r´ ealiser le plongement en minimisant le nombre de places ramifi´ ees.

Nous aurons besoin du r´ esultat suivant, dˆ u ` a T. Crespo, qui d´ ecrit toutes les r´ ealisations du plongement ` a partir de l’une d’entre elles :

2.1. Proposition ([C1]). Si K( √

γ) est une r´ ealisation du plongement , alors les autres sont les K( √

mγ) avec m ∈ Z − {0}.

Le th´ eor` eme suivant d´ ecrit la ramification dans le (ou les) plongements de plus petit discriminant :

2.2. Th´ eor` eme. On suppose K plongeable.

1) Si e K est une r´ ealisation du plongement , alors tout id´ eal premier de K au-dessus d’un nombre premier de Q ramifi´e dans N/k est ramifi´e dans e K.

2) Il existe une r´ ealisation e K du plongement telle que e K/K soit non ramifi´ ee en dehors des id´ eaux premiers de K qui sont ramifi´ es dans N/k.

On appellera un tel corps un “ e A 4 pur”.

2.3. R e m a r q u e. Si e K = K( √

γ) est un e A 4 pur, alors e K est ´ eventu- ellement ramifi´ e ` a l’infini. Changer γ en −γ chasse la ramification ` a l’infini, mais enintroduit ´ eventuellement en 2.

D ´ e m o n s t r a t i o n. 1) Soient L 1 , L 2 , L 3 les trois extensions interm´ e- diaires de N/k. Si e K = K( √

γ) est une r´ ealisation du plongement, posons N = N ( e √

γ). Alors le groupe de Galois de N sur k est le groupe quaternio- nien d’ordre 8, donc les extensions e N /L i sont cycliques. Si P est un id´ eal premier de N ramifi´ e sur k, il est ramifi´ e sur au moins un des L i , donc dans e N .

2) Partons d’une r´ ealisation e K = K( √

γ) du plongement. Soit S l’en- semble des nombres premiers p de Z au-dessous d’un id´eal premier de K ramifi´ e dans e K.

Si p appartenant ` a S est ramifi´ e dans k, alors p est impair, donc mod´ er´ e dans e K/K, et par la th´ eorie de Kummer le changement de γ en pγ ´ elimine la ramification en p (il faut remarquer que l’indice de ramification d’un id´ eal de K au-dessus de p est impair et que la valuation de γ en deux id´ eaux au-dessus de p a mˆ eme parit´ e). On se ram` ene donc ` a une r´ ealisation du plongement pour laquelle les ´ el´ ements de S sont non ramifi´ es dans k.

Si p appartenant ` a S est non ramifi´ e dans N , alors le lemme suivant permet de conclure. Il nous a ´ et´ e communiqu´ e par J.-P. Serre et nous re- produisons sa d´ emonstration :

2.4. Lemme ([S4]). Soit 1 → C → e G → G → 1 une extension centrale de groupes finis, et soit G _Q le groupe de Galois absolu de Q. Soit π : G Q → G un homomorphisme continu, et soit S l’ensemble des p o` u π est ramifi´ e.

Supposons que π soit relevable en e π : G _Q → e G. Alors on peut choisir un tel rel` evement qui soit non ramifi´ e en dehors de S.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit π e 1 un choix quelconque d’un rel` evement de π, et soit S 1 l’ensemble des p o` u e π 1 est ramifi´ e. Soit p appartenant ` a S 1 \ S. Il suffit de montrer que l’on peut construire un rel` evement π e 2 de π ayant pour ensemble de ramification S 1 \ {p}.

Soit I p (respectivement D p ) le groupe d’inertie (respectivement de d´ e- composition) de p dans G _Q (d´ efini ` a conjugaison pr` es). L’homomorphisme e π 1 applique I p dans C; de plus e π 1 (D p )/ e π 1 (I p ) est cyclique, donc e π 1 (D p ) est ab´ elien. Par la th´ eorie locale du corps de classes, on peut donc voir e π 1 |D _p comme un homomorphisme g p : Q ^∗ p → e G, homomorphisme dont la restriction ` a Z ^∗ p a une image dans C. Soit e p : Z ^∗ p → C l’homomorphisme ainsi obtenu. En utilisant maintenant le fait que G ^ab _Q s’identifie au produit des groupes d’inertie locaux Z ^∗ p , on voit qu’il existe un homomorphisme e : G _Q → C et un seul qui est non ramifi´ e en dehors de p, et dont la restriction

` a Z <sup>∗</sup> p vu comme groupe d’inertie en p est ´ egale ` a e p . On pose e π 2 = e ⁻¹ e π 1 .

C’est bien un rel` evement de π qui a pour ensemble de ramification S 1 \{p}.

Le th´ eor` eme suivant montre encore une analogie entre le cas des exten- sions bicycliques plongeables dans des quaternioniennes et celui des ex- tensions de type A 4 dans des e A 4 . En effet, J. Martinet a remarqu´ e que, lorsque le plongement dans une extension quaternionienne est possible, alors le nombre de classes au sens restreint de l’extension bicyclique est pair (in- dication : les corps bicycliques dont le nombre de classes au sens restreint est impair sont les corps Q( √

p 1 , √

p 2 ) o` u p 1 et p 2 sont des nombres premiers congrus ` a 1 modulo 4 (ou p 2 = 2) et tels que ^p _p

2

= −1. On v´erifie que l’invariant de Witt de la forme Tr(x ² ) est alors l’alg` ebre de quaternions sur Q ramifi´ ee en p 1 et en p 2 ).

2.5. Th´ eor` eme. Si K est de degr´ e 4 sur Q, de groupe de Galois A ⁴ et to- talement r´ eel , alors le nombre de classes au sens restreint h ⁺ _K de K est pair.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Si l’extension N/k est non ramifi´ ee, alors, d’apr` es le corollaire 1.4, K est plongeable, et, d’apr` es le th´ eor` eme 2.2, il existe un

“ e A 4 pur”, c’est-` a-dire une extension quadratique de K, de groupe de Galois A e 4 sur Q, et non ramifi´ee sur K sauf peut-ˆetre `a l’infini. Le nombre de classes au sens restreint de K est donc pair.

Si l’extension N/k est ramifi´ ee au-dessus du nombre premier p de Z, alors il existe un id´ eal I de K tel que pO K = I ² (cf. [K1], [K2]). Alors, soit I est d’ordre 2 dans le groupe des classes de K, et donc h K est pair, soit il est principal; dans ce cas, si θ p est un g´ en´ erateur de I alors θ ² _p /p = ε p est une unit´ e totalement positive et non carr´ ee dans K.

2.6. R e m a r q u e. Les unit´ es ε p obtenues de cette fa¸ con sont ind´ epen- dantes dans le F 2 -espace vectoriel E _K ⁺ /E _K ² (c’est le quotient du groupe des unit´ es totalement positives par les carr´ es d’unit´ es), car K ne contient pas d’extension quadratique de Q. En particulier, si h K est impair, alors h ⁺ _K /h K

est sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 <sup>r</sup> , o` u r est le nombre de nombres premiers de Z ra- mifi´ es dans N/k. De plus, si ε p est une unit´ e obtenue de cette fa¸ con, alors K( √

ε p ) = K( √

p); le groupe de Galois sur Q de K( √

ε p ) est donc isomorphe

`

a A 4 × Z/2Z.

3. R´ esultats num´ eriques. On applique ici les r´ esultats des para- graphes pr´ ec´ edents aux 31 corps de type A 4 extraits des tables [BPS] de corps r´ eels, de degr´ e 4 sur Q, de discriminant inf´erieur `a 10 ⁶ .

Elles donnent pour chaque corps K de discriminant d K , un polynˆ ome

d´ efinissant l’extension, une base de l’anneau des entiers, une base (ε 1 , ε 2 , ε 3 )

du groupe des unit´ es et la valeur du nombre de classes h K de K. On note

h ⁺ _K le nombre de classes au sens restreint de K.

En particulier, on trouve les discriminants minimaux de corps de type A e 4 totalement r´ eel (277 ⁴ ) et totalement imaginaire (163 ⁴ ).

Les trois cas de la proposition suivante recouvrent les 31 corps sauf les deux corps non plongeables (de discriminants 520 ² et 728 ² ) et quatre autres corps (de discriminants 688 ² , 703 ² , 711 ² , 995 ² ).

3.1. Proposition. 1) Si d K = d k , h K ≡ 1 mod 2, h ⁺ _K ≡ 2 mod 4, alors k est plongeable et le “ e A 4 pur” est e K = K( √

−ε), o` u ε est l’unique (modulo les carr´ es) unit´ e totalement positive.

2) Si d K = d k , h K = h ⁺ _K ≡ 2 mod 4, alors, si I est un id´ eal de K non principal de carr´ e principal , I ² est engendr´ e par un unique (modulo les carr´ es) ´ el´ ement totalement positif γ, et le “ e A 4 pur” est K( √

γ).

3) Si K/k est ramifi´ ee en un seul nombre premier p de Z, si h ^K ≡ 1 mod 2 et h ⁺ _K ≡ 2 mod 4, alors : il existe un id´ eal I de K tel que (p) = I ² (ou, si p = 2 et si 2 a 4 pour indice de ramification dans K, (2) = I ⁴ ); cet id´ eal est principal et si γ et εγ sont les deux g´ en´ erateurs totalement positifs de I modulo les carr´ es d’unit´ es, alors les quatre corps K( √

γ), K( √

−γ), K( √

εγ), K( √

−εγ) sont des e A 4 , et ils ont mˆ eme ramification sur K, sauf

´

eventuellement en 2 (et ` a l’infini ). Ceux pour lesquels la ramification en 2 est minimale sont des “ e A 4 purs”.

D ´ e m o n s t r a t i o n. 1) K est plongeable d’apr` es la proposition 1.3, et il existe une r´ ealisation e K du plongement non ramifi´ ee sur K d’apr` es le th´ eor` eme 2.2. Comme h K est impair et h ⁺ _K /h K = 2, e K = K( √

−ε) (K( √ ε) est ramifi´ ee en 2 puisque h K est impair).

2) K est plongeable d’apr` es la proposition 1.3, et il existe une r´ ealisation K du plongement non ramifi´ e ee sur K d’apr` es le th´ eor` eme 2.2. Comme h ⁺ _K /h K = 1, e K = K( √

α) avec (α) = J ² , et J est un id´ eal de K non princi- pal. Donc α est totalement positif et n’importe quel id´ eal non principal de carr´ e principal convient.

3) K est plongeable d’apr` es la proposition 1.3, et il existe une r´ ealisation du plongement e K = K( √

α) ramifi´ ee en p, et non ramifi´ ee en dehors de p d’apr` es le th´ eor` eme 2.2. Comme h K est impair, on peut prendre pour α un g´ en´ erateur de I (si p = 2, α ne peut pas ˆ etre une unit´ e car la seule unit´ e totalement positive ε donne un A 4 × Z/2Z, voir Remarque 1.5). Donc I a un g´ en´ erateur γ totalement positif, et α est, modulo K ^∗2 , l’un des quatre

´

el´ ements : ±γ, ±εγ. Les quatre extensions quadratiques de K correspon- dantes sont des e A 4 car K( √

ε) est un A 4 × Z/2Z.

Si p 6= 2, il y a parmi ces quatre corps exactement deux corps non ramifi´ es en 2; ce sont donc deux “ e A 4 purs”; si p ≡ 1 mod 4, ils ont mˆ eme signature, et si p ≡ −1 mod 4, l’un est r´ eel et l’autre est totalement imaginaire.

Si p = 2, les quatre corps ont le mˆ eme discriminant, qui est d ² _K · 2 ¹⁰ .

La proposition pr´ ec´ edente permet de calculer le discriminant et un poly- nˆ ome minimal d’un plongement pur de 25 des 29 corps plongeables de la table. A titre d’exemple, nous avons effectu´ e les calculs pour les neuf corps K de discriminant inf´ erieur ou ´ egal ` a 511 ² ; on trouve au moins une fois chaque cas de la proposition. Les quatre cas “exceptionnels” sont trait´ es plus loin.

Les r´ esultats sont regroup´ es dans le tableau num´ erique de la fin du para- graphe. En particulier nous avons d´ emontr´ e :

3.2. Proposition. 1) Le plus petit discriminant pour un corps totale- ment imaginaire de degr´ e 8 de groupe de Galois e A 4 est 163 ⁴ . Il est atteint par le corps d´ efini par le polynˆ ome X ⁸ + 14X ⁶ + 23X ⁴ + 9X ² + 1, et unique- ment par celui-ci ` a conjugaison pr` es.

2) Le plus petit discriminant pour un corps totalement r´ eel de degr´ ee 8 de groupe de Galois e A 4 est 277 ⁴ . Il est atteint par le corps d´ efini par le polynˆ ome X ⁸ − 22X ⁶ + 123X ⁴ − 150X ² + 49, et uniquement par celui-ci ` a conjugaison pr` es.

Dans les quatre cas ´ echappant ` a la proposition 3.1, les r´ esultats des para- graphes pr´ ec´ edents ne suffisent pas ` a d´ eterminer un plongement effectif : ils laissent encore plusieurs possibilit´ es pour K( √

γ). Pour d´ eterminer celles r´ ealisant le plongement, on peut utiliser la r´ esolvante Φ de degr´ e 12 d´ efinie dans [H-K, Th´ eor` eme 5.2]. Regardons par exemple le cas des deux corps de discriminant respectif 703 ² et 711 ² . Pour ces deux corps, d K = d k , donc il existe une r´ ealisation du plongement non ramifi´ ee sur K. Dans les deux cas, h K = 2 et h ⁺ _K = 4. Elle peut donc ˆ etre a priori de la forme K( √

ε) avec ε unit´ e de K, ou de la forme K( √

γ) avec (γ) = I ² et I est un id´ eal non principal de K.

Le corps K de discriminant 703 ² est d´ efini par le polynˆ ome X ⁴ − 2X ³ − 19X ² + 19X + 19. Une unit´ e totalement positive est ε = −4/9θ ³ + 1/9θ ² + 80/9θ + 64/9.

La r´ esolvante d´ efinie dans [H-K] montre que K( √

ε) a pour groupe de Galois e A 4 . C’est donc le plongement “pur”; son discriminant est 703 ⁴ et il est d´ efini par le polynˆ ome X ⁸ − 22X ⁶ + 47X ⁴ − 23X ² + 1.

Un calcul semblable pour le corps de discriminant 711 ² conduit au poly- nˆ ome X ⁸ − 17X ⁶ + 60X ⁴ − 29X ² + 1.

Les deux autres cas sont trait´ es de la mˆ eme fa¸ con; les r´ esultats figurent dans le tableau suivant.

La troisi` eme colonne donne le discriminant et un polynˆ ome d´ efinissant

un plongement e K de K de plus petit discriminant. La notation (Re) (respec-

tivement (Im)) signifie que ce plongement est totalement r´ eel (respective-

ment totalement imaginaire). Les corps de discriminant 183 ² , 248 ² , 407 ² ,

473 ² , 511 ² on aussi un plongement totalement imaginaire de mˆ eme discri-

minant.

d _K = 163 ² , d _k = 163 ² h _K = 1 d

K e = 163 ⁴ (Im) X ⁴ − 2X ³ − 7X ² + 3X + 8 h ⁺ _K = 2 X ⁸ + 14X ⁶ + 23X ⁴ + 9X ² + 1 d K = 183 ² = (61 · 3) ² , d _k = 61 ² h K = 1 d

K e = 3 ⁶ · 61 ⁴ (Re) X ⁴ − 7X ² − 3X + 1 h ⁺ _K = 2 X ⁸ − 54X ⁶ + 891X ⁴ − 4131X ² + 729 d K = 248 ² = 31 ² · 2 ⁶ , d k = 31 ² h K = 1 d

K e = 2 ²² · 31 ⁴ (Re) X ⁴ − 2X ³ − 7X ² + 6X + 11 h ⁺ _K = 2 X ⁸ − 12X ⁶ + 42X ⁴ − 40X ² + 4

d _K = 277 ² , d _k = 277 ² h _K = 2 d

K e = 277 ⁴ (Re) X ⁴ − X ³ − 16X ² + 3X + 1 h ⁺ _K = 2 X ⁸ − 22X ⁶ + 123X ⁴ − 150X ² + 49

d _K = 349 ² , d _k = 349 ² h _K = 1 d

K e = 349 ⁴ (Im) X ⁴ − X ³ − 10X ² + 3X + 20 h ⁺ _K = 2 X ⁸ + 121X ⁶ + 87X ⁴ + 18X ² + 1

d _K = 397 ² , d _k = 397 ² h _K = 1 d

K e = 397 ⁴ (Im) X ⁴ − 13X ² − 2X + 19 h ⁺ _K = 2 X ⁸ + 108X ⁶ + 422X ⁴ + 236X ² + 1 d K = 407 ² = (11 · 37) ² , d _k = 37 ² h K = 1 d

K e = 11 ⁶ · 37 ⁴ (Re) X ⁴ − 2X ³ − 9X ² − X + 3 h ⁺ _K = 2 X ⁸ − 539X ⁶ + 6347X ⁴ − 18150X ² + 121 d K = 473 ² = (11 · 43) ² , d k = 43 ² h K = 1 d

K e = 11 ⁶ · 43 ⁴ (Re) X ⁴ − X ³ − 16X ² − 7X + 27 h ⁺ _K = 2 X ⁸ − 594X ⁶ + 1815X ⁴ − 1210X ² + 121 d _K = 511 ² = (7 · 73) ² , d _k = 73 ² h _K = 1 d

K e = 7 ⁶ · 73 ⁴ (Re) X ⁴ − X ³ − 9X ² + 2X + 11 h ⁺ _K = 2 X ⁸ − 35X ⁶ + 371X ⁴ − 1078X ² + 49 d _K = 688 ² = 43 ² · 2 ⁸ , d _k = 43 ² h _K = 2 d

K e = 2 ²⁴ · 43 ⁴ (Re) X ⁴ − 10X ² − 4X + 6 h ⁺ _K = 4 X ⁸ − 24X ⁶ + 92X ⁴ − 80X ² + 4 d _K = 703 ² = (19 · 37) ² , d _k = 703 ² h _K = 2 d

K e = 703 ⁴ (Re) X ⁴ − 2X ³ − 19X ² + 19X + 19 h ⁺ _K = 4 X ⁸ − 22X ⁶ + 47X ⁴ − 23X ² + 1 d K = 711 ² = 3 ⁴ · 79 ² , d _k = 711 ² h K = 2 d

K e = 711 ⁴ (Re) X ⁴ − X ³ − 24X ² + X + 11 h ⁺ _K = 4 X ⁸ − 17X ⁶ + 60X ⁴ − 29X ² + 1 d K = 995 ² = (5 · 199) ² , d k = 199 ² h K = 2 d

K e = 5 ⁶ · 199 ⁴ (Re) X ⁴ − X ³ − 32X ² + 23X + 224 h ⁺ _K = 4 X ⁸ − 2865X ⁶ + 15530X ⁴ − 2725X ² + 100

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Re¸ cu le 11.2.1991 (2121)