mgr inĪ. Maciej Szumski
Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej PW
PORÓWNANIE ALGORYTMÓW
LINIOWEJ REGULACJI PREDYKCYJNEJ
Referat zawiera porównanie algorytmów predykcyjnych stosowanych w ukáadach regulacji temperatury systemu ogrzewania budynku. Badania wykonano na modelu fizycznym umieszczonym w komorze klimatycznej. Porównanie dotyczy algorytmu DMC z modelem w postaci odpowiedzi skokowej, algorytmu GPC z modelem transmitancyjnym oraz algorytmu MPCS w dwóch wersjach: z obserwatorem stanu zbudowanym w oparciu o reguáĊ Ackermanna oraz z filtrem Kalmana z zastosowaniem funkcji ortonormalnych.
COMPARISON OF LINEAR PREDICTION CONTROL ALGORITHMS This paper contains a comparison of several prediction algorithms used in temperature controllers within heating systems. Tests were conducted using a scale house model placed in an environmental chamber. The comparison includes a DMC algorithm with a unit step function model, a GPC algorithm with transmittance model and two MPCS algorithm variations: one with state observer based on Ackermann's rule and one using Kalman filter utilizing orthonormal functions.
1. OBIEKT REGULACJI 1.1. Obiekt fizyczny
Obiektem wykorzystywanym w pracy jest model budynku ogrzewanego Īarówkami (rys. 1). Moc Īarówek jest sterowana w zakresie od zera do 100 %, czyli od 0 do 1 (áącznie trzy Īarówki po 50 W). Do komputera sterującego są podáączone dwa precyzyjne termometry oporowe Pt 100 mierzące temperaturĊ wewnątrz modelu i na zewnątrz (pogoda). Ponadto mierzona jest wilgotnoĞü powietrza wewnątrz. ZaáoĪyáem istnienie staáego opóĨnienia w obiekcie, równego 20 s. OpóĨnienie jest symulowane przez umieszczenie sterowaĔ w kolejce FIFO o dáugoĞci 20, przy czasie cyklu 1 s.
1.2. Liniowy model procesów wymiany ciepáa
PrzyjĊto model o staáych skupionych (rys. 2). Jest to budynek do którego wpáywa strumieĔ energii
w postaci ciepáa ݍሺݐሻ przez instalacjĊ grzewczą. Budynek oddaje ciepáo do otoczenia poprzez
Ğciany.
Rys. 2. Model procesów wymiany ciepáa
StrumieĔ energii cieplnej przepáywającej od czynnika grzewczego o temperaturze ܶை do wnĊtrza
budynku
ݍைሺݐሻ ൌܶைሺݐሻ െ ܶሺݐሻ ܴை
gdzie ܴை to rezystancja cieplna. Bilans energetyczny instalacji CO (centralnego ogrzewania)
ܥை݀ܶைሺݐሻ
݀ݐ ൌ ݍሺݐሻ െ
ܶைሺݐሻ െ ܶሺݐሻ ܴை
gdzie ܥை oznacza pojemnoĞü cieplną instalacji CO. Podobny bilans moĪna napisaü dla pojemnoĞci
cieplnej wnĊtrza budynku ܥ oraz pojemnoĞci cieplnej Ğcian zewnĊtrznych ܥ௪ :
ݍଵሺݐሻ ൌܶሺݐሻ െ ܴܶ ௪ሺݐሻ ଵ ܥ ݀ܶሺݐሻ ݀ݐ ൌ ܶைሺݐሻ െ ܶሺݐሻ ܴை െ ܶሺݐሻ െ ܶ௪ሺݐሻ ܴଵ ݍଶሺݐሻ ൌ ܶ௪ሺݐሻ െ ܶ௨௧ሺݐሻ ܴଶ ܥ௪ ݀ܶ௪ሺݐሻ ݀ݐ ൌ ܶሺݐሻ െ ܶ௪ሺݐሻ ܴଵ െ ܶ௪ሺݐሻ െ ܶ௨௧ሺݐሻ ܴଶ
Zakáadając staáe wartoĞci parametrów ܴைǡ ܴଵǡ ܴଶ oraz ܥைǡ ܥǡ ܥ௪ wyznaczymy transmitancje operatorowe:
ܴைܥைܶைሺݏሻݏ ൌ ܴைݍሺݏሻ െ ܶைሺݏሻ ܶሺݏሻ
ܴைܴଵܥܶሺݏሻݏ ൌ ܴଵܶைሺݏሻ െ ܴଵܶሺݏሻ െ ܴைܶሺݏሻ ܴைܶ௪ሺݏሻ ܴைܴଵܥܶሺݏሻݏ ൌ ܴଵܶைሺݏሻ െ ܴଵܶሺݏሻ െ ܴைܶሺݏሻ ܴைܶ௪ሺݏሻ Proste przeksztaácenia prowadzą do równania postaci
ܶሺͳ ܽଵݏ ܽଶݏଶ ܽ
ଷݏଷሻ ൌ ݍ൫ܾ෨ ܾ෨ଵݏ൯ ܶ௨௧ሺܿǁ ܿǁଵݏሻ
W dziedzinie czasu dyskretnego ܶሺͳ ܽଵݖିଵ ܽ
Równanie róĪnicowe
ܶሺ݇ሻ ൌ െܽଵܶሺ݇ െ ͳሻ െ ܽଶܶሺ݇ െ ʹሻ െ ܽଷܶሺ݇ െ ͵ሻ ܾݍሺ݇ሻܾଵݍሺ݇ െ ͳሻ ܿܶ௨௧ሺ݇ሻ
ܿଵܶ௨௧ሺ݇ െ ͳሻ
Identyfikacja obiektu zostaáa wykonana metodą najmniejszych kwadratów na podstawie wyników uzyskanych w wyniku eksperymentu przeprowadzonego w komorze klimatycznej.
Rys. 3. Identyfikacja obiektu w komorze klimatycznej
2. FILTR KALMANA JAKO OBSERWATOR STANU
Obserwator stanu odtwarza stan obiektu na podstawie pomiarów wyjĞcia. Zaprojektujemy teraz filtr Kalmana, który bĊdzie peániá rolĊ obserwatora stanu. Jest to bardzo proste, gdyĪ nie wymaga rozwiązywania równaĔ róĪniczkowych: macierze ܣ , ܤ , ܥ uzyskane w wyniku identyfikacji są juĪ rozwiązaniem, czyli: ܣ ൌ ܣ , ܤ ൌ ܤ , ܥ ൌ ܥ . Macierz ܴ ൌ ߪଶ jest skalarem (mierzona
jest tylko jedna wielkoĞü). NaleĪy wyznaczyü jedynie macierz
ܳ ൌ ߔ௦න ܣሺ߬ሻܳܣ்ሺ߬ሻ݀߬ ்ೞ
W tym celu musimy okreĞliü postaü macierzy ܳሺݐሻ. ZauwaĪmy, Īe nasz obiekt jest trzeciego rzĊdu z opóĨnieniem 20 s. To oznacza, Īe pierwsze trzy stany opisują stan obiektu, natomiast pozostaáych 20 stanów opisuje opóĨnienie. Dlatego niepewnoĞü wyznaczania stanów wystĊpuje tylko w stosunku do pierwszych trzech. W związku z powyĪszym przyjąáem, Īe macierz ܳሺݐሻ jest zerowa z wyjątkiem trzech pierwszych elementów gáównej przekątnej na których są jedynki. Wyznaczenie macierzy ܳ przebiega nastĊpująco:
ܣሺ߬ሻܳܣ்ሺ߬ሻ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍܽܽଵ߬ ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳ ଶ߬ Ͳ ͳ Ͳ ڮ Ͳ ܽଷ߬ Ͳ Ͳ ͳ ڮ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳ ڭ ڭ ڭ ڭ ڰ ڭ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ۏ ێ ێ ێ ێ ۍͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ ͲͲ ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳ Ͳ Ͳ ͳ Ͳ ڮ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳ ڭ ڭ ڭ ڭ ڰ ڭ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ۏ ێ ێ ێ ێ ۍܽͳଵ߬ ܽͲଶ߬ ܽͲଷ߬ Ͳ ڮ ͲͲ ڮ Ͳ Ͳ ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳ Ͳ Ͳ ͳ Ͳ ڮ Ͳ ڭ ڭ ڭ ڭ ڰ ڭ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ܣሺ߬ሻܳܣ்ሺ߬ሻ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ۍܽଵଶ߬ଶ ͳ ܽଵܽଶ߬ଶ ܽଵܽଷ߬ଶ Ͳ ڮ Ͳ ܽଵܽଶ߬ଶ ܽ ଶ ଶ߬ଶ ͳ ܽ ଶܽଷ߬ଶ Ͳ ڮ Ͳ ܽଵܽଷ߬ଶ ܽଶܽଷ߬ଶ ܽଷଶ߬ଶ Ͳ ڮ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳ ڭ ڭ ڭ ڭ ڰ ڭ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ܳ ൌ න ܣሺ߬ሻܳܣ்ሺ߬ሻ݀߬ ்ೞ ൌ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍܽଵଶܶ௦ଷ ͵ ܶ௦ ܽଵܽଶܶ௦ଷ ͵ ܽଵܽଷܶ௦ଷ ͵ Ͳ ڮ Ͳ ܽଵܽଶܶ௦ଷ ͵ ܽଶଶܶ ௦ଷ ͵ ܶ௦ ܽଶܽଷܶ௦ଷ ͵ Ͳ ڮ Ͳ ܽଵܽଷܶ௦ଷ ͵ ܽଶܽଷܶ௦ଷ ͵ ܽଷଶܶ ௦ଷ ͵ Ͳ ڮ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳ ڭ ڭ ڭ ڭ ڰ ڭ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ڮ Ͳے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې
Na rys. 4 pokazano dziaáanie filtru Kalmana: odchyáka estymaty mierzonej temperatury wewnĊtrznej w stosunku do wartoĞci bez szumu. Linie przerywane oznaczają wartoĞü teoretyczną
odchyáki obliczoną jako pierwiastek elementu ܲሺͳǡͳሻ macierzy kowariancji. PamiĊtając, Īe
ߪ ൌ Ͳǡʹͷ°ܥ widaü bardzo dobre dziaáanie filtru Kalmana. SzerokoĞü "korytarza" wyznaczonego
przez linie przerywane zaleĪy od dwóch parametrów: zwiĊkszanie ܴ ൌ ߪଶ powoduje zawĊĪenie:
pomiar jest zaszumiony, filtr mniejszą wagĊ przywiązuje do pojedynczego wyniku pomiaru.
ZwiĊkszanie wartoĞci parametru ߔ௦ powoduje rozszerzanie korytarza: model jest mniej pewny
dlatego pojedynczy pomiar jest brany z wiĊkszą wagą. Oba parametry naleĪy dobieraü tak, aby nie dopuĞciü od stopniowego zawĊĪania korytarza aĪ do wartoĞci zerowej, gdyĪ wtedy filtr "zaĞnie" i przestanie reagowaü na pomiary.
3. PORÓWNANIE ALGORYTMÓW PREDYKCYJNYCH
Porównanie dotyczy wáaĞciwoĞci algorytmów predykcyjnych stosowanych do regulacji temperatury wewnĊtrznej budynku. Rozpatrywane algorytmy to: MPCS (ang. Model Predictive Control with State equations), GPC (ang. Generalized Predictive Control) oraz DMC (ang. Dynamic Matrix Control). Cechą charakterystyczną obiektów ogrzewanych są bardzo duĪe staáe czasowe: dynamika obiektu opisanego wczeĞniej, czyli czas ustalenia siĊ odpowiedzi na skok jednostkowy to 3000 s (50 min). KoniecznoĞü rejestracji i póĨniejszej wizualizacji temperatur mierzonych zmusza do stosowania okresu próbkowania nie dáuĪszego niĪ jedna sekunda. W ukáadach grzewczych stosowane są termometry przemysáowe o niepewnoĞci pomiaru od 0,1 ÛC do 0,5 ÛC wykonane z technicznie czystej platyny, a nie laboratoryjne o niepewnoĞci pomiaru 0,001 ÛC (platyna spektralnie czysta). CzĊsto są to termometry oporowe klasy B w postaci platyny napylonej na páytkĊ ceramiczną, które charakteryzują siĊ bardzo duĪym szumem pomiarowym. Termometry klasy A wykonane jako drut oporowy nawiniĊty na ceramicznym rdzeniu są dokáadniejsze, ale znacznie droĪsze. Kolejne zagadnienie to záoĪonoĞü obliczeniowa algorytmu. W rynku ciepáowniczym istnieje silna presja niskiej ceny, poszukujemy wiĊc algorytmu który bĊdzie mógá byü wykonywany przez procesor o akceptowalnej cenie, czyli o umiarkowanej záoĪonoĞci obliczeniowej.
Algorytm MPCS z modelem w postaci równaĔ stanu. Algorytm ten wymaga stosowania
obserwatora stanu. Obiekt z jednym wyjĞciem pozwala na zastosowanie obserwatora uzyskanego zgodnie z reguáą Ackermanna. Bardziej uniwersalnym rozwiązaniem jest zastosowanie filtru Kalmana. Ukáad regulacji pokazany jest na rys. 5.
Rys. 5. Ukáad regulacji
Obiekt regulacji jest ciągáy (linie czarne), okres próbkowania/interwencji regulatora to jedna sekunda (linie zielone). W ukáadzie wystĊpuje zakáócenie mierzone, czyli temperatura zewnĊtrzna
ܶ௨௧. Regulator wraz z obserwatorem stanu moĪe byü traktowany jak filtr, którego wejĞciem jest
zaszumiony sygnaá mierzony, a wyjĞciem sterowanie, czyli wymuszenie obiektu. Porównamy dwa ukáady: regulator MPCS z obserwatorem stanu zbudowanym w oparciu o reguáĊ Ackermanna oraz regulator MPCS z ortonormalnymi funkcjami Laguerre'a i filtrem Kalmana jako obserwatorem
R wartosc zadana Tout temperatura zewnetrzna 1 strojenie regulatora 0.25 sigma Xf r rw u MPCS regulator yn u Tout sigma Xf Kalman_filter obserwator stanu x' = Ax+Bu y = Cx+Du obiekt Zero-Order Hold z 1 Unit Delay Scope Band-Limited White Noise
stanu. Charakterystyka amplitudowa regulatora (z obserwatorem stanu) traktowanego jako filtr zostaáa wykonana metodą symulacji komputerowej: w miejsce generatora szumu zostaá wstawiony
generator sygnaáu ሺ߱ݐሻ . Zakres czĊstotliwoĞci tego sygnaáu jest ograniczony okresem
próbkowania, zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu (Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon). Wyniki przedstawione są na rysunkach poniĪej.
Rys. 6. Charakterystyki dla algorytmu MPCS
Wykresy pokazują záe wáaĞciwoĞci algorytmu MPCS/Ackermann: szumy pomiarowe są silnie wzmacniane. Algorytm MPCS/Kalman bardzo dobrze táumi szumy pomiarowe, a szczególnie wyĪsze czĊstotliwoĞci. StopieĔ táumienia zaleĪy od wspóáczynnika kary za zmiennoĞü sterowania ݎݓ , jednak nawet dla maáych wartoĞci ݎݓ ൌ Ͳǡͳ to táumienie jest dobre. Wynika to z wáaĞciwoĞci filtru Kalmana, który jest adaptacyjnym filtrem Butterwortha i estymuje stan obiektu bez
wprowadzania dodatkowego opóĨnienia, które jest charakterystyczne dla klasycznych filtrów dolnoprzepustowych.
Algorytm GPC. Charakterystyka regulatora GPC traktowanego jako filtr pokazana jest na rys. 7.
Rys. 7. Charakterystyka regulatora GPC traktowanego jako filtr
Regulator silnie wzmacnia szumy pomiarowe. Wymaga zastosowania dodatkowego filtru dolnoprzepustowego w torze pomiaru temperatury, jednak taki filtr wprowadza dodatkowe opóĨnienie, co zawsze pogarsza jakoĞü regulacji.
Algorytm DMC. Zastosowanie algorytmu DMC jest związane z utworzeniem macierzy
dynamicznej, której wielkoĞü jest równa liczbie próbek zebranych w okresie równym dynamice obiektu. W naszym przypadku jest to 3000 próbek, gdy okres interwencji regulatora przyjmiemy jako równy okresowi próbkowania i rejestracji temperatur mierzonych. Macierze dynamiczne ܯ
oraz ܯ mają wiĊc wielkoĞü ͵ͲͲͲۭ͵ͲͲͲ czyli kaĪda zawiera dziewiĊü milionów elementów.
W czasie tworzenia macierzy wspóáczynników ܭ ൌ ሾܯ்ܯ ߣܫሿିଵܯ் wykonywane jest
odwracanie macierzy o wielkoĞci ͵ͲͲͲۭ͵ͲͲͲ. W celu okreĞlenia wydajnoĞci popularnych
procesorów wykonano pomiar czasu odwracania macierzy o wielkoĞci ͳͲͲۭͳͲͲ zawierającej
liczby rzeczywiste zmiennoprzecinkowe typu double (8 bajtów).
procesor konfiguracja zegar [MHz] czas [ms]
MOTOROLA ColdFire MCF5485 bez koprocesora VFP z koprocesorem VFP 200 200 54 731 3 292 NXP LPC3250 ARM9 z koprocesorem VFP 208 266 280 300 332 259 247 231 VFP = Vector Floating Point
W celu zmniejszenia nakáadu obliczeĔ moĪemy zaáoĪyü, Īe interwencja regulatora bĊdzie wykonywana co okreĞloną liczbĊ okresów próbkowania, np. co 10 s (macierze dynamiczne ܯ oraz
ܯ bĊdą wtedy miaáy wielkoĞü ͵ͲͲۭ͵ͲͲ) lub co 20 s (wielkoĞü 15ͲۭͳͷͲ). Niestety jakoĞü
regulacji ulega znacznemu pogorszeniu, co przedstawiono na rys. 8 (wspóáczynniki Ȝ zostaáy dobrane indywidualnie).
Rys. 8. JakoĞü regulacji dla algorytmu DMC
4. PODSUMOWANIE
Podsumowanie cech algorytmów predykcyjnych stosowanych do liniowych obiektów grzewczych zawarte jest w tabeli:
MPCS Ackermann MPCS Laguerre Filtr Kalmana GPC DMC
odpornoĞü na szumy pomiarowe bardzo záa bardzo dobra bardzo záa záa
záoĪonoĞü obliczeniowa na etapie
tworzenia prawa regulacji dobra dobra záa bardzo záa
záoĪonoĞü obliczeniowa w cyklu
Inne zalety algorytmów:
DMC í bardzo proste tworzenie modelu liniowego.
MPCS/Laguerre Kalman í bardzo áatwe rozszerzenie do obiektów MIMO, bez istotnego wzrostu
záoĪonoĞci obliczeniowej. Inne wady algorytmów:
MPCS/Ackerman í praktycznie do ukáadów SISO, rozszerzenie do MISO związane ze znacznym
wzrostem záoĪonoĞci obliczeniowej. Nie moĪe byü stosowany w przypadku ukáadów MIMO.
MPCS/Laguerre Kalman í wraĪliwy na báĊdy numeryczne. MoĪna to poprawiü stosując metodĊ
opisaną w [AndMo71].
BIBLIOGRAFIA
[AndMo71] Brian D.O. Anderson, John Barratt Moore Linear Optimal Control Prentice Hall, Hemel Hempstead, 1971
[CB99] E.F. Camacho, C. Bordons Model Predictive Control Springer 2003
[Mac02] J.M. Maciejowski Predictive Control with Constraints Prentice Hall 2002 [Ross03] J.A. Rossiter Model_Based Predictive Control CRC PRESS 2003
[Tat02] Piotr Tatjewski Sterowanie zaawansowane obiektów przemysáowych. Struktury i algorytmy EXIT 2002
[Tat07] Piotr Tatjewski Advanced Control of Industrial Processes. Structures and Algorithms Springer 2007
[Wang08] Hugues Garnier, Liuping Wang Identification of Continuous - time Models from Sampled Data Springer 2008
[Wang09] Liuping Wang Model Predictiv Control System Design and Implementation Using MATLAB Springer 2009
