QLDPL UyĪQLF]NRZ\PL ]Z\F]DMQ\PL OXEF]ąVWNRZ\PLEąGĨWHĪ UyZQDQLD

52&=1,., 32/6.,(*2 72: $5=<67: $ 0$7(0 $7<&=1(*2

6HULD ,,, 0 $7(0 $7<.$ 67262: $1$ ;;9, 

) H O L N V  ' \ P H N  - D Q X V ]  ) H O L N V  ' \ P H N 

2  S H Z Q \ F K  W U D Q V I R U P D W D F K  / D S O D F H ·D L S H Z Q \ F K  Q LH V N R ę F ] R Q \ F K  V ] H U H J D F K  S R W č J R Z \ F K

 3UDFD ZSã\QčãD GR 5HGDNFML

&=ĉ6&L

:LHOHSUREOHPyZ IL]\F]Q\FKL WHFKQLF]Q\FK RSLV\ZDQ\FKMHVWUyZQD

QLDPL UyĪQLF]NRZ\PL ]Z\F]DMQ\PL OXEF]ąVWNRZ\PLEąGĨWHĪ UyZQDQLD

PLFDáNRZ\PL OXEFDáNRZRUyĪQLF]NRZ\PL

:ĞUyGPHWRGUR]ZLą]\ZDQLDUyZQDĔUyĪQLF]NRZ\FKLUyZQDĔFDáNR

Z\FKRSDUW\FKQDW]Z SU]HNV]WDáFHQLDFKFDáNRZ\FK >O@ F]RáRZH

PLHMVFH ]DMPXMąSU]HNV]WDáFHQLD WUDQVIRUPDFMH FDáNRZH)RXULHUD

+DQNHOD 0HOOLQDRUD]SU]HNV]WDáFHQLHFDáNRZH/DSODFHD

0HWRGDSU]HNV]WDáFHĔFDáNRZ\FK/DSODFHD]QDOD]áDOLF]QH ]DV

WRVRZDQLDZPDWHPDW\FH >²9-ª >O`ª IL]\FH HOHNWURWHFKQLFH > ͙  ͚ @

PHFKDQLFH K\GURPHFKDQLFH DXWRPDW\FH > ͙͘ @  WHRULLSU]HZLHWU]DQLD

NRSDOĔ > ͙͝ @ L LQQ\FK

3U]HNV]WDáFHQLHP/DSODFHDQD]\ZDP\SU]\SRU]ąGNRZDQLH> ͛ @ª VWU

 GDQHM IXQNFML ]HVSRORQHM IW ]PLHQQHMU]HF]\ZLVWHM W IXQN

FML)S ]PLHQQHM ]HVSRORQHM S 6LA!ZHGáXJQDVWĊSXMąFHM UHODFML

50

F. DYMEK, J.F. DYMEK

+00

(1) [

(

)J-<£[f(t)]:- J e“ptf(t)dt (t>0), 0

przy założeniu istnienia powyższej całki niewłaściwej w pewnej pół- płaszczyznie (Re p>6').

Fakt, że F(p) jest transformatą Laplace'a funkcji f(t) zapisu- jemy

F(p) -

Transformatę odwrotną Laplace'a zapisujemy

f(t) = £ _ 1 [

(

^.

Praca ta rozszerza [ 9 ] i [ 5] o następujące wzory:

f , ( - D n r(2n+ | )| x | 4n+1

(

2

(4n+1) T (2n+i;

* ^ [ei<Jr^ arsh (|x| e“ij|^ ) + e ~i‘7r/Zł arsh (|x| eijl^)] ,

|x|<1,

(-i)n r(2nł|)ixi4nł3

hto (4n+3) T(2n+2)

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE’

I PEWNYCH... 51

^ [ e 1*/ 4 arSh(|x|e-1W/4) - arsh(| z| e1^ 4)].

2i L X l<1»

(4) Z

n«0

(- 1 ) n r( 2 n 4 )|x | (4n+1) r (2n+1)

4n+1

Vir

2 V 2 arch Vx +1+x + arccos

Vx^+1+x2

00

(5) £

n=0

(-1)n r(2n-^) [x|W 3 (4n+3) P(2n+2)

VF_

2V^ archf Vx^+l+x4-] - arccos

+1+x£ X I< ¹ ,

E ^{(- 1 ) nr( 2 n+l )x 4n}

n=»0 T(2n+1) \| 2 yx4+1‘

x4+1 +1 x l < 1»

v4n+2

(7) ^

n»0 r(2n+2.)

1 lx K 1»

52

F. DYMEK, J.F. DYMEK

(8) E

n»0

r(2n+l)x4n

J[_ jh-x* + 1

2 f c F '

x | < 1 ,

(9)

( 10 )

r Rzn+f)*' n«0 L_i

3\„4n+2

_1—x 1— 1 P(2n+2) 2 \jl-:

, ^ n n ^.5N„An

’ f (2n+2)

x|< 1,

)

(-1) r(2n+|)x 1 ,^(i/x\ l + 2)

— ~—— s- —- W— —J --- 1 1

n=0 1 ; (X4+1) Vx4+1 vVx4+V + 1

x k i,

y - (-1 ) * f(2 n + | )x 4n 1 BP f 2 , ^ V R 7 + i ‘

^ 0 P(2n+1) 2 » 2

(x

⁴ + ¹ ) fx ⁴⁺¹

(12)

y rfen 4 x4n = i J ? 2)

ń»0 P(2n+2) 2 2 ^_XA) + j\ »

o s ) '

E

^{3\v4n ( 2} - jl~x4 ) V i/l-x4 + 1

£ 5 _T( 2 _n+ 1 ₎ 2 «2

oraz (por. [ 20 ] , str. 37, por. [ 2 ], str. 25):

(14) d£ ^epaK0 (pa) = 2 arsh(||^ (a>0, p>0, t>0)

X |<1,

l < 1

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE’A I PEWNYCH... 53

mm \ \

(15) A (pa) - 2 (t+a) arsh j - \jt (t+2a)'

( a

>

p > 0, t > O) ,

^ ^ 2 / > v t

(16) <£ -^epaK0 (pa) - ^t2+2at+— j arsh U — j - -|-(t+a)^t (t+2a)

(a > O, p > O, t > O) ,

O 7) ^ { § [ Jo(pa)sin Cpa) “ V pa) cos ^pa)]} ,-1

arch ^t2+4a2+t

2a (a>0, p > O, t > O) (18) -1 i JQ(pa) cos (pa) + YQ (pa) sin (pa)

l 2p L

arccos 2a

J t2+4a2 + t

(a >0, p> O, t > O) ,

(19) - 1 ,

L 2 P

JQ (pa) sin (pa) - YQ (pa) cos (pa)

= t arch i *^a— ^ ) + a arccos ^ 2a

^t2+4a2' +

t(\/t2+4a2 't t) ^0>O( p>0> t > 0 ^

F. DYMEK, J.F. DYMEK

-1 ■ )

(20) oC J0(Pa^cos (Pa) + Y0(pa)sin(pa)]J

t arccos I ■ —---a arch ! i +

\t2+4a2 + t 2a

+} (a > O, p > O, t > O) ,

(21) £

-1

— (2t2-3a2) arch f + arccos 2a

2a

&

- iK

”

4/2

(a >

0 ,

0 ,

-1

(22) ^ . JL p 0 (Pa) cos(Pa) + Yo(Pa) sin(Pa )j

—(2t2-3a2) arccos A- — —--- - at T o h d ^-^jLlV 2a

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE’A I PEWNYCH...

5 W t2+4a2 - t + t2+4a2 + t (a >0, p > O, t >0) ,

(23) «£ "i epaEi (-pa) - 1

VP ^{~2 arsh}

( v £

V'-'i’it+a)

(a > O, p > O, t > O) ,

(24) ć£ [^p e^aEi(-pa)] » .„-1

'/ir [(t+a) it+a arsh

(t+a) (a > O, p >0, t >0) ,

(25)

+ 00

sin (au) R (bu) du = — arsh (a > O, b > O)

2 V b/

u

+ 00

(26) sin (au) K0 (bu) du *-?====- arsh \ (a>0, b>0),

J ' Va +b \ W

(27)

+ oo

sin fau) ^er (bu) du arch j l/a4+b4' + a2 \ ( a> 0 , b ) o ) , u

( ²⁸ ) ^{+ CO} S^n ^ai^ kei (bu) du * arccos

u a4+b4 + a2

(a>0 , b>0),

F. DYMEK, J.F. DYMEK

+ 00

l 4+b 4 ’

I s i n (a u )k e r (b u ) du = ^ < ] ] _a +J ^ a a r c h V a 4 + b 4 ' + a 2

\/a4 + b 4 - a 2 a 4 + b 4

a r c c o s

\a4 +b 4 + a 2/

f (a> O, b > O) ,

+ 00

J s i n ( au) k e i (bu ) du « — 1 J'\ Ń a 4 + b 4 - a 2 '

arch (jat**Tg*

l 1 a4+b4

Vr4 - 4 '--2

. ,, Ja + b +a ________

+ \|--- a r c c o s

a %tT 4 4

(a > 0 , b > O) ,

óC | ^ ^ [ c i ( p a ) c o s (p a ) + s i (p a ) s in (pa)]

a r c c o s

t 2 + a 2 l/t2 + a 2 + t

Vt2 + a 2 + t a r c h Vt2 + a 2 + t t 2 + a 2

(a > O, p > O, t > 0 ) ,

[c ± (p a ) s in (p a ) - s i ( p a ) c o s (p a )]

L i/p

+t

4.2 2

t + a t2+a2 +t

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE’A I PEWNYCH... 57

t 2+a2

(a > O, p > O, t >0) ,

■"“I

33)

jvp1 [ci (pa) cos (pa) + si(pa) sin (pa)]}

v'sr W (t2+a2)

t V Vt2+a2 +t - a V\/t2+a^' -t

x arch t 2+a2 +t t \/vt +a - t + a VYt +a +t

x arccos

^ 2 - 2 t +a +t t 2+a2

(a > O, p > O, t > 0) ,

(34)

(Vp'[ci(pa) sin (pa) - si (pa) cos (pa)]} -1

-1

iśr

\ 2^2 (t2+a2) \/t2+a2'

t V Vt^+a^ - t +

+ a VVt2+a2 +t arch | fe2+a2 t.t .,, + t ) yt^+a^ +t'

a \f\|t2+a2' - t arccos

i/t2+a2 +t ^ ( t 2+a2)

(a >0, p > 0 , t > O) ,

58 F.DYMEK, J.F. DYMEK

( 3 5 ) £ ker (b

sin (ii_ \ - y,

^ 8 p c o s

(b>0, p> 0, t>0) ,

(#> £ kei (b v't1) — \— JrJ— cos — + Yn — \ s m -gnEr-1 T /b2 \ /b2 \ A Y (b2\ . /b‘

4 ^I

^V8P

(b>0, p>0, t>0),

(37) óS [ker(b'/t"j] -1 f Wb2\ — < ci — ) cos — ] + si — I sin fb2 \ • ffe2\ •«

2p l \4py \4p / \4p/

(b > 0, p > 0, t >0) ,

(38) & [kei (b /tj 1 J si — \ cos — \ - ci — \ sin -/b2\ /b2\ , /b2\ . /b2 2p l \4p , 4p

(b > 0, p >0, t > 0) ,

(39) ot - 1

— arch

~ cl7 at) (*>0, p>0, t>0), V ?

Uo) £ - 1 T — arccos /

2 2

p + a +p — - (a>0, p>0, t>0), 1?

(41) ^rilF Ei (-at)] -V5pf— -3— - . _I_. arsh (\ ) ]

( p \[p+a' p ^ \l a / J

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACEłA I PEWNYCH... 59 (a>0, p>0, t>0),

(42) 1 — ci (at) ~~2 2 ^ p + a +p

i \/2 (p2+a2j 2pV?

arch

(a > 0, p > 0, t>0),

(* 3 ^{) aC}

^{si (at)}

P

2 2 ,1

p +a -p __ l_

p‘l /2 _{(p2+a2) 2pfp} (a > O, p>0, t > O) ,

arccos 1

w 4 2 C (at) - \ j - ci (at) U — arch ( '/l^+a2 tp

gr

2pfp

(a > O, p>0, t >0),

(W 4 ^l 7 s ( a t ) - \

^{si Cat)} _{2 p ^} ^arccos

p + a +p (a > O, p > O, t >0) ,

Zwrócimy uwagę na fakt, że wykorzystując dobrze znane w teorii przekształcenia Laplace*a twierdzenia ([i] , str. 17, [t] , str. 24)

(46) X [f (t-a) H (t-a)] - e~paF (p) ,

60 F. DYMEK, J.F. DYMEK

(47) X[e"atf(t)] = F(p+a) , gdzie

1 dla t > a, dla t < a,

przedstawiony w tym opracowaniu zbiór transformat powiększymy kil- kakrotnie.

CZĘSC II. UZASADNIENIE PREZENTOWANYCH WZOROW TWIERDZENIE 1:

arsh (|x| e ^ ^ ) = U(x) + iV(x), (A9)

arsh (|x| e”^ ^ ) = U(x) - iV(x),

(50)

arcsin (| x\ e*Jl^ ) = V(x) + iU(x) ,

arcsin (|x| e ~ ^ ^ ) ■ V(x) - iU(x), gdzie [li] (x - liczba rzeczywista)

U (x) » 4 - arch ( (x**+1 +x2) , (51)

V(x) » 4 - arccos I 1

2 +x2j

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE*A I PEWNYCH... 61

D o w ó d. Ponieważ ([ 9 ], str. 61, [ 14 ] , str. 86-87, [ 19 _{J ,} str. 154-150)

z

(52) arsh (z):* f — ■ ln(z+ ^z2+l) i '( l+ U 2

oraz ([ 17 ], str# 183-184, [ 21 ] , str. 86-87)

z

(53) arcsin (z}: = \ — — — « -i ln fiz+\|l-z2'), J0 i i - 2 ’

więc na podstawie (52) otrzymujemy (por. [ 17 ] , str. 158)

|x| e ^ 4 (54) arsh ^|xj e*Jl^ J « j

0 Mając na uwadze wzory Eulera

elz = cos z + i sin z, (55)

e“*z * cos z - i sin z, po podstawieniu

(56) u « e ^ ^ t , du * e ^ ^ d t ,

62 F. DYMEK, J.F* DYMEK otrzymujemy

(57) arsh(|x| e1^ ) * ei5r^ v1-it*

■ u

dt, 1+t

Ponieważ (a>0, b>0)

(58) Ja+ib a Ja^+b^ +a ± j_\ \[a^+b^' -a

(ustalamy tę wartość pierwiastka, która dla b = 0 przyjmuje dodat- nie wartości), więc

(59) arsh (j x | e15*^4) » 1+t4 +1 + \|\Tl+tV -1 dt Vi+t

+ i 1+t4 +1 - \/\/l+t4 -1 dt U ?

U(x) + IV (x)

Na podstawie (52) i (53) oraz analogicznego rozumowania otrzy- mujemy pozostałe trzy formuły ((49) - (50)).

Po podstawieniu

t * ^sh w' w « arsh (t^j , (60) dt * --- , ch w dw

2 yshw

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE’A I PEWNYCH... 63 na podstawie ^59) otrzymujemy

U(x) =. arsh(x ), --- , „ T (ych w+1 + ych w-1jdw

'Ish w

( 61 ⁾

arsh(x ) VCX) . -L

k

(]jch w+1 - 'ch w-l)dw Ysh w

Ponieważ

( ⁶² )

'jch w+1 + ich w-1 = i 2 (ch w+sh w) , 'Ich w+l' - ich w-1 = ^2 (ch w-sh wj , więc

(63)

U(x)

arsh (x^j

\ch w+sh w dw sh w

V(x) j g arsh (x )

j/ch w-sh w' dw>

Vsh w

po uwzględnieniu, że

64 F. DYMEK, J.F, DYMEK

ch w + sh w s e , w (64)

ch w - sh w ® e , -W formuły (63) zapiszemy w postaci

arsh(x ;

U(x) 2 _{e w- e - w} ^dw,

(65)

V(x)

arsh (x2)

Ve dw w -w e -e

Jeśli podstawimy

(66) s *= ew , s ■ dw j to otrzymamy

\|x^+V +x2 U (x) » -

i I ^ds

(67)

fx*+1 +x2 V x = —

2

ds

Po wykonaniu całkowania otrzymujemy twierdzenie 1 (por. [t 196) .

>], str.

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE*A I PEWNYCH... 65

Wyniki twierdzenia 1 wykorzystamy obecnie do obliczenia sum nieskończonych szeregów potęgowych (2)-(13).

D o w ó d . Ponieważ([9] , str. 65, por. [lA], str. 86-87)

OO

(68) (oFarsh ( z) » V — R j p z ) 2 P(k+1)-k! , |z|<1,

^ (2k+1)T(k+1) I'

k»0

więc po podstawieniu (x - liczba rzeczywista)

(69) z = |x|eiJl^ , |x|^1, otrzymujemy

W P a r s h ( l x , e ^ ) - m

(2k+l)P(k+1) k«0

Ostatni szereg przedstawimy następująco:

(71) llór arsh (|x| e*3^ ) ®

» ei<3r/4 > > Ck+2)e 'x l (2k+1) T(k+1)

\k*0j 2 | 4 y . . .

w 00

Z Z

k»1,3,5,

(-1)k rik-t-^e^^lxl2^ 1

(2k+1) r (k+1) 1

66 F. DYMEK, J.F. DYMEK

W pierwszym szeregu dokonamy podstawienia k = 2n (n ** 0, 1, 2, 3»

...) , w drugim szeregu podstawimy k » 2n+1 (n = 0, 1, 2, 3» •• •) • Po uwzględnieniu (55)* otrzymamy

(72) \fśPe“15r/^ arsh(|x| e^'^)

) „\n >„,4n+1 (-1)n f(2n+2) lx

(4n+1) P (2n+1) n*0

(~1) n r (2n+^) | x IZfn+-5

" M ---:-- 1-- :— » ixl<1-

(4n+3)P (2n+2) (4n+3)T (2n+2) n*0

Na podstawie (68) otrzymujemy analogicznie

( 7 3 ; a r s h ( | x | e - ^ ) - f

^— 1 (4n+l) P(2n+1) n=0

oo + i i

n»0

C-1) n P (2n+|) 4n+3

(4n+3) T (2n+2) X|s< ^1.

Po dodaniu (odjęciu) stronami (72) i (73), otrzymujemy formuły (2)-(3). Na podstawie (2)-(3) » po wykorzystaniu (49) , (51) , (55) , otrzymujemy sumy nieskończonych szeregów potęgowych (4)-(5). Po obustronnym zróżniczkowaniu (4) - (5) , otrzymujemy formuły (6)-(7).

Sumy szeregów potęgowych (8)-(9) otrzymujemy na podstawie (6) -

(7) po podstawieniu

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE’A I PEWNYCH...

Formuły (10)-(13) to wynik kolejnego różniczkowania wzorów (6)-(7), a następnie uwzględnienia podstawienia (74) oraz wykorzys- tania zależności ([13] » str. 47)

(75) P(z+1) = zP(z) (z ± 0, -1, -2, -3, ...).

Przechodzimy obecnie do uzasadnienia wzorów (14)-(45).

D o w ó d . Ponieważ ([ 5 ] str. 339)

otrzymujemy wzór (14)•

Formuły (15)- (16) otrzymujemy na podstawie (14) po wykorzysta- więc po wykorzystaniu łatwej do sprawdzenia zależności [ 13 _]

(77) arch

niu twierdzenia ([ 1 ] , str. 24)

t

(78) (t>0) ,

0

68

F. DYMEK, J.F. DYMEK

gdzie F(p) - obraz, f(t) - oryginał.

Ponieważ ([7], str. 116)

(79) K, (z) - e_15r')/2 H 0(2) (-iz) ,

gdzie

(80) Hf)(z):. Jg ( 2 ) -iYj(z),

więc po podstawieniu z * pai, 0= 0, otrzymujemy

(81) KQ(pai) ■ — ■ [yq (pa) + i J0 (pa| (a>0, v?0).

Mając na uwadze zasadę przedłużenia analitycznego ([ 2 _{] , str.}

89-90, [ 17 J , str. 129, [ 21 ] , str. 76-107, [ 20 ]), zauważymy, że for- muły (17)-(22) otrzymamy na podstawie (14) -(16) po wprowadzeniu do nich

i (82) ai * ae*3^ w miejsce a,

a następnie wykorzystaniu zależności (49) , (51) , wzoru Eulera (55)

oraz relacji (58), (81) i oddzieleniu części rzeczywistych od uro-

jonych.

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE’A I PEWNYCH.%• 69

Wyprowadzenie formuły (23) przedstawia się następująco. Ponie- waż ( [ 5 ] , str. 304)

(83) ^ 1[ePaEi(-pa)1 ^{- 1}

t+a (a >0, p > 0) oraz

w t - 1

. y/p'J R '

więc na podstawie twierdzenia o splocie w przekształceniu Laplace'a ([i] , str. 32) otrzymujemy (t > 0)

(85) £ - 1

1 epaEi (-pa)

L Vp -1 p dr

J /=F(t-t+a) 0

Po wykorzystaniu podstawienia

(86) x _{» tsin^u,} dr « 2t sin u cos u du, a następnie podstawienia

(87) x ■ sin u, dx » cos u du,

70

F. DYMEK, J.i

otrzymujemy

(83) & -1 epaEi(-pa) » 2 ^{dx c = \} 5 0rt Jt 2 2 X ~c 1

t+a

Po wykonaniu całkowania otrzymujemy (por. (52)) wzór (23) Po wykorzystaniu twierdzenia ([i] , str. 22)

(89) £ jpF(p)] = , f(0+) * 0,

na podstawie (23) otrzymujemy formułę (24) .

Wyprowadzenie wzoru (25) przedstawia się następująco.

Wykorzystujemy twierdzenie Efrosa w postaci ([i] , str. 35)

+ 00

(90) f sln (2^ )f(f) dTr =

/F oC

J 0 jfr* P^P1 J

i rozpatrujemy wyrażenie

0

Ponieważ ([ 5 ], str. 158) (b>0, p > 0)

. DYMEK

(92) F(p) - t e8p K0 (^),

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE’ A I PEWNYCH...

71

więc

J _ p a \ eb2P/8 K (b 2^ .

p fp Vp' 2p V 8

Na podstawie (14) (a = — j otrzymujemy b

Po uwzględnieniu (94) w równaniu (91), otrzymujemy

(95) Jt" sin (2<tr K0 (bfF)

\IF dTr ■= £7r arsh 2 f tT Po podstawieniu (a = 2 VT)

(96) u * \FF , 2du = ,

otrzymujemy wzór (25).

Przechodzimy obecnie do uzasadnienia formuły (26). Wykorzystu- jąc twierdzenie Efrosa w postaci (90), rozpatrujemy obecnie wyraże- nie

+ co -1

(97) sin ( 2 j t ? ) , l b g ) d T a

J fc -P'fp F(i)l

72 F. DYMEK, J.F. DYMEK Ponieważ ([ 5 ] , str, 158)

— / 2 \

(98) F(p) = X [ K 0 (bfP)] = ^ Ei|~-j ,

więc

(99) 1

p

\(

vp - 1

2

^

Na podstawie (23) ^a * — j otrzymamy (b>0)

( 1 0 0 ) & - 1

- F ( ^

P Vp1 h ( l * t + b z j -arsh 2 f t

Po uwzględnieniu (100) w równaniu (97) otrzymujemy (b>0)

+ 00

(101) f 2^ 1 K0 (b fr)d

o

2 arsh t2 ® V4t+b 2

Podstawienie (96) kończy dowód formuły (26).

Zwrócimy uwagę na to, że zamieszczony w opracowaniu ( [ 9 _{], str,} 746) wzór (6, 671. 13) Jest błędny (por. ( 26)) (por. [8], str. 286, wzór (227)).

Wyprowadzenie wzorów (27)-(30) przedstawia się następująco.

Ponieważ ([8], str. 195-196) (b>0, u>0)

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE *A I PEWNYCH... 73

(102) KQ(be*“^ 4u) :* ker(bu) + ikei(bu), więc pisząc ( por. [ 21 ] , str. 76-107)

(103) be*Jl^4 w miejsce b w formułach (25) -(26), otrzymujemy

+

(104)' P ^ L W Ko(be15r/4u) du « | arsh e’^ 4

( a > 0 , b> 0),

+ 00

(105) P sin ( au) K

(beiJl ^4u) du — arsh f^e“i5r^4'j

l|a2+ib2 '

(a >0, b >0), Ponieważ

(106) 1 = -■ 1 \ja2-lb2 , l/a2+ib2 ^a4+b4

więc po wykorzystaniu zależności (49), (51), (58), (102), a następ- nie oddzieleniu części rzeczywistych od urojonych otrzymujemy wzory

(27)-(30).

74 F. DYMEK, J.F. DYMEK

Obecnie omówimy wyprowadzenie formuł (31-34)• Po uwzględnieniu podstawiała (82) (por. [2l] , str. 76-107) we wzorach (23)-(24) , otrzymujemy

( 1 0 7 ; £ -1 1 ePai Ei(-pai)

Jp'

-2 - arsh ( § e - ^ ) fjf(t+iaj

(a>0, p>0, t > 0),

v

(108) £ ' [ g e P ^ El(-pai)] ^ { (tłla)1 ^ arSh( ^ | e - ^ ) -

\/t’(t+ia) (a > 0, p > 0, t > 0) .

.Po wykorzystaniu zależności (49), (51),(55), (106), (58) oraz wzo- ru [6j([ 9 ] , str. 942-943, [ 13 J , str. 63, [ 12 ] , str. 149)

(109) Ei(-pai) ■ ci(pa) - isi(pa) (a>0, p?0),

a następnie oddzieleniu części rzeczywistych od urojonych otrzymu- jemy formuły (31)-(34) .

Wyprowadzenie wzorów (35)-(38) przedstawia się następująco.

Jeśli w formułach (92) i (98) uwzględnimy podstawienie (103), to otrzymamy

( 110 ) Z Kn(beiir/4Jt)

Vt ^{yi p e}

8p b

1

(

| 1 (b > 0, p> 0, t>0),

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACEłA I PEWNYCH... 75

(111) X K0 (beiar/4 {£)

2p Ei - b

4p ( b > O , p > O, t > O) .

Po wykorzystaniu zależności (’55) * (81), (102), (109) i oddzie- leniu części rzeczywistych od urojonych, otrzymujemy wzory (35)-(38).

Wyprowadzenie wzorów (39)- (41). Ponieważ ([ 5 ] , str. 112) (por. (52))

( 112 ) Z ^{- 1 2\l? arsh} Ił ^-Ei(-at) (a > 0, p > 0, t >0) ,

więc po podstawieniu (82)M2lj , str. 76-107) otrzymujemy

z - 1 ^ a r s h ^ e - ^ ‘Ei^ a1-^ (a > 0, p > 0, t?0).

Vt

Po wykorzystaniu (49), (51) oraz (109), otrzymujemy formuły (39)-(40).

Formułę (41) otrzymujemy na podstawie (112) po wykorzystaniu twiei^

dzenia^[l], str. 25)

( 114 ) x[«(t)] -

Wyprowadzenie wzorów (42)-(45). Jeśli w formule (41) uwzględnimy podstawienie (82), to otrzymamy

\

76 F. DYMEK, J.F. DYMEK

(115) <£ [ftT E i ( - a i t ) ] -l/sr f — p--- 1 arsh (\ ffie ~ i3r/4) l

L pVp+ia pVp1 ' v yJ

(a>0, p > O, t > O) .

Po wykorzystaniu (49), (51), (106), (58) oraz wzoru (109), a nas- tępnie oddzieleniu części rzeczywistych od urojonych otrzymujemy wzory (42) - (43) .

Ponieważ ([ 5 ] , str, 223) (por, [ 5 ], str, 8, 21)

więc po uwzględnieniu ostatnich wzorów w formułach (42)- (43) otrzy- mujemy wzory (44) - (45) •

PRACE CYTOWANE

[ 1 ] M.L. LevinStejn, Operacionnoe izCislenie v zadaSach Elektrotech- niki, Izd, Energija, Leningrad 1972,

[2] J. Osiowski, Zarys rachunku operatorowego, WNT, Warszawa 1965.

[3] I»Z. Stokalo, Operacionnoe izóisienie, Izd, Naukova Dumka, Kiev

[4] V.A, Ditkin, A.P. Prudnikov, Operacionnoe izSislenie, Izd.

\ysSaja Skola, Moskva 1975*

(116)

p^2 (p2+a2j

(a > 0, p > 0, t > 0)

1972

O PEWNYCH TRANSFORMATACH LAPLACE*A I PEWNYCH... 77

[ 5 ] W.A. Ditkin, A.P. Prudników, SpravoSnik po operacionnomu is- glsieniju, Izd. VysiSaja Skola, Moskva 1965.

[ój W.A. Ditkin (Red.), Tablicy integral'nogo sinusa i kosinusa, Izd. ANSSSR, Moskva 1954.

[ 7 ] N.N. Lebiediew, Funkcje specjalne i ich zastosowania, PWN, Warszawa 1957.

[8] N.W. Mc Lachlan, Funkcje Bessela dla inżynierów, PWN, Warsza- wa 1964.

[9] I.S. Grad&tejn, I.M. Ryżik, Tablicy integralov, summ, rjadov i proizvedenij, Gos. Izd. Fiz.-Mat. Lit., Moskva 1962 i Izd.

Nauka, Moskva 1971. /

ficj

B.K. Cemodanov (Red.) , MatematiSeskie osnovy teorii avtoma- tiSeskogo regulirovanija, tom I, tom II, Izd. Vys$aja Skola, Moskva 1977.

P1] F. Lttsch, Siebenstellige Tafeln der elementaren transzendenten Funktionen, Springer-Verlag, Berlin 1954.

fjźj G. Bejtmen, A. Erdejn, VysSye transcendentnye funkcji, Vol. 2, Izd. Nauka, Moskva 1966.

1^ E. Jankę, F. Emde, F. LeS, Special*nye funkcii, Izd. Nauka, Moskva 1977.

[14] M.A. Evgrafov, Analitigeskie funkcii, Izd. Nauka, Moskva 1965.

[ 15 ] A.N. Sgerban*, O.A. Kremnev, Naugnye osnovy rasgeta i reguli- rovanija teplovogo reSima glubokich Sacht, tom I, Izd. ANUSSR, Kiev 1959.

[16] I. Sneddon, Preobrazovanija Fur’e, Izd. Inostr. Lit., Moskva 1955.

[17] Ju. V. Sidorov, M.V. Fedor juk, M.I. Sabunin, Lekcii po teorii

funkcij kompleksnogo peremennogo, Izd. Nauka, Moskva 1976.

78 F. DYMEK, J.F. DYMEK

[18] M.L. Krasnow, A.I. Kisielem, G.I. Makarenko, Zadania z równań całkowych, PWN, Warszawa 1972.

[19] M.A. Evgrafov (Red.) , Sboraik zadag po teorii analitiSeskich funkcij, Izd. Nauka, Moskva 1972.

[20] G. Doetsch, Praktyka przekształcenia Laplace*a, PWN, Warszawa 1964.

[21] A.G. SvieSnikov, A.N. Tichonov, Teorija funkcij kompleksnoj peremennoj, Izd. Nauka, Moskva 1967.

[22] J. Mikusiński, Operational calculus (Intern, series of mono-

graphs on pure and applied mathematics, vol. 8), PWN, Warsza-

wa 1959.