Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
KOLOKWIUM nr
57
,25.04.2016
, godz. 14.15-15.00 Zadanie62.
(18 punktów) Obliczyć sumę szeregu∞
X
n=1
(−1)n+1
n2 = 1 −1 4+1
9− 1 16+ 1
25− 1 36+ 1
49− 1 64+ 1
81− 1 100+ 1
121− 1 144+ 1
169− ...
Wolno skorzystać bez dowodu z równości
∞
X
n=1
1 n2 =π2
6 . Rozwiązanie:
Ponieważ dany szereg jest bezwzględnie zbieżny, możemy beztrosko zmieniać kolejność jego wyrazów, a nawet rozdzielać go na sumę dwóch szeregów. W konsekwencji otrzy- mujemy
∞
X
n=1
(−1)n+1 n2 =
∞
X
n=1
1 (2n − 1)2−
∞
X
n=1
1 (2n)2=
∞
X
n=1
1 (2n − 1)2+
∞
X
n=1
1
(2n)2− 2 ·
∞
X
n=1
1 (2n)2 =
=
∞
X
n=1
1
n2− 2 ·1 4·
∞
X
n=1
1 n2 =
∞
X
n=1
1 n2−1
2·
∞
X
n=1
1 n2 =1
2·
∞
X
n=1
1 n2 =1
2·π2 6 =π2
12.
Odpowiedź: Suma szeregu
∞
X
n=1
(−1)n+1
n2 jest równa π2 12.
Kolokwium 57 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Zadanie
63.
(20 punktów) Obliczyć wartość całki niewłaściwej∞
Z
π/2
(x2+ 2) · sinx
x3 dx lub wykazać, że jest rozbieżna.
Rozwiązanie:
Rozkładamy daną całkę na sumę dwóch całek:
∞
Z
π/2
(x2+ 2) · sinx x3 dx =
∞
Z
π/2
sinx
x dx + 2 ·
∞
Z
π/2
sinx x3 dx ,
przy czym zauważamy, że na mocy kryterium zbieżności bezwzględnej i kryterium po- równawczego druga całka jest zbieżna:
∞
Z
π/2
sinx x3
dx ¬
∞
Z
π/2
1
x3 dx < +∞ .
Pamiętajmy, że suma całki zbieżnej i jakiejś jest jakaś, gdzie jakaś może równie dobrze oznaczać zbieżna jak i rozbieżna.
Całkujemy pierwszą całkę dwukrotnie przez części:
∞
Z
π/2
sinx x dx =
∞
Z
π/2
1
x· sinx dx =1
x· (−cosx)
∞
x=π/2
−
∞
Z
π/2
−1
x2 · (−cosx) dx =
= lim
x→∞
1
x· (−cosx) − 1 π/2·
−cosπ 2
−
∞
Z
π/2
1
x2· cosx dx = 0 − 0 −
∞
Z
π/2
1
x2· cosx dx =
= −
∞
Z
π/2
1
x2· cosx dx = − 1 x2· sinx
∞
x=π/2
+
∞
Z
π/2
−2
x3 · sinx dx =
= lim
x→∞
− 1 x2· sinx
+ 1
(π/2)2· sinπ 2− 2 ·
∞
Z
π/2
sinx
x3 dx = 0 + 4 π2− 2 ·
∞
Z
π/2
sinx x3 dx =
= 4 π2− 2 ·
∞
Z
π/2
sinx x3 dx .
W konsekwencji:
∞
Z
π/2
(x2+ 2) · sinx x3 dx =
∞
Z
π/2
sinx
x dx + 2 ·
∞
Z
π/2
sinx x3 dx =
4 π2− 2 ·
∞
Z
π/2
sinx x3 dx
+ 2 ·
∞
Z
π/2
sinx x3 dx =
= 4 π2− 2 ·
∞
Z
π/2
sinx
x3 dx + 2 ·
∞
Z
π/2
sinx
x3 dx = 4 π2
Odpowiedź: Podana całka niewłaściwa jest zbieżna i ma wartość 4/π2.
Kolokwium 57 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania
