Szacowanie liczb.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2019/20

Kolokwium nr 3: poniedziałek 28.10.2019, godz. 10:15-11:00, materiał zad. 1–175.

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Pomoc w rozwiązaniu tych zadań można uzyskać na ćwiczeniach grupy 5 w czwartek 24.10.2019 — nie będą omawiane na ćwiczeniach grup 1, 2, 4.

Szacowanie liczb.

101. Niech a =√⁴

2. Która z liczb jest większa:

a^aaa

aaaaaaaaaaaa16

czy 10¹⁰¹⁰?

Pomoc dla osób dostających oczopląsu: liczba a występuje w pierwszym wyrażeniu 16 razy.

Która z liczb jest większa ?

102. 123456 · 123458 czy 123457² 103. 1000! czy (500!)² 104. 2007 666

!2007

czy 2007 666

!666

105. ^√⁴

83 − 2^2007 czy ^√⁴

83 − 2^666 106. ^√⁴

79 − 2^2007 czy ^√⁴

79 − 2^666 107. ^√⁴

79 − 3^2007 czy ^√⁴

79 − 3^666 108. ^√⁴

79 − 3^2007 czy ^√⁴

79 − 3^667 109. 2¹⁰⁰⁰ czy 3⁷⁰⁰ 110. 5⁴⁴⁴ czy 3⁷⁰⁰ 111. 17

20 czy 16

21 112. 100

7 czy 150 11 113. 8⁴⁴⁴

17¹⁷ czy 16³³³

19¹⁷ 114. 17⁶⁶⁷

3333⁴+ 6666⁴ czy 17⁶⁶⁶

3333⁴ 115. 2007 666

!

czy 2007 667

!

116. 2007 666

!

czy 2008 666

!

117. 2007 1666

!

czy 2007 1667

!

118. 2007 1666

!

czy 2008 1666

!

119. 1

√37 − 6 czy √

37 + 6 120. 1

√37 − 6 czy 12 121. 1

√37 − 6 czy 1

√97 − 10

122.

9 4

27/8

czy

27 8

9/4

123. log₉27 czy log₄8 124. log₃8 czy log₂5 125. log₅127 czy log₁₀999 126. (log₂3) · log₅7 czy (log₂7) · log₅3

127. (log₂3) · log₇5 czy (log₇9) · log₁₆25 128. log₂3 czy log₃5

129. log₃7 czy log₅19 130. log₂3 czy log₅13 131. log₃5 czy log₁₅56 Wskazówka do niektórych pytań:

Wiadomo, że wartość ułamka nie zmieni się, jeżeli licznik i mianownik pomnożymy przez tę samą liczbę różna od zera.

Podobnie, wartość logarytmu nie zmieni się, jeżeli podstawę i liczbę logarytmowaną ...

Lista 3 - 9 - Strony 9–11

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2019/20

Poziom standardowy (z myślą o ocenie co najwyżej dobrej) 3. Szacowanie liczb.

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 21,24.10.2019 (grupy 1, 2, 4).

Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami.

132. Uporządkować następujące liczby w kolejności rosnącej

a =^5 −√

37^2008, b =^6 −√

37^2009, c =^7 −√

73^2011, d =^9 −√

73^2013. Która z liczb jest większa:

133. 2^1000! czy 999^999! ? 134. 26⁹⁹ czy 10¹⁵¹ ? 135. 26⁹⁹ czy 123⁶⁵ ? 136. √

37 − 6 czy 1

10 ? 137. ^√

37 − 6^666 czy 1

100¹⁰⁰ ? 138. 2²²¹⁰⁰¹ czy 1000²²¹⁰⁰⁰ ? Wskazując odpowiednią liczbę naturalną k udowodnić nierówności 10^k< L < 10^2k. 139. L = 3972²⁵⁷ 140. L = 257³⁹⁷² 141. L = 700!

142. Niech a = ¹⁶√

2. Która z liczb jest większa: a²⁵⁶ czy 256^a ?

W każdym z poniższych zadań wpisz w miejscu kropek dwie liczby występujące w cią- gu 0, 1, 2, 5 ,10, 100, 10⁵, 10¹⁰, 10²⁰, 10⁵⁰, 10¹⁰⁰, 10²⁰⁰, 10⁵⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰⁰, 10^1000000 na kolejnych miejscach tak, aby po- wstały prawdziwe nierówności.

143. . . . < 2⁵⁰⁰< . . . . 144. . . . < 3²⁰⁰⁰< . . . . 145. . . . . < 2¹⁰⁰⁰⁰< . . . . 146. . . . < 30¹⁰⁰⁰⁰< . . . . 147. . . . < 2²¹⁰< . . . . 148. . . . < 4444⁴⁴⁴⁴< . . . . 149. . . . < 7777⁷⁷⁷⁷< . . . . 150. . . . < 2011²⁰¹¹< . . . . 151. . . . < 222⁵⁵⁵⁵< . . . . 152. . . . < 5555²²²< . . . . 153. . . . < 333³³³< . . . . 154. . . . < 10000! < . . . . 155. . . . < 666! < . . . .

Lista 3 - 10 - Strony 9–11

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2019/20

156. . . . . < 5000! < . . . . 157. . . . < 35000! < . . . . 158. . . . <^10^5! < . . . . 159. . . . <^7 + 2√

2^500< . . . . 160. . . . <^6 + 3√

2^500< . . . .

161. . . . . <^91 +√

91^100< . . . .

162. . . . < 1000

3

!

< . . . .

163. . . . < 1000

4

!

< . . . .

164. . . . . < 10000

5

!

< . . . .

165. . . . < 10⁵

100

!

< . . . .

166. . . . < 10¹⁰

20

!

< . . . .

Dla podanej liczby x wskazać taką liczbę całkowitą n, że n < x < n + 1.

167. x = 1 5√

2 − 7 168. x = 1 4√

3 − 7 169. x = 1 3√

3 − 5 170. x = 1

3√ 3 − 4√

2 171. x = 1 3√

5 − 7 172. x = 1 2√

13 − 7

173. Udowodnić nierówność n²²⁷¬ 2ⁿ dla wybranej przez siebie liczby naturalnej n większej od 1.

174. Udowodnić nierówność

n ⁿ

< 2 ²

dla wybranej przez siebie liczby naturalnej n > 1.

175. Niech A_n=√ 2

√ 2

√ 2

√ 2

√ 2

√ 2· · ·

√ 2

√ 2

√ 2

, gdzie √

2 występuje n razy, a potęgowanie jak zwykle wy- konujemy od góry. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność An< 2.

Lista 3 - 11 - Strony 9–11