O drganiach powłoki cylindrycznej pod wpływem wymuszenia losowego

ZESZYTY NAUKCWS POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

S e r ia : MECHANIKA z . 36 N r k o l . 233

1968

ANDRZEJ TYLIKOTSKI

K a te d ra Dynamiki Układów M echanicznych

0 DRGANIACH POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ POD WPŁYWEM WYMUSZENIA IOSCWEGO

S t r e s z c z e n i e . W pijacy omówiono w a s p e k c ie liniow ym f i ­ z y c z n ie i g eo m e try c z n ie z a g a d n ie n ie d rg ań tłu m io n y c h s p r ę ­ ż y s t e j o tw a r te j p o w ło k i w alcow ej pod wpływem o b c ią ż e n ia będącego f u n k c ją losow ą c z a s u i w sp ó łrz ę d n y c h . W ram ach t e o r i i k o r e la c y jn e j u zy sk ano w y ra ż en ie n a ś r e d n i kw adrat u g i ę c i a . Do o b lic z e ń szczegółow ych p r z y j ę t o o b c ią ż e n ie p o w ło k i szerokopasmowym szumem.

1 . R ozw iązanie problem u d e te rm in is ty c z n e g o

P odstaw ą rozw ażań j e s t rów nanie różniczkow e równowagi t e c h n ic z n e j t e o r i i pow łok [ i ] ,

+ c V ] w fc f f i t ) = R' ^ )* )

g d z ie :

w - p rz e m ie s z c z e n ie prom ieniow e p o w łok i, R - prom ień krzy w izn y p o w ło k i,

8 - g ru b o ść p o w ło k i,

3 - m oduł Younga m a t e r i a łu p o w ło k i, V - l i c z b a P o is s o n a m a t e r i a łu p o w ło k i,

- bezwymiarowe w sp ó łrzęd n e p u n k tu na p o w ie rz c h n i p o w ło k i, q* - o b c ią ż e n ie r a d i a l n e p o w ło k i,

t - c z a s ,

A ndrzej T yIlkow ski

2 Qć

: ■ — 12R2*

2 Q2 ( ł

7 " « s , 2

U w z g lę d n iają c tłu m ie n ie i 3 i ł y b e z w ład n o śc i o b c ią ż e n ie n a le ż y p r z y ją ć w p o s t a c i

^ w

(

)

g d z ie j

q - g ę s to ś ć p o w ie rz c h n io ­ wa

(3 - w sp ó łczy n n ik tłu m ie ­ n i a ,

q - o b c ią ż e n ie zew nętrzne p o w ło k i.

Rozwiązaniem ró w n ania (1 ) j e s t n a s tę p u ją c e w y ra ż en ie

O O o o

« & . * . » ) ■ 2 J 2 J k » ' J ' » 1« 8 ' mol n»0

( 3 )

p r z y czym ze w zględu n a przegubowe zamocowanie brzegów pow łoki ( r y s . 1 )

(4)

P o d s ta w ia ją c ( 2 ) , ( 3 ) i ( 4 ; do ( 1 ) , mrożąc o b u s tro n n ie o tr z y ­ mane rów nanie p r z e z Vf ( £ , <p) o ra z w y k o rz y stu ją c w arunek o r to g o - n a ln o ś c i otrzym ano rów nanie ró żn iczk ow e zw yczajne

O d rg a n ia c h po w łok i c y lin d r y c z n e j pod wpływem w ym uszen ia..»_____ 57

d2f ( t ) d f ( t ) , ..

- 5 - * 2P - l - “ L ' J * » i v W . (

)

d t g d z ie :

, 0 - ^ ) ( " ) 4 ■* C2 [ ( f ) 2 4 ( § ) 2] ‘ a)mn 2 „2

* 2( 1 - ^ [ (B )2 . < & f]‘

j e s t c z ę s t o ś c i ą w łasn ą pow łckl o ra z c e l

( O

qmn^t ^ J J )s i n ( 7 )

o o

P rz y z a ło ż e n iu zerowych warunków początkow ych, ro z w ią z a n ie rów­

n a n ie ( 5 ) p r z e d s ta w ia s i ę n a s tę p u ją c o [2] , [3 ]

f « n ( t > - ¿ 7 j f ( 8 )

— OO

g d z ie j g _ ( t ) j e s t impulsową f u n k c ją p r z e j ś c i a t o j e s t p rz e b ie g ie m czasowym f rrm( t ) pod wpływem z a b u rz e n ia w p o s t a c i f u n k c j i 8 D i- r a c a

e ^ i t ) 1 e ' 1* B i n f t ^ F T p 2 ^ ! ) . ( 9 ) r L - f

w powyższym w zorze H ( t) j e s t f u n k c ją H eaviside* a .

58 Andrzej TyIlkowski

2 . Z asto so w anie t e o r i i k o r e la c y jn e j do o p is u s ta c jo n a r n y c h dr^ań wymuszonych

W d a l s z e j c z ę ś c i p ra c y z a ło ż o n o , że o b c ią ż e n ie q(% ,«p,t) j e s t s ta c j o n a r n ą ergo d yczną f u n k c ją losow ą c z a s u i dowolną fu n k c ją l o ­ sową w sp ó łrzęd n y ch o w a r to ś c i o czekiw anej rów nej 0 , Czasowa fu n k ­ c j a k o r e la c y jn a (k o w a ria n c y jn a ) ta k ie g o p ro c e s u z a le ż y t y lk o od r ó ż n ic y c z a s u tg - t .j m T i w yraża s i ę wzorem

E t g

) )J m

Znajomość f u n k c j i k o r e la c y jn e j o b o ią ż e n ia (1 0 ) po zw ala je d y n ie wyznaczyć f u n k c ję k o r e la c y jn ą u g i ę c i a . J e ż e l i q (4 ,< p ,t) j e s t procesem o normalnym r o z k ła d z ie praw dopodobieństw a, t o znajom ość f u n k c j i k o r e la c y jn e j pozw ala o k r e ś l i ć p o n a d to r o z k ła d prawdopodo­

b ie ń s tw a u g i ę c i a , k tó r e z u p e łn ie c h a r a k te r y z u je p ro c e s d r g a n ia . Na p o d s ta w ie ( 7 ) i ( 8 ) o k re ś lo n o f u n k c je k o r e la c y jn e q , t ) i v > W ’ W '

oC L cc i

\ w - (fe>2 IW ^{K q(4»7,} <e,Vtv ^{^pr^’}

“ n ,P I‘ ‘0 0 0 ° (1 1 )

i 2

Kf _{nm#p r}

ir )m 7

7 fif f

-oo «oo

( 12)

O d rg a n ia c h p o w ło k i c y lin d r y c z n e j pod wpływem w ym uszenia.. 59

W prowadzając nowe zmienne , &2 ■ t 2~^2 do ( 1 2 )» z a s ­ a la ją c g r a n ic e c ałk o w an ia o ra z k o r z y s ta ją c z w ła s n o ś c i (9 ) o tr z y - mano

OO O O

V p r ( r ’ '

Wij

W prowadzając tra n s fo r m a c ję całkow ą F o u r ie r a z d e fin io w an ą wzo­

ram i: Oo

S (x ) K ( t) e_ ljr td t (1 3 )

— OO

00

K ( t) o ^ s ( x ) e ^ d x ’ -OO

po za sto so w a n iu j e j do f u n k c j i k o w a ria n o y jn ej uzyskano n a s tę p u ją c e w y ra ż en ie zwane g ę s t o ś c i ą widmową

OC L oc L S

cW , p r

0 0 0 0

\ r('

.1f7M«pd£> dydi?, (

)

P rz y w yznaczan iu f u n k c j i k o r e la c y jn e j f ^ t ) n a le ż y s k o rz y ­ s t a ć z tw ie r d z e n ia o s p lo c i e w t r a n s f o r m a c j i F o u r ie r a

0 0 0 0

J ‘g(x)t(y-x

2% J

(15

6 0 A ndrzej T v lik o w sk i

g d z ie : G ( t) i P ( t ) s ą odpow iednio tra n sfo rm ata m i. F o u r ie r a f ( x ) i g ( x ),

OO

W = 7 ^ 2

J

xn n , p r (<o<5) _OO

G (o>) otrzym ano po w ykonaniu t r a n s f o r m a c j i F o u r ie r a n a im pulso­

w ej f u n k c j i p r z e j ś c i a g ^ ( t )

< W w > - y i ■ 2 _j ^ (1 7 )

mn '

O s ta te c z n ie ś r e d n i kw adrat u g i ę c i a w yraża s i ę n a s tę p u ją c o

r OO OO O o OO

Z Z E v y ‘ i y w

J3t»1 n»0 p»1 r» 0

(1 8 ) Wykonując m nożenie sum i w y łą c z a ją c c z y n n ik i d e te r m in is ty c z n e p rz e d znak w a r to ś c i oczekiw anej w ( 1 8 ) , uzyskano ważny z p u n k tu w id z e n ia zastosow ań wzór

________ OO^ OO ^ OO OO ^

w2(4,7,f,T,‘0 -

Y, ^{Z Z X V V n Kf}

( 19) W yrażenie ( i 9 ) może s łu ż y ć z a pcdszaw ę o b lic z e ń num erycznych.

Znajomość w‘ 9 d l a “r= 0 w a r ia n c ja p ozw ala o k r e ś l i ć lu b p r z y n a j­

m niej o c e n ić praw dopodobieństw o z d a rz e n ia p o le g a ją c e g o n a tym , że u g ię c ie n ie p rz e k ro c z y zdanego poziom u. W p rzypadku, gdy wymusze­

n i e , a zatem i u g i e c i e (u k ła d j e s t lin io w y ) s p e ł n i a dodatkowo wa­

ru n e k n o rm a ln o śc i, o b lic z e n ie w a r i a n c j i pozw ala c a łk o w ic ie 3 o h a-

O d rg a n ia c h po w ło k i c y lin d r y c z n e j pod wpływ aa w y m uszenia.»._____ 61

ra k te ry z o w a ć p r z e b ie g d rg a ń . M ianow icie praw dopodobieństw o z d a rz e ­ n i a , że u g i ę c i e k - k r o tn ie p r z e k ro c z y y w^, j e s t równe

?

I

f ? } n

erf — ( 20)

1 J

W przy padk u gdy z a b u rz e n ie n ie ma c h a r a k te r u norm alnego k o rzy ­ s t a j ą c z n ie ró w n o ś c i Czebyszewa [4] otrzym ano oszacow anie

O dw rotnie z a k ła d a ją c praw dopodobieństw o, że u g i ę c i e n ie p r z e ­ k roczy d a n e j w ie lk o ś c i (co do w a r to ś c i b e z w z g lę d n e j), uwarunkowa­

no w sp ó łczynn ik iem b e z p ie c z e ń s tw a , sto p n ie m pew ności i odpowie­

d z i a l n o ś c i k o n s t r u k c j i , o k r e ś l i ć można d o p u sz c z a ln e n a tę ż e n ie s z u ­ mu lu b .w y m iary geom etryczne p o w ło k i. Tak w ięc z a sto so w a n ie m etody k o r e la c y jn e j a n a li z y s ta c jo n a r n y c h procesów s to c h a s ty c z n y c h pozwa­

l a u zy sk ać wskazówki k o n s tru k c y jn e w p rzy p ad k ach , gdy n i e ma do­

s ta te c z n y c h danych, ab y móc zasto so w ać zwykły a p a r a t m atem atyczny t e o r i i d rg a ń .

3 . O b c ią że n ie p o w ło k i szerokopasmowym szumem o s t a ł e j in te n s y w n o ś c i Z ałożo no , że pow łok a pobudzana j e s t do d rg ań normalnym s t a c j o n a r ­ nym szumem z o b cięty m widmem ( r y s . 2 ) . Jego r o z k ła d widmowy i fu n k ­ c j a k o r e la c y jn a p rz e d s ta w ia s i ę n a s tę p u ją c o

Sq( ^ ,7 ,f ,'« P ,^ ) - So<5(£-7) <$(<p-tp)[h(cu+Wo ) - H(cn-aJc )J s i n uj0T

*V1(§,,t?,<ć,.W. T) = 2S0 3 ( £ ,-p ) i( 4 - v ) V ’

(2 2 a )

(22b)

62 A ndrzej T.ylikoweki

g d z ie i SQ in te n sy w n o ść szumu, ujq c z ę s to ś ć o b c ię c ia . I n t e r p r e ­ t u j ą c f iz y c z n i e wzory ( 2 2 ) można zauważyć, że n ie n a z a le ż n o ś c i ( k o r e l a c j i ) pom iędzy o b c ią ż e n ia m i w dwu ró żn y ch p u n k ta c h p o w ło k i.

iSys. 2

Po p o d s ta w ie n iu (2 2 b ) do (11 ) w y k o rz y s tu ją c w ła s n o ś c i d y s try b u ­ c j i 8 otrzym ano

ujgT

K

(z)

8

,

Snn p r 00 ^

(2 3 )

g d z ie : sym bol K ro n eckera <5^ * i “

Wykonując na rów naniu (2 3 ) odw rotną tr a n s f o r m a c ję F o u r ie r a , g ę s to ś ć widmowa w yraża s i ę n a s tę p u ją c o

S q (a,) "

h

rankp r

Podstawiając (24) i (T7) do (1 6) i wykorzystując fa k t, że funk­

cja podcałkowa je s t równa tożsamościowe 0 dla |o»|>oj, otrzymano

zależność ,.

c

8S C

K_ ( r ) - — ^ / r C * <2 5 1

~mn,pr oCl(£<5) J \-tJŁ rT L^~\ +4£^w o

O d rg a n ia c h po w ło k i c y lin d r y c z n e j pod \vpływom w ym uszenia. - . _____63

Dla celów praktycznych szczególnie ważne znaczenie ma (o ), mn,pr Całkowanie (25) wykonane przy założeniu, że (3 jest małe. Można w tym przypadku przy obliczaniu c a łk i ograniczyć s ię do obszaru b lis - kiego _npi2

Dla u> < ui otrzymano

mn c

83ES

urn ocl(£Ó) |3w

natomiast dla o) mn >• w można otrzymać oszacowanie f5 l, [6 J “*

3 s

‘mn ocl'

K- ( o ) « : §—5- . ( 26b)

mn

Podstawiając równania (26) do (19) uzyskano wyrażenie na średni kwadrat -ugięcia

§4_ Andrzej TylikowskL

4 . Przykład liczbow y Danei L « R ■ 0 ,4 u

E - 1.962 x 10^{11 H} m c 2 - 2,083 x 10“6

q » 7800 &

m V - 0 ,3 cC » 1

U) = 4000 1 / s .

C

Do o b lic z e ń p r z y ję to w ie lk o ść zredukowaną

s in 2 Ł * W * £ $

1 cc *

g d z ie s

Qmn

0 - ^ ) ( “-)4 ♦ C2 [<!> * (S) ]f *

I[<!>2 * f|)2J I 2 I

d la małych m i n zebrano w t a b l i c y 1 .

O drganiach powłoki c y l i ndrycznej pod wpływem wymuszenia«,. 65

T a b lic a 1

m n

1 2 3 4 5 6

0 0 .5 10 2 0.912 0 .9 26 0.961 1.051 1 .173

1 0 .228 0 .587 0 .7 5 0 0.861 0.993 1 .1 3 8

2 0 .0 37 0 .2 4 0 0 .4 7 0 0.663 0 .8 5 8 1 .0 6

3 0.0294 0.1 2 0 C.291 0 .5 0 0 0 .734 0 .99 6

4 0.062 0.117 0 .244 0 .4 3 0 0 .686 0 .985

5 0 .1 3 8 0 .1 3 8 0 .2 9 8 0 .4 8 0 0.739 1 .0 7

6 0 .2 7 8 0 .332 0 .447 0.636 0 .914 1 .2 7 8

7 0 .507 0 .576 0.701 0.911 1 .2 2 1 .6 2 8

8 0 .8 56 0.941 1 .094 1 .336 1 .683 2 .1 4 8

9 1 .3 67 1 .4 6 8 1 .6 2 4 1 .9 2 8 2 .3 2 0 2.860

S t a ły w spółczynnik we wzorze ( 6 ) po podstaw ieniu danych równa s i ę

A « - 1 ,7 3 . I0e ~ .

R (i—V )^) 8

Sumowanie we wzorze (2 7 ) n a le ż y przeprowadzić d la m i n

p p p

ta k ic h , ż e co < u ) lub £2 < ( w / A ^ - 0 ,0 9 2 . Jak łatw o zauważyć

mn c ~mn c •

n a le ż y ogra n iczyć s i ę d o £2^ zak reślon ych w t a b l i c y .

—T" s i n 2 X«psin2 3T&+ s i n 2 3XV s i n 2 X & +

K ~

+ s i n 2 4JC<Paln23C&

>4

66 Andrzej Tylikowski

O sta te c z n ie otrzymano do w y lic z e n ia n a stęp u jące w yrażenie po w ykorzystaniu w a r to ś c i cyfrowych z t a b li c y 1

6-(4,<p) . s in x £ ,y 2 7 ,0 2 s i n 2 2X<ę + 34 s i n 2 3X<f+ 16,15 sin2 4JCf

Z ależność od (p pokazuje rys. 3. Wykres ten służyć może

sin3C£, *

za podstawę zastosov/ań konstrukcyjnych przy jednoczesnym wykorzy­

s ta n iu ( 2 0 ) 3ub (21 ).

0 drganlach powtoki oylindrycznej pod wplywem wyinuszenia.. . 67

UTERAWRA

r B.3. B.uaccB: 06njaa Teopna odoJioneK h efi npn.i oy.eh/h b TexHn L1J Ke, rocTer.M3flaT, I.1.J1., 1949.

[2 ] Random v ib r a tio n « V o l. 2, Chapt. 1 , S.H. C randall ( e d ) , th e Technology P ress and John W iley and Sons, N.Y. 1959.

[3 ] EoJiopHH E .B .: C T a T H C T M t i e c K H e uerosu 3 C T p o n T e . n b H O i > M e x a H K - K e , C T p o i i i i 3 s a T , 1965, C T p . 140-150.

[ 4 j H y r a u e E B . C . : T e c p u a cayHafiHux 4>yHKi;nM a e c npaueHeHHH k 3a ^ a » i a u aBTOwaTHiiecKoro ynpaBJieHHa, $vi3MaTrH3, l i . , 1 9 6 2 , C T p. 1 5 0 - 1 5 1 .

[5] R.E. Lyoni Response o f a n o n lin ea r s t r in g to random e x c it a t io n J . A coust. Soc. Amer., v . 32, No. 8 , 1960.

[6 j T.K. C a u s e y i Response o f a n o n lin e a r s t r i n g t o random lo a d in g J . Appl. Keoh. V o l. 26, No. 3 , 1959.

0 KOJIEBAHMHX UHJiHHflPMRECKOll OEOJIOxaM nofl B03flEftCT3MEM CJIYRAtfHblX CMJI

P e 3 n u e

B pafiO T e p a c c u a T p H B a e T C H b $ n 3 i m e c K H h r e o u e T p i w e c K H JiHHettHott n o c T a H O B x e a a T y x a a H u e K O Jie 6 a H n a y n p y r o f t o t k p h t o H u h j i h H j p HHe — cito ft odojro'iKM y T B e p x je H H O fl mapHupKO Ha ic oHT ype n o * BOSxeflCTBH- 8 M CHJI, KOTOpUe BB.THDTCa CJiyHaflHblMH (JiyHKUHHUH BpeMeHH H KOOp- j H H a T . UpH nojiomH icoppeaaiiHO H H ott TeopHH o u p e x e a a e T c a B u p a a c e H a e

» a a c p e j H e r o K B a x p a T a n p o r m 5 a . fljia n oxpofiH btx o6cyx,neHHft n p H H a - t o H a r p y x e H H e ksk m y u c o r c e n e H H o t t c n e itT p a jib H O fl n ji o t h o c tbid •

6 8 Andrzej TyIlkowski

VIBRATIONS OF THE CYLINDRICAL SHELL UNDER RANDOM EXCITATION

S u m m a r y

This work c o n ta in s a d is c u s s io n o f th e lin e a r (b o th p h y s ic a l and g e o m e tr ic a l) problem o f th e damping v ib r a tio n s o f th e c y lin d r ic a l s h e l l boundary j o i n t l y f ix e d . They are developed by lo a d in g th a t i s a random f u n c tio n o f both co o r d in a te s and tim e . U sin g th e cor­

r e l a t i o n th e o r y th e r e was c a r r ie d out an ex p r e sió n f o r average square o f th e d e f le c t i o n . As an example th e r e has been consid ered cu t n o is e power spectrum as a lo a d in g o f th e c y lin d r ic a l s h e l l .