Z E S Z Y T Y N A U K O W E PO L IT E C H N IK I ŚLĄSK IEJ Seria: A U T O M A T Y K A z. 115
________1_994 N r kol. 1251
Jan K A Ł U SK I Politechnika Śląska
ZASTOSOW ANIE PROCESÓW MARKOWA DO OCENY NIEKTÓRYCH PARAM ETRÓW SYSTEM U LINII MONTAŻOWYCH Z MAGAZYNEM
S treszczenie. W pracy rozw ażany jest dyskretny proces przem ysłow y w postaci system u dw óch linii m ontażow ych z m agazynem dla półproduktów . P rzedstaw iono m odel m atem atyczny takiego procesu jak o łańcuch M arkow a z czasem dyskretnym z przeliczalną liczbą stanów . W prow adzono pew ną klasę ciągłych p rocesów M arkow a, zw anych procesam i dyfuzyjnymi i pokazano, w jaki sposób za p o m o cą tych procesów m ożna oceniać liczbę półpro d u k tó w w magazynie znajdującym się m iędzy w ejściow ym i i wyjściowym i liniami m ontażow ym i.
M ARKOV PROCESSES APPLICATION FOR ESTIMATION OF SOME PARAM ETERS OF ASSEM BLY LINES SYSTEM WITH A STORE
Sum m ary. In the paper an industrial discrete process w hich includes a system o f tw o assembly lines w ith a store for sem i-products is discussed. A m athem atical m odel in the form o f a discrete M ark o v chain w ith countable num ber o f states is presented. A class o f continuous M arkov processes called diffusion processes is proposed and the w ay o f using these processes for estim ating a num ber o f sem i-products in the store placed betw een input and o u tp u t assembly lines is explained.
DIE ANW ENDUNG DER MARKOFF-PROZESSEN FÜR DIE BEW ERTUNG M AN
CHER PARAM ETERN DES SYSTEMS DER MONTAGELINIEN MIT DEM LAGER Zusam m enfassung: In der A rbeit wird einen diskreten Industrieprozeß in G estalt von dem System d er zw ei M ontagelinien mit dem Lager für die H albfabrikaten untersucht. Es w ird ein m athem atisches M odell als M arkoff-K ette mit der diskreten Zeit und mit der um rechbaren Zahl der Z ustände vorgestellt. Eine Klasse der kontinuierlichen M arkoff- K etten, so genannten D iffusionsprozessen, wird eingefiihrt. E s w ird mit Hilfe diesen Prozessen gezeigt, w ie m an die Zahl der Halbfabrikaten im L ager zw ischen E ingangs
und A usgangsm ontagelinien bew erten kann.
l.W prow adzenie
D yskretne procesy przem ysłow e charakteryzują się tym, że jak o kom pleksy operacji w czasie i przestrzeni, z w arunkiem niepodzielności w ykonyw ania pojedynczych operacji, z natury swej opisyw ane są dyskretnym i modelami m atem atycznym i w postaci logicznie określonych relacji m atem atycznych m iędzy param etram i operacji i param etram i stanow isk roboczych (obróbczych, m ontażow ych, transportow ych lub w szystkich jed n o cześn ie) w dyskretnych chw ilach czasu. Pow oduje to, że jakikolw iek proces dyskretny jest "rozpisany" z
48 Jan K aluski
d o k ład n o ścią do pojedynczych operacji różnego typu i z dokładnością czasow ą do o k reślonego o dcinka czasu, zw anego cyklem.
In n ą w ażn ą c ech ą dyskretnego procesu przem ysłow ego je st m asow y charakter jed n o ro d n y ch w yrobów , będących wynikiem określonego procesu technologicznego.
W łaśnie duża liczba jednorodnych w yrobów gotow ych lub p ó łp ro d u k tó w pozw ala w niektórych przypadkach na opis dyskretnych procesów przem ysłow ych w postaci dyskretnych lub ciągłych w czasie modeli m atem atycznych. Jedną z m ożliw ości takiego opisu jest stosow anie dyskretnych procesów M arkow a ze skończoną lub przeliczalną liczbą stan ó w lub ciągłych p rocesów M ark o w a dyfuzyjnego typu w celu probabilistycznej oceny niektórych param etrów procesów produkcyjnych.
W zw iązku z pow yższym w punkcie 2 pracy przedstaw iono dyskretny łańcuch M arkow a z przeliczalną liczbą stanów jako m odel liczby p ó łp ro d u k tó w w m agazynie między dw om a system am i linii m ontażow ych. W punkcie 3 w p row adzono ciągłe procesy M arkow a dyfuzyjnego typu. P odano definicje i tw ierdzenia niezbędne w dalszej części pracy.
W punkcie 4 p rzeprow adzono aproksym ację dyfuzyjną liczby p ó łp ro d u k tó w w m agazynie.
P u n k t 5 pracy zaw iera uw agi k ońcow e.
N iniejsza praca je st częściow o kontynuacją pracy [ 4 ].
2. D y s k re tn y ła ń c u c h M a r k o w a ja k o m odel liczby p ó łp ro d u k tó w w m a g a z y n ie
R ozw ażm y układ systemu dw óch linii m ontażow ych z m agazynem na p ó łprodukty między nimi ja k na rys. 1.
X i
— \
M
K i I 1
C
Rys. 1. U kład linii m ontażow ych z magazynem F ig .l. System o f assembly lines with a storę
W układzie tym «-jednakow ych linii m ontażow ych dostarcza synchronicznie co okres c, rów ny cyklow i linii, pew ną liczbę X półproduktów , grom adzonych następnie w m agazynie M o niegraniczonej pojem ności. M ożna w ięc pow iedzieć, że w chw ili t = c - i , i > 0 schodzi X , dobrze zm ontow anych w yrobów . Z m agazynu M z tym sam ym cyklem czasow ym c, pobierane są m < n półprodukty do dalszego m ontażu na m liniach. X , je st zm ienną lo s o w ą zależną od usterkow ości na n liniach m ontażow ych i ich niezaw odności. N ietru d n o zauw ażyć, że X je st zm ienną lo so w ą dyskretną o w artościach z przedziału [ 0 , n ],tzn.
P { X , = k } = p k , k = 0,1,2 n (1)
Z astosow anie p rocesów M arkow a 49
Jest jasne, że po okresie czasu / = i - c , i i 0, w zależności od p aram etrów system u linii n, m, c o raz X it liczba K, pozostających w m agazynie półproduktów jest rów nież zm ienną losow ą i dla / > 0 m oże przybierać dow olne wartości, K t = 0 ,1 ,2 ,.... Z rys. 1 w idać, że dla K , zachodzi następująca rekurencyjna zależność:
Km = m a x { X + X M - wąO} (2)
Z akładając, że p roces pow staw ania usterek oraz niezaw odność jednej linii jest niezależna od usterek i niezaw odności pozostałych linii m ontażow ych,m ożna pokazać, że ciąg { w J . i s O je st ciągiem niezależnych zm iennych losowych. W ynika z tego, że z kolei ciąg {/i, }, i > 0 je st dyskretnym łańcuchem M arkow a z przeliczalną liczbą stanów .
N a podstaw ie zależności (2) i nieskom plikow anych rozw ażań m ożna pokazać, że je d n o k ro k o w a stochastyczna m acierz praw dopodobieństw przejść takiego łańcucha dla
określonych m, n, ( m < n ) o raz r , i = 0 , l , 2,... ma postać ni
Z P k Pm+1 Pm+2 • • ‘ P n -1 «, 0 0 0 0 0 0 0 0
k*0
n'l'P k «»» Pm+\ Pm+2 • • P n -\ « , 0 0 0 0 0 0 0
O
Z P k P i ■
k*Q
R) P[ P2 ■
0 R) F\ Pi
0 0 R) P[
Pm- I Rn Pm+\
Pm- 1 Rn Pm+1 Pm -1 Rn PmA
Pm- I / h Pm+\
Pn - 1 « , 0 0 0
P n-1 « , 0 0
• « ,-1 Pn 0
Pn- 1 «i
(3)
Jest to, ja k w idać, nieskończona m acierz typu pasm ow ego o szerokości pasm a w ynoszącej «+1 elem entów . W danej macierzy liczba elem entów różnych od zera w pierw szych w + I w ierszach zm ienia się od n -m + 1 w zerow ym w ierszu, do n + 1 elem entów w m + 1 w ierszu. W następnych w ierszach m acierzy liczba elem entów w w ierszach je st stała i wynosi «+1. S ą to kolejne w artości praw dopodobieństw przejść Pk , k = 0 ,l
W pracy [6 ], analizując podobny układ linii m ontażow ych i przyjm ując, że rozkład p raw dopodobieństw {P*} je st rozkładem Bernoulliego o param etrach n p i n p ( \ - p ) , g d zie/J jest praw dopodobieństw em popraw nego m ontażu na każdej z n linii pokazano, że istnieje
stacjonarny rozkład praw dopodobieństw łańcucha {/ć,}, t ^O dla dw óch przypadków :
1) gdy m = 1, p < Y n oraz 2) gdy m = 1, p < j Ą .
W ykazano tam rów nież, że gdy P ~ ^ * Y n * 2 ) graniczna w artość oczekiw ana liczby półproduktów , w m agazynie dąży do nieskończoności.
50 Jan K ałuski
N ieznane są, ja k na razie autorow i prace, gdzie w ykazano by, że te d w a szczególne przypadki m ożna uogólnić na dow olne m i n oraz p < m/ , gdy rozkładem zm iennej losowej X , je st rozk ład B em oulliego lub inny rozkład.
W dalszej części pracy skoncentrujem y się nad aproksym acją dyfuzyjną w spom nianego problem u, tzn. aproksym acją z zastosow aniem ciągłych procesów M ark o w a dyfuzyjnego typu, i pokażem y w jak i sposób za p o m o cą tych procesów m ożna ocenić liczbę K, zapasów p ó łp ro d u k tó w w m agazynie dla dow olnych m ,n >0 , ( m < n).
3. C ią g łe p ro c e sy M a r k o w a d y fu zy jn eg o ty p u
C ałkiem ogólnie procesem dyfuzyjnym nazyw am y pew n ą m ark o w sk ą rodzinę procesów losow ych . M ów iąc niedokładnie dyfuzyjne procesy są to takie m arkow skie rodziny, których infm itezym alne operatory są operatoram i różniczkow ym i. M ów iąc dokładniej - są to takie m arkow skie rodziny, których trajektorie są ciągłymi funkcjam i czasu.
P rzy niedokładnej definicji procesu dyfuzyjnego mieliśmy na uw adze to, że naw et dla p rocesów w ienerow skich w R J , ( d > \ ) infmitezym alny o perator niezupełnie p okryw a się z
operatorem ^ A, - o peratorem L aplace'a.
O pisow ą nazw ę "procesy dyfuzyjne" tłum aczy się tym , że są on e m odelam i m atem atycznym i ruchu oddzielnej cząstki w procesie dyfuzji i w szeregu innych podobnych do dyfuzyjnych procesach.
Z w ró ćm y uw agę jeszcze na fakt, że ilościow o procesy dyfuzyjne opisyw ane są za p o m o c ą rów nań różniczkow ych cząstkow ych oraz że trajektorie rzeczyw istych cząstek fizycznych są w naturalny sposób ciągłe.
D yfuzyjny proces charakteryzuje się dw om a param etram i: tzw . lo k aln ą w artością o czek iw an ą i lokalnym i kow ariancjam i (w jednow ym iarow ym przypadku - lokalnymi w ariancjam i). W zw ykłym sensie rozum ianej w artości oczekiw anej ani też w ariancji ten proces nie ma.
W literaturze przyjm ow ane są różne nazw y dla w spom nianych param etrów ; w spółczynnik przenoszenia lub d ry f dla lokalnej w artości oczekiw anej o raz m acierz dyfuzji w przypadku w ielow ym iarow ym lub w spółczynnik dyfuzji w przypadku jednow ym iarow ym dla lokalnych kow ariancji lub w ariancji. N azw y te zw iązane są z fizyczną interpretacją procesów dyfuzyjnych.
Z auw ażm y jeszcze, że ruch B row na w jednorodnym izotropow ym ośrodku, gdy na cząstkę nie działają żad n e inne poboczne siły oprócz uderzeń m olekuł, je s t je d n o ro d n y m sym etrycznym ruchem B row na, zw anym procesem W ienera.
Z astosow anie procesów M arkow a ¿ i
O becnie podam y d o k ład n ą definicję procesu dyfuzyjnego ( zob. np [8 ] s.208 ).
N iech d ana je st przestrzeń probabilistyczna (O ,/?,/*) o raz przestrzeń fazow a (m ierzalna) ( R d, F d).
Definicja 1. M ark o w sk ą rodzinę ( X , , P x) na przestrzeni fazow ej ( R J, F J) nazyw am y procesem dyfuzyjnym w R d, jeżeli:
1) infinitezym alny o p erato r A tego procesu określony je st na ograniczonych ciągłych podw ójnie różniczkow alnych funkcjach oraz istnieje ciągła funkcja w ek to ro w a ( ó '( * ) ) >
m acierzow a ( aIJ( x )) (m acierz (a iJ( x ) ) dla dow olnych x jest sym etryczna i dodatnio określona) taka, że dla f e.IĄ‘r'
A f ( x ) = L / ( x ) s l ± a ' \ x ) ^ £ f + ± b \ x ) ^ - . (4)
2 1 j -1 ¿ A A" ,'_j C/X
2 ) w szystkie trajektorie tego procesu są ciągłe.
R óżniczkow y liniow y o p erato r L postaci (4) nazyw a się o peratorem tw orzącym procesu dyfuzyjnego.
W dalszym ciągu będziem y rozpatryw ali tylko jednow ym iarow y p roces dyfuzyjny, dla którego o p erato r tw orzący m a postać
L f { x ) = U x ) ^ - + b { x ) ^ - . (5)
2 a x u X
N iech teraz f ( x ) = f ( t , x , y ) jest w arunkow ą gęstością praw dopodobieństw a przejścia procesu {A’, } , / > 0 . W ów czas dla każdego e>0 , t i x spełnione są następujące zależności
\ \ m — P ( I X l t e j - X , ! Z £ l X , = x ) = 0. (6) bt-,0
li m — i ( y - * ) f ( t , x , t + A t, y ) d y = lĄx, i). (7)
A/ - + 0 ¿ ± 1 J t y - x l ( £
li m — \ ( y - x ) i f { i , x , i + A t , y ) d y = a(x ,t ). (8)
O czyw iście,param etry b(x,t) i a(x,t) są odpow iednio w spółczynnikiem przenoszenia i w spółczynnikiem dyfuzji jednow ym iarow ego procesu dyfuzyjnego.
M o żn a pokazać, że funkcja f( x ,t) jest fundam entalnym rozw iązaniem rów nania różniczkow ego o pochodnych cząstkow ych typu parabolicznego postaci
52 Jan Kałuski
a więc
(10)
W dalszych rozw ażaniach będzie nam potrzebne pojęcie tzw. funkcji próbnych lub podstaw ow ych.
D efinicia 2. (zob. np [7], s.35). Klasę 91 w szystkich nieskończenie różniczkow alnych funkcji rzeczyw istych <p(x) takich, że dla dow olnych //>0 i N >0
4. A p ro k s y m a c ja d y fu z y jn a liczby p ó łp r o d u k tó w w m a g a z y n ie
Z obaczm y teraz jakim dyfuzyjnym procesem m ożna aproksym ow ać liczbę K t p ó łp ro d u k tó w w m agazynie.
N iech intensyw ności w zrostu i ubyw ania zapasu w m agazynie (średnia liczba w zrostu i ubyw ania zapasu w jed n o stce czasu w przeliczeniu na jed n o stk ę zapasu) zale żą od ogólnej liczby K(t) p ó łp ro d u k tó w w m agazynie (od tej liczby zależy, czy w ystarczy p ó łp ro d u k tó w w m agazynie na zasilanie m wyjściowych linii) i w ynoszą odpow iednio X(k) o raz \i(k). D la m ałego przedziału czasu m ożna założyć, że K(t)= k. Stąd X i p są w przybliżeniu rów nież stałe i nie zale żą od czasu. W naszym przypadku p(k) je st rów nież niezależne od k tzn.
\x(k)=nt, gdyż jest to stała intensyw ność zm niejszania się zbioru p ó łp ro d u k tó w w m agazynie w każdym cyklu.
Aby aproksym acja była bliska rzeczyw istości należy założyć, że liczba w zrostu zapasu w krótkim okresie czasu, w okresie jed n eg o cyklu, podlegała rozkładow i Poissone'a z param etram i kX(k) ( w procesie Poissone'a - X t ).
O bliczm y w artość oczekiw aną £ t [ / f ( t ) - k ] o raz w ariancję Vk [K ( i ) - k \ zm iennej losowej ( K(t)-k). B iorąc pod uw agę, ze K(l) m a rozkład P oissone’a o w artości oczekiw anej kX{k) i takiej sam ej w ariancji oraz że k^ /u l dla t - i c , i>0 otrzym am y
l x / ^ ^ ^ -> 0, g d y / x l ->oc,
d x
(U)
nazyw a się klasą funkcji próbnych lub podstaw ow ych. Dla
słuszna jest następująca relacja
(13)
(14) oraz
Z astosow anie p ro cesó w M arkow a 53
Vk [ K { l ) - k } = Vk [K{i)} = k X { k ) - t . (15)
O trzym ujem y więc, że w spółczynnik przenoszenia zbudow anego procesu dyfuzyjnego wynosi
b(k)=kk(k) - m (16)
oraz w spółczynnik dyfuzji tego procesu
a (k ) = k \(k ) (17)
O dpow iedni o p erato r różniczkow y L om aw ianego procesu dyfuzyjnego m a w ięc postać
L / ( k ) = U x { k ) ^ ± + [k X { k ) - > « ] ^ n (> 8)
W prow adźm y obecnie funkcję f ( k ) = Pm( t , k , s , r ) = Pm(K , - k I K , ~ r), w yrażającą p raw dopodobieństw o przejścia procesu M arkow a z czasem ciągłym ze stanu K , = r w chwili s do stanu K, = k w chwili l, t>s, przy ustalonym m.
M ożna pokazać, że praw dopodobieństw o to w yznacza się ja k o rozw iązanie zagadnienia brzegow ego C ou ch y 'eg o
Ź & M )~ = LP m( t , k ) (19)
o t
dla w arunków początkow ych Pm(0, k ) = 1 dla k < 0 oraz k >m.
R ów nanie dyfuzji, w iążące liczbę K półproduktów w m agazynie dla system u linii m ontażow ych, m a w ięc postać
Ź L S L K l = 1 k l ( k ) + [ArA(A-) - ( 2 0 )
d l 2 w d k ? L V 1 d k
B ędziem y rozw ażali dalej trzy szczegółow e przypadki:
1) kX(k) = m , m= 1; 2) k \ ( k ) = m , m > 1 oraz 3) k \ ( k ) r- m , m > 1.
W pierw szym przypadku rów nanie (20) sprow adza się w prost do rów nania p rzew odnictw a cieplnego
i £ M , i > 0 , * < + oo (2 i)
d l 2 d k 2
o raz P(0,k)=tp(k).
R ozw iązaniem rów nania ( 2 1 ) , ja k w iadom o jest całka
P ( l , k ) = — = J e x p ( - ( ^ - r ) J / 2i)(p (j)d r, (22)
gdzie tp je s t poprzednio zdefiniow aną funkcją próbną.
54 Jan K ałuski
W róćm y obecnie do punktu 2 niniejszej pracy. Opisany tam łańcuch M arkow a }, i > o je s t niczym innym f ja k błądzeniem przypadkow ym na płaszczyźnie. N iech w zw iązku z tym K i (i) będzie łam an ą na płaszczyźnie (k,t), ja k na rys.2, p rzech o d zącą przez
punkt T ' dow olna ustalona chw ilafw której ruch zaczyna się od now a (jest to w łaściw ość procesu M arkow a ).
Fig. 2 . Exam ple for relation K (t)
M ożna pokazać, że rozkład praw dopodobieństw a standaryzow anego błądzenia przypadkow ego { /f,} je s t zbieżny do rozkładu ruchu B row na przy i—»co, który jest szczególnym przypadkiem procesu dyfuzyjnego.
N iech dla K 0, ( i = 0) w artość oczekiw ana E ( K 0) = k. W ów czas (zob.np [7 ] s.66) dla '< = 0, r = i zachodzi następująca relacja
E j Ć f y -> j = ] e x v ( ~ ) ( p { k ) d k . (23)
Stąd na podstaw ie centralnego tw ierdzenia granicznego C hinczyna m ożem y napisać, że
/^(Ar, < -> - 7= j e x p i-^ -jz /Z c , / - » 00. (24)
-Ji -J2 n Jkj 2
B iorąc p od uw agę (22) otrzym ujem y
E* f< q p 7 ^ i exp(_(A " r)V i ^ dr' (25)
gdy K/ r —> k , - » / , / dla w szystkich funkcji próbnych (p.
Z astosow anie p rocesów M arkow a O zn acza to ostatecznie, że
PK(kt = P k(k] i *,(/)<*,) ^ j f e x p { - " % ) d r (26)
• J i m )
gdzie K = [ k - - J i \ r= [ /- < ] , K , ' ~ >oc' * i> M +0°-
P rzep ro w ad zo n e rozw ażania dotyczyły aproksym acji dyfuzyjnej błądzenia przypadkow ego, m odelującego w punkcie 2 niniejszej pracy liczbę K, zapasu półpro d u k tó w w m agazynie. P rzypadek ten jed n ak nie uw zględnia, że K,>0 dla i>0 .
R ozpatrzm y w zw iązku z tym ponow nie proces dyfuzyjny na półosi k>0 z odbiciem w zerze.
Jeżeli praw dopodobieństw o przejścia Pt( k , t ) dla m = 1 spełniało rów nanie (21), to gęstość tego praw dopodobieństw a, oznaczm y ją przez g(k,l), w inna spełniać podobne rów nanie p rzew odnictw a cieplnego postaci
d g ( k , Q 1 0 ł g ( k , Q
d i 2 d k 1
k)0 ,
gdzie
P ( k , s , B , t ) = j g ( k , s , r , l ) d r , r e B
(27)
(28)
dla w aru n k ó w początkow o-brzegow ych
£ ^ ^ / jt=0 = 0, g ( k , s , r , i ) - + % k - r ) , g d y l i 0, /c,ż(+oo.
d k
R ozw iązaniem (27) jest gęstość (zob.np [ 3 ] s.89)
g ( k , s , r , l ) y f l n i
e x p ( - (/c " A^ ) + e x p ( - + 2t
(29)
Jest to gęstość praw dopodobieństw a przejścia procesu {AT,}, l > o ze stanu K , - r w chwili s do stanu K t - k w chwili t z ekranem odbijającym w zerze.
R ozpatrzm y obecnie przypadek, gdy kX(k) = m, m > 1.
R ów nanie (27) zgodnie z rów naniem (20) przyjm uje w ów czas następującą postać:
d g j k k ) 1 , „ d l g m( t , k )
d l ~ 2 d k ’ ■
(30)
W iadom o (z o h n p [1] s.53 zadanie 77 i s.337 - rozw iązanie), że pow yższe zagadnienie b rzegow e z w arunkam i brzegow o-początkow ym i ja k poprzednio,w ogólnej postaci m a form ę
56 Jan K ałuski
<?g _ ai S d l d k 1 ' R ozw iązaniem (31) jest następująca gęstość
g ( x , t , r ) = i ( x ~ r ) 2 ,
e x p i“ A i, 4 u t + eXP ( - Ar* *. ; ) ( £ + £ ) 2
4 a 2i
(31)
(32)
R ozw iązaniem rów nania (30) je st więc gęstość
g m ( k , ‘,r ) = 1 ex p (- i ^ ) + e x p ( - £ ^
2/m 2m t Ar<0, z(+oo (33)
dla a = — m.
N a koniec ju ż bez szczegółow ych objaśnień zauw ażm y, że gdy kX(k)? m t z rów nania (2 0 ) dla gęstości g „ j . ( k , t ) m ożna napisać
1 j 2 M k X ( k )
exp ( k - k X ( k ) + ni)2
+ exp ( k + k X ( k ) - m ) 2 2 k X { k ) t (34) 2 k X { k )t
P raw dopodobieństw o, że (A*, < K ,{i) < A2), A,,A2 > 0 m ożna zatem obliczyć z zależności
Pml(ki < K i(i)(k2) = j g , „ x(kj)dk.
*1 W prow adzając funkcję L ap lace'a w postaci
2 r - -
® ( “) = - ¡ r : ) e 2 dy
(35)
(36) V 2Żr o
otrzym am y obliczeniow y w zó r dla P„a ( )
/)„J (A 1 S ^ ( 0 < A 2) = [ O l2( ^ 2) - O l l ( !Al)] + [ O 22( % ) - c b 2l(u3l)], (37)
gdzie
_ k x - k X { k ) + m J k X ( k ) t ~
_ A2 - AA(A) + in
\ J k X ( k j t
(38)
(39)
Z astosow anie procesów M arkow a 57
k. + k k ( k ) — tn
(40)
K U - (41)
N iech dalej dane jest praw dopodobieństw o p popraw nego m ontażu na każdej z /; linii i niech p » \ H . W ów czas, odw racając zagadnienie aproksym acji rozkładu B ernoulliego dla dużych tu i u rozkładem norm alnym , a w ięc w rozkładzie norm alnym param etry tego rozkładu zastępujem y param etram i rozkładu B ernoulliego, otrzymujem y
k A ( k ) = n p ( \ - p ) (42)
k l ( k ) - m = np (43)
a biorąc pod uw agę (42), (43) otrzym uje postać
np - - m l p , (44)
gdzie ja k w iadom o, np jest w artością oczekiw aną, a np(J-p) w ariancją rozkładu B ernoulliego.
W obec tego w zory (38)-(41) przyjm ują postać
1 . * , k ' P + m - (45)
V n p \ \ - p ) i
k , p + in
■ ¡ n p \ \ - p ) l
k j > - m y ] n p \ \ - p ) t
k , p - t n
(46)
(47)
(48) ,J n p \ \ - p ) l
N a zakończenie rozpatrzm y jeszcze przypadek, gdy p ^ m / n . W ów czas otrzym am y
. k ' +n--- (49)
t]iu( \ - m l n)i
aj2 = , k ' + n - (50)
- n i l n)i
k t - n
^ y]m(\ - m l n)i
(51)
58 Jan K ałuski
k 2 - n
(52)
Interesujące m oże być rów nież obliczenie praw dopodobieństw
P„'z(K, £ N a podstaw ie pow yższych w zorów m ożna ju ż łatw o
w yprow adzić zależności dla tych praw dopodobieństw . N ależy jeszcze zauw ażyć, że podstaw iając w odpow iednich w zorach l=i.c , i>0 otrzym am y w zory k o ń co w e dla obliczeń różnych praw dopodobieństw liczby półw yrobów K, w magazynie.
5 ,U w ag i k o ń co w e
Pierw sza aproksym acja dyfuzyjna w łańcuchach M arkow a pochodzi od F okkera i Plancka. O trzym ali oni rów nanie dla gęstości przejść procesu dyfuzyjnego, opisującego rozw ój gęstości system u cząstek w przestrzeni fazow ej, z losowymi zderzeniam i tych cząstek. Ścisłego m atem atycznego sform ułow ania i uzasadnienia problem u aproksym acji dyfuzyjnej dokonał A.N. K ołm ogorow . Podał on tzw. rów nania retrospektyw ne i prospektyw ne dla gęstości przejść. Od tego czasu aproksym acja dyfuzyjna znalazła w iele różnych zastosow ań w dziedzinach w ydaw ałoby się bardzo odległych od procesów dyfuzyjnych; w szczególności procesy te w ystępują jak o graniczne dla dyskretnych m odeli opisujących ró żn e biologiczne zjaw iska, takie ja k zm iana liczby osobników jakiegoś gatunku lub koncentracji genu w populacji.
N ajnow sze prace, jak ie ukazały się ostatnio na tem at zastosow ań aproksym acji dyfuzyjnej, d o ty czą m odelow ania zm ian dokładności przyrządów pom iarow ych [5] o raz pracy system ów kom puterow ych [2], N inejsza praca jest p róbą takiej aproksym acji w dziedzinie dyskretnych p ro cesó w przem ysłow ych.
L IT E R A T U R A
[ l j B u d a k B .M ., Sam arski A .A., T ichonow A .N.: Z adania i problem y fizyki m atem atycz
nej.P W N ,W arszaw a 1965.
[2] C zachórski T .: Procesy po w ro tó w elem entarnych w doskonaleniu aproksym acji dyfuzyjnej ja k o m etody m odelow ania pracy system ów kom puterow ych.Z N Politechniki Śląskiej, seria
Inform atyka, z.9, G liw ice 1987.
[3] D ynkin F.B ., Juszkiew icz A.A.: Tw ierdzenia i problem y procesów M arkow a. PW N , W arszaw a 1970.
[4] K ałuski J.: P rocesy M arkow a w sterow aniu dyskretnych procesów przem ysłow ych. ZN Politechniki Śląskiej, seria: A utom atyka, z. 108, G liw ice 1994.
Z astosow anie p rocesów M arkow a 59 [5] K ałuski J.: Z astosow anie rów nań F okkera-P lancka-K ołm ogorow a do w yznaczania
niezaw odności m etrologicznej przyrządów pom iarow ych.ZN Politechniki Śląskiej, seria:
A utom atyka z.81, G liw ice 1986.
[6 ] Kimmel M .: Z astosow anie teorii procesów M arkow a do badania granicznych procesów dyskretnych. ZN Politechniki Śląskiej, seria: A utom atyka, z.63, Gliwice 1982.
[7] Schuss Z.: T eo ria i zastosow ania stochastycznych rów nań różniczkow ych. PW N , W arszw a 1989.
[8] W entzel A .D.: K urs teorii sluczajnych processow. Izdat."N auka", M oskw a 1975.
Recenzent: P rof.dr hab.inż. J ó z e f K orbicz W płynęło do R edakcji do 30.04.1994 r.
A b s tr a c t
In the paper a diffusion approxim ation in industrial discrete processes is discussed. T he industrial discrete processes are characterized by a large num ber o r hom ogeneous details w hich result from a specified technological process. Therefore, it is possible to approxim ate the discrete processes by continuous o r discrete m athematical models. I f the param eters o f the industrial discrete processes are random , it is possible to use discrete o r continuous random M ark o v processes.
W e consider an industrial discrete process which includes a system o f tw o assem bly lines with a sem i-products sto re placed betw een the lines. T he num ber o f sem i-products in the store during each cycle-tim e depends on the random param eters o f input and output lines.
In the p aper only the random ness o f the input lines is considered. T he output o f the system is determ inistic and its intensity is constant.
U nder the conditions m entioned above a m athem atical m odel o f discrete process in the form o f a M ark o v chain in discrete time with a countable num ber o f states is presented.
A certain class o f continuous M arkov process, called diffusion process, is used and the w ay o f using the m odel to estim ate a num ber o f sem i-products in the store is described. F o r the diffusion process w hich approxim ates the change o f a num ber o f details in the store the F okker-P lanck equation is constructed. T hree cases o f dependencies betw een the param eters in the assem bly lines are discussed.
C om putational tim es for finding a num ber o f sem i-products in the store in function o f cycle-tim e w ith definite probability are given.
T he final results can be used to control the industrial discrete procesess.
