X6 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie B(θ, 1) o gęstości fθ(x

Niech X₁, . . . , X₆ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie B(θ, 1) o gęstości

fθ(x) =  θx^θ−1, 0 < x < 1 0, w p. p.

gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Weryfikujemy hipotezę H : θ = 1 przy alterna- tywie K : θ > 1 testem jednostajnie najmocniejszym na poziomie istotności α = 0, 05.

Wyznacz p-wartość tego testu i jego moc przy θ = 3.

Wskazówka: Jaki rozkład ma − log X₁? ROZWIĄZANIE:

Niech x ∈ (0, 1)⁶ oraz 0 < θ₁ ≤ θ₂. Wówczas f_θ2(x)

f_θ1(x) = θ₂⁶Q6

i=1x^θ_i²⁻¹ θ₁⁶Q6

i=1x^θ_i¹⁻¹ = θ₂ θ₁

6 6

Y

i=1

xi

!^θ2−θ1

jest niemalejącą funkcją statystyki Q6

i=1x_i, zatem z twierdzenia Karlina-Rubina test jed- nostajnie najmocniejszy dla naszego problemu testowania ma postać¹

ϕ(X) = 1, Q⁶_i=1X_i > c⁰ 0 w p. p.

lub równoważnie

ϕ(X) = 1, − P⁶_i=1log X_i < c⁰⁰ 0 w p. p.

Dystrybuanta zmiennej losowej X1 ma postać F (x) = x^θ dla x ∈ (0, 1), wobec tego P (− log X1 ≤ t) = P (X1 ≥ e^−t) = 1 − F (e^−t) = 1 − e^−θt, t > 0, a zatem zmienna losowa − log X1 ma rozkład Exp(θ), czyli zmienna losowa −P6

i=1log Xi

ma rozkład G(θ, 6). Z tego wynika, że zmienna losowa −2θP6

i=1log X_i ma rozkład χ²₁₂. Możemy zatem napisać, że

ϕ(X) = 1, T (X) < c 0 w p. p.

gdzie T (X) = −2P6

i=1log X_i, a c wyznaczamy z warunku

P₁(T (X) < c) = χ²₁₂(c) = α ⇒ c = (χ₁₂² )⁻¹(α) = (χ²₁₂)⁻¹(0.05) = 5.23 gdzie χ²₁₂(·) oznacza dystrybuantę rozkładu χ²₁₂.

Wyznaczamy p-wartość:

T (X) = c ⇔ T (X) = (χ²₁₂)⁻¹(α) ⇔ p(X) = α = χˆ ²₁₂(T (X)) = χ²₁₂(−2P6

i=1log X_i) Moc testu przy zadanej alternatywie:

β_ϕ(3) = P₃(T (X) < c) = P₃(3T (X) < 3c) = χ²₁₂(3c) = χ²₁₂(3 · 5.23) = 0.79

1 Postać testu można również otrzymać, zauważając, że rodzina rozkładów próby jest rodziną wy- kładniczą, i korzystając z wniosku z twierdzenia Karlina-Rubina dla rodzin wykładniczych. Można też skorzystać wprost z lematu Neymanna-Pearsona.