Bogumił Kamiński Podejście wieloagentowe do modelowania rynków. Metody i zastosowania

(1)

Podejście

wieloagentowe

do modelowania

rynków

(2)

(3)

OFICYNA WYDAWNICZA SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA W WARSZAWIE

Podejście

wieloagentowe do modelowania rynków

METODY I ZASTOSOWANIA

Bogumił Kamiński

(4)

Recenzenci Jacek Mańdziuk Michał Ramsza

Redaktor Izabela Różańska

Wszelkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie, przedrukowywanie i rozpowszechnianie całości lub fragmentów niniejszej publikacji bez zgody wydawcy zabronione.

Wydanie I

ISBN 978-83-7378-763-6

Szkoła Główna Handlowa w Warszawie – Oficyna Wydawnicza 02-554 Warszawa, al. Niepodległości 162

tel. 22 564 94 77, 22 564 94 86, fax 22 564 86 86 www.wydawnictwo.sgh.waw.pl

e-mail: wydawnictwo@sgh.waw.pl

Projekt i wykonanie okładki Podpunkt

Skład i łamanie Bogumił Kamiński

Druk i oprawa ESUS Drukarnia cyfrowa 62-835 Plewiska, ul. Południowa 54 www.esus.pl

Zamówienie 151/XI/12

(5)

Spis tre±ci

Wprowadzenie . . . 9

I. Metody modelowania wieloagentowego . . . 17

1. Charakterystyka podej±cia wieloagentowego . . . 19

1.1. Poj¦cie modelu w badaniach operacyjnych i ekonomii . . . 19

1.2. Modelowanie wieloagentowe rynków . . . 36

2. Zastosowania i wyzwania wykorzystania symulacji wieloagentowych . . . 51

2.1. Zastosowania modeli wieloagentowych . . . 51

2.2. Metodyka modelowania wieloagentowego . . . 68

2.2.1. Badanie wªasno±ci modelu wieloagentowego . . . 69

2.2.2. Konstrukcja i kalibracja modeli wieloagentowych . . . 75

2.2.3. Werykacja specykacji modelu wieloagentowego . . . 77

3. Metody badania modeli symulacyjnych . . . 85

3.1. Metamodelowanie . . . 85

3.2. Werykacja hipotez dla modeli symulacyjnych . . . 92

II. Wieloagentowy model rynku telekomunikacyjnego . . . 129

4. Modelowanie rynków telekomunikacji mobilnej . . . 131

4.1. Model duopolu na rynku mobilnej telefonii przedpªaconej . . . 133

4.2. Ograniczenia specykacyjne modelu LRT . . . 137

5. Rozszerzenie modelu standardowego na wielu operatorów . . . 141

6. Rozszerzenie modelu standardowego o heterogenicznych klientów . . . 155

6.1. Budowa modelu wieloagentowego . . . 155

6.2. Reprodukcja wyników numerycznych . . . 167

6.3. Wpªyw heterogeniczno±ci na ceny równowagi . . . 171

7. Wnioski ko«cowe . . . 183

(6)

III. Dodatki . . . 187

A. Dokumentacja i implementacja symulacji wieloagentowych . . . 189

A.1. Standardy dokumentacji . . . 189

A.2. Wzorce implementacji . . . 194

B. Kody modeli . . . 199

B.1. Kody do rozdziaªu 1 . . . 199

B.4. Kody do rozdziaªów 4, 5 i 6 . . . 210

B.5. Kody do dodatku A . . . 229

C. Wizualizacja prognoz metamodeli . . . 233

D. Wyniki dla rozszerzonego modelu rynku telekomunikacyjnego . . . 239

E. Wyniki dla wieloagentowego modelu rynku telekomunikacyjnego . . . 249

(7)

Oznaczenia matematyczne

N zbiór dodatnich liczb naturalnych;

Z zbiór liczb caªkowitych;

R zbiór liczb rzeczywistych;

C zbiór liczb zespolonych;

[a, b] przedziaª domkni¦ty o ko«cach a i b;

]a, b[ przedziaª otwarty o ko«cach a i b;

[`] je»eli ` jest zdaniem logicznym to:

[`] =

1 je»eli ` jest prawd¡

0 je»eli ` jest faªszem ;

1(x, A) funkcja charakterystyczna zbioru zdeniowana jako [x ∈ A];

#A liczba elementów zbioru A;

K(x, r) kula otwarta o ±rodku w punkcie x i promieniu r: {y : kx−yk < r};

1 wektor jedynek;

0 wektor zer;

vi wektor jednostkowy (wersor) i-tej osi (wektor, którego i-ta wspóª- rz¦dna jest równa 1, a pozostaªe s¡ równe 0);

Pr(A) prawdopodobie«stwo zdarzenia A;

E(X) warto±¢ oczekiwana zmiennej losowej X;

D²(X) wariancja zmiennej losowej X;

X ±rednia z próby wylosowanej ze zmiennej losowej X;

plim

i→+∞

Xi granica ci¡gu zmiennych losowych Xi wedªug prawdopodobie«- stwa;

N (m, v) rozkªad normalny o ±redniej m i wariancji v;

tn rozkªad t Studenta z n stopniami swobody;

Bp zmienna losowa o rozkªadzie zero-jedynkowym z prawdopodobie«- stwem sukcesu równym p;

FB(α,β) dystrybuanta rozkªadu beta o parametrach α i β;

H¹t(d, p) odwzorowanie 1(p, [0, t]); por. przykªad 3.2 (s. 98);

H²t(d, p) odwzorowanie 1(p, [d − t, d + t]); por. przykªad 3.2 (s. 98).

(8)

(9)

Wprowadzenie

Wszystkie modele s¡ bª¦dne, ale niektóre s¡ u»yteczne.

George E. P. Box (1919)¹ W niniejszej pracy przedstawiono metody modelowania procesów rynkowych wykorzystuj¡ce symulacje wieloagentowe. Techniki symulacyjne s¡ tradycyjn¡ dziedzin¡

bada« operacyjnych od lat 50. XX wieku, ale narz¦dzia ekonomii obliczeniowej wykorzystuj¡ce podej±cie agentowe (ang. Agent-based Computational Economics) rozwi- n¦ªy si¦ dopiero w latach 90. XX wieku, a w 2006 roku powstaªo pierwsze opracowanie podejmuj¡ce prób¦ systematycznego przegl¡du tego obszaru wiedzy; por. Tesfatsion i Judd (2006). Ze wzgl¦du na mªody i interdyscyplinarny charakter tej dziedziny dys- kusja na temat jej zakresu, poj¦¢ i metod jest w literaturze ci¡gle otwarta; por. Niazi i Hussain (2011), Bandini et al. (2009), Castiglione (2009). Niniejsza praca ma na celu uporz¡dkowanie rozumienia podej±cia wieloagentowego do modelowania rynków oraz omówienie jego obszarów zastosowa« i ró»nic metodycznych w stosunku do tradycyjnych metod analitycznych. W pracy szczególny nacisk poªo»ono na przedstawienie metod wnioskowania o wªasno±ciach modeli wieloagentowych na podstawie wyników symulacji. Powy»sze cele osi¡gni¦to w nast¦puj¡cym ukªadzie. W pierwszej cz¦±ci zaprezentowane s¡ rozwa»ania teoretyczne dotycz¡ce modelowania wieloagentowego, a w cz¦±ci drugiej przedstawiono ich zastosowanie do modelowania rynku telekomunikacyjnego.

Ze wzgl¦du na innowacyjny charakter podej±cia wieloagentowego do modelowania procesów rynkowych, zanim przejdziemy do szczegóªowego omówienia ukªadu pracy, warto przedstawi¢ jego osadzenie historyczne². Podstawowym zaªo»eniem metodycz- nym podej±cia wieloagentowego jest modelowanie systemu jako zbiorowo±ci wielu agentów wchodz¡cych w interakcje (Levy, 2009)³. Potrzeba zastosowania takiego sposobu modelowania w ekonomii wynikªa z wyst¦powania zjawisk ekonomicznych, tak zwanych faktów stylizowanych, których wyja±nienie nie byªo mo»liwe przy wykorzy-

1Za: Box (1979).

2Ogólny opis rozwoju metod symulacyjnych przedstawiaj¡ Goldsman et al. (2009), a modelowania wieloagentowego Epstein i Axtell (1996). Tutaj dokonano przegl¡du prac prowadz¡cych do koncepcji wieloagentowego modelowania rynków, pomijaj¡c inne nurty bada« wykorzystuj¡cych podej±cie wieloagentowe.

3Precyzyjna denicja modelu wieloagentowego wykorzystywana w pracy w odniesieniu do badania procesów rynkowych sformuªowana jest w rozdziale 1.

(10)

staniu standardowych technik modelowania ekonomicznego; por. Levy (2009), Moss (2009)⁴. Histori¦ wykorzystania tego podej±cia nale»y wi¡za¢ z równolegªym rozwojem dwóch dziedzin nauki: (a) metod formuªowania modeli wykorzystuj¡cych paradygmat wieloagentowy w dziedzinie ekonomii oraz (b) technik symulacyjnych wykorzystywanych do badania wªasno±ci tych modeli w dziedzinie bada« operacyjnych.

Pierwsze idee tworzenia modeli wieloagentowych wi¡»¡ si¦ z pracami von Neu- manna i Ulama prowadzonymi w latach 40. XX wieku nad koncepcj¡ automatów komórkowych (ang. cellular automata) i z ich wykorzystaniem przez Conwaya w grze w »ycie (ang. Game of Life) w latach 70. XX wieku; por. Macal (2009). Model tej gry ma charakter teoretyczny, ale pokazuje, »e na podstawie bardzo prostych reguª zmiany stanu pojedynczych komórek mo»liwe jest zaobserwowanie zªo»onych wzorców na poziomie caªej gry. Podej±cie wykorzystuj¡ce automaty komórkowe zostaªo po raz pierwszy zastosowane do obja±niania zjawisk spoªecznych w pracach Sakody (Sakoda, 1971) oraz Schellinga; por. Schelling (1969) i Schelling (1971). Szczególnie silny wpªyw na rozwój koncepcji wieloagentowych miaª model Schellinga. W modelu tym komórka interpretowana jest jako miejsce w przestrzeni miejskiej, które mo»e by¢ zamiesz- kane przez przedstawiciela jednej z ras⁵. Ka»dy osobnik (agent) posiada indywidu- alne cechy: ras¦ i aktualne miejsce zamieszkania oraz indywidualnie podejmuje decyzje o konieczno±ci przeprowadzenia si¦ na podstawie obserwacji swojego otoczenia. Po- dej±cie to stanowiªo inspiracj¦ dla badaczy w naukach spoªecznych i przyrodniczych, wskazuj¡c na mo»liwo±¢ modelowania du»ej liczby heterogenicznych agentów dziaªa- j¡cych w sposób autonomiczny. Kolejnym krokiem rozwoju modeli agentowych byªo ich oderwanie od wykorzystania automatów komórkowych w latach 80. XX wieku;

np. Reynolds (1987) symuluje pojawianie si¦ stadnych zachowa« zwierz¡t w trójwy- miarowym ±rodowisku. W tym okresie szczególn¡ uwag¦ ±rodowiska nauk spoªecznych przyci¡gn¦ªa praca Axelroda i Hamiltona (1981) wykazuj¡ca mo»liwo±¢ wyªonienia si¦

zachowa« kooperacyjnych w problemie dylematu wi¦¹nia (ang. prisoner's dilemma).

W latach 90. XX wieku podej±cie wieloagentowe zostaªo zauwa»one w literaturze ekonomicznej jako metoda pozwalaj¡ca na badanie zjawisk niemo»liwych do analizy przy wykorzystaniu tradycyjnych narz¦dzi; por. Holland i Miller (1991). W okresie tym zaproponowano pierwsze modele rynków: Marimon et al. (1990), Albin i Foley (1992), Marks (1992), Gode i Sunder (1993), Palmer et al. (1993), Vriend (1995), Tesfatsion (1995).

Podj¦to te» próby tworzenia modeli wielkoskalowych, w których istotnym elementem jest interakcja agentów nie tylko miedzy sob¡, ale równie» ze ±rodowiskiem; por.

Epstein i Axtell (1996). W XXI wieku nast¡piª dynamiczny rozwój teorii i zastosowa«

modelowania agentowego w dziedzinie nauk ekonomicznych. Powstaªy periodyki spe-

4Szczegóªowe omówienie motywacji podej±cia wieloagentowego na potrzeby modelowania rynków przedstawiono w rozdziale 2.

5Prace dotycz¡ce segregacji rasowej byªy motywowane empiryczn¡ obserwacj¡ wskazuj¡c¡, »e uchwalenie w 1964 roku tzw. Civil Rights Act (Public Law 88352, 78 Statutes at Large 241, 2 lipca 1964) zakazuj¡cego dyskryminacji rasowej nie prowadziªo do praktycznego zako«czenia segregacji;

por. np. Quillian (2002). Wyniki Schellinga wskazuj¡, »e nawet niewielka preferencja rasowa na poziomie indywidualnym mo»e prowadzi¢ do silnej segregacji na poziomie populacji. Przykªadowa implementacja tego modelu jest przedstawiona w pracy w przykªadzie 1.2 (s. 27).

10

(11)

cjalizuj¡ce si¦ w tej tematyce, mi¦dzy innymi: Journal of Economic Interaction and Coordination, The Journal of Articial Societies and Social Simulation, oraz organizo- wane s¡ regularne konferencje, np. Articial Economics czy World Congress of Social Simulation. Prace te doprowadziªy do wzrostu zainteresowania i akceptacji podej±cia agentowego w celach aplikacyjnych w ±rodowiskach rz¡dowych i biznesowych; por. np.

Farmer i Foley (2009).

Scharakteryzowany powy»ej rozwój koncepcyjny podej±cia wieloagentowego nie byªby tak dynamiczny bez pojawienia si¦ mo»liwo±ci badania wªasno±ci takich modeli. Ze wzgl¦du na du»e skomplikowanie oraz stochastyczny charakter modele wieloagentowe s¡ z reguªy zbyt zªo»one, aby mogªy by¢ badane wyª¡cznie metodami anali- tycznymi; por. Gallegati i Richiardi (2009). W zwi¡zku z tym mo»liwo±¢ ich badania zwi¡zana jest nierozerwalnie z zastosowaniem technik obliczeniowych, a w szczególno-

±ci metod symulacyjnych. Co ciekawe, podobnie jak w przypadku koncepcji podej±cia wieloagentowego, pocz¡tki stosowania metod symulacyjnych wi¡zane s¡ z pracami Ulama i von Neumanna w latach 40. XX wieku (Goldsman et al., 2009). Opracowali oni podej±cie symulacji Monte Carlo jako metod¦ rozwi¡zania problemu opisu dyfu- zji neutronów, który powstaª podczas budowy bomby wodorowej. Podstawowe prace teoretyczne dotycz¡ce metod symulacji powstaªy na przeªomie lat 60. XX wieku; por.

Conway et al. (1959) i Conway (1963). Szybko okazaªo si¦, »e rozwój technik symulacyjnych jest nierozerwalnie zwi¡zany z dost¦pno±ci¡ ±rodowisk informatycznych pozwalaj¡cych na ich efektywn¡ implementacj¦. W latach 60. XX wieku powstaªo kilka j¦zyków pozwalaj¡cych na opis problemów symulacyjnych, np. SIMSCRIPT oparty na j¦zyku Fortran czy SIMULA b¦d¡ca rozszerzeniem Algola 60 (Goldsman et al., 2009).

Podobnie jak w klasycznych modelach symulacyjnych, popularyzacja podej±cia wieloagentowego wymagaªa powstania odpowiednich ±rodowisk programistycznych.

Informatyczna reprezentacja agentów jest realizowana w sposób naturalny przy wykorzystaniu podej±cia obiektowego; por. Axtell (2000). Narz¦dzia wykorzystuj¡ce ten paradygmat powstawaªy w latach 90. XX wieku równolegle z opisanym powy»ej podnoszeniem si¦ popularno±ci podej±cia wieloagentowego w naukach spoªecznych.

W 1987 roku w Santa Fe Institute zainicjowane zostaªy prace nad koncepcj¡ postrze- gania zjawisk ekonomicznych jako zªo»onego systemu ewoluuj¡cego. Okazaªo si¦, »e kluczem do sukcesu popularyzacji szkoªy Santa Fe byªo stworzenie platformy symula- cyjnej SWARM wykorzystuj¡cej j¦zyk Objective-C; por. Minar et al. (1996). Obecnie najpopularniejszymi platformami wykorzystywanymi do budowy modeli wieloagentowych s¡ NetLogo (Sklar, 2011), Repast (North et al., 2007) i MASON (Luke et al., 2005).

W XXI wieku znaczny wzrost mocy obliczeniowej komputerów w poª¡czeniu z dost¦pno±ci¡ odpowiednich ±rodowisk informatycznych umo»liwiª skuteczne przeprowadzanie symulacji wieloagentowych przez badaczy nieposiadaj¡cych dost¦pu do centrów obliczeniowych wielkiej mocy, co w znacznym stopniu przyczyniªo si¦ do upowszech- nienia tej metody badawczej. Jednak ªatwo±¢ tworzenia modeli wieloagentowych nie jest równoznaczna z ªatwo±ci¡ badania ich wªasno±ci. Standardowe modele wykorzystuj¡ce metody ekonomii matematycznej czy ekonometryczne posiadaj¡ ugruntowan¡

(12)

metodyk¦ werykacji stawianych hipotez. W dziedzinie modelowania wieloagentowego nie wyksztaªciªo si¦ jeszcze powszechnie uznane standardowe podej±cie do analizy wy- ników eksperymentów symulacyjnych, co mo»e prowadzi¢ do zarzutu przypadkowo±ci wyci¡ganych wniosków; por. np. Axtell (2000), Tesfatsion (2001), Judd (2006), Gal- legati i Richiardi (2009)⁶.

Podsumowuj¡c powy»szy rys historyczny, warto zauwa»y¢, »e koncepcje metodyczne i narz¦dziowe prowadz¡ce do sformuªowania podej±cia wieloagentowego po- wstaªy w latach 40. XX wieku, jednak dopiero w latach 90. post¦puj¡ca ±wiadomo±¢

niedostatków standardowych metod modelowania ekonomicznego poª¡czona z poja- wieniem si¦ dost¦pno±ci odpowiedniej mocy obliczeniowej komputerów i platform informatycznych doprowadziªa do rozwoju technik modelowania wieloagentowego. Dzie- dzina ta bardzo intensywnie rozwijaªa si¦ w XXI wieku zarówno w zakresie zastosowa«

jak i teorii. W ostatnich latach powstaªy pierwsze podr¦czniki akademickie prezentu- j¡ce ten obszar wiedzy; por. Vidal (2010), Railsback i Grimm (2012) oraz Wilensky i Rand (2012). Mo»na wi¦c stwierdzi¢, »e w literaturze zebrane zostaªo dostatecz- nie du»o do±wiadcze«, aby zaproponowa¢ systematyzacj¦ podej±cia wieloagentowego do modelowania rynków oraz podda¢ je krytycznej analizie.

Przegl¡d dziedziny wiedzy dotycz¡cej modelowania wieloagentowego prezentowany w niniejszej pracy dokonany zostaª pod k¡tem osi¡gni¦cia nast¦puj¡cych celów:

1) przedstawienia charakterystyki podej±cia wieloagentowego do modelowania ryn- 2) okre±lenia sytuacji, w których stosowanie modeli wieloagentowych jest zasadne;ków;

3) identykacji wyzwa« metodycznych zwi¡zanych z wykorzystaniem symulacji wieloagentowych;

4) dokonania przegl¡du technik badania wªasno±ci modeli wieloagentowych;

5) wykazania zasadno±ci i mo»liwo±ci wykorzystania podej±cia wieloagentowego do modelowania rynku mobilnej telefonii przedpªaconej.

Punktem wyj±cia prowadzonych rozwa»a« jest dokonanie okre±lenia zakresu nauki zwi¡zanej z modelowaniem rynków wykorzystuj¡cym podej±cie wieloagentowe. W tym celu w pracy dokonano przegl¡du literatury dotycz¡cej tego obszaru badawczego i zaproponowano autorsk¡ charakterystyk¦ modeli wieloagentowych. Przy jej wykorzystaniu mo»liwe jest udzielenie odpowiedzi na pytanie, kiedy dany model rynku mo»na nazwa¢ wieloagentowym.

Sformuªowanie precyzyjnej denicji modelu wieloagentowego pozwoliªo nast¦pnie na okre±lenie sytuacji, w których rekomendowane jest zastosowanie tej metodyki.

Symulacje wieloagentowe wymagaj¡ wykorzystania niestandardowych technik projektowania i badania wªasno±ci tworzonych modeli. Z tego wzgl¦du w pracy szeroko omówiono wyzwania pojawiaj¡ce si¦ w tym zakresie.

Jednym z istotnych wyzwa« w przypadku zastosowania modeli wieloagentowych jest trudno±¢, a cz¦sto wr¦cz niemo»liwo±¢, analitycznej charakterystyki ich wªasno-

±ci. Z tego wzgl¦du wa»n¡ cz¦±ci¡ pracy jest przegl¡d i rozwini¦cie teorii dotycz¡cej metod metamodelowania, które maj¡ na celu syntetyczne przedstawienie zale»no±ci pomi¦dzy parametrami modelu a wynikami jego symulacji. Wykorzystanie technik

6Problem ten jest szczegóªowo omawiany w rozdziaªach 2 i 3.

12

(13)

zaproponowanych w pracy pozwala na formaln¡ werykacj¦ hipotez opisuj¡cych wªa- sno±ci modeli wieloagentowych.

Mo»liwo±¢ i sposób zastosowania przedstawionych w cz¦±ci teoretycznej pracy wy- ników ukazano na przykªadzie modelowania rynku mobilnej telefonii przedpªaconej.

Punktem wyj±cia tych rozwa»a« jest rozwi¡zywalny analitycznie model zaproponowany przez Laonta et al. (1998b). W pracy wykazano, »e jego zaªo»enia s¡ nie- zgodne z obserwacjami empirycznymi. Wykorzystanie podej±cia wieloagentowego pozwala na usuni¦cie ogranicze« modelu analitycznego. Zaproponowany sposób modelowania zapewniª, »e model analityczny jest przypadkiem brzegowym w parametryzacji modelu wieloagentowego⁷. Zapewnia to porównywalno±¢ wniosków otrzymywanych z obu typów modeli i w konsekwencji odpowied¹ na pytanie, w jakim stopniu zakres wniosków mo»liwych do wyci¡gni¦cia z modelu wieloagentowego poszerza mo»liwo±¢

peªnego zbadania rozwa»anego problemu.

Powy»ej opisane cele s¡ reprezentowane w ukªadzie rozdziaªów, który zostaª sche- matycznie zaprezentowany na rysunku 1 (s. 14). Zale»no±ci prezentowanych tre±ci oznaczono strzaªkami. Zaproponowany podziaª pracy na cz¦±¢ dotycz¡c¡ metod budowy modeli i cz¦±¢ aplikacyjn¡ wynika ze ±cisªego zwi¡zku pomi¦dzy rozwojem teorii i zastosowa« w dziedzinie modelowania agentowego. Podej±cie takie jest stosowane w monograach dotycz¡cych tej dziedziny nauki; por. np. Gilbert (2008).

Praca koncentruje si¦ na koncepcyjnych i analitycznych aspektach podej±cia wieloagentowego. Nale»y jednak podkre±li¢, »e w literaturze przedmiotu du»¡ wag¦ przy- kªada si¦ do sposobu technicznego projektowania i dokumentowania modeli agentowych. Jest to obszar wiedzy eksplorowany gªównie przez badaczy w obszarze nauk informatycznych. Z tego wzgl¦du nie jest on rozwini¦ty w pracy w sposób szczegóªowy.

Niezb¦dny aparat poj¦ciowy z tego zakresu wykorzystywany w pracy przedstawiony jest w dodatku A.

W tym miejscu warto zwróci¢ uwag¦, »e cech¡ charakterystyczn¡ zaproponowa- nego w pracy sposobu prezentacji modeli jest uzupeªnianie opisu werbalnego kodem

¹ródªowym ich implementacji zawartym w dodatku B. Jest to podej±cie wynikaj¡ce z rekomendacji dotycz¡cych dokumentacji modeli wieloagentowych.

W literaturze dotycz¡cej nauk obliczeniowych (ang. computational science) zwraca si¦ szczególn¡ uwag¦ na mo»liwo±¢ peªnej werykacji poprawno±ci prezentowanych wy- ników bada«; por. np. Tesfatsion (2002), Koenker i Zeileis (2009). Podstawowym wy- maganym poziomem dokumentacji jest zapewnienie mo»liwo±ci replikacji (ang. repli- cation) przedstawianego wywodu (Peng, 2011). Replikacja oznacza mo»liwo±¢ odtworzenia wszystkich uzyskanych wniosków poprzez niezale»ne przeprowadzenie caªego badania przez osob¦ je werykuj¡c¡. W praktyce jednak ze wzgl¦du na ograniczenia w dost¦pnych zasobach najcz¦±ciej czasowych lub nansowych nie zawsze wykonalna jest replikacja badania. W tej sytuacji minimalnym wymogiem stawianym dla dokumentacji badania prowadzonego metodami obliczeniowymi jest zapewnienie jego reprodukowalno±ci (ang. reproducibility); por. Schwab et al. (2000). Na tym poziomie oczekiwane jest zapewnienie dost¦pu do peªnego kodu ¹ródªowego procedur

7Taki proces Axtell et al. (1996) nazywaj¡ uzgadnianiem modeli obliczeniowych (ang. alignment of computational models) lub krótko dokowaniem (ang. docking).

(14)

1. Charakterystyka podej´scia

2. Zastosowania i wyzwania metodyczne

3. Badanie własno´sci modeli wieloagentowych I. Metody modelowania wieloagentowego

4. Podej´scie tradycyjne

5. Model numeryczny

6. Model wieloagentowy

II. Zastosowania na rynku telekomunikacyjnym

A. Projektowanie modeli wieloagentowych

B. Kody modeli

C. Wizualizacja metamodeli

D. Wyniki numeryczne

E. Wyniki symulacyjne III. Dodatki

7. Wnioski ko´ncowe

Rysunek 1. Ukªad tre±ci prezentowanej w pracy

obliczeniowych oraz przedstawienie dokªadnej specykacji wykorzystanego ±rodowiska komputerowego. Wymóg ten ma na celu umo»liwienie czytelnikowi samodzielnego przeprowadzenia oblicze« i porównania ich wyników z prezentowanymi przez autorów badania. Podsumowuj¡c reprodukowalno±¢ zakªada wykorzystanie przez osob¦ werykuj¡c¡ wyniki badania oryginalnych procedur obliczeniowych, a replikacja wymaga dodatkowo dokonania niezale»nej implementacji tych procedur.

Oczekiwanie replikowalno±ci i reprodukowalno±ci jest w szczególno±ci podkre±lane w nurcie bada« dotycz¡cych modelowania wieloagentowego. Miller i Page (2007) do- konuj¡ przegl¡du dobrych praktyk zwi¡zanych z przygotowaniem i publikowaniem modeli wieloagentowych i wskazuj¡ jako jedn¡ z istotnych rekomendacji prezentacj¦

kodu wykorzystanego w symulacjach. Z kolei Grimm et al. (2010), omawiaj¡c stan- dard dokumentacji modeli wieloagentowych, wskazuj¡ jako zasadne dokumentowanie kluczowych procesów w tworzonym modelu za pomoc¡ pseudokodu. Na przykªad podej±cie zakªadaj¡ce prezentacj¦ kodu wykorzystywanego w badaniach byªo stosowane w klasycznych pracach w obszarze metod symulacyjnych Law i Kelton (1991) (For- tran, C oraz Pascal), Fishman (1981) (SIMSCRIPT II), oraz w pracach dotycz¡cych

14

(15)

modelowania wieloagentowego; por. np. Gilbert (2008) (NetLogo). Dodatkowo nale»y podkre±li¢, »e w przypadku symulacji wieloagentowych wyst¦puj¡ dwa rodzaje kodu: (a) implementacja modelu symulacyjnego oraz (b) procedury analizuj¡ce wyniki symulacji tzw. metamodele (ang. metamodels); por. np. Santos i Santos (2007).

W zwi¡zku z tym zarówno modele, jak i metamodele powinny by¢ poddawane dokumentacji.

Bior¡c pod uwag¦ powy»sze rekomendacje, w niniejszej pracy przyj¦to nast¦puj¡ce podej±cie do dokumentacji prezentowanych wyników. Przedstawione metody oblicze- niowe s¡ w tek±cie omawiane opisowo. Opis taki cz¦sto nie jest wystarczaj¡cy do wykonania replikacji badania. Z tego wzgl¦du w dodatku B zamieszczono kody ¹ródªowe wykorzystywane do osi¡gni¦cia prezentowanych wyników. Takie podej±cie zapewnia mo»liwo±¢ ich reprodukcji. W wi¦kszo±ci przypadków kody s¡ kompletne i gotowe do uruchomienia. W przypadkach, gdy peªen kod ¹ródªowy jest bardzo obszerny, w dodatku B przedstawiono jedynie fragmenty tego kodu niezb¦dne do precyzyjnego ukazania logiki przeprowadzanych symulacji, a pomini¦to jego cz¦±ci techniczne (jak np. kontrola bª¦dów, logowanie wyników, biblioteki pomocnicze). Peªne ¹ródªa wszystkich procedur obliczeniowych s¡ udost¦pniane przez autora pod adresem e-mail bkamins@sgh.waw.pl. Obejmuj¡ one kody GNU R (R Development Core Team, 2010) oraz kody Java (Gosling et al., 2005) wykorzystuj¡ce elementy biblioteki MASON (Luke et al., 2005). Wi¦kszo±¢⁸prezentowanych oblicze« przeprowadzono na sprz¦cie o konguracji: Intel(R) Core(TM) i52520M CPU @ 2.50GHz,RAM 4GB, Microsoft Windows [Wersja 6.1.7601]. Wykorzystywana wersja GNU R to 2.13.0 (20110413).

Zastosowana konguracja wirtualnej maszyny Java to Java(TM) SE Runtime Envi- ronment (build 1.6.0_23b05), Java HotSpot(TM) 64-Bit Server VM (build 19.0b09, mixed mode).

Przed zako«czeniem wprowadzenia warto wskaza¢ zakres wyników autora w dziedzinie modelowania wieloagentowego. Prace te, zgodnie z ukªadem niniejszej pracy, mo»na podzieli¢ na nurt teoretyczny i aplikacyjny. W w¡tku teoretycznym badania koncentrowaªy si¦ wokóª algorytmów podejmowania decyzji przez agentów (atek et al., 2009), metod badania wªasno±ci modeli symulacyjnych (Kami«ski, 2010) i zarz¡dzania eksperymentami symulacyjnymi (Szufel et al., 2012). W obszarze zastosowa« autor prowadziª prace dotycz¡ce badania rynków, por. atek i Kami«ski (2009), Kami«ski et al. (2010), Zawisza i Kami«ski (2012a), Szymczyk i Kami«ski (2012), Zawisza i Kami«ski (2012b), ze szczególnym uwzgl¦dnieniem problematyki telekomu- nikacyjnej; por. Kami«ski i atek (2010), Wojewnik et al. (2011), Kami«ski et al.

(2011), Kami«ski i atek (2012), Kami«ski (2012).

W niniejszej pracy przyj¦to podej±cie, zgodnie z którym co do zasady nie s¡ po- wielane wyniki autora publikowane wcze±niej. S¡ one jedynie przywoªywane poprzez odpowiednie referencje i przedstawienie uzyskanych wyników. Wyj¡tkiem od tej zasady s¡: praca dotycz¡ca procedur werykacji hipotez dla symulacji wieloagentowych (Kami«ski, 2010) oraz praca prezentuj¡ca wst¦pne wyniki bada« dotycz¡cych wie-

8Cz¦±¢ najbardziej czasochªonnych oblicze« prezentowanych w cz¦±ci II pracy wykonano na kla- strze obliczeniowym udost¦pnionym autorowi przez The Krasnow Institute for Advanced Study w George Mason University.

(16)

loagentowego modelowania rynków telekomunikacyjnych (Kami«ski, 2012). W obu przypadkach niniejszy tekst stanowi znaczne rozszerzenie prezentowanych tam wyni- ków, a ich zaª¡czenie byªo niezb¦dne dla zachowania spójno±ci wywodu.

Ze wzgl¦du na multidyscyplinarny charakter podej±cia wieloagentowego niniejsza praca porusza zagadnienia zaczerpni¦te z ró»nych dziedzin nauki. Poza standardo- wymi wynikami z zakresu bada« operacyjnych i teorii ekonomii niniejszy tekst ko- rzysta z poj¦¢ i metod z zakresu: rachunku prawdopodobie«stwa (Shiryaev, 1995), statystyki matematycznej (Hoel, 1954), ekonometrii (Greene, 2003), teorii uczenia statystycznego (Hastie et al., 2009), analizy numerycznej (Higham, 2002) oraz metod programowania w j¦zykach GNU R (R Development Core Team, 2010) i Java (Go- sling et al., 2005). Ze wzgl¦du na szeroki charakter tej wiedzy ka»dorazowo w pracy podawane s¡ ¹ródªa przywoªywanych wyników w ka»dej z tych dziedzin.

W skªadzie tekstu wielokrotnie wykorzystywane s¡ wyodr¦bnione przykªady oraz prezentowane dowody twierdze«. W celu precyzyjnego okre±lenia zakresu ka»dorazowo ich koniec oznaczany jest znakiem 2.

Niniejsza praca po±wi¦cona jest przedstawieniu podej±cia wieloagentowego jako metody modelowania systemów gospodarczych. Omówiona metoda ma charakter silnie interdyscyplinarny. Z tego wzgl¦du autor wyra»a nadziej¦, »e zaproponowane uporz¡dkowanie rozumienia tego podej±cia oraz przedstawienie teorii i zastosowa« modelowania wieloagentowego przyczyni¡ si¦ do zwi¦kszenia jego popularno±ci w polskim

±rodowisku badaczy zajmuj¡cych si¦ badaniami operacyjnymi i modelowaniem eko- nomicznym.

Podzi¦kowania

Korzystaj¡c z miªego przywileju autorskiego, pragn¦ wyrazi¢ podzi¦kowanie oso- bom, które wpªyn¦ªy na zakres i tre±¢ niniejszej pracy. Zespóª Zakªadu Analizy i Wspo- magania Decyzji w Szkole Gªównej Handlowej oraz moi wspóªpracownicy z George Mason University stanowili ¹ródªo cennych idei i sugestii na temat podej±cia do modelowania wieloagentowego.

Oprócz recenzentów, z prac¡ zapoznali si¦, wnosz¡c wiele cennych uwag, prof.

dr hab. Tomasz Szapiro, dr hab. Tomasz Kuszewski, dr Wit Jakuczun, dr Maciej

atek, mgr Mateusz Zawisza i mgr Marek Antosiewicz, za co w tym miejscu pragn¦

im podzi¦kowa¢. Dzi¦kuj¦ tak»e pani redaktor Izabeli Ró»a«skiej za staranne opracowanie tekstu.

Szczególne wyrazy wdzi¦czno±ci przekazuj¦ dr. Maciejowi atkowi za umo»liwienie skorzystania z klastra obliczeniowego The Krasnow Institute for Advanced Study w George Mason University do wykonania oblicze« prezentowanych w cz¦±ci II oraz dr. hab. Michaªowi Ramszy za bardzo wnikliwe uwagi dotycz¡ce cz¦±ci matematycznej rozdziaªu 3.

16

(17)

I

Metody modelowania

wieloagentowego

(18)

(19)

1. Charakterystyka podej±cia

wieloagentowego do modelowania rynków

Cho¢ mo»e si¦ to wydawa¢ paradoksalne, ide¡ dominuj¡c¡

we wszystkich naukach ±cisªych jest przybli»anie.

Bertrand Russell (18721970)⁹ Celem niniejszego rozdziaªu jest okre±lenie klasy modeli, które b¦d¡ w ksi¡»ce nazywane wieloagentowymi. W zwi¡zku z tym w jego pierwszej cz¦±ci przedstawiona jest denicja modelu. Przy jej wykorzystaniu mo»liwe jest przedstawienie ró»nych typów modeli wykorzystywanych w badaniach operacyjnych i ekonomii oraz dokonanie identykacji cech charakterystycznych modeli wieloagentowych.

Wprowadzony system poj¦¢ dotycz¡cych modelowania jest wykorzystany w rozdziale 2 w celu porównania podej±cia wieloagentowego do innych metod wykorzystywanych w modelowaniu rynków.

1.1. Poj¦cie modelu w badaniach operacyjnych i ekonomii

Sªowo model jest wykorzystywane w j¦zyku polskim, jak równie» w innych j¦zykach, takich jak angielski, francuski czy niemiecki, w wielu znaczeniach. Dere« i Po- la«ski (2008) podaj¡ sze±¢ sposobów rozumienia tego sªowa w zale»no±ci od kontek- stu, a znaczenie wykorzystywane w badaniach operacyjnych i naukach ekonomicznych mo»na zidentykowa¢ jako schemat lub opis wyja±niaj¡cy budow¦, dziaªanie, cechy jakiego± obiektu lub zjawiska. Denicja ta charakteryzuje model poprzez okre±lenie celu jego tworzenia polegaj¡cego na d¡»eniu do wyja±niania rzeczywisto±ci.

W nurcie rozumienia poj¦cia modelu wypªywaj¡cego z tradycyjnych bada« operacyjnych Williams (2005) doprecyzowuje je jako struktur¦ zbudowan¡ w celu odwzo- rowania cz¦±ci cech i charakterystyk badanego obiektu. Podobnie Turban i Meredith (1988) czy Samuelson i Marks (2009) w dziedzinie ekonomii stwierdzaj¡, »e model to uproszczona reprezentacja rzeczywisto±ci.

9Za: Russell (1931).

(20)

W niniejszej pracy cz¦±¢ rzeczywisto±ci opisywana przez konkretny model b¦dzie nazywana badanym systemem. Jako standardow¡ denicj¦ systemu w literaturze angielskoj¦zycznej (Sokolowski i Banks, 2009) przyjmuje si¦ jego rozumienie sformuªo- wane przez International Council of Systems Engineering (INCOSE) jako zbiór ele- mentów, które razem wytwarzaj¡ rezultaty niemo»liwe do osi¡gni¦cia oddzielnie przez te elementy¹⁰. W literaturze polskiej zbli»one denicje podaj¡ Sadowski (1978): zbiór wzajemnie powi¡zanych elementów wyst¦puj¡cych jako okre±lona caªo±¢ oraz Jajuga et al. (1993): wyodr¦bniony zbiór elementów (materialnych lub abstrakcyjnych), wzajemnie powi¡zanych, rozwa»any jako caªo±¢ z okre±lonego punktu widzenia, maj¡cy przy tym takie wªa±ciwo±ci, których nie posiadaj¡ jego elementy.

Denicje modelu formuªowane przez badaczy operacyjnych i ekonomistów, w stosunku do denicji sªownikowej, podkre±laj¡, »e model wyja±nia wyª¡cznie cz¦±¢ wªa- sno±ci badanego systemu. Wynika to z faktu, »e systemy rozwa»ane w dziedzinie tych bada« s¡ z reguªy zbyt zªo»one, aby mo»liwe byªo ich peªne scharakteryzowanie. T¦

sam¡ wªasno±¢ podkre±la Varian (1996), deniuj¡c model ekonomiczny jako uprosz- czon¡ reprezentacj¦ zjawiska spoªecznego pomijaj¡c¡ nieistotne detale. Podej±cie takie jest przez niego wskazywane jako zasadne, poniewa» pozwala na skupienie si¦ na kluczowych charakterystykach rzeczywisto±ci ekonomicznej, któr¡ chce si¦ zrozumie¢.

Skoro model jest jedynie uproszczonym opisem rzeczywisto±ci, to warto dokona¢

analizy powodów budowania modeli w badaniach operacyjnych. Williams (2005) wskazuje na trzy podstawowe korzy±ci pªyn¡ce z tworzenia modeli:

1) sam proces modelowania pozwala na lepsze zrozumienie wªasno±ci badanego obie- 2) model mo»e zosta¢ poddany analizie i umo»liwi¢ wyci¡gni¦cie nieoczywistych wnio-ktu;

sków;

3) model pozwala na przeprowadzanie eksperymentów, których nie da si¦ zrealizowa¢

na obiekcie rzeczywistym.

Dodatkowo Turban i Meredith (1988) zwracaj¡ uwag¦ na fakt, »e eksperymen- towanie z modelem pozwala na ocenienie skutków zmian szybciej i taniej ni» przez wdro»enie ich w rzeczywistym systemie. W szczególno±ci wdro»enie zmiany cz¦sto wi¡»e si¦ z wyst¦powaniem niepewno±ci co do jej skutków ze wzgl¦du na niedetermi- nistyczne zale»no±ci wyst¦puj¡ce w badanym systemie. Zastosowanie modelu pozwala na ocen¦ ryzyka zwi¡zanego z podejmowan¡ decyzj¡.

Mo»liwo±¢ dokonywania eksperymentów na modelu jest wªasno±ci¡ szczególnie istotn¡ w przypadku badania rynków, gdzie cz¦sto mo»liwo±¢ eksperymentowania jest bardzo ograniczona lub wr¦cz niemo»liwa. Na przykªad skutki zmiany sposobu re- gulacji publicznej rynku telekomunikacyjnego, ubezpieczeniowego czy bankowego s¡

mo»liwe do przetestowania tylko raz w momencie wdro»enia tej zmiany. Dodatkowo proces jej wdra»ania jest cz¦sto bardzo dªugotrwaªy i kosztowny wymaga dokonania zmian prawnych oraz strukturalnych dostosowa« w sposobie funkcjonowania podmio-

10Sokolowski i Banks (2009), s. 7, ang. A system is a construct or collection of dierent elements that together produce results not obtainable by the elements alone. W dalszej cz¦±ci tego rozdziaªu przyj¦to konwencj¦, zgodnie z któr¡ denicje angielskoj¦zyczne b¦d¡ podawane w przypisach w swoim oryginalnym brzmieniu w celu zapewnienia precyzyjnego oddania ich wszystkich niuansów.

20

(21)

tów na rynku. Na przykªad dokonana w Polsce w roku 2006 deregulacja rynku telekomunikacji mobilnej polegaj¡ca na umo»liwieniu przenoszenia numerów pomi¦dzy operatorami¹¹ wymagaªa kosztownych i wielomiesi¦cznych inwestycji w zmian¦ sys- temów informatycznych i procedur operacyjnych rm ±wiadcz¡cych te usªugi. Z tego wzgl¦du dokªadne zrozumienie skutków takiej zmiany przed jej dokonaniem jest nie- zwykle istotne, a jednocze±nie mo»liwe jedynie przy zastosowaniu podej±cia modelo- wego.

Praktycznym przykªadem zastosowania symulacji wieloagentowych do przewidy- wania skutków strukturalnych zmian na rynku byªy wyniki analiz przeprowadzonych przez Bios Group na zlecenie gieªdy Nasdaq (Darley i Outkin, 2007). Badanie miaªo na celu przewidzenie jako±ciowych skutków zmniejszenia warto±ci minimalnej zmiany ceny (ang. tick size). W 2001 roku gieªda ocjalnie zmniejszyªa t¦ warto±¢ z 1/16 do 0,01 dolara. Zastosowanie tej zmiany pozwoliªo na empiryczn¡ werykacj¦ prognoz otrzymanych przy wykorzystaniu podej±cia wieloagentowego. Darley i Outkin (2007) zauwa»aj¡ bardzo du»¡ zgodno±¢ modelu z obserwacjami rzeczywistymi na poziomie wniosków jako±ciowych.

Powy»sze rozwa»ania, zwi¡zane ze sposobem badania wªasno±ci systemu, s¡ pod- sumowane na rysunku 1.1 (s. 22). Dodatkowo wskazuje on na mo»liwo±¢ zastosowania ró»nych podej±¢ do modelowania systemów. Rozró»nienie na modele zyczne i matematyczne jest powszechnie wskazywane w literaturze; por. Williams (2005), Turban i Meredith (1988) czy Waters (1998). Obszarem zainteresowania w niniejszej pracy s¡

wyª¡cznie modele matematyczne¹².

Modele matematyczne s¡ deniowane jako zestaw logicznych i jako±ciowych relacji opisuj¡cych badany system (Law i Kelton, 1991). Gilbert (2008) nazywa je modelami opartymi na równaniach. Istot¡ tego typu modeli, w przeciwie«stwie do modeli zycznych, jest brak bezpo±redniego podobie«stwa (analogii) pomi¦dzy modelem a opisywa- nym systemem. Sam zestaw równa« bez interpretacji wyst¦puj¡cych w nim zmiennych nie pozwala na identykacj¦ systemu rzeczywistego, który opisuje¹³. Z drugiej strony jeden model matematyczny, poprzez nadanie mu wªa±ciwej interpretacji, mo»e by¢ wykorzystany do opisu wielu ró»nych zjawisk spoªecznych czy ekonomicznych.

Dobrym przykªadem takiej sytuacji jest np. funkcja y = (1 + exp(−t))⁻¹. Ekono- miczna interpretacja zale»no±ci pomi¦dzy t i y jest mo»liwa do zrozumienia jedynie po powi¡zaniu tych zmiennych z konkretnymi charakterystykami badanego systemu.

Jednocze±nie model ten, zwany krzyw¡ logistyczn¡, znalazª zastosowania w bardzo ró»nych dziedzinach nauki, np.: ekonomii w badaniach innowacji (Bass, 1969), ekonometrii przy modelowaniu wyborów dyskretnych (Greene, 2003), biologii w badaniach wzrostu populacji (Lotka, 1925) czy chemii przy opisywaniu procesu autokatalizy (Carberry, 2001).

11Por. Rozporz¡dzenie Ministra Transportu i Budownictwa z dnia 1 marca 2006 r. w sprawie warunków korzystania z uprawnie« publicznych w sieciach telefonicznych, DzU 2006, nr 42, poz.

290.12Warto tutaj wspomnie¢, »e modele zyczne byªy historycznie wykorzystywane w badaniach spo- ªecznych. Na przykªad Philips (1950) stworzyª hydrauliczny model ekonomii.

13W przypadku modeli zycznych, np. miniatury samolotu badanej w tunelu aerodynamicznym, zale»no±¢ ta jest cz¦sto ªatwa do odtworzenia.

(22)

Eksperyment

zrealnym

systemem

Eksperyment

zmodelem

systemu

Modelzy zny

Model

matematy zny

Rozwiazanie

anality zne

Symula ja

Rysunek 1.1. Mo»liwe sposoby badania wªasno±ci systemu

ródªo: Law i Kelton (1991), rysunek 1.1, s. 4.

Okrest ^Okrest + 1

Rze zywisto±¢

Model

S

E(S)

F (S)

E(F (S)) f (E(S))

Rysunek 1.2. Zale»no±¢ pomi¦dzy modelem matematycznym a systemem rzeczywistym w czasie

ródªo: Miller i Page (2007), autorska interpretacja rysunku 3.2, s. 38.

22

(23)

W zwi¡zku z tym stwierdzamy, »e mo»liwo±¢ matematycznego modelowania systemu jest nierozerwalnie zwi¡zana ze wskazaniem miar, które s¡ wykorzystywane do jego opisu. Na przykªad w modelach mikroekonomicznych s¡ to typowo ceny pro- duktów czy wolumen sprzeda»y. Z kolei w zagadnieniach makroekonomicznych posªu- gujemy si¦ takimi miarami, jak poziom PKB, inacji czy bezrobocia w gospodarce.

Okre±lenie sposobu mierzenia stanu systemu pozwala na dokonanie powi¡zania pomi¦dzy modelem matematycznym a badanym zjawiskiem¹⁴. Zale»no±¢ t¦ w modelach dynamicznych charakteryzuj¡ Miller i Page (2007); por. rysunek 1.2 (s. 22). Odwzo- rowanie E przeksztaªca stan systemu rzeczywistego w zestaw warto±ci zmiennych w modelu. W okresie pocz¡tkowym system jest w stanie S, czemu odpowiada jego reprezentacja E(S). W kolejnym okresie stan rzeczywistego systemu zmienia si¦ na F (S)i w zwi¡zku z tym jego reprezentacja w przestrzeni modelu to E(F (S)). Miller i Page (2007) przez odwzorowanie f rozumiej¡ metod¦ prognozowania stanu systemu na podstawie modelu. W przypadku stworzenia idealnej metody prognozowania b¦- dzie zachodziªa zale»no±¢ f(E(S)) = E(F (S)) dla ka»dego stanu pocz¡tkowego S.

W tym samym nurcie rozumowania Turban i Meredith (1988) charakteryzuj¡ model matematyczny jako zestaw zale»no±ci odpowiadaj¡cych na pytanie, w jaki sposób parametry modelu s¡ przeksztaªcane przez zale»no±ci matematyczne opisuj¡ce model na zmienne wynikowe (ang. result variables). Parametry modelu dzielone s¡ na zmienne decyzyjne (ang. decision variables) i zmienne niekontrolowalne (ang. uncon- trollable variables). Podej±cie to dodatkowo podkre±la fakt, »e wykorzystanie modeli w badaniach operacyjnych ma na celu gªównie wspomaganie procesu podejmowania decyzji. Model mo»na uzna¢ za warto±ciowy, je±li w sytuacji zarz¡dczej pozwala on na podejmowanie lepszych decyzji ni» dziaªanie niewsparte analitycznie (intuicyjne);

por. rysunek 1.3 (s. 24). Oznacza to w szczególno±ci, »e warto±¢ dodana uzyskana dzi¦ki modelowi nie jest okre±lona bezwzgl¦dnie, tylko relatywnie do stanu zastanego.

Jednak, jak podkre±la Davenport (2006), w obecnych czasach skala, zªo»ono±¢ i dyna- mika zmian procesów gospodarczych, z którymi stykaj¡ si¦ decydenci, powoduj¡, »e wykorzystanie narz¦dzi analitycznych do podejmowania decyzji staje si¦ nieodzownym elementem budowania przewagi konkurencyjnej przedsi¦biorstw.

Powy»sza charakterystyka modelu wskazuje na jego warto±¢ w momencie, gdy posiada on zdolno±¢ obja±niania lub prognozowania stanu badanego obiektu; por.

Samuelson i Marks (2009). Nale»y jednak podkre±li¢, »e nie jest to formalnie element denicji modelu, a jego po»¡dana cecha. Dodatkowo warto zwróci¢ uwag¦ na fakt,

»e oczekiwan¡ wªasno±ci¡ modelu matematycznego jest równie» jego przejrzysto±¢

i prostota interpretacji. Cz¦sto okazuje si¦, »e niewielkie podniesienie zdolno±ci modelu do obja±niania badanego zjawiska wi¡»e si¦ z jego istotn¡ komplikacj¡. Sytuacja ta zobrazowana jest za pomoc¡ przykªadu 1.1.

Przykªad 1.1. W niniejszym przykªadzie dokonamy porównania dwóch modeli obja±niaj¡cych aktywno±¢ na rynku pracy zam¦»nych kobiet w Szwajcarii w roku 1981.

14Warto tutaj podkre±li¢, »e nie wszystkie elementy modelu musz¡ by¢ bezpo±rednio obserwo- walne. Na przykªad w klasycznej teorii wyboru konsumenta wprowadza si¦ poj¦cie u»yteczno±ci i na jej podstawie okre±la sposób podejmowania przez niego decyzji. Nawet je±li nie jeste±my w stanie dokona¢ pomiaru u»yteczno±ci, to mo»liwa jest obserwacja podj¦tych decyzji zakupowych.

(24)

Model

Rezultaty

De yzje Sytua ja

zarz¡d za

wiatrze zywisty

wiatsymboli zny

Abstrak ja Interpreta ja

Intui ja

Rysunek 1.3. Proces wykorzystania modelu do wspomagania podejmowania decyzji

ródªo: Moore i Weatherford (2001), rysunek 1.3, s. 6.

Wykorzystane dane pochodz¡ z badania SOMIPOPS; por. Gern (1993) i Gern (1996). Binarna zmienna okre±laj¡ca status aktywno±ci badanej kobiety (^lfp) obja-

±niana jest przez jej dochody ze ¹ródeª poza prac¡ (^lnnlinc), wiek w dziesi¡tkach lat (^age), liczb¦ lat edukacji (^educ), liczb¦ dzieci w wieku do 5 lat (^nyc)¹⁵, liczb¦

pozostaªych dzieci (^noc) oraz status obywatelstwa kobiety (^foreign).

W porównaniu wykorzystano dwa algorytmy uczenia maszynowego tworz¡ce modele predykcyjne: drzewo klasykacyjne (Hothorn et al., 2006b) i lasy losowe (Hothorn et al., 2006a). Wybór tych modeli jest podyktowany tym, »e drzwo klasykacyjne jest wyj¡tkowo proste w interpretacji. Z kolei lasy losowe s¡ poª¡czeniem wielu drzew klasykacyjnych, dzi¦ki czemu maj¡ potencjalnie lepsze zdolno±ci predykcyjne kosztem utraty ªatwo±ci interpretacji postaci modelu.

Kod B.1 (s. 199) prezentuje sposób estymacji modeli i ich testowania na losowo wydzielonych podzbiorach danych. Dla drzewa klasykacyjnego mo»na dokona¢ ªa- twej wizualizacji wyniku modelowania; por. rysunek 1.4 (s. 25). Z kolei w przypadku lasu losowego charakterystyka sposobu prognozowania na podstawie modelu nie jest prosta. Mo»liwe jest jedynie przedstawienie warunkowej istotno±ci zmiennych w modelu¹⁶; por. rysunek 1.5 (s. 26).

15Dokumentacja do wykorzystanego w niniejszym przykªadzie pakietu ^Ecdat (Croissant, 2011) z systemu GNU R jako ¹ródªa danych zawiera bª¡d, niepoprawnie podaj¡c próg odci¦cia wieku dzieci na poziomie 7 lat.

16Dokªadny opis i interpretacja warunkowej istotno±ci zmiennych w modelu lasów losowych przedstawione s¡ w pracach: Strobl et al. (2007) i Strobl et al. (2008).

24

(25)

n=436

lfp^=53,44%

foreign∈ {^no}

n=325

lfp^=60,30%

nyc=⁰

n=257

lfp^=56,03%

age≤^4,9

n=180

lfp^=47,22%

lnnlinc≤^10,8

n=104

lfp^=34,62%

lnnlinc>^10,8

n=76

lfp^=64,47%

age>^4,9

n=77

lfp^=76,62%

nyc>⁰

n=68

lfp^=76,47%

foreign∈ {^yes}

n=111

lfp^=33,33%

lnnlinc≤^10,9

n=100

lfp^=28,00%

lnnlinc>^10,9

n=11

lfp^=81,82%

Rysunek 1.4. Drzewo klasykacyjne dla danych z badania SOMIPOPS

Z kolei porównanie jako±ci modeli dokonane za pomoc¡ krzywej ROC na danych testowych, por. rysunek 1.6 (s. 26), wykazuje wy»sz¡ jako±¢ modelu otrzymanego za pomoc¡ lasów losowych. Pole pod wykresem ROC¹⁷ dla drzewa klasykacyjnego wynosi odpowiednio 0,706, a dla lasów losowych 0,741. Statystyczna istotno±¢ ró»- nicy w zdolno±ci predykcyjnej modeli potwierdzona jest przez test DeLonga (DeLong et al., 1988) na poziomie istotno±ci 0,0141. W zale»no±ci od potrzeb badacza za lepszy mo»e by¢ uznany zarówno model lasów losowych, jako posiadaj¡cy wi¦ksz¡ zdolno±¢

predykcyjn¡, jak i model drzewa klasykacyjnego, jako posiadaj¡cy prostsz¡ interpretacj¦.

Identyczne jak przedstawione w przykªadzie 1.1 problemy zwi¡zane z konieczno±ci¡

wyboru pomi¦dzy ªatwo±ci¡ interpretacji i zdolno±ci¡ predykcyjn¡ modeli pojawiaj¡

si¦ przy badaniu wªasno±ci symulacji wieloagentowych za pomoc¡ metamodeli. Szcze- góªowe omówienie tych zagadnie« przedstawiono w rozdziale 3.

Oba modele skonstruowane w przykªadzie 1.1 obja±niaªy badane zjawisko w sposób

17Jest to tzw. miara AUC (ang. Area Under Cuvre), interpretowana jako prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrana obserwacja pozytywna b¦dzie wy»ej zaklasykowana przez model ni» losowo wybrana obserwacja negatywna; por. Witten i Frank (2005).

(26)

noc educ foreign nyc lnnlinc age

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Rysunek 1.5. Warunkowa istotno±¢ zmiennych w modelu lasów losowych dla danych z badania SOMIPOPS

Swoisto±¢

Czuªo±¢ 0,00,20,40,60,81,0

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

drzewo klasykacyjne las losowy

Rysunek 1.6. Porównanie krzywych ROC dla drzew klasykacyjnych i lasów losowych oszacowanych dla danych z badania SOMIPOPS

26

(27)

ilo±ciowy i pozwalaªy na wnioskowanie w kategoriach prognozowanej warto±ci zmiennej wynikowej (w tym wypadku prawdopodobie«stwa aktywno±ci zawodowej kobiet).

Cz¦sto jednak problemy gospodarcze okazuj¡ si¦ na tyle zªo»one, »e trudne jest zapewnienie mo»liwo±ci prognozowania ilo±ciowego. Wynika to z braku niezb¦dnych danych

¹ródªowych do tworzenia tego typu prognoz lub wymaganego ogromnego skompliko- wania tworzonego modelu. W takich sytuacjach rozwi¡zaniem s¡ modele, które pozwalaj¡ na prowadzenie wnioskowania jako±ciowego pozwalaj¡cego na (a) identykacj¦ kierunku wpªywu parametrów modelu na zmienne wynikowe oraz (b) wyja±nienie mechanizmów, które prowadz¡ do pojawiania si¦ tego wpªywu. Wieloagentowy model tego typu przedstawiony jest w przykªadzie 1.2.

Przykªad 1.2. W tym przykªadzie zbadany zostanie model segregacji Schellinga (Schelling, 1971). Jego implementacj¦ komputerow¡ wykorzystan¡ do analiz opraco- waª Wilensky (1997) za pomoc¡ j¦zyka NetLogo (Wilensky, 1999)¹⁸. Jak podano we wst¦pie do niniejszej pracy, jest to klasyczny model, który zapocz¡tkowaª podej±cie wieloagentowe do modelowania zjawisk gospodarczych. Model Schellinga dostarcza jedynie prognoz jako±ciowych, ale dzi¦ki temu zachowuje wysoki poziom prostoty i zapewnia ªatwo±¢ interpretacji jego konstrukcji i otrzymywanych wyników.

W niniejszym przykªadzie przedstawiona zostanie charakterystyka modelu, a nast¦pnie projekt eksperymentu symulacyjnego i jego wyniki. W zwi¡zku z tym przykªad ten sªu»y nie tylko do zobrazowania mo»liwo±ci wyci¡gania wniosków jako±ciowych z modeli matematycznych, ale równie» jako najprostsze przedstawienie procesu badania wªasno±ci modeli symulacyjnych¹⁹.

Model Schellinga ma na celu wyja±nienie procesu formowania si¦ zjawiska segregacji rasowej w przestrzeniach miejskich. Wyst¦powanie problemu segregacji zobrazo- wane jest na rysunku 1.7 (s. 28). Miasto San Francisco jest podawane jako przykªad

±rodowiska liberalnego i sªynie z kosmopolityzmu²⁰. Jednak nawet w takim mie±cie ªatwo zauwa»y¢ na rysunku wyst¦powanie silnej segregacji rasowej objawiaj¡cej si¦

przez obszary o silnym zag¦szczeniu przedstawicieli ras azjatyckich (kolor czerwony), latynoskich (»óªty), afroameryka«skich (niebieski) i kaukaskich (zielony). Model Schel- linga stara si¦ wyja±ni¢ powody wyst¦powania tego zjawiska.

Wilensky (1997) w implementacji modelu Schellinga przyjmuje nast¦puj¡ce zaªo-

»enia:

Z1) przestrze« miejska jest kwadratem o wymiarach 51×51 podzielonym na obszary;

Z2) ka»dy obszar przestrzeni miejskiej mo»e by¢ zasiedlony przez co najwy»ej jednego przedstawiciela (agenta) nale»¡cego do jednej z dwóch grup spoªecznych:

czerwonej lub zielonej, lub pozostawa¢ pusty;

Z3) na pocz¡tku symulacji zasiedlane jest ⁿ obszarów przestrzeni w sposób losowy, przy czym odsetki przedstawicieli grup spoªecznych czerwonej i zielonej s¡ równe;

18Równowa»na implementacja w j¦zyku GNU R zamieszczona jest na blogu autora ksi¡»ki:^http://

rsnippets.blogspot.com/2012/04/animating-schellings-segregation-model.html. Umo»liwia ona bardziej elastyczn¡ parametryzacj¦ modelu kosztem jego wolniejszego dziaªania.

19Szczegóªowemu omówieniu tego zagadnienia po±wi¦cony jest rozdziaª 3.

20Patrz np. Wikipedia:http://pl.wikipedia.org/wiki/San_Francisco, data pobrania 4 maja 2012.

(28)

Rysunek 1.7. Segregacja rasowa w San Francisco

ródªo: Opracowanie wªasne przy wykorzystaniu http://projects.nytimes.com/census/2010/explorer.

Z4) symulacja odbywa si¦ w sposób iteracyjny, w ka»dej iteracji agenci najpierw oce- niaj¡ swój poziom zadowolenia, a nast¦pnie przemieszczaj¡ si¦;

Z5) ka»dy agent w celu okre±lenia poziomu zadowolenia obserwuje 8 obszarów przy- legªych do jego obszaru (w pionie, poziomie i na ukos; zakªada si¦, »e wiersze 0 i 51 s¡siaduj¡ ze sob¡, podobnie dla kolumn) i sprawdza ras¦ zamieszkuj¡cych je s¡siadów; je±li odsetek s¡siadów (dla i-tego agenta oznaczmy ten procent przez si) jest mniejszy ni» oczekiwany próg^sw (ang. similar wanted), to decyduje si¦

przemie±ci¢;

Z6) agenci, którzy zdecydowali si¦ przemie±ci¢, robi¡ to w losowej kolejno±ci do losowo wybranego niezamieszkanego obszaru.

W tak zdeniowanym modelu zmienn¡ wynikow¡ jest^sp=Pn

i=1si/n(ang. similar percent) mówi¡ca o tym, jaki jest ±redni odsetek s¡siadów tego samego koloru w caªej populacji. Zmienna ta jest mierzona w dªugim okresie²¹.

Przy powy»szych zaªo»eniach w modelu segregacji badane jest, w jaki sposób zmienna^spzale»y od warto±ci parametrówⁿi^sw. W niniejszym przykªadzie przyj¦to,

»e zmienna ⁿ przyjmuje warto±ci ze zbioru {1000, 1500, 2000} odpowiadaj¡ce rosn¡- cemu poziomowi zag¦szczenia populacji, a zmienna^swze zbioru {25%, 26%, . . . , 75%}, ª¡cznie 51 mo»liwo±ci. Dla tego zakresu zmienno±ci parametrów symulacja zawsze

21Je»eli proces symulacji prowadzi do stanu ustalonego, to pomiar jest dokonywany po jego wyst¡pieniu.

28

(29)

osi¡gaªa w eksperymentach stan stabilny (zwykle po nie wi¦cej ni» 50 iteracjach, maksymalnie po 200).

Ze wzgl¦du na losowy charakter symulacji, a wi¦c:

1) losowe pocz¡tkowe rozmieszczenie agentów,

2) losow¡ kolejno±¢ zmiany miejsca zamieszkania przez agentów²², 3) losowe miejsca zmiany zamieszkania,

dla ka»dej parametryzacji symulacj¦ uruchomiono 32 razy, a podana warto±¢ wska¹- nika^spjest ±redni¡ z tych obserwacji (bior¡c pod uwag¦ stwierdzon¡ w danych zmienno±¢ wska¹nika^sppomi¦dzy uruchomieniami symulacji, mo»na szacowa¢, »e odchyle- nie standardowe tego estymatora nie przekracza 0,25% dla »adnego zestawu parame- trów). Przy podanych zaªo»eniach symulacj¦ wykonano 4896 = 3 · 51 · 32 razy.

30 40 50 60 70

60708090100

sw

sp

n1000 15002000

Rysunek 1.8. Zale»no±¢ miary ^spod parametrówⁿ i^sww modelu segregacji Schellinga

Wyniki symulacji zaprezentowano na rysunku 1.8. Mo»na z nich wyci¡gn¡¢ nast¦- puj¡ce wnioski jako±ciowe dla badanego zakresu zmienno±ci parametrów:

1) wzrost warto±ci parametru^swlub spadek warto±ci parametruⁿprowadz¡ do wzrostu warto±ci miary^sp;

2) parametr^swma znacznie istotniejszy wpªyw na wyniki ni» parametr ⁿ;

22Tak zwana asynchroniczna aktywacja agentów.

(30)

3) zale»no±¢ pomi¦dzy parametrem^swi miar¡^spma charakter progowy (np. wyst¦- puje silny skok dla poziomu parametru^swokoªo 50%);

4) znaczenie parametruⁿ jest istotniejsze dla maªych warto±ci parametru^sw; 5) warto±¢ miary^spjest znacznie wi¦ksza ni» warto±¢ parametru^sw.

adnej z powy»ej stwierdzonych zale»no±ci nie nale»y interpretowa¢ ilo±ciowo.

Natomiast ich jako±ciowy charakter jest istotny z ekonomicznego punktu widzenia.

W szczególno±ci ostatni wniosek mówi¡cy, »e nawet niewielkie warto±ci parametru^sw prowadz¡ do wysokich warto±ci miary^sp, zapewniª rozgªos modelowi Schellinga i sta- nowiª istotne wyja±nienie procesów zachodz¡cych w Stanach Zjednoczonych w latach 60. XX wieku.

Nale»y tutaj podkre±li¢, i» zastrze»enie o mo»liwo±ci wyci¡gania wniosków o wªa- sno±ciach modelu symulacyjnego tylko dla badanego zakresu zmienno±ci parametrów jest kluczowe, poniewa» modele tego typu cz¦sto charakteryzuj¡ si¦ zachowaniem silnie nieliniowym. Na przykªad w modelu segregacji dla parametryzacji ⁿ = 2000 i^sw= 76%symulacja nie osi¡ga stanu stabilnego, a poziom miary^sposcyluje w prze- dziale [51%, 56%]. W tym wypadku wysokie zag¦szczenie agentów przy jednoczesnym wysokim poziomie oczekiwa« co do liczby s¡siadów pochodz¡cych z tej samej grupy spoªecznej powoduje, »e prawie wszyscy agenci w ka»dej iteracji decyduj¡ si¦ zmieni¢

swój obszar zamieszkania. Poziom 76% oznacza, »e w przypadku 5 i wi¦cej s¡siadów tylko jeden mo»e pochodzi¢ z innej grupy spoªecznej, a dla mniejszej liczby s¡siadów wszyscy musz¡ pochodzi¢ z tej samej grupy spoªecznej w celu osi¡gni¦cia zadowolenia przez agenta. Tak wi¦c widzimy, »e zmiana parametru^swz poziomu 75% do poziomu 76%powoduje drastyczn¡ zmian¦ zachowania badanego modelu symulacyjnego.

Dodatkowo istotnym zagadnieniem, jak w przypadku ka»dego modelu, jest kwe- stia, czy zaobserwowane zale»no±ci mo»na uogólni¢ na rzeczywisty system, czy te»

s¡ to tylko artefakty modelu, wynikaj¡ce wyª¡cznie z przyj¦tych upraszczaj¡cych za- ªo»e«. W modelu segregacji takim zagadnieniem jest na przykªad skokowa zale»no±¢

pomi¦dzy parametrem ^sw a miar¡^sp. Mo»na wyja±nia¢ j¡ faktem dyskretnego charakteru modelu. Skªadaj¡ si¦ na ni¡ trzy elementy: (a) ka»dy agent obserwuje co najwy»ej 8 innych agentów w obszarach, z którymi s¡siaduje; (b) wszyscy agenci maj¡ t¦ sam¡ warto±¢ parametru ^sw; (c) decyzja agenta o przeprowadzce jest pro- gowa i jest podejmowana binarnie na podstawie speªnienia warunku si<swdla i-tego agenta. Dla stwierdzonego wcze±niej progu na poziomie^sw= 50%zauwa»amy, »e dla k ∈ {1, 2, 3, 4} agent maj¡cy 2k s¡siadów, z których k pochodzi z tej samej grupy spoªecznej co on, b¦dzie pozostawaª zadowolony i nie podejmie decyzji o przeniesieniu si¦. Natomiast dowolnie maªe zwi¦kszenie parametru^swspowoduje jego niezadowole- nie. Poniewa» opisany powy»ej warunek obejmuje stosunkowo du»¡ liczb¦ wszystkich mo»liwych przypadków kombinacji liczby wszystkich s¡siadów i liczby s¡siadów pochodz¡cych z tej samej grupy spoªecznej, to progowe zachowanie miary wynikowej spdla tej warto±ci parametru^swnie jest zaskoczeniem. Silna zale»no±¢ otrzymanego wyniku od zaªo»e« modelu sugeruje, »e odkryty progowy zwi¡zek mo»e nie przenosi¢

si¦ na system rzeczywisty. W celu werykacji tej tezy mo»liwe s¡ dwa podej±cia:

1) dokonanie modykacji modelu w celu zbadania, jak zmiana zaªo»e« (a), (b) i (c) wpªywa na wyniki symulacji;

30

(31)

2) dokonanie eksperymentu na systemie rzeczywistym w celu zbadania, czy wykazuje on zachowanie progowe.

Nietrudno zauwa»y¢, »e w przytoczonym przypadku dokonanie odpowiedniego eksperymentu na rzeczywistym systemie pozwalaj¡cego na werykacj¦ badanej hipotezy jest bardzo trudne. Natomiast modykacja modelu segregacji jest wykonalna i zostaªa przeprowadzona. Pancs i Vriend (2007) oraz Aydinonat (2007) prezentuj¡ szczegóªow¡

analiz¦ zaªo»e« tego modelu, w szczególno±ci wskazuj¡c, jak wpªywaj¡ one na otrzy- mywane wyniki, i podaj¡c ich odniesienie do rzeczywistych systemów spoªecznych.

W tym miejscu warto wróci¢ do w¡tku jako±ciowego charakteru wniosków pªy- n¡cych z modelu Schellinga. Mo»na zada¢ pytanie, jakich zmian nale»aªoby dokona¢

w modelu, aby byªa mo»liwa jego interpretacja ilo±ciowa w celach predykcyjnych. Gil- bert i Troitzsch (2005) stwierdzaj¡, »e model ten jest na tyle abstrakcyjny, »e nie jest jasne, jakie dane mogªyby by¢ wykorzystane, aby dokona¢ jego walidacji wprost.

Naturalnymi minimalnymi elementami wymagaj¡cymi zmiany w takim modelu s¡:

1) zast¡pienie kwadratowej kraty reprezentacj¡ przestrzeni geogracznej badanego obszaru miejskiego oraz okre±lenie rzeczywistej struktury zamieszkuj¡cej j¡ populacji;

2) dokonanie pomiaru siªy preferencji rasowych oraz ich rozkªadu w badanej popula- 3) okre±lenie, w jaki sposób preferencje rasowe wpªywaj¡ na podejmowanie decyzjicji;

o zmianie miejsca zamieszkania; w szczególno±ci okre±lenie, jakie inne czynniki wpªywaj¡ na zmian¦ miejsca zamieszkania (np. nansowe) i jaki jest rozkªad tych czynników w populacji;

4) dokonanie pomiaru dynamiki zmiany miejsca zamieszkania w populacji w celu okre±lenia, jakiej rzeczywistej jednostce czasowej odpowiada jeden krok w symulacji;

W zwi¡zku z powy»szymi oczekiwaniami nale»y stwierdzi¢, »e w przypadku modelu Schellinga bariera przej±cia pomi¦dzy modelem pozwalaj¡cym na wyci¡ganie wniosków jako±ciowych i ilo±ciowych jest bardzo wysoka. Jak pokazano na rysunku 1.7 (s. 28) w Stanach Zjednoczonych dost¦pne s¡ dane umo»liwiaj¡ce zast¡pienie kwadratowej kraty danymi rzeczywistymi, ale zebranie pozostaªych trzech typów informacji wymagaªoby przeprowadzenia zªo»onych i kosztownych bada« analizowanej populacji.

Podsumowuj¡c rozwa»ania z powy»szego przykªadu, mo»na stwierdzi¢, »e w celu zapewnienia ªatwo±ci budowy i interpretowalno±ci modeli w literaturze bada« operacyjnych i ekonomii akceptuje si¦ ich uproszczenie, co mo»e wr¦cz uniemo»liwi¢ ilo-

±ciow¡ interpretacj¦ ich wskaza«. Warto tutaj dodatkowo zwróci¢ uwag¦, »e prostsze modele pozwalaj¡ na wyci¡ganie mniej precyzyjnych wniosków, ale za to potencjalnie aplikowalnych do znacznie szerszego spektrum scenariuszy. W szczególno±ci w literaturze podkre±la si¦, »e im bardziej zªo»ony model, tym bardziej mo»e by¢ wra»liwy na przyj¦te zaªo»enia co do jego budowy i parametryzacji. W szczególno±ci problem ten jest istotny w zªo»onych modelach symulacyjnych; por. np. Miller (1998).

Problem zªo»ono±ci modeli bezpo±rednio wi¡»e si¦ ze sposobem badania ich wªa- sno±ci. Jak zauwa»a Fishman (1981): Badacz, podczas konstruowania modelu, stale

(32)

natraa na problem dostosowania jego szczegóªowo±ci do potrzeby otrzymania modelu speªniaj¡cego warunek rozwi¡zywalno±ci. W zwi¡zku z tym Law i Kelton (1991), por.

rysunek 1.1 (s. 22), wyró»niaj¡ dwa podstawowe sposoby podej±cia do tego problemu:

dowód analityczny i symulacj¦. Wskazuj¡ oni, »e dowód analityczny mo»liwy jest z re- guªy w modelach prostych, a w modelach zªo»onych wyliczenie takiego rozwi¡zania jest niemo»liwe lub niepraktyczne. W takich sytuacjach rekomenduj¡ stosowanie symulacji rozumianej jako wyznaczenie warto±ci zmiennych wynikowych modelu (ang.

outputs) na podstawie okre±lonych zmiennych wej±ciowych (ang. inputs)²³. Ujmu- j¡c to sformuªowanie symbolicznie, symulacja modelu matematycznego M wymaga okre±lenia przestrzeni zmiennych wej±ciowych D oraz wynikowych S i polega na wy- znaczeniu na podstawie modelu dla zadanego elementu d ∈ D odpowiadaj¡cego mu elementu zbioru S. Nale»y tutaj podkre±li¢, »e zale»no±¢ ta nie musi by¢ funkcyjna (deterministyczna) zakªadamy jedynie, »e proces symulacji pozwala na okre±lenie warto±ci zmiennych wynikowych²⁴. Jednak mo»liwe jest, »e istnieje odwzorowanie funkcyjne mi¦dzy zmiennymi wej±ciowymi D oraz wynikowymi S. Symulacje maj¡ce t¦ wªasno±¢ nazywa¢ b¦dziemy numerycznymi. Symulacje, które nie s¡ numeryczne, dla jednego parametru d ∈ D przyjmuj¡ warto±ci ze zbioru S z pewnym rozkªadem prawdopodobie«stwa i w zwi¡zku z tym b¦d¡ okre±lane jako stochastyczne. Je±li nie b¦dzie to prowadziªo do nieporozumie«, b¦d¡ one w dalszej cz¦±ci pracy nazywane po prostu symulacjami. W ko«cu je»eli proces symulacji jest przeprowadzany za pomoc¡

komputera, symulacj¦ tak¡ b¦dziemy nazywali symulacj¡ komputerow¡. W niniejszej ksi¡»ce wszystkie rozwa»ane symulacje s¡ komputerowe²⁵, wi¦c dalej okre±lenie komputerowa b¦dzie pomijane²⁶. Zale»no±ci pomi¦dzy opisanymi powy»ej metodami badania wªasno±ci modelu przedstawiono na rysunku 1.9 (s. 33).

W celu precyzyjnego zdeniowania ró»nicy mi¦dzy dowodem analitycznym i symulacj¡ rozwa»my badan¡ wªasno±¢ W wybranego modelu matematycznego M. Model M nazwiemy rozwi¡zywalnym analitycznie ze wzgl¦du na wªasno±¢ W, je±li mo»- liwe jest podanie dedukcyjnego dowodu stwierdzaj¡cego, czy jest ona prawdziwa, czy faªszywa²⁷. W porównaniu z dowodem analitycznym symulacja nie pozwala na de- dukcyjne okre±lenie prawdziwo±ci badanej wªasno±ci W. W tym podej±ciu zakªada

23Wprowadzenie do problematyki symulacji w literaturze polskiej mo»na znale¹¢ np. w pracach:

Gajda (2001), Nowak (2007) i Mielczarek (2009).

24W peªni precyzyjne matematycznie denicje poj¦¢ zwi¡zanych z symulacj¡ zaproponowane s¡

w rozdziale 3.

25Technicznie rzecz ujmuj¡c, w przypadku wykorzystania generatorów liczb pseudolosowych z okre-

±lonym ziarnem ka»da symulacja jest deterministyczna. Jednak w praktyce przyjmuje si¦, »e takie symulacje przybli»aj¡ symulacje stochastyczne. Zagadnienie to b¦dzie omówione szczegóªowo w rozdziale 2.

26W zastosowaniach in»ynieryjnych symulacje nie musz¡ by¢ komputerowe. Mo»liwe jest np. stworzenie modelu samolotu i symulacyjne badanie jego wªasno±ci w tunelu aerodynamicznym. W takiej sytuacji przy zmienianych warunkach symulacji, takich jak np. siªa wiatru, okre±lane s¡ parametry modelu, np. siªa no±na skrzydeª, na podstawie obserwacji zycznych, a nie procesu obliczeniowego.

27Przez dowód rozumiany jest sko«czony ci¡g zda« lub funkcji zdaniowych, który rozpoczyna si¦ od twierdze« przyj¦tych jako zaªo»enia (tj. od aksjomatów lub twierdze« teorii, które ju» w niej udowodniono) i zawiera zdania lub wyra»enia uzyskane z tych zaªo»e« zgodnie z prawami logiki;

por. Waliszewski et al. (1989), s. 36. Bardziej precyzyjne denicje dowodu formalnego podaj¡ np.

Rasiowa (2003) lub Rauszer (1993).

32

(33)

Zbiórmo»liwy hwªasno± imodelu Dowódanality zny

Symula janumery zna

Rysunek 1.9. Zale»no±ci pomi¦dzy podej±ciami do badania wªasno±ci modelu matematycznego

si¦, »e mo»liwe jest wielokrotne (dla ustalenia uwagi przyjmijmy, »e N-krotne) dokonanie procesu obliczeniowego wykorzystuj¡cego model matematyczny M (wykonanie symulacji modelu), w wyniku którego otrzymany jest zbiór rezultatów symulacji R ={(d¹, s1), (d2, s2), . . . , (dN, sN)}, gdzie d^k ∈ D oraz s^k ∈ S. Nast¦pnie, uwzgl¦d- niaj¡c sposób generowania zbioru R, przeprowadza si¦ na podstawie informacji w nim zawartej indukcyjn¡ werykacj¦²⁸, czy zachodzi wªasno±¢ W. W zwi¡zku z tym do werykacji zachodzenia badanej wªasno±ci W wykorzystuje si¦ nie sam model bezpo-

±rednio, lecz otrzymane za jego pomoc¡ pary (dk, sk).

Dla okre±lonego modelu matematycznego M i wªasno±ci W mo»liwe s¡ w takim razie cztery scenariusze:

S1) wªasno±¢ W mo»na zwerykowa¢ zarówno analitycznie, jak i symulacyjnie;

S2) wªasno±¢ W mo»na zwerykowa¢ jedynie analitycznie;

S3) wªasno±¢ W mo»na zwerykowa¢ jedynie symulacyjnie;

S4) wªasno±ci W nie mo»na zwerykowa¢ ani analitycznie, ani symulacyjnie.

Nale»y tutaj podkre±li¢, »e niemo»liwo±¢ werykacji analitycznej mo»e zarówno wynika¢ z obiektywnej trudno±ci problemu (nie wiadomo, w jaki sposób mo»na do- wie±¢ badanej wªasno±ci), jak i by¢ natury aplikacyjnej zagadnienie jest teoretycznie rozwi¡zywalne analitycznie, jednak koszt takiego rozwi¡zania jest tak du»y, »e jest to w praktyce niewykonalne.

W przykªadzie 1.3 przedstawione s¡ modele i ich wªasno±ci prezentuj¡ce wszystkie podane scenariusze.

28W praktyce stosowane s¡ tu metody indukcji statystycznej (wnioskowania statystycznego) pozwalaj¡ce na okre±lenie prawdopodobie«stwa speªnienia badanej wªasno±ci W pod warunkiem posia- danych obserwacji. Szczegóªowo zagadnienie to jest omówione w rozdziale 3.