Badanie wªasno±ci modelu wieloagentowego

Pierwszym obszarem trudno±ci zwi¡zanych ze stosowaniem modeli wieloagento-wych jest zagadnienie badania ich wªasno±ci. Zgodnie z rozwa»aniami przedstawio-nymi w rozdziale 1 podstawow¡ metodyk¡ stosowan¡ w tym zakresie jest symulacja.

W zwi¡zku z tym w literaturze (Leombruni, 2005) wskazuje si¦ na pojawiaj¡c¡ si¦ kry-tyk¦, »e nie jest to metoda pozwalaj¡ca na otrzymywanie dobrze udokumentowanych wyników naukowych. Istot¦ tych w¡tpliwo±ci prezentuje Axtell (2000). Stwierdza on,

»e jednokrotne wykonanie symulacji pozwala na okre±lenie warunków dostatecznych na zachodzenie badanej tezy, a nie warunków koniecznych. Jeden wynik symulacji nie pozwala na stwierdzenie, czy nawet maªa zmiana jej parametryzacji nie b¦dzie prowadziªa do odmiennych wniosków. Dodatkowo warto zauwa»y¢, »e argument ten jest jeszcze bardziej istotny w przypadku modeli stochastycznych. W tym przypadku nawet dla tej samej parametryzacji dwie niezale»ne symulacje mog¡ prowadzi¢ do ró»nych konkluzji. Problem ten zobrazowany jest w przykªadzie 2.5.

Przykªad 2.5. Rozwa»my rynek z jednym dostawc¡ dobra i N klientami. Zakªadamy,

»e sprzedawca ustala cen¦ sprzeda»y p, przy czym koszt marginalny jednej jednostki produktu wynosi 2 − q/N, gdzie q jest zrealizowanym wolumenem sprzeda»y. Ka»dy klient i ma indywidualn¡ maksymaln¡ cen¦ mi, któr¡ jest skªonny zapªaci¢ za produkt.

Zakªadamy, »e mis¡ losowane niezale»nie z rozkªadu jednostajnego na przedziale [1, 2].

Firma stara si¦ wyznaczy¢ cen¦, przy której warto±¢ oczekiwana jej zysków b¦dzie maksymalna. Zauwa»my, »e wolumen sprzeda»y wynosi q =PN

i=1[mi ≥ p]. W takim razie zadanie optymalizacyjne mo»na sformuªowa¢ nast¦puj¡co:

π(p, N ) = E ((p− 2 + q/N)q) → max . (2.7) Rozwa»my teraz kilka scenariuszy rozwi¡zania tego problemu.

W najprostszym podej±ciu analitycznym mo»na dokona¢ niewielkiej zmiany spe-cykacji modelu i rozwi¡za¢ zadanie optymalizacyjne (p − 2 + E(q)/N)E(q) → max.

Jest to podej±cie, które mo»na uto»sami¢ z przyj¦ciem zaªo»enia o wyst¦powaniu re-prezentatywnego agenta, który posiada okre±lony poziom popytu q w zale»no±ci od ceny p.

Na pocz¡tku zauwa»my, »e optymalna cena znajduje si¦ przedziale [1, 2]. Je±li p ≤ 1, to π(p, N) = N(p − 1) ≤ 0, a je±li p ≥ 1, to π(p, N) = 0. W dalszych rozwa»aniach w zwi¡zku z tym b¦dziemy zakªadali, »e p ∈ [1, 2]. Przy tym zaªo»eniu wyliczamy E(q) =PN

i=1E([mi≥ p]) = N(2 − p) i otrzymujemy:

(p− 2 + E(q)/N)E(q) = (p − 2 + N(2 − p)/N)N(2 − p) = 0. (2.8) A wi¦c uproszczenie to prowadzi do wniosku, »e niezale»nie od ceny rma osi¡gaªaby zerowe zyski.

Rozwi¡»my w takim razie problem w oryginalnej postaci:

π(p, N ) = E ((p− 2 + q/N)q) = E(q)(p − 2) + E(q²)/N = (2.9)

=−N(2 − p)²+ XN

i=1

XN j=1

E([mi≥ p][m^j ≥ p])/N =

=−N(2 − p)²+ (N− 1)N(2 − p)²/N + N (2− p)/N = (p − 1)(2 − p).

Zauwa»my, »e wyra»enie to osi¡ga maksimum dla p = 1,5 i niezale»nie od liczby klientów N mamy π(1,5, N) = 0,25.

Zanim przejdziemy do przedstawienia podej±cia symulacyjnego do badania

wªasno-±ci tego modelu, zwró¢my uwag¦, »e jego rozwi¡zanie analityczne byªo mo»liwe tylko dzi¦ki przyj¦ciu konkretnych zaªo»e« odno±nie do jego specykacji. Podej±cie takie zastosowano w celu zapewnienia mo»liwo±ci porównania wyników symulacji z dokªad-nymi wynikami analityczdokªad-nymi. Jednak nale»y tu podkre±li¢, »e nawet proste zmiany specykacji modelu, np.:

1) wprowadzenie oceny nie warto±ci oczekiwanej wypªaty, lecz warto±ci oczekiwanej jej nieliniowej u»yteczno±ci,

2) wykorzystanie do oceny scenariusza jej 5-tego percentyla⁷⁹,

b¦d¡ prowadziªy do du»ych trudno±ci ze znalezieniem jego rozwi¡zania analitycznego.

W takich sytuacjach w celu zachowania mo»liwo±ci analitycznego badania modelu mo»na zmieni¢ jego specykacj¦, tak jak w przedstawionym przykªadzie wykorzystu-j¡cym agenta reprezentatywnego. Niestety, jak wykazano, podej±cie takie mo»e pro-wadzi¢ do niepoprawnych wniosków. Drugim rozwi¡zaniem jest zastosowanie metod symulacyjnych. W zale»no±ci od zªo»ono±ci modelu mo»e by¢ mo»liwe wykorzystanie symulacji numerycznej lub stochastycznej.

W niniejszym przykªadzie posªu»ymy si¦ symulacj¡ stochastyczn¡, poniewa» taka jest najcz¦±ciej wykorzystywana do badania modeli wieloagentowych. Symulacja ta jest przedstawiona w kodzie B.4 (s. 201). Skªada si¦ ona z dwóch funkcji:^sim.demand, która dla okre±lonego p i N podaje wygenerowan¡ pseudolosowo warto±¢ popytu q,

79Warto±¢ ta jest bezpo±rednio zwi¡zana z popularn¡ w matematyce nansowej miar¡ tzw. warto±ci zagro»onej (VaR, ang. Value at Risk); por. np. Dowd (2005).

70

oraz ^sim.profit, która na tej podstawie wyznacza wielko±¢ zysku rmy. Nie jest do dokªadnie warto±¢ wyra»enia π(p, N), poniewa» zostaªo ono zdeniowane jako warto±¢

oczekiwana zysku, ale jedna obserwacja z rozkªadu zysku dla zadanych parametrów pi N.

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

−0,50,51,52,5

1 obserwacja na punkt

p

π(p,N)

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

0,000,100,20

10 000 obserwacji na punkt

p

π(p,N)

Linia czerwona prezentuje rozwi¡zanie analityczne modelu.

Rysunek 2.5. Wyniki symulacji modelu rynku z przykªadu 2.5 dla N = 10

Rysunek 2.5 przedstawia wyniki symulacji modelu dla N = 10 w 11 punktach p∈ {1, 1,1, 1,2, . . . , 2}. Po lewej stronie zaprezentowane s¡ wyniki jednokrotnej symu-lacji w ka»dym punkcie  zmienna ^pi.1w kodzie B.4 (s. 201), a po prawej ±rednia z 10 000 powtórze« symulacji w ka»dym punkcie i jej 95-procentowy przedziaª

ufno-±ci⁸⁰  zmienne ^pi.10000 i ^ciw w kodzie B.4 (s. 201)). Jak ªatwo zauwa»y¢, por.

tak»e Axtell (2000), jednokrotna symulacja modelu stochastycznego nie pozwala na prowadzenie prawidªowego wnioskowania o wªasno±ciach badanego modelu. Zastoso-wanie 10 000 symulacji w ka»dym punkcie pozwala na lepsze oszacoZastoso-wanie tej

zale»no-±ci, cho¢ dªugo±¢ wyznaczonych 95-procentowych przedziaªów ufno±ci nie pozwala na w peªni precyzyjne wnioskowanie. W badanej próbie punkt 1,4 ma najwi¦ksz¡ war-to±¢ oszacowanej ±redniej i mo»emy jedynie intuicyjnie stwierdzi¢, »e prawdopodobnie maksimum funkcji le»y w zakresie [1,4, 1,6] zmienno±ci parametru p. Dodatkowo do-konanie symulacji modelu jedynie w 11 punktach nie daje informacji o mo»liwym sposobie zachowania si¦ symulacji w punktach, które nie zostaªy poddane badaniu.

W szczególno±ci nie byª zbadany wpªyw parametru N na wyniki. Tego typu problemy z wnioskowaniem na podstawie wyników symulacji wieloagentowych prowadz¡ wªa±nie do krytyki, któr¡ przywoªuje Leombruni (2005).

80W celu wyznaczenia przedziaªów ufno±ci rozkªadu ±redniej z próby zastosowano jego aproksy-macj¦ rozkªadem normalnym, co jest uzasadnione wielko±ci¡ zastosowanej próby; por. np. Höglund (1991).

Tabela 2.1. Wynik oszacowania regresji liniowej dla modelu rynku z przykªadu 2.5 Parametr Wspóªczynnik Bª¡d standardowy t Studenta Warto±¢ p

const −2,0685 0,041608 −49,715 0,0000

p 3,0878 0,055765 55,372 0,0000

p² −1,0276 0,018149 −56,618 0,0000

N 1,7603/10⁵ 5,5528/10⁵ 0,317 0,7512

W rozdziale 3 omówiono metody radzenia sobie w takich sytuacjach. W szczegól-no±ci prezentowany tutaj model b¦dzie dalej analizowany w przykªadach 3.5 (s. 113) i 3.6 (s. 116). Tutaj, dla kompletno±ci prezentacji, przedstawimy najprostsze mo»liwe podej±cie do tego zagadnienia. Polega ono na wykonaniu jednokrotnej symulacji dla ka»dego punktu z kraty (p, N) ∈ {1, 1,0001, . . . , 2} × {1, 2, . . . , 100} zgodnie z tzw.

peªnym planem wieloczynnikowym (ang. full factorial design; por. np. Kleijnen et al., 2005). Na podstawie wyników symulacji (1 000 100 obserwacji) dokonane zostanie oszacowanie regresji:

π = α0+ α1p + α2p²+ α3N. (2.10) Wyniki estymacji tego równania przedstawiono w tabeli 2.1. Ze wzgl¦du na heteroske-dastyczno±¢ skªadnika losowego⁸¹podane w tabeli oszacowania bª¦dów s¡ skorygowane o ten efekt (Long i Ervin, 2000). Oczywi±cie  na podstawie wyników analitycznych

 wiadomo, »e model posiada prawidªowo wyspecykowane zmienne obja±niaj¡ce⁸², co równie» potwierdza test RESET (Ramsey, 1969).

Wykorzystuj¡c otrzymane oszacowania, mo»na wyznaczy¢ optymaln¡ warto±¢ ceny p ≈ 1,5025 i jej 95-procentowy przedziaª ufno±ci [1,4980, 1,5068], co jest warto±ci¡

bardzo blisk¡ warto±ci prawidªowej. Dodatkowo zwró¢my uwag¦ na fakt, »e zmienna N  zgodnie z wynikami analitycznymi  nie jest istotna w modelu (chocia» w istotny sposób obja±nia ona heteroskedastyczno±¢ skªadnika losowego w modelu). Porównanie oszacowania funkcji π(p, N) otrzymanej na podstawie regresji liniowej oraz rozwi¡za-nia analitycznego przedstawiono na rysunku 2.6 (s. 73) dla N = 50. Stwierdzamy, »e otrzymane oszacowanie jest bardzo dobre.

Zastosowane podej±cie jest typowym przykªadem metamodelowania, poniewa» mo-del regresji liniowej ma za zadanie opisywa¢ wyniki symulacji wieloagentowej. W tym konkretnym przykªadzie metamodel zostaª wykorzystany w celach optymalizacyjnych

 okre±lenia optymalnej ceny p. Szczegóªowe omówienie technik metamodelowania oraz klasykacj¦ mo»liwych celów stosowania metamodeli zawarto w rozdziale 3.

W tym miejscu warto jedynie wskaza¢ na trzy zagadnienia zwi¡zane z tego typu podej±ciem:

81Mo»na j¡ np. zauwa»y¢ po prawej stronie rysunku 2.5 (s. 71). Jest ona równie» silnie wskazy-wana przez testy heteroskedastyczno±ci; np. studentyzowany test BreuschaPagana (Koenker, 1981) odrzuca hipotez¦ zerow¡ o homoskedastyczno±ci na poziomie istotno±ci < 10⁻¹⁵.

82Ze wzoru (2.9) wiemy, »e prawdziwe warto±ci parametrów to α0= −2, α1= 3i α2= −1.

72

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

0,000,050,100,150,200,25

p

π(p,N)

Przerywana linia czerwona prezentuje rozwi¡zanie analityczne modelu.

Rysunek 2.6. Wyniki zastosowania regresji liniowej dla modelu rynku z przykªadu 2.5

1) otrzymane wyniki s¡ poparte obserwacjami dla [p, N] ∈ [1, 2] × {1, 2, . . . , 100}

i tylko w tym przedziale mo»na wykorzystywa¢ metamodel; jak wiemy z wyni-ków analitycznych, dla p /∈ [1, 2] kwadratowa zale»no±¢ oczekiwanego zysku od ceny przestaje obowi¡zywa¢ i otrzymany metamodel generowaªby nieprawidªowe prognozy;

2) w tym konkretnym przypadku specykacji modelu regresji liniowej dokonano, zna-j¡c odpowiedni¡ posta¢ analityczn¡ relacji mi¦dzy zmiennymi  zwykle takie wskazówki dla specykacji nie s¡ dost¦pne;

3) mimo potwierdzenia prawidªowej specykacji, np. za pomoc¡ testu RESET, jest mo»liwe, »e model symulacyjny zachowuje si¦ niezgodnie z prognozami metamo-delu poza punktami kratowymi wykorzystanymi do jego estymacji⁸³.

Przykªad 2.5 wskazaª na typowe problemy zwi¡zane z wykorzystaniem podej±cia symulacyjnego do badania wªasno±ci modelu wieloagentowego. Problemy te charakte-ryzuje Judd (2006), stwierdzaj¡c, »e symulacja mo»e odpowiedzie¢ na pytanie, co mo»e si¦ zdarzy¢, w przeciwie«stwie do rozwi¡zania analitycznego, które je±li istnieje, mówi, co si¦ zdarzy. Widzimy te», »e rozwa»anie sko«czonego zbioru przypadków w symulacji kontrastuje z typowo badanym continuum przypadków w rozwi¡zaniu analitycznym.

W szczególno±ci nie jest pewne, czy symulacja zachowuje si¦ w podobny sposób w

lo-83Ten przykªad zostaª tak dobrany, »e rozwi¡zanie analityczne wskazuje, i» tak nie jest, ale w ogól-no±ci rozwi¡zanie analityczne modelu symulacyjnego nie jest dost¦pne.

kalnym otoczeniu przebadanych punktów. Jednak jak zauwa»a Judd (2006), i jest to uwidocznione w przykªadzie 2.5, wyniki analityczne mo»na otrzyma¢ z reguªy tylko dla bardzo uproszczonej specykacji modelu. Badanie symulacyjne pozwala na wyja±nia-nie wªasno±ci modelu w punktach przestrzeni, dla których wyja±nia-nie jest znane rozwi¡zawyja±nia-nie analityczne. Cz¦sto okazuje si¦, »e aby zapewni¢ analityczn¡ rozwi¡zywalno±¢ modelu, przyjmuje si¦ nierealistyczne zaªo»enia odno±nie do jego specykacji⁸⁴. W zwi¡zku z tym kontrastowanie metod analitycznych z symulacyjnym badaniem wªasno±ci mo-delu Judd (2006) sprowadza do decyzji, czy wi¦kszym problemem jest wyst¦powa-nie bª¦du numerycznego w przypadku symulacji, czy bª¦du specykacji dla rozwi¡za«

analitycznych. Nale»y jednak pami¦ta¢, »e ten punkt widzenia jest uproszczony. Po pierwsze  w modelach symulacyjnych równie» mo»na si¦ spodziewa¢ wyst¦powania bª¦dów specykacji, aczkolwiek mog¡ by¢ one mniejsze, poniewa» metody symula-cyjne nakªadaj¡ mniejsze restrykcje na sposób sformuªowania modelu. Po drugie  co b¦dzie omawiane w dalszej cz¦±ci tego rozdziaªu  w modelach wieloagentowych w stosunku do modeli analitycznych wyst¦puje wi¦ksze ryzyko bª¦du implementacji (niezgodno±ci faktycznego sposobu dziaªania modelu z intencj¡ jego autora).

Je»eli chodzi o niepewno±¢ co do zachowania symulacji w lokalnym otoczeniu prze-badanych punktów, wielu badaczy, np. Richiardi (2012), Gallegati i Richiardi (2009), Leombruni (2005), podnosi nast¦puj¡cy argument. Jest mo»liwe, »e model wieloagen-towy generuje nietypowe wyniki, ale je±li stwierdzimy, »e jest to zjawisko rzadkie, to nie b¦dzie to z reguªy kluczowe dla wniosków z niego wyci¡ganych⁸⁵. Ta sama uwaga oczywi±cie mo»e by¢ zastosowana w przypadku dopasowania metamodeli do wyników symulacji modelu wieloagentowego. Rozszerzaj¡c ten argument, mo»na zauwa»y¢, »e dokªadnie ten sam problem napotykamy w badaniu danych empirycznych zebranych na podstawie obserwacji rzeczywistych procesów gospodarczych. Nie ma pewno±ci, »e zaobserwowane zachowania rynkowe pozostan¡ niezmienione przy niewielkich zmia-nach warunków funkcjonowania badanych podmiotów. Co wi¦cej, w tym zakresie ba-danie symulacyjne ma istotn¡ zalet¦. Je±li zachodzi potrzeba bardziej dokªadnego przebadania zachowania modelu w jakim± zakresie parametryzacji, to zawsze mo»liwe jest wykonanie dodatkowych symulacji i zebranie wymaganych danych. Tego typu procedury z reguªy nie mo»na zastosowa¢ w systemach rzeczywistych. W szczegól-no±ci Miller (1998) proponuje procedur¦ aktywnych testów nieliniowych (ANT, ang.

Active Nonlinear Testing), która ma za zadanie wykrywanie i badanie nietypowych zachowa« symulacji wieloagentowych.

Drugie zagadnienie wskazane w przykªadzie 2.5 zwi¡zane jest ze stochastyczn¡

natur¡ symulacji wieloagentowych. Jak podaje Banks (1998b), wyniki takich symu-lacji cz¦sto mog¡ by¢ trudne w interpretacji, poniewa» mo»e si¦ okaza¢, »e skªadnik losowy w znacznym stopniu zaburza otrzymane wyniki. W przykªadzie 2.5 nawet dla 10 000 replikacji symulacji w punkcie przedstawione na prawej stronie rysunku 2.5 (s. 71) przedziaªy ufno±ci s¡ szerokie w stosunku do ksztaªtu opisywanej krzywej.

84Taki przykªad dla modelu rynku telekomunikacyjnego omawiany jest szeroko w cz¦±ci II pracy.

85Wyj¡tkiem od tej reguªy s¡ modele, których celem jest wªa±nie modelowanie sytuacji ekstremal-nych i nietypowych. Dodatkowo nale»y pami¦ta¢, »e w takich sytuacjach nale»y zawsze precyzyjnie sformuªowa¢, co to znaczy, i» nietypowe wyniki s¡ rzadkie.

74

Odpowiedzi¡ na ten problem jest stosowne projektowanie eksperymentu symulacyj-nego i analiza jego wyników. Metodyka zapewniaj¡ca poprawne wnioskowanie w tym zakresie jest dobrze zbadana i opisana w literaturze symulacyjnej; por. np. Kleijnen (1998), Robinson (1999), Kleijnen et al. (2005), Asmussen i Glynn (2007). Nale»y jednak pami¦ta¢, co podkre±la Bonabeau (2002), »e prawidªowe wykonanie takiego badania, zwªaszcza w zªo»onych modelach symulacyjnych, mo»e wymaga¢ bardzo

du-»ych zasobów mocy i przestrzeni obliczeniowej. Na szcz¦±cie w zwi¡zku z rosn¡cymi mo»liwo±ciami i dost¦pno±ci¡ komputerów zagadnienie to staje si¦ z ka»dym rokiem coraz mniej problematyczne.

Podsumowuj¡c omówienie zagadnienia badania wªasno±ci symulacji wieloagento-wych, podkre±lmy za Juddem (2006), »e ze wzgl¦du na du»¡ ilo±¢ danych genero-wanych w tym procesie i ich stochastyczn¡ natur¦ problem prawidªowego przepro-wadzenia takiego badania i wªa±ciwego zakomunikowania jego wyników jest trudnym zagadnieniem i pozostaje w centrum wyzwa« teorii symulacji wieloagentowych. Z tego wzgl¦du w niniejszej pracy rozdziaª 3 po±wi¦cony jest wyª¡cznie temu zagadnieniu.