LANGE GOLVEN IN LEIDINGEN
D E E L I
Vloeistofmechanica college b 73 A
33I M VER 1211
LANGE GOLVEN I N LEIDINGEN
DEEL I
D i k t a a t V l o e i s t o f m e c h a n i c a C o l l e g e b 73 A
D i k t a a t V l o e i s t o f m e c h a n i c a College b 73 A
LANGE GOLVEN IN LEIDINGEN
INHOUD
DEEL I
Hoofdstuk 1 DE MASSAVERGELIJKINGEN
1.1. De continuïteitsvergelijkingen
1.2. De v e r s n e l l i n g s v e r g e l i j k i n g ( b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g ) .
Hoofdstuk 2 DE GOLFVERGELIJKINGEN VOOR "OPEN" VLOEISTOFLEIDINGEN
2.1. De t o e s t a n d s v e r g e l i j k i n g e n .
2.2. De g o l f v e r g e l i j k i n g e n voor p r i s m a t i s c h e " o p e n ' v l o e i -s t o f l e i d i n g e n (d.w.z. v r i j e w a t e r -s p i e g e l ) .
Hoofdstuk 3 DE GOLFVERGELIJKINGEN VOOR GESLOTEN LEIDINGEN
3.1. De t o e s t a n d s v e r g e l i j k i n g e n .
3.2. De g o l f v e r g e l i j k i n g e n voor g e s l o t e n l e i d i n g e n .
Hoofdstuk ENIGE OPLOSSINGSMETHODEN VOOR PROBLEMEN WAARBIJ DE GOLFVERGELIJKINGEN STERK MOGEN WORDEN VEREENVOUDIGD
i4.1. I n l e i d i n g
M-.2. De z.g. kombergingsbeschouwing
4.3. Voorbeelden van berekeningen b e t r e f f e n d e een r e l a t i e f k o r t bekken.
Een benaderingsmethode voor hoogwatergolven. M-.5. Een benaderingsmethode voor z.g. t r a n s l a t i e g o l v e n .
DEEL I I d i t d e e l z a l bestaan u i t twee hoofdstukken
Hoofdstuk 5 INTEGRATIE M.B.V. KARAKTERISTIEKEN
Hoofdstuk 6 DE HARMONISCHE METHODE
B e t r e f f e n d e d i t d e e l z a l v o o r l o p i g worden g e w e r k t met twee l o s s e g e d e e l t e n , d i e op kamer O96 v e r k r i j g b a a r z i j n .
L i j s t van synüjolen
A = o p p e r v l a k t e van h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l m 2
B = kombergmgsoppervlakte m 1
C = coëff. van de Chezy m^/s D = inwendige diameter van een ronde b u i s m
2 E = e l a s t i c i t e i t s m o d u l u s van b u i s m a t e r i a a l N /m
H = e n e r g i e - n i v e a u m I = h e l l i n g s h o e k van een b u i s o f bodem ( I , ) 1
K = kompressiemodulus van h e t stromende medium N /m
K, Kj, K, k r a c h t N L - l e n g t e van een gedeelte van een l e i d i n g (vak o f s e k t i e ) m
3 , Q = d e b i e t m /s R = h y d r a u l i s c h e s t r a a l m 3 V = volume m b = bergende b r e e d t e m b - stroomvoerende b r e e d t e m s c = v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d m/s f = z i j d e l i n g s t o e - o f afgevoerde h o e v e e l h e i d per m' per s m/s
-2 g = v e r s n e l l i n g zwaartekracht N/kg = m/s h = w a t e r s t a n d gemeteh^bodem m 1 = l e n g t e m m, m , m = massa kg 2 p, p', p'' = druk N/m pn = piëzometrisch n i v e a u , pn = z + p/pg m s = o n a f h a n k e l i j k v a r i a b e l e plaatscoördinaat i n de
stroom-r i c h t i n g (as van een b u i s ) m t = o n a f h a n k e l i j k v a m b e l e t i j d s u = s n e l h e i d (-scomponent i n de s t r o o m r i c h t i n g ) m/s
V = (gem.)snelheid i n de s - r i c h t i n g van h e t stromende medium m/s w = d i k t e van een buiswand
X, y en z plaatscoördinaten
a = hoek, coëfficiënt, exponent (aangegeven)
3
Hoofdstuk 1 DE MASSAVERGELIJKINGEN 1.1. DE CONTINUÏTEITSVERGELIJKING 1.1.1. A f l e i d i n g volgens E u l e r 1.1.2. A f l e i d i n g volgens Lagrange 1.2. DE VERSNELLINGSVERGELIJKING (BEWEGINGSVERGELIJKING) 1.2.1. A f l e i d i n g volgens Lagrange 1.2.2. A f l e i d i n g volgens E u l e r
1.1.
Hoofdstuk 1 DE MASSAVERGELIJKINGEN
1.1. DE CONTINUÏTEITSVERGELIJKING.
1.1.1. A f l e i d i n g volgens de beschouwingswijze van E u l e r .
I n de beschouwingswijze van E u l e r w o r d t de massabalans o p g e s t e l d voor een r u i m t e l i j k v a s t g e l e g d volume. Deze balans i s :
3
— (massa i n v a s t volume) = ( i n s t r o m i n g - u i t s t r o m i n g ) per t i j d s e e n h e i d .
a t
De i n - en u i t s t r o m e n d e massa moet dan worden gesommeerd over het t o t a l e r u i m t e l i j k o p p e r v l a k , dat h e t volume i n s l u i t .
Voor de êen-dimensionale waterbeweging, d i e h i e r wordt behandeld ( l a n g e g o l v e n i n l e i d i n g e n ) wordt a l s volume een r u i m t e l i j k e "moot" gekozen, die h e t gehele d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l omvat en i n de s t r o o m r i c h t i n g een ( c o n s t a n t e ) l e n g t e ds h e e f t . I n b e g i n s e l wordt de b o v e n z i j d e van de r u i m t e l i j k e moot boven de hoogste w a t e r s t a n d g e l e g d , zodat w i j n i e t a f z o n d e r l i j k r e k e n i n g behoeven t e houden met massa, d i e door de bovenbegrenzing s t r o o m t . Doet men d i t n i e t , dan moet de b e r g i n g a l s a f z o n d e r -l i j k e u i t s t r o m i n g worden meegenomen en h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e -l A c o n s t a n t worden gehouden.
Opm. L a t e r kan worden nagegaan dat de e e r s t e term van ( l - l ) dan w o r d t g e s p l i t s t i n twee termen, d i e samen h e t z e l f d e weergeven.
f i g . l l
-Hoewel de waterbeweging a l s een-dimensionaal wordt beschouwd, w i l men t o c h ook vaak r e k e n i n g houden met z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r van massa. B i j een r i v i e r wordt deze v e r o o r z a a k t door een v e r s c h i l tussen bergende en stroomvoerende b r e e d t e . Het gebied t u s s e n de k r i b b e n wordt dan b i j h e t op en neer gaan van de w a t e r s t a n d i n de r i v i e r wel g e v u l d en g e l e d i g d , doch o v e r i g e n s b l i j f t de t e berekenen waterbeweging b e p e r k t t o t h e t e i g e n l i j k e r i v i e r b e d .
1.2.
Door e n e r z i j d s de waterbeweging a l s eendimensionaal t e beschouwen, doch a n d e r z i j d s wel r e k e n i n g t e houden met z i j d e l i n g s e b e r g i n g wordt dus voor v e e l g e v a l l e n een inconsequente maar p r a c t i s c h goed b r u i k b a r e o p l o s s i n g verkregen.
I n b e g i n s e l kan men z i c h n a t u u r l i j k ook nog andere vormen van z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r denken. Z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r wordt daarom i n algemene z i n nu g e d e f i n i e e r d a l s de h o e v e e l h e i d , d i e per t i j d s e e n h e i d en per
strekkende meter (gemeten i n de r i c h t i n g van de hoofdstroom) i n h e t door-s t r o m i n g door-s p r o f i e l wordt gebracht o f d a a r u i t wordt afgevoerd. D e r g e l i j k e d e b i e t e n worden vaak met de l e t t e r q aangeduid. I n d i t g e v a l wordt h i e r -voor e c h t e r de l e t t e r f gekozen, omdat anders g e m a k k e l i j k v e r w a r r i n g zou kunnen o n t s t a a n met de a f v o e r per eenheid van breedte van een r i v i e r , d i e n a t u u r l i j k j u i s t a l s "hoofdstroom" moet worden beschouwd..
De massa, d i e over de a f s t a n d ds z i j d e l i n g s t o e s t r o o m t i s dan: p . f . d s . Omdat deze d e f i n i t i e alléén de t o e s t r o m i n g b e t r e f t z a l f een n e g a t i e v e waarde k r i j g e n , i n d i e n er sprake i s van z i j d e l i n g s e a f v o e r .
Op deze w i j z e wordt de a f l e i d i n g algemeen gehouden. L a t e r kan dan voor i e d e r e vorm van z i j d e l i n g s e t o e v o e r de u i t d r u k k i n g voor f worden a f g e -l e i d , d i e op dat s p e c i f i e k e g e v a -l van t o e p a s s i n g i s . De a f -l e i d i n g van de continuïteitsvergelijking v e r l o o p t nu a l s v o l g t :
Noemen .wij de o p p e r v l a k t e van h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l A, dan i s de massa binnen de beschouwde moot:
t e n t i j d e t : p.A.ds
t e n t i j d e ( t + d t ) : (p.A + d t ) ds
toename : — r — — . ds . a t
O
V
D i t moet g e l i j k z i j n aan het v e r s c h i l van de i n - r e s p . uitgestroomde massa. Duiden w i j de over h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l gemiddelde s n e l h e i d met v aan, dan i s :
l i n k s ingestroomd: p.v.A.dt
r e c h t s u i t g e s t r o o m d : (p.v.A + ,^(P •'^•A) ^ . j .
o S
z i j d e l i n g s e t o e v o e r : p . f . d s . d t
me.er u i t - dan ingestroomd: '"^'A) ^^jg.dt - p . f . d s . d t ,
O S
zodat de c o n t i n u i t e i t s v o o r w a a r d e (massabalans) w o r d t :
i ( £ ^ = _ p . f ) , o f
1.3.
(1-1)
3t 8s
w a a r i n p . f = z i j d e l i n g s e t o e v o e r van massa per strekkende meter en per t i j d s e e n h e i d .
Opmerking: I n d i e n er geen z i j d e l i n g s e toevoer o f a f v o e r i s wordt f = O, B i j z i j d e l i n g s e a f v o e r moet f een negatieve waarde k r i j g e n .
I n het volgende h o o f d s t u k z a l b i j h e t a f l e i d e n van de "toestandsverge-l i j k i n g e n " voor open "toestandsverge-l e i d i n g e n een v o o r b e e "toestandsverge-l d worden gegeven van h e t bepalen van f .
Omdat i n v g l . (1-1) nog n i e t i s aangegeven dat — = O g e l d t deze v g l . ook nog voor n i e t - p r i s m a t i s c h e l e i d i n g e n .
1.1,2. A f l e i d i n g volgens de beschouwingswijze van Lagrange.
Volgens de beschouwingswijze van Lagrange wordt een bepaalde massa v l o e i s t o f beschouwd, d i e i n de t i j d w o r d t " g e v o l g d " . H i e r b i j , w o r d t dus
een bewegende "moot" v l o e i s t o f g e v o l g d , waarvan de l e n g t e ds n i e t meer constant b e h o e f t t e z i j n .
Zonder z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r i s de c o n t i n u i t e i t s v o o r w a a r d e dan:
d(p.A.ds) = O
Met z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r wordt d i t :
d(p.A.ds) = z i j d e l i n g s e t o e v o e r over de l e n g t e ds i n het t i j d s i n t e r v a l d t , De z i j d e l i n g s e toevoer kan weer worden u i t g e d r u k t i n f . H i e r u i t v o l g t : d(p.A.ds) = p . f . d s . d t , o f :
(1-2) d(p.A.ds)
dt p . f . d s .
Met behulp van de r e g e l voor het differentiëren van producten gaat h e t e e r s t e l i d van deze v e r g e l i j k i n g over i n :
d(p.A.ds) _ d(p.A) .d(ds) ~ ~ d t d t ^ P d t
„ 4- • d ( d s ) „
Wat I S —r - — ? dt
D i t i s n i e t s anders dan de v e r a n d e r i n g van de l e n g t e ds per t i j d s e e n h e i d . Omdat de watersnelheden aan de l i n k e r r e s p . r e c h t e r b e g r e n z i n g van de beschouwde massa v e r s c h i l l e n d z i j n v e r a n d e r t ds inderdaad.
1.4.
Per seconde s c h u i f t de l i n k e r b e g r e n z i n g van de beschouwde massa dus een a f s t a n d v op, t e r w i j l de r e c h t e r b e g r e n z i n g z i c h over een a f s t a n d ( v + ds) v e r p l a a t s t . H i e r u i t v o l g t dus:
dS
(1-3) d ( d s ) ^ 9v d t 9s Hiermede wordt dus:
dizA^-_
^3 . % A ) |v _
dt d t d s
zodat de continuïteitsvergelijking wordt:
Omdat p en A een f u n c t i e van s en t kunnen z i j n kan de e e r s t e term worden u i t g e s c h r e v e n a l s :
d(p.A) _ 3(p.A) ds 9(p.A) dt 9s d t 3t
ds Omdat de massa i n de t i j d wordt gevolgd moet m deze f o r m u l e ^ - v worden g e s t e l d , waarmede de continuïteitsvergelijking overgaat i n :
Door samenvoeging van de e e r s t e twee termen van deze v e r g e l i j k i n g o n t s t a a t dan weer v e r g e l i j k i n g ( 1 - 1 ) .
Opmerking: I n de beschouwingswijze van Lagrange wordt a l s symbool voor de t o t a l e d i f f e r e n t i a a l vaak de h o o f d l e t t e r D g e b r u i k t i n p l a a t s van de l e t t e r d. D i t gebeurt dan a l l e e n om aan t e geven, d a t z i j met de massa meebewegen, zodat ^ = v moet worden g e s t e l d . De l e t t e r D b e t e k e n t dus h e t z e l f d e a l s de l e t t e r d, doch i m p l i c e e r t a l l e e n de voorwaarde rr— - v.
1.5.
1.2. DE VERSNELLINGSVERGELIJKING (BEWEGINGSVERGELIJKING)
1.2.1. A f l e i d i n g volgens de beschouwingswijze van Lagrange
+ S
horizontaal f i g - 1.12.
De impulswet wordt toegepast i n de r i c h t i n g van de hoofdstroom ( s - r i c h t i n g ! ) . Voor een b u i s l e i d i n g i s d i t de as van de b u i s . Voor een open l e i d i n g de bodem.
Volgens de beschouwingswijze van Lagrange wordt een bepaalde massa v l o e i -s t o f be-schouwd, d i e i n de t i j d wordt g e v o l g d . Wij nemen daarom een "moot", d i e h e t gehele d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l (_Ls-as) omvat en i n de s - r i c h t i n g een l e n g t e ds h e e f t ( z i e f i g . 1.2.).
De k r a c h t e n
Om de u i t w e n d i g a a n g r i j p e n d e normaalkrachten t e bepalen, wordt de moot v e r d e e l d i n h e t p r i s m a t i s c h e g e d e e l t e ABCD en h e t d a a r b u i t e n gelegen g e d e e l t e ABE ( z i e f i g . 1.2.). De r e s u l t e r e n d e normaalkracht op h e t p r i s m a t i s c h e g e d e e l t e i s dan: - I f - dA - ds 3£ 9s dA Opmerking: De l e n g t e ds i s n i e t c o n s t a n t i n de t i j d . Omdat h i e r p a r t i e e l over h e t d w a r s p r o f i e l wordt geïntegreerd mag ds t o c h b u i t e n h e t i n t e g r a a l -t e k e n worden gehaald. De k r a c h -t K^ z a l i n h e -t -t i j d s i n -t e r v a l d -t w e l verande-r e n , doch i n de l i m i e t o v e verande-r g a n g d t O n a d e verande-r t ook deze v e verande-r a n d e verande-r i n g t o t n u l en s p e e l t dus geen r o l t e n o p z i c h t e van K-\ z e l f .
1.6, normaalkracm'*' (P'-dl3f^)cos4) stukje om trek = dl +s f i g - I . 3 . De r e s u l t e r e n d e k r a c h t op h e t d a a r b u i t e n gelegen g e d e e l t e i s volgens f i g - 3: d l . ds . cotgc} d l ds . cotE
H i e r i n i s p' de over h e t oppervlak gemiddelde normaaldruk en p" de druk aan de r e c h t e r z i j d e . I n de l i m i e t o v e r g a n g ds O wordt p' = p", zodat de beide r e s u l t e r e n d e k r a c h t e n e l k a a r o p h e f f e n .
Men kan d i t ook z i e n door p' en p" op de g e b r u i k e l i j k e w i j z e u i t t e s c h r i j v e n
p" = p + |£ ds en p' = p + 1 ||- ds
D u i d e l i j k i s nu t e z i e n d a t voor ds ^ O ook p' p" H i e r u i t v o l g t dus:
Opmerking: Deze a f l e i d i n g g e l d t n i e t a l l e e n voor vaste wanden, maar ook voor h e t v r i j e oppervlak i n een r i v i e r . I n d i t g e v a l i s de normaaldruk p' g e l i j k aan de a t m o s f e r i s c h e d r u k , d i e g e w o o n l i j k g e l i j k wordt g e s t e l d aan n u l . D i t l a a t s t e i s e c h t e r n i e t n o o d z a k e l i j k . De beide k r a c h t e n v a l l e n i n de l i m i e t o v e r g a n g ds O a l t i j d tegen e l k a a r weg.
Als inwendig a a n g r i j p e n d e k r a c h t werkt de z w a a r t e k r a c h t . Noemen w i j de hoek waarmee de bodem h e l t 1^^ (oplopend i n pos. s - r i c h t i n g p o s i t i e f ) , dan i s de component van h e t gewicht van de moot i n de s - r i c h t i n g ( z i e f i g . 1 . 2 ) :
K3 = - s i n I ^ A s i n I , p.g.ds.dA, o f ds . p . dA A f g e z i e n van de w r i j v i n g z i j n dus de k r a c h t e n : - ds 9p 3s dA - (g . s i n I , . ds) dA
1.7.
Voor lange g o l v e n (gêén_versnellingen X s - r i c h t i j ) g I ) i s constant over h e t d w a r s p r o f i e l ( z i e f i g . 1.2.), zodat deze g r o o t h e i d b u i t e n h e t integraaltekèn mag worden gehaald. D i t i s ook h e t g e v a l met p, omdat t o c h a l t i j d met de over h e t d w a r s p r o f i e l gemiddelde d i c h t h e i d , s n e l h e i d , enz. wordt gerekend.
Hiermede wordt:
+ + Kg = - A . ds .
(|J
+ p g . s i n I j ^ )Met b e t r e k k i n g t o t de w r i j v i n g wordt v e r o n d e r s t e l d , d a t de wet van de Chézy ook g e l d t voor de n i e t - e e n p a r i g e stroom. De s c h u i f s p a n n i n g v o l g t dan u i t de bekende f o r m u l e s ( c o l l e g e - d i c t a a t 1 7 2 ) : = pg R I en V = C l ' ^ , w a a r u i t v o l g t : 2 V pg • — C
Bedenkt men, dat de w r i j v i n g werkt i n een r i c h t i n g , d i e t e g e n g e s t e l d i s aan de stroom, dan i s dus de w r i j v i n g s k r a c h t op de gehele moot:
v/v/ K^ = - A . ds . pg . - T — ,
^ C R A
w a a r i n dus voor de n a t t e omtrek van de wand — i s g e s t e l d , hetgeen d i r e c t v o l g t u i t de d e f i n i t i e van h y d r a u l i s c h e s t r a a l R.
De k r a c h t e n , d i e i n de i m p u l s v e r g e l i j k i n g i n de pos. s - r i c h t i n g moeten worden ingevoerd worden dus:
^ ^s = " ^ 1 '
S'S' \' °^
(1-5) E K„ = - A . ds
(|J
+ p . g . s i n Ij_^) - A . ds . pg ^ v/v/s C R
Opmerking: I n deze a f l e i d i n g i s u i t s l u i t e n d de w a n d w r i j v i n g i n r e k e n i n g g e b r a c h t . Voor een r i v i e r met k r i b b e n zou e i g e n l i j k ook de w r i j v i n g t u s s e n de hoofdstroom en de t u s s e n de k r i b b e n draaiende heren moeten worden
beschouwd. I n de p r a k t i j k gebeurt d i t n i e t a f z o n d e r l i j k .
Omdat de C-waarde wordt g e i j k t b r e n g t men deze w r i j v i n g f e i t e l i j k onder b i j de b o d e m w r i j v i n g , d i e i n v e l e g e v a l l e n ook a a n z i e n l i j k g r o t e r i s
( b r e e d t e r i v i e r >> w a t e r d i e p t e ) .
Deze v e r o n d e r s t e l l i n g i s g e o o r l o o f d , omdat b i j l a n g e g o l v e n de v e r -a n d e r i n g e n i n t i j d en p l -a -a t s r e l -a t i e f k l e i n z i j n .
1.8.
De v e r a n d e r i n g van impuls
I n de beschouwingswijze van Lagrange wordt een bepaalde massa beschouwd, waarvan de v e r a n d e r i n g van impuls i n de t i j d wordt beschouwd (^^^^ ) . De z i j d e l i n g s e t o e v o e r , d i e i n h e t voorgaande a f z o n d e r l i j k werd ingevoerd om b i j v o o r b e e l d ook een r i v i e r met k r i b b e n nog eendimensionaal t e kunnen berekenen^past e i g e n l i j k n i e t i n deze beschouwing.
De a f l e i d i n g volgens Lagrange i s i n d i t o p z i c h t daarom minder consequent dan de a f l e i d i n g volgens E u l e r , d i e i n de volgende p a r a g r a a f wordt gegeven. I n h e t g e v a l van z i j d e l i n g s e a f v o e r i m p l i c e e r t de beschouwingswijze van Langrange, dat de u i t de hoofdstroom tredende massa moet worden gevolgd t o t i n h e t gebied dat b u i t e n h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l van de hoofdstroom i s gelegen. De daar werkzame k r a c h t e n moeten dan ook mede i n de beschou-wing worden b e t r o k k e n . Evenzo g e l d t b i j z i j d e l i n g s e t o e v o e r , dat de beschouwde massa ook een g e d e e l t e zou moeten omvatten, dat z i c h b i j de aanvang van het t i j d s i n t e r v a l d t b u i t e n h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l b e v i n d t
( b i j v o o r b e e l d tussen de k r i b b e n o f i n de u i t e r w a a r d e n ) .
Omdat de z i j d e l i n g s e toevoer op v e r s c h i l l e n d e manieren kan p l a a t s v i n d e n , i s het n i e t d o e n l i j k h i e r v o o r algemeen geldende f o r m u l e s op t e s t e l l e n . De z i j d e l i n g s e t o e - en a f v o e r worden daarom i n d i t d i c t a a t t o c h afzonder-l i j k i n r e k e n i n g g e b r a c h t , w a a r b i j a afzonder-l s i n c o n s e q u e n t i e wordt aanvaard, d a t men dan n i e t meer een bepaalde massa beschouwt. De r e d e n e r i n g i s dan, dat de k r a c h t e n K n i e t a l l e e n worden g e b r u i k t om de impuls t e veranderen van een bepaalde massa, d i e i n het d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l i s en b l i j f t , doch ook om de impuls van de z i j d e l i n g s e toegevoerde massa aan t e passen aan de i n de hoofdstroom heersende omstandigheden r e s p . de impuls van het z i j d e l i n g s a f t e voeren water reeds binnen het d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l zo-danig t e w i j z i g e n , dat deze a f v o e r m o g e l i j k w o r d t .
Opmerking: De m o e i l i j k h e d e n worden op deze manier i n p r i n c i p e s l e c h t s omzeild en n i e t o p g e l o s t . I n p l a a t s van r e k e n i n g t e houden met de (vaak onbekende) omstandigheden b u i t e n h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l moet nu de impuls van de t o e t r e d e n d e r e s p . afstromende massa worden i n g e v o e r d , d i e e c h t e r evenmin kunnen worden bepaald zonder de omstandigheden b u i t e n de hoofdstroom i n de beschouwing t e b e t r e k k e n .
Omdat l a t e r z a l b l i j k e n , dat de d e s b e t r e f f e n d e term i n de p r a k t i j k t o c h v e e l a l mag worden verwaarloosd h e e f t deze s t r u i s v o g e l p o l i t i e k i n d i t g e v a l t o c h z i n i
1.9.
(1-7)
Wij beschouwen i n b e g i n s e l een massa (m^), d i e z i c h i n de hoofdstroom b e v i n d t en brengen de i n v l o e d van z i j d e l i n g s e t o e o f a f v o e r (m^) a f -z o n d e r l i j k i n r e k e n i n g . De beschouwde massa (m^) i s p.A.ds. H i e r u i t v o l g t : 1^X1 = dCp.v.A.dsj ^ ^ d(p.A.ds) , p . A . ds . 1^
d t d t d t d t Omdat de v e r a n d e r i n g van impuls van de t o e - o f afgevoerde massa h i e r n a a f z o n d e r l i j k i n r e k e n i n g wordt gebracht en de beschouwde massa i n de gedachte van Lagrange wordt g e v o l g d , moet i n deze v e r g e l i j k i n g wegens de continuïteit (behoud van massa) worden g e s t e l d :
d(p.A.ds) = O, zodat: d(m V )
- d F - = P • A . ds .
-De i m p u l s v e r a n d e r i n g van de z i j d e l i n g s e t o e - o f afgevoerde massa m^ moet h i e r b i j worden o p g e t e l d , omdat een g e d e e l t e van de werkzame k r a c h t e n h i e r v o o r wordt g e b r u i k t . De z i j d e l i n g s e t o e v o e r per t i j d s e e n h e i d w o r d t weer u i t g e d r u k t i n de h o e v e e l h e i d f per l e n g t e - e e n h e i d en per t i j d s e e n h e i d . De toegevoerde massa i s dus:
m^ = p • f . ds
I n d i e n deze massa i n h e t stroomvoerend p r o f i e l komt ( r e s p . d a a r u i t wordt a f g e v o e r d ) met een gemiddelde snelheidscomponent u i n de r i c h t i n g van de hoofdstroom, i s dus de i m p u l s v e r a n d e r i n g p e r t i j d s e e n h e i d : d(m2v) d t (v - u) . p . f . ds T e n s l o t t e wordt dus: \ > . d(m v ) d(m v ) . d ( ^ v ) = L _ + , o f ..b\r.' . d t d t d t ,.e\^'''\.''' , ' > (1-6) ^ = p . A . ds . f + ( V - i ) . p . f . ds ( 1 - 5 ) en ( 1 - 6 ) geven na d e l i n g door p . A . ds de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g — = - - - g s m I - g - r ( v - u ) Y d | p 8s h ^2 ^ A Omdat V = f ( s , t ) v o l g t h i e r u i t : 3v 3v 1 3p . , v / v / , s f
+ y =
. . ^ - g s m I , - g -5 ( v - u; T-, 3 t 3s p 3s b 2 A w a a r i n f = z i j d e l i n g s toegevoerde h o e v e e l h e i d per l e n g t e - e e n h e i d en per t i j d s e e n h e i d .1.10.
u = component van de s n e l h e i d , d i e de toegevoerde o f afgevoerde massa i n de r i c h t i n g van de hoofdstroom h e e f t ,
p = de over h e t d w a r s p r o f i e l gemiddelde d i c h t h e i d .
1.2.2. A f l e i d i n g van de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g volgens de beschouwingswijze van E u l e r .
I n de gedachtengang van E u l e r wordt de impulsbalans o p g e s t e l d van een r u i m t e l i j k v a s t g e l e g d volumen.
Om i n t e z i e n dat d i t t o t h e t z e l f d e r e s u l t a a t l e i d t a l s de methode van Lagrange wordt a l s v o o r b e e l d de watersprong beschouwd.
Volgen w i j de massa, d i e o o r s p r o n k e l i j k tussen de r a a i e n B' en B" i s gelegen ( v o l g e n s Lagrange), dan i s volgens de i n h e t c o l l e g e b72 behan-delde methode:
r z iTi ('"•/,.
\ pg ( h ^ - h 2 ) d t = p . v^ d t . h^ . v^ - P . v^ d t . h^ . v^
o f :
\
pg ( h ^ - h^) = P q(v2 - v ^ )Als volgens E u l e r h e t volume tussen B' en B" wordt beschouwd dan b l i j k t h e t bovenstaande overeen t e komen met de b a l a n s :
de som van de k r a c h t e n = h e t door r a a i B" ( u i t s t r o m e n d e ) i m p u l s t r a n s p o r t minus h e t door r a a i B' binnenstromende i m p u l s t r a n s p o r t = h e t r e s u l t e r e n d e u i t s t r o m e n d e i m p u l s t r a n s p o r t .
De v e r a n d e r i n g van impuls i n h e t middengedeelte i s voor een permanent g e v a l g e l i j k aan n u l . Neemt men nu a l s niet-permanent g e v a l een lopende w a t e r s p r o n g , dan moet de v e r a n d e r i n g van impuls i n h e t middengedeelte van h e t beschouwde volume n a t u u r l i j k ook worden meegenomen.
D i t v o o r b e e l d maakt h e t a a n n e m e l i j k , d a t de impulsbalans van een r u i m t e l i j k volume i n een bepaalde r i c h t i n g ( v e c t o r v e r g e l i j k i n g ) a l s v o l g t kan worden g e f o r m u l e e r d :
5; K = '^^""^•^ = r e s u l t e r e n d u i t s t r o m e n d i m p u l s t r a n s p o r t + impulstoename d t
1.11.
I n verband met h e t onthouden van de tekens g e e f t men e r soms de voorkeur aan deze wet t e definiëren a l s v o l g t : i n een bepaalde r i c h t i n g moet;
impulstoename binnen beschouwd volume (per eenheid van t i j d ) = n e t t o i n s t r o m i n g van impuls ( p e r eenheid van t i j d ) + de som van de werkzame k r a c h t e n .
3 - d i m e n s i o n a a l : opp.: O
vol.-. V
f i g . 1-5.
Voor een w i l l e k e u r i g volume g e l d t i n de x - r i c h t i n g :
E K ^ 0 - l t (P v ^ ) dV
Toegepast op lange g o l v e n ( z i e de nu r u i m t e l i j k vastgelegde moot van fig.1.10 wordt de impulstoename binnen de beschouwde moot:
_3_ 9 t J
(p . v ) . dV = V
3t (p . v ) = A . ds 8t (p . v )
w a a r b i j dus weer de over h e t p r o f i e l gemiddelde s n e l h e i d v en d i c h t h e i d p z i j n i n g e v o e r d .
Opmerking: De grens van h e t volume i s h i e r dus p r e c i e s langs de omtrek van h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l A g e l e g d , waardoor h e t i m p u l s t r a n s p o r t a l s g e v o l g van v e r a n d e r i n g van A a f z o n d e r l i j k i n r e k e n i n g moet worden gebracht
( z i e h i e r n a onder b ) . Men kan h e t c o n t r o l e - v o l u m e ook b u i t e n A houden, doch dan moet h i e r d i r e c t worden i n g e v o e r d :
3(P'V.A) , . j , N de term ds -~~z ( z i e ad. b ) .
o t
B i j h e t bepalen van h e t r e s u l t e r e n d u i t s t r o m e n d i m p u l s t r a n s p o r t kunnen d r i e vormen h i e r v a n worden onderscheiden.
1.12.
Deze z i j n :
a. het t e r l i n k e r z i j d e instromende r e s p . t e r r e c h t e r z i j d e u i t s t r o m e n d e i m p u l s t r a n s p o r t .
b. het uitstromende i m p u l s t r a n s p o r t a l s gevolg van een v e r a n d e r i n g van h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l A.
c. de z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r .
Ad a. :
Het i m p u l s t r a n s p o r t aan de l i n k e r z i j d e ( s ) i s p.Q.v; aan de r e c h t e r z i j d e (s + d s ) :
R e s u l t e r e n d i s dus h e t i n de r i c h t i n g van de hoofdstroom u i t s t r o m e n d i m p u l s t r a n s p o r t :
8(p.Q.v) , — ds
d S
Ad b. :
Omdat een v a s t r u i m t e l i j k volume wordt beschouwd b e t e k e n t een v e r g r o t i n g r e s p . v e r k l e i n i n g van h e t o o r s p r o n k e l i j k e d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l , dat i n f e i t e een z i j d e l i n g s e a f v o e r r e s p . t o e v o e r van impuls door de wanden van h e t gekozen r u i m t e l i j k volume p l a a t s v i n d t .
Deze bedraagt per eenheid van t i j d : , 3A ds.p.v — ,
Samen met de onderaan pagina1.ll.genoemde impulstoename binnen de beschouwde moot o n t s t a a t dan de term:
Ad c. :
Met gebruikmaking van d e z e l f d e nomenclatuur a l s i n de v o r i g e p a r a g r a f e n kan het u i t s t r o m e n d e i m p u l s t r a n s p o r t a l s g e v o l g van z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r worden u i t g e d r u k t a l s :
- u.p.f.ds
Opmerking: Het minteken i s n o d i g , omdat f p o s i t i e f was genomen b i j z i j d e l i n g s e t o e v o e r .
De impulsbalans i s dus:,
,K ds + ds . i ( P ^ - u.p.f.ds s 3s 8t
1.13. H i e r i n i s : 9(p.A.v) _ . 8v, , „ 3(P-A) 3 t " P 9t • 9t Volgens de c o n t i n u i t e i t s v e r g . (1-1) i s h i e r i n : ÈS£j^.= _ i ( P ^ + p . f , zodat: : 3 t 3s ^ ' De t e r m ^ d s kan a l s v o l g t worden u i t g e s c h r e v e n : O S 8(P-Q.v) - „ V A ^ + V ^(P-^-^^ 8s ~ p.v.A. 3s + V .
De impulsbalans wordt hiermede:
.EK = p . v . A l ^ d s + p.A.ds. ^ + ( v - u ) . p . f . d s
S d s o t
EK wordt op d e z e l f d e manier berekend a l s i n de v o r i g e p a r a g r a a f i s s
gedaan b i j de a f l e i d i n g volgens Lagrange.
Na d e l i n g door p.A.ds v o l g t dan weer v e r g . ( 1 - 7 ) .
De m a s s a v e r g e l i j k i n g e n z i j n dus:
i ( j e ^ , i ( p ^ - p . f = O
9v 9v 1 9p . -r v/v/ , ^ f
( 1 - ^ ^ 9T " ^ 9 l = - p - § ^b - s
7 ^
- - AI n ( 1 - 1 ) komen n i e t a l l e e n de a f g e l e i d e n van v en p naar s en t v o o r , doch ook nog a f g e l e i d e n van p en A naar s en t .
I n p r i n c i p e i s d i t ook h e t g e v a l i n ( 1 7 ) , doch door h i e r i n b i j de a f l e i -d i n g -de c o n t i n u i t e i t s v e r g , t e s u b s t i t u e r e n z i j n -de a f g e l e i -d e n van p en A naar s en t h i e r u i t verdwenen. Hadden z i j d i t n i e t gedaan, dan zouden ook i n de beweginsverg. deze a f g e l e i d e n nog z i j n voorgekomen i n de vorm van een a a n t a l e x t r a termen, d i e e c h t e r vanwege de continuïteit gezamen-l i j k g e gezamen-l i j k z i j n aan n u gezamen-l !
i . m .
De v e r g e l i j k i n g e n , d i e h i e r v o o r z i j n a f g e l e i d , z i j n algemeen g e l d i g . Dat w i l zeggen d a t de materiaaleigenschappen (van l e i d i n g èn van gas of v l o e i s t o f ) h i e r i n nog n i e t z i j n v e r d i s c o n t e e r d .
D i t i s de reden d a t d i t hoofdstuk de naam " M a s s a v e r g e l i j k i n g e n " h e e f t gekregen. De z.g. " T o e s t a n d s v e r g e l i j k i n g e n " , d i e i n de volgende h o o f d -stukken z u l l e n worden a f g e l e i d v e r s c h a f f e n de nodige b e t r e k k i n g e n om ook de materiaaleigenschappen i n r e k e n i n g t e brengen. Met behulp van deze b e t r e k k i n g e n kunnen dan de a f g e l e i d e n van p en A u i t de c o n t i n u i -t e i -t s v e r g . worden geëlimineerd, waardoor -twee d i f f e r e n -t i a a l v e r g e l i j k i n g e n o n t s t a a n met de twee a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e n v en p ( o f h ! ) .
Het behoeft geen betoog, dat de t o e s t a n d s v e r g n . b i j v o o r b e e l d voor
v l o e i s t o f f e n en gassen o f voor open en g e s l o t e n l e i d i n g e n v e r s c h i l l e n d z u l l e n z i j n . I n de volgende hoofdstukken moet dus onderscheid t u s s e n deze s p e c i f i e k e g e v a l l e n worden gemaakt. Men v e r k r i j g t dan dus vergn. , die n i e t meer algemeen gelden, doch a l l e e n voor h e t s p e c i f i e k e g e v a l , waarvoor z i j z i j n a f g e l e i d .
Hoofdstuk 2 DE GOLFVERGELIJKINGEN VOOR OPEN VLOEISTOFLEIDINGEN
2.1. DE TOESTANDSVERGELIJKINGEN
2.1.1. De z i j d e l i n g s e t o e v o e r
2.1.2. De a f g e l e i d e n van de d i c h t h e i d
2.1.3. De a f g e l e i d e n van h e t stroomvoerend p r o f i e l
2.1.4-. Het verband tussen de a f g e l e i d e n van p en d i e van h
2.2. DE GOLFVERGELIJKINGEN VOOR PRISMATISCHE "OPEN" VLOEISTOFLEIDINGEN (d.w.z. v r i j e w a t e r s p i e g e l ) 2.2.1. De continuïteitsvergelijking 2.2.2. De vereenvoudigde continuïteitsvergelijking 2.2.3. De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g 2.2.4. De vereenvoudigde b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g 2.2.5. De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n h e t piëzometrisch n i v e a u . 2.2.6. O v e r z i c h t van de g o l f v e r g e l i j k i n g e n voor p r i s m a t i s c h e l e i d i n g e n met een v r i j e w a t e r s p i e g e l
2.1. 2.1. DE TOESTANDSVERGELIJKINGEN I n h o o f d s t u k 1 z i j n de algemeen geldende m a s s a v e r g e l i j k i n g e n a f g e l e i d voor lange g o l v e n . Deze waren: d t d S 9V 9V 1 , 9P . v/v/ , s f (A
n\
— - + v — = - - ~ . - r - - g s m l - g — ( v - u ) -T- ( 1 - 7 ) 9t 9s p dsh
^2„ A L KMet behulp van de r e g e l voor h e t differentiëren van produkten kan (1-1) ook a l s v o l g t worden geschreven:
H i e r i n komen dus a f g e l e i d e n van p en A naar s en t v o o r , d i e met behulp van de t o e s t a n d s v e r g e l i j k i n g e n z u l l e n worden geëlimineerd, t e n e i n d e voor de v e r s c h i l l e n d e s p e c i f i e k e g e v a l l e n een s t e l s e l van twee d i f f e r e n t i a a l -v e r g e l i j k i n g e n met twee o n a f h a n k e l i j k en twee a f h a n k e l i j k -v a r i a b e l e n t e v e r k r i j g e n .
Om t e beginnen z a l d i t worden gedaan voor open l e i d i n g e n ( v r i j e water-s p i e g e l ! ) .
2.1.1. De z i j d e l i n g s e t o e v o e r f .
De z i j d e l i n g s e t o e v o e r f kwam t o t u i t i n g door de d e f i n i t i e :
p.f.ds = z i j d e l i n g s toegevoerde massa p e r t i j d s e e n h e i d .
B i j open l e i d i n g e n i s de z i j d e l i n g s e t o e - en a f v o e r g e w o o n l i j k een gevolg van een v e r s c h i l t u s s e n de bergende b r e e d t e b en de stroomvoerende b r e e d t e b ( k r i b b e n ! ) .
s
Per t i j d s e e n h e i d wordt daardoor toegevoerd
- p ( b - b ^ ) . d s . 1^
Het minteken v o l g t u i t de f y s i s c h e overweging, d a t een s t i j g e n d e w a t e r s t a n d 9 tl
en dus een p o s i t i e v e waarde voor gepaard gaat met v u l l i n g van h e t bergende gebied en dus met z i j d e l i n g s e a f v o e r , t e r w i j l een n e g a t i e v e waarde van — a a n l e i d i n g moet geven t o t een z i j d e l i n g s e t o e v o e r !
2.2.
H i e r u i t v o l g t dus:
p.f.ds = - p . ( b - b^) ds . H , o f :
(2-2) f = - (b - b^)
H
2.1.2. De a f g e l e i d e n van de d i c h t h e i dOmdat de " b e r g i n g " i n de v r i j e w a t e r s p i e g e l van een open l e i d i n g o v e r h e e r s t , mag de d i c h t h e i d p a l s een constante worden beschouwd, zodat de
desbe-t r e f f e n d e desbe-t o e s desbe-t a n d s v e r g e l i j k i n g e n l u i d e n : (2-3) .9P . 3P . O 2.1.3. De a f g e l e i d e n van h e t stroomvoerend p r o f i e l A. Voor open l e i d i n g e n g e l d t : (2-4) A = b^. h , zodat voor p r i s m a t i s c h e l e i d i n g e n ( b ^ = c o n s t a n t ) g e l d t : (25) 97 \ a i -9A ^ 9h (2-6) 9Ï = ^s ^
Voor n i e t p r i s m a t i s c h e l e i d i n g e n moet b ( s ) n a t u u r l i j k worden m e e g e d i f f e -s
r e n t i e e r d , waardoor e r e x t r a termen i n de v e r g e l i j k i n g v e r s c h i j n e n .
9P 9h 2.1.4. Het verband tussen ^ en -r— .
9s d S
9P
I n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g komt voor de term , t e r w i j l de a f g e l e i d e n van A i n ( 2 - 5 ) en ( 2 - 6 ) z i j n u i t g e d r u k t i n de a f g e l e i d e n van h.
I n b e g i n s e l kan a l l e s o f i n h o f i n p worden u i t g e d r u k t . Omdat voor open l e i d i n g e n de i n t e r e s s e a l t i j d u i t g a a t naar de w a t e r d i e p t e h l i g t h e t voor de hand h i e r ook ^ u i t t e drukken i n | ^ .
9s os
De w a t e r d i e p t e h wordt gemeten i n de r i c h t i n g van de normaal, d.w.z. l o o d -r e c h t op de bodem.
2.3.
I n lange golven (= r e c h t e s t r o o m l i j n e n ) z a l de druk l i n e a i r toenemen met de d i e p t e .
, f i g . 2.1.
Omdat dan h e t piëzometrisch n i v e a u langs de normaal c o n s t a n t i s , z a l het water i n een s t i j g b u i s j e , d a t i n f i g . 2.1. met de opening p r e c i e s i n B i s g e p l a a t s t s l e c h t s s t i j g e n t o t een hoogte h cos 1^^, zodat de d r u k f i g u u r v e r l o o p t , zoals r e c h t s i n f i g . 2.1. i s aangegeven.
Voor h e t d r u k v e r l o o p langs n kunnen we s c h r i j v e n : icW.jtpnnran^'
p = p.g ( h - n ) cos I ^ H i e r u i t v o l g t : ( 2 - 7 ) (2-8) |E = g , . cos T , o f met ( 2 - 3 ) ; d S d S b 9p 9h Evenzo: 3p 8h , 8t = P'g- 9T • ^b
Opmerking: D i t komt overeen met de " d i r e c t e " a f l e i d i n g , d i e b i j v o o r b e e l d ook reeds b i j de v e r h a n g l i j n e n werd g e b r u i k t .
„a^L.coslb-^^
2.4.
U i t f i g . 2.2. werd t o e n d i r e c t a l s r e s u l t a n t e van de d r u k k r a c h t e n h e t z e l f d e r e s u l t a a t gevonden.
Men kan i n f i g . 2.2. ook z i e n , d a t voor lange golven over h e t dwarspro¬ f i e l c o n s t a n t i s , zodat men ook de waarde aan de bodem kan nemen ( z i e • ( 2 - 8 ) ) .
2.2.0. De g o l f v e r g e l i j k i n g e n voor p r i s m a t i s c h e "open" v l o e i s t o f l e i d i n g e n (d.w.z. v r i j e w a t e r s p i e g e l )
2.2.1. De continuïteitsvergelijking.
De m a s s a v e r g e l i j k i n g werd gegeven door v e r g . ( 1 ~ 1 ) :
3(p.A) , 9(p.v.A) _ . _
9t ^ 3s P" ( 1 - 1 )
Met behulp van de r e g e l voor h e t differentiëren van p r o d u c t e n was d i t geworden
( 2 - 1 ) 9t 9t
S u b s t i t u t i e van ( 2 - 2 ) t/m ( 2 - 6 ) g e e f t dan de continuïteitsvergelijking voor p r i s m a t i s c h e open v l o e i s t o f l e i d i n g e n : (2-10) 3h , 3v ^ b 8h _ _ s 9b ( v o o r — ^ = 0) Met Q = b .h.v wordt d i t : s (2-11) 9s 9t
Opmerking: I n de a f l e i d i n g van (2-10) werd v e r o n d e r s t e l d d a t b^ i n de
s - r i c h t i n g n i e t v e r a n d e r t . Deze vergèlijking g e l d t dus a l l e e n voor = O'. U i t h e t f e i t , d a t daarna v e r g . (2-11) werd a f g e l e i d , wederom met de
b e p e r k i n g b = c o n s t a n t i n de s - r i c h t i n g zou men kunnen opmaken, d a t deze s
b e p e r k i n g ook h i e r v o o r g e l d t . D i t i s e c h t e r n i e t h e t g e v a l .
I n d i e n reeds i n ( 2 - 1 ) Q = v.A was g e s u b s t i t u e e r d was voor h e t a f l e i d e n van (2-11) geen d i f f e r e n t i a t i e van b naar s n o d i g geweest I
2.5.
2.2.2. De vereenvoudigde c o n t i n u i t e i t s v e r g e l i j k i n g
De c o n t i n u i t e i t s v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n Q (2-11) kan n i e t worden vereen-voudigd. Voor de v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n v (2-10) i s d i t w e l m o g e l i j k . Noem de s n e l h e i d , waarmede een punt (doorsnede) waarvoor dh = O i s , z i c h v o o r t p l a n t : c.
U i t dh = II ds + II d t v o l g t dan II = - c H , zodat (2-10) wordt:
b , 9h ^ , 9v _ „ ( ^ - b • + h 9ÏÏ- °
s
9h ,
H i e r u i t b l i j k t , d a t de term v - r - u i t (2-10) mag worden v e r w a a r l o o s d , i n d i e n
O S
b c
(2-12)
De vereenvoudigde continuïteitsvergelijking wordt dus:
, 9v b 9h h 9ÏÏ + — W
s
a l l e e n g e l d i g voor — I « c
Opm. Zoals l a t e r nog u i t v o e r i g z a l worden besproken, kan de v o o r t -p l a n t i n g s s n e l h e i d van een z.g. t r a n s l a t i e - g o l f worden betiadehimet de u i t d r u k k i n g , ^
De verhouding ^ wordt " h e t g e t a l van Froude" genoemd. Deze v e r h o u d i n g b l i j k t voor a l l e v e r w a a r l o z i n g e n een b e l a n g r i j k e r o l t e s p e l e n .
I n d i e n men een model voor een lange g o l f i n een open l e i d i n g o n t w e r p t , moet e r ondermeer voor gezorgd worden d a t de s c h a a l van deze verhouding g e l i j k i s aan 1. Of w e l de s c h a a l f a k t o r voor v moet g e l i j k z i j n aan de s c h a a l f a k t o r voor c.
2.2.3 De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g
De m a s s a v e r g e l i j k i n g was gegeven door v e r g . ( 1 - 7 ) :
9v 9v 1 _9£
(2-8TVgeeft dan
S u b s t i t u t i e van de v e r g n . ( 2 - 2 ) en (2-8)'Vgeeft dan de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g van lange golven i n open l e i d i n g e n , u i t g e d r u k t i n de over b e t d w a r s p r o f i e l gemiddelde s n e l h e i d v en de w a t e r d i e p t e h:
(2-13) 3v 3v 8h ^ . -r v/v/ ^ \ , X 9h
L K at
De hoek waarmee de bodem h e l t I ^ i s b i j n a a l t i j d zo k l e i n , d a t men mag s t e l l e n : cos I . ^ = 1 en s i n I , = I , , waarmede (2-13) overgaat i n :
b b b (2.14) 3v 3v 3t 3s 3h ^ v/v/ ^ " , , 3h a l l e e n g e l d i g i n d i e n cos 1^^ = 1 en s i n 1^^ - Ij_^
Evenals de continuïteitsvergelijking kan ook de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g worden u i t g e d r u k t i n Q, i n p l a a t s van i n v.
Daartoe moet worden g e s u b s t i t u e e r d : v = ^ = s H i e r u i t v o l g t onder de aanname b = c o n s t a n t : Q A l x - _ i r ~ 2 - ^ 1 8Q 3t ~ 3t ^b h'^ b h 3t s s b h' s 3h 3t en: _3v 3s 2 2 b^h^ s . 9Q _ 3s b^h^ s _3h 3s Door deze v e r g e l i j k i n g e n t e s u b s t i t u e r e n i n v e r g e l i j k i n g (2-13) o f (2-14) o n t s t a a t de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n Q. Om de v e r g e l i j k i n g e n i n d i t d i c t a a t zo eenvoudig en o v e r z i c h t e l i j k m o g e l i j k t e houden, wordt een z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r l o o d r e c h t op de s t r o o m r i c h t i n g v e r o n d e r s t e l d ( u = 0 ) . I n d a t g e v a l g e e f t genoemde s u b s t i t u t i e i n (2-14)
© © © © © © © ©
3Q i A 3 t ^ Q 9Q + A? • 3ÏÏ Q_ _3h Ah 3t g s m I j ^ - g + cos b-b 9 2 CVR A* ^'dt ^ ) l a t e n staan 0 volgens (2-11) i s ^ . A } , 3h ~ b ^2.7.
©
Q 3h Q , 3h ( ^ + ^ 3 ) i n r e c h t e r l i d m e t ( ? ) g e e f t : i n r e c h t e r l i d : . | ^ (b + b + b - b ) = ^2 d t s s A 2 3^ ( 4 ) + ( 5 ) i n r e c h t e r l i d = - g (cos I j ^ - - | — ) -g^ = A gh 3h 8t (cos I , - —T-) -r— b gh' 3s © e n © l a t e n staan.Het r e s u l t a a t van deze bewerking i s dus:
1 3Q _ A • 3t / T . 3h - g (cos 1^--^)^ . T ^ 2bQ 3h g s m I ^ + " 2 - 3^ Q/Q/ 2 2 C A R
N'oemt men a, dan wordt d i t na d e l e n door g:
^b - i h i3h a 3Q • T ^ hr- = T • -KT - ^ s m I + 3s gA 3t b (2-15) 2bQa 3h _ gQ/Q/ ' CVR w a a r m a ~ ; a l l e e n g e l d i g voor b 2 s constant en u = O cos I , r b gh
Opmerking: B i j h e t a f l e i d e n van de m a s s a v e r g e l i j k i n g e n en dus ook van (2-15) i s r e k e n i n g gehouden met z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r . I n h e t algemeen w i l d i t zeggen, d a t men n i e t K = ma, doch Kdt = d(mv) h e e f t moeten g e b r u i k e n ( n i e t c o n s t a n t e massa!). Zou men ( t e n onrechte a l s b ^ b^) de bewegings-v e r g e l i j k i n g a f l e i d e n u i t K = ma, dan zou i n (2-13) en (2-14) de l a a t s t e term van h e t tweede l i d n i e t worden gevonden, t e r w i j l i n de v o o r l a a t s t e term van h e t tweede l i d van v g l . (2-15) dan ( b + b^) i n p l a a t s van 2b zou hebben gestaan. I n de l i t e r a t u u r komt d i t t e n onrechte n o g a l eens voor. Zoals nog z a l b l i j k e n i s de gehele t e r m v e e l a l k l e i n , zodat deze f o u t w e i n i g p r a c t i s c h e b e t e k e n i s h e e f t .
2.8, 2.2.4-. De vereenvoudigde b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g ^ 9t b-b^ 9h a. Beschouwen w i j e e r s t de term ( v - u ) . i n de v e r g n . (2-13) en (2-14) A Gemakshalve s t e l l e n w i j e e r s t u = 0. 9h 1 9 Q
Volgens de continuïteitsvergelijking i s = - ^ .-^ zodat
b-b_ b-b_ ^„ b-b s l i l - IQ - 3(v.A) • ^ 9 t ~ A.b. ' ^ 9 3 A b • ^ • 9s b-b b -Al, s s 9h , , 9v . A b 9s 9s ^ ^s V , 3h ^ , 9v . = - — • h (^ 9iï ^ 9^ ^ b-b 2 b-b s X_ .9h s _9v - ~ b • h 9s b ' ^ 9s b-b 2 b-b „ 2 s v _ _9h s _9_ , v_ ^ • h 9s ~ b 9s ^2 b b-b^ 9h
De term — r — v -r- i s hiermede dus g e s p l i t s t i n twee termen, d i e i e d e r 9h
voor z i c h met de term g — kunnen worden v e r g e l e k e n .
o S
9h
De e e r s t e van deze beide termen i s t . o . v . g — t e v e r w a a r l o z e n , i n d i e n
o S
b-b 2
S V j- •
j,-— j,-— . j,-— << .g, o f m d i e n :
b 2
Voor de tweede term kan men s c h r i j v e n :
. 2 , b-b 2 „, s 9 - V v 9 , s v ^ ^ ^ 9h . , , — 9ÏÏ = g 97 ( — 2 i S ^ ' ^^'^^^"^ b-b 2 ^ ^ « 1. b • 2gh
Omdat u b i j n a a l t i j d k l e i n e r z a l z i j n dan v , g e l d t d i t i n de p r a k t i j k b-bc
( v - u ) . 3h g e w o o n l i j k ook voor de gehele term —^ v.
Beschouwen w i j nu de term v i n de vergn. (2-13) o f ( 2 - 1 4 ) :
2 3s " 3s '•2
3h
Voegen w i j deze term nu samen met g j^, dan o n t s t a a t :
- g 9^ (h t g -~ h ( l + t tV ) s w a a r u i t v o l g t , d a t ook de
os ^gn O
t e r m v mag worden verwaarloosd t . o . v . g " l ^ j i n d i e n << 1.
ds d S gn
Opmerking: Voor de v e r w a a r l o z i n g e n s p e e l t dus de verhouding
( h e t g e t a l van Froude; z i e ook de opm. op b l z . 2.5.)een g r o t e r o l . Een k l e i n g e t a l van Froude b e t e k e n t ook een amplitude van de g o l f , d i e kleiü i s t . o . v . de waterdiepte.'
I n d i e n nu ook nog - z o a l s g e b r u i k e l i j k - cos 1^^ = 1 en s i n I j ^ = I-^^ wordt g e s t e l d , wordt de vereenvoudigde b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n v dus
(2-16) 3v _ 3t 3h g • 3^ v/v/ - g • 1 ^ - g 2 C R a l l e e n g e l d i g , b-b 2 S V i n d i e n - r — .—:-<< 1 en cos I , ss 1 b gh b
Een analoge r e d e n e r i n g g e l d t n a t u u r l i j k ook voor de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n Q ( z i e v e r g . ( 2 - 1 5 ) . I n de v e r g e l i j k i n g b l i j k t de t e r m
. ~ k l e i n t . o . v . ~ en i s v e r d e r a = 1 , i n d i e n ~ «1.
,2 3t 3s gn gA
(2-17)
Het l a a t s t e v o l g t u i t e r a a r d d i r e c t u i t de d e f i n i t i e van a. Het e e r s t e kan g e m a k k e l i j k worden aangetoond, door u i t t e gaan van de vereenvoudigde v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n v en d a a r i n v = t e s u b s t i t u e r e n .
De vereenvoudigde v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n Q wordt dan na enige bewerkin
3h 3s !_ 3Q gA 3t Q/Q/ 2 2 C A R a l l e e n g e l d i g i n d i e n — << 1 , u = O, cos I j ^ j s 1 en s i n I j ^ ^ I ^
2.10.
Opmerking: Soms z i e t men i n de l i t e r a t u u r w e l a = 1 g e s t e l d , doch
n i e t de b e r g i n g s t e r m verwaarloosd. D i t i s n i e t consequent, doch men moet bedenken, d a t de f o u t g r o t e r wordt naarmate meer wordt verwaarloosd. Zo kan men b i j v o o r b e e l d door a l l e e n a = 1 t e s t e l l e n een f o u t maken s t e l A, t e r w i j l men door bovendien de b e r g i n g s t e r m t e verwaarlozen een f o u t
kan maken van 3A. B i j d i t a l l e s s p e e l t n a t u u r l i j k ook de m o e i t e , d i e h e t k o s t om een bepaalde term mede t e nemen, een r o l .
B i j g e t i j berekeningen mag vaak ook de t e r m worden verwaarloosd.'
2.2.5. De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t i n h e t piëzometrisch n i v e a u .
Soms b e s t a a t de n e i g i n g i n p l a a t s van met de w a t e r d i e p t e h t e w i l l e n rekenen met h e t piëzometrisch n i v e a u (d.w.z. t e n o p z i c h t e van een h o r i ¬
z o n t a a l v e r g e l i j k i n g s v l a k ) . De termen met — en I j ^ kunnen dan n . l . tesamen i n een term worden ondergebracht.
Per d e f i n i t i e van piëzometrisch n i v e a u i s :
(2-18) pn = + z
pg
I n b e g i n s e l g e l d t d i t o v e r a l , dus ook l a n g s de bodem. Langs deze bodem g e l d t i n i e d e r g e v a l :
(2-19) ll = s i n I ,
3s b (2-20) p = pg h cos I j ^
D i f f e r e n t i e e r t men (2-18) en (2-20) naar s, dan b l i j k t : (open l e i d i n g : p = c o n s t a n t ) (2-21) 3(pn) _ _ H 2 + I s 9s pg 9s ^ 3s (2-22) 3p 3h ^ = p.g. . cos S u b s t i t u t i e van (2-19) en (2-22) i n (2-21) g e e f t , dan: (2-23) 3(pn) 3h ^ , .
1'=^ •'•
-r— cos I , + s m I , . 3s 3s b b
2.11.
(2-23) i n (2-13) voor h e t g e v a l b = b g e e f t dan de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g s
voor open l e i d i n g e n u i t g e d r u k t i n h e t p.n.
Een en ander kan ook v i s u e e l d u i d e l i j k worden gemaakt met behulp van f i g u u r 2.3.
f i g . 2.3.
9h
Op analoge w i j z e kunnen ook de termen met worden u i t g e d r u k t i n h e t p.n, U i t (2-18) v o l g t :
8(pn) _ 8p 3z at p.g • 9t 9 t
A f g e z i e n van h e t akademische g e v a l (ook b i j z a n d t r a n s p o r t i s << l ^ ' ' * '
dat men met een bodem h e e f t t e maken, waarvan de h o o g t e l i g g i n g i n de t i j d v e r a n d e r t , i s = 0. Omdat w i j weer de z van de bodem i n r e k e n i n g brengen, moet ook weer met de druk l a n g s de bodem worden gerekend; dus met ( 2 - 2 0 ) . H i e r u i t v o l g t : (p = c o n s t a n t I )
9p 9h T ^ -.-^ = p.g. . cos 1-.-^, zodat:
2.12. 3(pn) _ _3h 8 t 8t cos 5 o f : b (2-25) 3h 3t 1 cos I , 3(pn) 3t S u b s t i t u t i e van (2-23) en (2-25) i n (2-13) en (2-11) h e e f t t o t r e s u l t a a t dat de term met s i n 1^^ u i t de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g v e r d w i j n t .
I n de continuïteitsvergelijking komt echter — — — voor a l s coëfficiënt cos I ^
van de a f g e l e i d e naar de t i j d .
Opm:In h e t algemeen l e v e r t h e t rekenen met h e t piëzometrisch n i v e a u w e i n i g v o o r d e l e n op.
I n d i e n de bodem (nagenoeg) h o r i z o n t a a l i s en daarom 1^^ = O g e s t e l d kan worden, i s h e t werken met h e t piëzometrisch n i v e a u w e l a a n t r e k k e l i j k om-dat men dan een w i l l e k r e f . v l a k kan k i e z e n ( b . v . N.A.P.).
B i j een open l e i d i n g , bestaande u i t v e r s c h i l l e n d e vakken met h o r i z o n t a l e bodem kan met êên r e f . v l a k worden gewerkt.
2.2.6, O v e r z i c h t van de g o l f v e r g e l i j k i n g e n voor p r i s m a t i s c h e l e i d i n g e n met v r i j e w a t e r s p i e g e l . De continuïteitsvoorwaarden: a) u i t g e d r u k t i n Q 3Q _ - h ^ 3s ^ 3t b) u i t g e d r u k t i n v _3h 3v b_ 3h ^ 3s " 9s b " 3 1 s c ) u i t g e d r u k t i n v met a l s e i s : —^. — << 1 b c , 3v b 8h _ . + ~ • 3Ï - °-s allêên g e l d i g i n d i e n -~- << 1 ^ waarin c = v o o r p l a n t i n g s s n e l h e i d van dh = 0.
2.13.
Opm van
: Voor t r a n s l a t i e g o l v e n i s c^^. I n de p r a k t i j k wordt h e t g e t a l
pjpoutje - ^ f s - gehanteerd voor a l l e v e r w a a r l o z i n g e n , zowel i n de bewegings Vgh
v e r g e l i j k i n g a l s i n de continuïteitsvergelijking.
De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n
a) u i t g e d r u k t i n v.
w a a r i n u = de componente van de s n e l h e i d van h e t z i j d e l i n g s afgevoerde r e s p . toegevoerde water i n de s t r o o m r i c h t i n g .
De waarde van u i s m o e i l i j k t e bepalen en h e e f t v e e l a l s l e c h t s g e r i n g e i n v l o e d . Daarom wordt u meestal g e l i j k aan n u l g e s t e l d .
b ) u i t g e d r u k t i n Q.
a 80 • T , 2bQa 9h aQ/Q/ 3ÏÏ = - i A • 9Ï - « ^b ^ g^2 9t ^2^2^
met a = — ^ , allêên g e l d i g voor u = 0. cos I , - — r
b gh
) u i t g e d r u k t i n v met a l s e i s ^ « 1 en cos I^» 1 en s i n I^fü I j
3h 9s 1 9v g 9t ' ^b -v/v/ allêên i n d i e n 2 1- « gh 1 en Ij^« 0
d ) u i t g e d r u k t i n Q met a l s e i s ^ « 1 en cos 1^^» 1 en s i n I^^ 1^
9h _ 9s ~ gA • 9 t 1 9Q Q/Q/ ' b „2,2^ C A R illêên i n d i e n << 1 en I ^ S3 O
2.14.
Tekenafspraak:
- I n deze v e r g e l i j k i n g e n moet I ^ p o s i t i e f worden genomen, i n d i e n de bodem o p l o o p t i n p o s i t i e v e s - r i c h t i n g .
Hoofdstuk 3 DE GOLFVERGELIJKINGEN VOOR GESLOTEN LEIDINGEN
3.1. DE TOESTANDSVERGELIJKINGEN
3.1.1. De z i j d e l i n g s e t o e v o e r
3.1.2. Het verband t u s s e n druk en d i c h t h e i d voor v l o e i s t o f f e n 3.1.3. Het verband t u s s e n druk en d i c h t h e i d voor gassen
3 . m . Het verband tussen de druk en h e t stroomvoerend p r o f i e l
3.2. DE GOLFVERGELIJKINGEN VOOR GESLOTEN LEIDINGEN
3.2.1. De continuïteitsvergelijking voor v l o e i s t o f l e i d i n g e n 3.2.2. De continuïteitsvergelijking voor g a s l e i d i n g e n
3.2.3. De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g (voor zowel gas- a l s v l o e i s t o f l e i d i n g e n )
3.2.M-. De g o l f v e r g e l i j k i n g e n voor g e s l o t e n v l o e i s t o f l e i d i n g e n u i t g e d r u k t i n h e t piëzometrisch n i v e a u .
3-1
3.1. DE TOESTANDSVERGELIJKINGEN
I n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g was reeds de over h e t d w a r s p r o f i e l gemiddelde d i c h t h e i d p ingevoerd. Omdat i n b u i z e n g e w o o n l i j k met r e l a t i e f g r o t e drukken wordt gerekend i s deze m i d d e l i n g ook geen bezwaar en wordt gerekend met de over h e t d w a r s p r o f i e l gemiddelde s n e l h e i d , d i c h t h e i d en druk.
I n de s - r i c h t i n g en de t i j d z i j n deze grootheden n a t u u r l i j k w e l v a r i a b e l gehouden.
3.1.1. De z i j d e l i n g s e t o e v o e r f .
I n b u i s l e i d i n g e n , welke op h e t optreden van lange g o l v e n ( b i j v . w a t e r s l a g ) moeten worden berekend, g e s c h i e d t een e v e n t u e l e i n j e c t i e van massa g e w o o n l i j k p l a a t s e l i j k , hetgeen a l s een s p l i t s i n g s p u n t moet worden behandeld.
Van een z i j d e l i n g s e t o e - o f a f v o e r over de gehele l e n g t e van de b u i s i s normaal geen sprake. Daarom wordt h i e r g e s t e l d :
( 3 - 1 ) f = O
I n een u i t z o n d e r l i j k g e v a l , w a a r b i j men t o c h met een z i j d e l i n g s e t o e v o e r zou moeten rekenen kan n a t u u r l i j k a l t i j d de b i j b e h o r e n d e waarde van f worden bepaald en ingevoerd'.
3.1.2. Het verband t u s s e n druk en d i c h t h e i d voor v l o e i s t o f f e n .
Per d e f i n i t i e van compressiemodulus K g e l d t voor v l o e i s t o f f e n :
V K dV _ _ V
dp K
Opm. Het minteken i s n o d i g , wanneer druk p o s i t i e f wordt gerekend en t r e k n e g a t i e f .
Deze d e f i n i t i e g e e f t h e t verband t u s s e n de druk ( p ) en h e t volume V van een bepaalde massa v l o e i s t o f .
Deze massa moet n a t u u r l i j k c o n s t a n t z i j n , zodat d(p V) = O, o f V) . O, en dus: ( 3 - 2 ) dp ( 3 - 3 ) p dV O ^ dp dp
3-2 (3-2) i n ( 3 - 3 ) g e e f t : - ^ + 4^ = O o f : (3-4) dp - d£ P K K dp
g e l d i g voor v l o e i s t o f f e n met een compressiemodulus K.
H i e r u i t v o l g t ook:
dp. _ P
dp " K
Omdat o n a f h a n k e l i j k van de p l a a t s o f de t i j d o v e r a l deze z e l f d e r e l a t i e b e s t a a t , i s p dus a l l e e n een f u n c t i e van p, w a a r u i t met behulp van de k e t t i n g r e g e l v o l g t :
3£ ^ dp 8p 8s dü • 8s'
(3-5) 9£ 8s
P 3p Op overeenkomstige w i j z e wordt gevonden: 3p . . P i£
8 t K 9 t (3-6)
3.1.3. Het verband t u s s e n druk en d i c h t h e i d voor gassen Voor gassen moet worden u i t g e g a a n van de wet: p V*^ = c o n s t a n t .
Opm. Voor i s o t h e r m i s c h e processen i s a = l . Voor a d i a b a t i s c h e processen (waaronder schokgolven) i n l u c h t i s a j s l , 4 .
Voor andere gassen dan l u c h t moeten voor deze exponent a i e t s andere waarden dan 1,4 worden g e b r u i k t .
H i e r u i t v o l g t : d(p V") = O p a V"""^ dV + V" dp = O, o f (3-7) dV dp V a p
Omdat ook i n deze gaswet weer een bepaalde massa gas wordt beschouwd, g e l d t evenals voor v l o e i s t o f f e n : O, o f (3-8) d(p V) dp p ^ t V ^ = O ^ dp dp (3-7) i n ( 3 - 8 ) g e e f t :
3-3
(3-9) dp
P a p
(3-10)
Zoals gezegd, moet voor i s o t h e r m i s c h e processen worden gerekend met a =^ 1 , t e r w i j l voor a d i a b e t i s c h e processen i n l u c h t a - 1,4 kan worden aangehouden. Snel verlopende processen z i j n g e w o o n l i j k a d i a b a t i s c h , d.w.z. d a t geen w a r m t e u i t w i s s e l i n g (met de omgeving) p l a a t s v i n d t .
Op analoge w i j z e a l s h i e r b o v e n v o l g t u i t ( 3 - 9 ) : 3s a p 3£ 3s (3-11) È2. 3t a p 32 3t
3.1,14., Verband t u s s e n de druk en het stroomvoerend p r o f i e l .
Voor een ronde b u i s kan de b e r g i n g , d i e door u i t z e t t i n g van de buiswand o n t s t a a t , a l s v o l g t worden berekend.
V e r o n d e r s t e l l i n g : de wanddikte w << de b u i s d i a m e t e r D.
Als g e v o l g van een d r u k v e r h o g i n g t r e k s p a n n i n g ) d a .
p o n t s t a a t i n de buiswand een
( ^ s v e r h o g i n j ^
f i g . 3.1.
(3-12) da ='dp
Voor evenwicht moet:
2 w da = dp D, o f
D 2 w
3-4
De v e r l e n g i n g van de buiswand bedraagt dan d l , w a a r b i j :
(3-13) d l da (3-12) i n (3-13) g e e f t : ,2 TT l d l = dp t tD 2 w E
De omtx-ek was dus ttD en wordt nu:
(3-14)
i tD ( 1 + dp D 2 w E'
De diameter i s dus geworden: D ( 1 + ^ — - ) 2 w E
De o p p e r v l a k t e van h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l (= h e t volume per strekkende meter b u i s ) was ^ 1 _ 2 , dp D .2 ïïD en wordt dus na u i t z e t t i n g ; ttD ( 1 t 4 ' 2 w E' dp D Voor k l e i n e waarden van -^^ —
Z VI h J A A D, r: dA - -—=4p, o f ( z i e de opmerking h i e r o n d e r ) i s dan; dA dp A D ^ ( g e l d i g voor a t o e l a a t b a a r 1 ) . Opmerking.
I n h e t voorgaande i s steeds gewerkt met de da, d l , enz., t e r w i j l men i n f e i t e ook o v e r a l met e i n d i g e d i f f e r e n t i e s Aa, A l , enz., had kunnen werken en dan t e n s l o t t e voor h e t l i m i e t g e v a l ook v g l . (3-14) had kunnen v e r k r i j g e n .
D i t i s van belang i n verband met de aanname dp D << 1 , omdat dp 2 w E
h i e r i n n i e t de druktoename b e h o e f t t e z i j n , d i e men l a t e r t o c h t o t n u l l a a t naderen en d i e om d i e reden dus weggelaten kan worden.
Ook i n d i e n men dp opvat a l s Ap (d.w.z. de v o l l e d i g e e x t r a d r u k , d i e dp D
« 1. door de w a t e r s l a g o n t s t a a t ) kan men s t e l l e n 2 ^ E
3-5
(3-16)
Men k r i j g t dan: ^ — | = waarin Aa t e n hoogste de t o e l a a t b a r e spanning kan z i j n .
a t o e l a a t b a a r I n de p r a k t i j k z a l
zonderingen h i e r o p wel denkbaar.
a l t i j d w e l k l e i n z i j n , a l z i j n u i t
-Op d e z e l f d e w i j z e a l s waarop de a f g e l e i d e n van p werden bepaald u i t (3-4) v o l g t u i t ( 3 - 1 4 ) :
(3-15) | A - ' _ 3P 8s w • 8s
3A _ _A_ 82 3 t w „ • 9t
3.2. DE GOLFVERGELIJKINGEN VOOR GESLOTEN LEIDINGEN.
3.2.1. De continuïteitsvergelijking voor g e s l o t e n v l o e i s t o f l e i d i n g e n .
Voor e l i m i n a t i e van de a f g e l e i d e n van p en A moeten i n d i t geval ( 3 - 1 ) , ( 3 5 ) , ( 3 6 ) , (315) en (316) i n v e r g e l i j k i n g ( 2 1 ) worden g e s u b s t i -t u e e r d .
Het r e s u l t a a t i s :
(3-17)
Opmerking:
H i e r i n i s c a l l e e n g e d e f i n i e e r d volgens bovenstaande f o r m u l e . Dat d i t tevens de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d i s van een discontinuïteit b l i j k t pas l a t e r b i j h e t a f l e i d e n van de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g e n . Op d i t moment i s c a l l e e n nog ingevoerd a l s v e r k o r t e s c h r i j f w i j z e .
3.2.2. De continuïteitsvergelijking voor g a s l e i d i n g e n .
Voor g a s l e i d i n g e n moeten de v e r g e l i j k i n g e n ( 3 - 1 ) , ( 3 - 1 0 ) , ( 3 - 1 (3-15) worden aangewend t e r e l i m i n a t i e van de a f g e l e i d e n van p i n v e r g e l i j k i n g ( 2 - 1 ) .
3-6
(3-18)
(3-19)
w a a r i n weer a = 1 voor i s o t h e r m i s c h e processen en a = 1,4 voor a d i a b a t i s c h e processen i n l u c h t .
Omdat g e w o o n l i j k op d e z e l f d e gronden a l s eerder vermeld
a p << ^ . E kan deze v e r g e l i j k i n g ook worden vereenvoudigd t o t ;
v 9P , _1_ 9v = 0 ap 9s ap 3t 3s = 0
3.2.3. De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g ( v o o r zowel gas- a l s v l o e i s t o f l e i d i n g e n ) De m a s s a v e r g e l i j k i n g was gegeven door ( 1 - 7 ) . Omdat f = O i s g e s t e l d (3-1) v o l g t h i e r u i t :
(3-20) 3v 8v 1 3p . v/v/
3.2.4. De g o l f v e r g e l i j k i n g e n voor g e s l o t e n v l o e i s t o f l e i d i n g e n u i t g e d r u k t i n het piëzometrisch n i v e a u .
Voor g e s l o t e n l e i d i n g e n wordt wel vaak gerekend met h e t piëzometrisch n i v e a u . G e w o o n l i j k wordt d i t e c h t e r pas ingevoerd i n de v e r g e l i j k i n g e n der k a r a k t e r i s t i e k e n , d i e h i e r n a z u l l e n worden behandeld.
I n p r i n c i p e i s e c h t e r : pn = — + z ^ pg 3(pn) _ 3 £ _ J L 9 £ + l £ o f 3s pg • 8s 2 • 3s 3s ' P g ( 3 _ 2 i ) 9£ . pg i l P i i l + E i P _ p . g . i s U 2 i ; 3s P2 8s p 3s P"^" 3s H i e r i n i s : 3z . — = s m I , 3s b en volgens ( 3 - 5 ) : 3p _ p 3p 3s ' K • 3s
3-7
S u b s t i t u t i e h i e r v a n i n (3-21) g e e f t :
( 1 - =K> • f f = P« H f ^ - P« 'b'
Voor de w e i n i g samendrukbare v l o e i s t o f f e n , waarmede men i n de p r a k t i j k p t e maken h e e f t , z a l - << 1 z i j n , zodat: 9p 3(pn) . T waarmede de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g wordt: (3-22) 3v ^ 3v 3(pn) 3 t + ^37 = - S 3s " g 2 C R
Op d e z e l f d e w i j z e kan ook worden gevonden;
3£ 3t 3t P^ 3 t Of voor -TT - O ( n i e t bewegende b u i s ) o t 3^ 3t 3(pn) 3 t Voor de c o n t i n u i t e i t s v e r g e l i j k i n g (3-17) v i n d e n we dan; (3-23)
Hoofdstuk 4
ENIGE OPLOSSINGSMETHODEN VOOR PROBLEMEN WAARBIJ DE GOLFVERGELIJKINGEN STERK MOGEN WORDEN VEREENVOUDIGD
4.1. INLEIDING
4.2. DE Z.G. KOMBERGINGSBESCHOUWING
4.3. VOORBEELDEN VAN BEREKENINGEN BETREFFENDE EEN RELATIEF KORT BEKKEN
4.3.1. Een bekken met een brede en diepe monding 4.3.2. Een bekken met een nauwe monding
4.3.3. Voorbeeld van een z.g. s l u i t g a t - b e r e k e n i n g
4.4. EEN BENADERINGSMETHODE VOOR HOOGWATERGOLVEN
4.4.1. Het k a r a k t e r van hoogwatergolven
4.4.2. De v o o r t p l a n t i n g van een h o o g w a t e r g o l f 4.4.3. Berekeningen b e t r e f f e n d e hoogwatergolven
4.5. EEN BENADERINGSMETHODE VOOR Z.G. TRANSLATIEGOLVEN
4.5.1. Het k a r a k t e r van t r a n s l a t i e g o l v e n 4.-5.2. De v o o r t p l a n t i n g van t r a n s l a t i e g o l v e n
4.1.
4.1. INLEIDING
I n de voorgaande hoofdstukken z i j n de algemene d i f f e r e n t i a a l - v e r g e l i j k i n g e n a f g e l e i d , waarmee de v o o r t p l a n t i n g van lange golven i n open r e s p . g e s l o t e n l e i d i n g e n kunnen worden beschreven.
I n de p r a k t i j k b l i j k e n z i c h v e r s c h i l l e n d e problemen voor t e doen, w a a r b i j een o f meer termen u i t de algemene v e r g e l i j k i n g e n een verwaarloosbaar k l e i n e i n v l o e d hebben op h e t v e r s c h i j n s e l . I n d i t h o o f d s t u k worden nu voor een a a n t a l van d e r g e l i j k e problemen b e t r e f f e n d e 0£en l e i d i n g e n enige oplossingsmethoden besproken.
H i e r b i j wordt de volgende procedure gevolgd:
Voor een bepaald probleem kan men op f y s i s c h e gronden t o t h e t i n z i c h t komen d a t b i j h e t zoeken naar een o p l o s s i n g een o f meer mathematische vereenvoudigingen m o g e l i j k z i j n . Voor de ( s t e r k ) vereenvoudigde verge-l i j k i n g e n worden o p verge-l o s s i n g e n gezocht, d i e g e m a k k e verge-l i j k ( e r ) kunnen worden geïnterpreteerd. Het i s m o g e l i j k om dan a c h t e r a f de i n v l o e d van de
v e r w a a r l o z i n g e n ( i n orde van g r o o t t e ) v a s t t e s t e l l e n .
De gevolgde procedure z a l ook voor problemen b e t r e f f e n d e g e s l o t e n l e i -dingen kunnen worden gevolgd.
I n h e t c o l l e g e b 74 V l o e i s t o f m e c h a n i c a b.o. worden ( s i n d s 1972) andere procedures behandeld, d i e i n de toegepaste wiskunde bekend staan a l s z.g. "asymptotische methoden". Een d e r g e l i j k e methode i s e r op g e r i c h t , om uitgaande van de algemeen geldende d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n , v e r g e l i j k i n g e n voor s p e c i a l e g e v a l l e n a f t e l e i d e n . Door d a a r b i j zeer s y s t e -matisch t e werk t e gaan, wordt een goed i n z i c h t m o g e l i j k i n h e t verband tussen v e r s c h i l l e n d e benaderingen o n d e r l i n g en de nauwkeurigheid van een bepaalde benadering.
De f i l o s o f i e van de asymptotische methoden s p e e l t b i j d i t vak b 73A e i g e n -l i j k steeds een r o -l , z i j h e t d a t een en ander minder s y s t e m a t i s c h wordt opgezet. B i j de i n d i t h o o f d s t u k behandelde onderwerpen z a l h i e r en daar h e t c o l l e g e b 74 dan ook worden genoemd a l s bron voor verdere i n f o r m a t i e . De r e s u l t a t e n van een s t e r k vereenvoudigde o p l o s s i n g kunnen op een be-scheiden s c h a a l worden g e b r u i k t om de i n v l o e d van de v e r w a a r l o z i n g e n v a s t t e s t e l l e n .
I n d i e n u i t een d e r g e l i j k e g l o b a l e c o n t r o l e b l i j k t d a t de i n v l o e d n i e t h e e l e r g k l e i n i s , i s men gedwongen een nauwkeuriger (hogere orde) benadering t e geven t e n e i n d e meer zekerheid t e v e r k r i j g e n .
I n d i e n l a t e r meer algemeen toepasbare oplossingsmethoden z i j n behandeld, b e s t a a t de m o g e l i j k h e i d om de i n v l o e d van een i n de v e r g e l i j k i n g e n
!["Fuad I University Papyri", David S. Crawford, Alexandrie 1949 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)