Lineaire algebra: Deel 1

LINEAIRE

ALGEBRA

deel 1

TH.

PIPEKARU

-= = : =

=======

=:;..;::== -==.:::--'-= -:.:;:; = =

-=======

"

=======

==~ê§

PIB26

1141

C10055

97685

/

fJ1G

//'1/

BIBLIOTHEEK TU Delft p 1826 1141

11111111

I

c

559768

Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen teUelft - 2e OrUK

-

1975

.

VOORWOORD.

Deze handleiding, geschreven in opdracht van het bestuur van de Afdeling der Algemene Wetenschappen van de T.H. te Delft, is bedoeld als collegedictaat Lineaire Algebra voor het eerste studiejaar van vrijwel alle technische afdelingen. Hopelijk wordt hiermee voorzien in een behoefte die is ontstaan door de herpro-grammering van het wetenschappelijk onderwijs, ingaande het cursusjaar 1974 - '75. De handleiding bestaat uit drie delen. De delen I en II vormen één geheel. Hierin is nagenoeg alles opgenomen dat door de diverse afdelingen wordt verlangd. Daarom zal voor sommige afdelingen de stof mogelijk wat te uitgebreid zijn. Al naar gelang de omstandigheden zou de behandeling wat oppervlakkiger en wat minder uitvoerig kunnen zijn.

Ten behoeve van die studenten die in hun vooropleiding het vak 'Wiskunde 11' niet hebben bestudeerd is in hoofdstuk I een samenvatting hiervan opgenomen. Deel III bevat enkele aanvullingen bedoeld voor het tweede studiejaar van de afde-lingen Electrotechniek en Technische Natuurkunde. Hierin worden onder andere 'complexe vectorruimten' behandeld.

Een woord van dank is hier op zijn plaats aan de V.S.S.D. voor de aangename samenwerking en de snelle en accurate uitvoering van het drukwerk, waardoor deze handleiding tijdig gereed is gekomen.

Delft, augustus 1974. Th. Pipekaru

BIJ DE TWEEDE DRUK.

Behoudens de correctie van een aantal storende onvolkomenheden en drukfou-ten, is deze tweede druk identiek met de eerste.

Op grond van de ervaring die is opgedaan in het cursusjaar 1974/,75, zal in een derde druk het eerste hoofdstuk - Recapitulatie V.W.O.-stof - over de rest van het boek worden verspreid. Verder zullen de onderwerpen die uitsluitend voor de A-versie zijn bestemd worden weggelaten.

In een verdere toekomst zal voor de A-versie een apart dictaat worden samenge-steld. In verband hiermee zal deel 111, dat werd aangekondigd in de eerste druk niet verschijnen.

De schrijver zegt dank aan allen die met suggesties gekomen zijn ter verbetering van het dictaat.

Th. Pipekaru Delft, juni 1975.

INHOUD

HOOFDSTUK I: RECAPITULATIE V.W.O.-STOF. 7

§1. Inleiding 7

/ §2. Voorstelling punt, lijn, vlak 8

2.1. Definities 8 2.2. Coördinatenstelsel in M 2 en M 3 11 2.3. Lijn in M₂ 14 2.4. Vlak in M3 17 2.5. Lijn in M3 19

,/ §3. Afstand, hoek, inwendig product 30

3.1. Afstand van 2 punten 30

3.2. Inwendig product 31

3.3. Vergelijking van een lijn in M₂ en van een vlak in M3 35 §4. Lineaire (on)afhankelijkheid, determinanten, uitwendig

product, lineaire vergelijkingen 44

/ 4.1. Lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid 44 4.2. Determinanten van de tweede orde 51

4.3. Uitwendig product 54

4.4. Determinanten van de derde orde 60

4.5. Lineaire vergelijkingen 65

,/

HOOFDSTUK II: VECTORRUIMTEN. 71

§1. Definitie 71

§2. Lineaire deelruimten 77

§3. Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid 85

.§4. Basis en dimensie 92

§5. Coördinaten 104

§6. Doorsnijding en verbinding van deelruimten. Lineaire

variëteiten 108

HOOFDSTUK III: LINEAIRE VERGELIJKINGEN,

MATRICES, DETERMINANTEN. 119 §1. Lineaire vergelijkingen 119 1.1. Definities 119 1.2. Homogene vergelijkingen 120 1.3. Niet-homogene vergelijkingen 126 5

§2. Oplossen van lineaire vergelijkingen 133

2.1. Rekentechniek (methode van Gauss) 133

2.2. Nadere beschouwing (methode van Gauss) • 139

§3. Matrices 151 3.1. Definities 151 3.2. Rekenregels 152 §4. Determinan ten 162 4.1. Definities 162 4.2. Rekenregels 165 4.3. Afhankelijkheid en determinant 172

4.4. Inverse van een matrix 173

4.5. Lineaire vergelijkingen 177

Trefwoordenlijst 181

I. RECAPITULATIE V.W.O.-STOF.

§ 1.

Inleiding.

In d.e natuurkunde komen grootheden voor, die (na aanname van een geschikte eenheid) geheel bepaald worden door één getal, zoals lengte, temperatuur, lading, massa,

weerstand.

Dergelijke grootheden noemt men scalaire grootheden of scalars. Daarnaast komen

vectorièïe grootheden of vectoren voor, die pas bepaald zijn als we naast hun getal-waarde ook hun richting kennen, zoals snelheid, versnelling, kracht, electrische veldsterkte.

In dit hoofdstuk wordt nu gebruik gemaakt van vectoriële grootheden om (een gedeelte van) de analytische meetkunde van het platte vlak en de ruimte te beschrijven. In par. 2 in 2.1 wordt daartoe gedefinieerd, wat er in deze vectorrneetkunde onder een vector word t verstaan. Er worden voorts een aantal rekenregels voor vectoren opgesteld. Bij de definities die daarvoor nodig zijn hebben we ons laten leiden door de rekenregels, zoals die gelden voor vectoriële grootheden in de natuurkunde (denk bijv. aan het parallellogram van krachten).

We besluiten deze inleiding met de volgende opmerkingen.

I) Het is niet de bedoeling met vectormethoden stellingen uit de planimetrie en stereometrie te bewijzen. Het is omgekeerd veeleer zó, dat stellingen uit planimetrie en stereometrie bekend worden verondersteld en gebruikt worden om de vector-meetkunde op te bouwen.

2) Het zal later blijken (in hoofdstuk 11, III en hoofdstuk IV) dat een groot deel van de theorie van de lineaire algebra aanschouwelijk gemaakt kan worden in de vector-rneetkunde.

7

I I

.

1

1-2-1

§

2

Voorstelling punt, lijn en vlak

2.1 Definities.

Er wordt geen onderscheid gemaakt tussen de gevallen, dat we werken in het platte vlak, dan wel in de ruimte.

Zij 0 een vast gekozen punt in het platte vlak of in de ruimte; 0 heet de oorsprong. Definitie. Een vector is een gericht lijnstuk, met 0 als beginpunt en een willekeurig gekozen punt A in het vlak of in de ruimte als eindpunt.

A

oY

fig. 1.

Notatie voor de vector met A als eindpunt is OA of l!; de lengte van de vector wordt -+

aangeduid met 10AI of lal. Opmerkingen.

1. Bij voorkeur wordt gebruik gemaakt van de onderstreepte kleine letter, om vectoren aan te geven. Met de vectoren l!, Q, ~ enz. corresponderen volgens deze afspraak dus vectoren met eindpunten A, B, C enz.

2. Uit de definitie volgt, dat de punten en vectoren in het platte vlak, en ook in de ruimte, één-éénduidig (bijectief) aan elkaar zijn toegevoegd. In het bijzonder noemen we de vector, die 0 als eindpunt heeft, de nulvector; notatie Q. Blijkbaar is lUI

=

0, terwijl voor de andere vectoren geldt 1l!1

>

o

.

3. De lijn door de punten 0 en A heet de drager van de vector ä. De nulvector heeft iedere lijn door 0 als drager.

4. Onder de tegengestelde vector van l! ~erstaan we die vector waarvan het eindpunt het spiegelpunt is van het eindpunt van l! t.o.v. 0; notatie voor de tegengestelde vector van l! is -~.

We definiëren nu 2 bewerkingen voor vectoren. Optellen van twee vectoren.

De som ~ + 12. van de vectoren~ en 12. definiëren we als volgt:

Zet in het eindpunt van l! een lijnstuk af van de lengte

Ihl

en met dezelfde richting als

.12;

het andere uiteinde van dit lijnstuk is dan het eindpunt van de vector l!. + 12..

Simpel is nu in te zien dat voor de optelling van vectoren de volgende rekenregels gelden voor alle l!,Q,Ç in het platte vlak, dan wel in de ruimte.

I) l!

+

12

=

12

+

l! (commutatieve eigenschap) 2) l!

+

Q =.l! 3) l!+ (-.l!) = Q 4) ~ + (!! + ç) = ~ +

!!) +

f (associatieve eigenschap).

--

---fig. 2 8 f::~--1 I I

I

-I

I

Opmerkingen.

S. _{Uit de laatste regel blijkt, dat geen verwarring mogelijk is, als we de haakjes'}

weglaten en kortweg schrijven .1!. + Q + f..

6. _{Wat de optelling van vectoren betreft, hebben we dus dezelfde rekenregels als} voor reële getallen. Het is daarom ook mogelijk een bewerking in te voeren die we noemen aftrekken van twee vectoren. Laten ~ en Q

2

vectoren zijn. Bepaal de vector .!, zodat Q

+

.! = ~; tel daartoe bij beide leden

-12

op. Er komt dan

~ = ~ + _{(-.12.), waarvoor geschreven wordt ~ =..!!. - Q;..!!. - .12. heet het verschil van..!!.} en

12

/ I / / / I ~-Q. A

- - - -

t':

~-,_Q.---~~--·b----~B

_o

_

fig. 3.

7. Hoewel een vector een gericht _{lijnstuk is, met beginpunt 0, heeft het soms}

voordelen om vectoren op andere wijze te representeren. Daarbij blijft wel de richting en de lengte van de vector behouden, maar wordt het beginpunt van de vector verplaatst naar een willekeurig gekozen punt P van het platte vlak, resp. van de ruimte. _{Volgens deze afspraak kan de vector ~, met eindpunt A,}

voorgesteld worden door het gerichte lijnstuk met P als beginpunt en Q als eind-punt (fig 4); notatie

PO

.

A

oy

fig. 4.

In fig. 3 is dus ~

-12

= BA, of, anders geschreven, _~ =

12

+ BA.

De verschilvector ~ - .12. is dus direct aan te geven, als de vectoren A. en

12

gegeven zijn; zie fig. 5.

fig. 5.

Vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal.

Het product ai! _{van een reëel getal a} =1= 0 en een vector ~ =1= Q definiëren we als volgt:

a.i! _{is een vector die dezelfde drager heeft als ~ en waarvan de lengte lal}

maal de lengte

is van.i!; a.i! _{heeft dezelfde richting als.i!, indien a> 0 en de tegengestelde richting} indien

a

<

O.

Is

a

= 0 of i! _{= Q dan definiëren we ~ = Q.}

De juistheid van de volgende rekenregels is meetkundig direct duidelijk voor alle

a,(3 € IR en voor alle i!,Q _{in het platte vlak, dan wel in de ruimte.}

1-2-1

1) a({3l!) = (a{3)ll (associatieve eigenschap)

2) a(l! + b) =

aa

+ ab } (d' 'b ' . h )

3) ( · a+ (3-) -ll-~+ - (3 -l! lstn utleve elgensc appen 4)lll=1l·

Opmerkingen.

8. Ook hier dezelfde rekenregels als voor reële getallen. We kunnen weer schrijven a{3l! in plaats van a({311) of (a{3)!.

9. De tegengestelde vector van l! is gelijk aan (-1 )l!.

10. Verzamelingen van elementen, met de bovenstaande structuur, waarvoor een optelling is gedefinieerd en een vermenigvuldiging met een scalar, worden vector-ruimten genoemd, indien de optelling en de vermenigvuldiging voldoen aan de 8 rekenregels die boven zijn genoemd. Zijn de elementen daarbij de vectoren in het platte vlak, resp. in de ruimte en is de optelling en de vermenigvuldiging met een reëel getal gedefinieerd op de manier zoals in het voorgaande is gebeurd, dan noemt men de vectorruimte een ruimte M₂ resp. een ruimte M3'

Voorbeeld en. I. B , I SJ '. I I I / I

o

"""---;;:.!A fig. 6 2. A C C B fig. 7

Voor het midden M van het lijnstuk AB geld t --. I

OM

=

ï(l! + Q). Immers

- 1 - I

OM

=

ïOC

=

ï(l!

+

Q).

1-Druk

oe

uit in l!. en

12

als C gelegen is op het lijnstuk AB (tussen A en B), zodat de verhouding van de afstanden van C tot A en B gelijk is aan 2 : 3. Voor de oplossing van dergelijke vraagstukken

o

maken we gebruik van opmerking 7.

- -+ --. --. 2 - 2 - 3 2 OC = OA + AC = OA + SAB = l!. +

3(12

-

l!) en dus OC =

Sl!

+

SQ·

3. C A B

o

4. Vraagstukken. 1. Gegeven is de vector ll. Construeer: 3l!, -2l!.

2. Gegeven zijn de vectoren l! en Q.

Construeer: II - 2Q en -211 + 3Q.

10

3

Dezelfde vraag als in voorbeeld 2, maar nu is C gelegen op het verlengde van vet lijn-stuk BA (aan de kant van A).

OC

=

01. + AC = OÄ + 2B1. = = l! + 2(l! - !2),

zodat

oe

= 3l! -

212.

1.\ A, B, C en D zijn de opvolgende hoekpunten van een parallellogram. Druk 00 uit in de vectoren,l!,

11

en g,.

1-2-2 3. ~ en Q zijn gegeven vectoren, a is een gegeven reëel getal. Los, indien mogelijk,

l\. op uit

a) 3~ + 2

=

a~ + .!!

b) 2(~ + ;!J= 2K +

312

c) a(3~ - ~

+

2(5K. -

12)

=

7K +.!! -

212

.

4. Als ~ en

!2.

gegeven vectoren zijn, los dan!. en J'.. op uit { 6~ +

2J'..

=

2.!!

2K - l: = -12

·

5. a) Zij Z het zwaartepunt van driehoek OAB.

Druk 1,. uit in .!! en

Q.

b) Als Z het zwaartepunt is van driehoek ABC, druk dan ~ uit in ~,

!2.

en S

6. A en B zijn twee gegeven punten.

X is gelegen op het lijnstuk AB (tussen de punten A en B), zó dat de verhouding van de afstanden van X tot A en tot B gelijk is aan À : J.l.(À

>

0,f.1

>

0). Druk OX uit in a en b.

7. Dezelfde vraag als in opgave 6, maar nu is X gelegen op het verlengde van het lijnstuk BA (aan de kant van A, f.1

>

À).

2.2 Coördinatenstelsel in M₂ en M3.

We beschouwen nu in tegenstelling met 2.1 het platte vlak (M₂) en de ruimte (M

3)

afzonderlijk.

M

₂

We kiezen in het platte vlak 2 vectoren OE I

=

~I _{en OE 2}

=

~2' zodanig dat de punten 0, EI en E₂ niet op één lijn liggen. Iedere vector! is dan, op precies één manier te ontbinden langs!<1 en ~2: X 2 - -- - - - -- / X E₂ ~ !<2 EI /

Zij _{OX I}

=

xI~1

_{en OX2}

=

_{x 2!<2' dan is}

dus fig. 10

0 ~I XI

De vectoren x I!<I en x2~2 heten de componenten van~. De verzameling {~l '!<2} heet een basis van M

2 ; de vectoren ~ I en!<2 heten basisvectoren.

Uit het bovenstaande volgt: bij gegeven basis {!<1 ,le₂} correspondeert met iedere vector K van het platte vlak één-éénduidig een paar reële getallen XI ,x

2.

XI en x2 heten de kentallen van de vector ~ t.o.v. de basis {!<I ,_{!<); XI en x 2 heten ook} de coördinaten van het eindpunt X van ~ t.o.v. de basis @I ,le_{2}. De dragers van de} basisvectoren heten de coördinaatassen; resp. zijn het de xI-as en de x

2-as.

Bij een gegeven basis is een vector ]i dus bepaald door zijn kentallen. We schrijven de

kentallen vaak als een kolommetje.

Notatie:

~

=

(:~)

In het bijzonder is Q =

(~),

l<1 =

(~)

en !<2 =

(~)

.

Gaat het om de coördinaten van het eindpunt X van K, dan schrijven we de getallen Xl en x2 meestal als een rijtje.

Notatie: X(x_l,x

2).

,tl_ j • • IIE

1-2-2

In {je ruimte gaan we analoog te werk.

We kiezen 3 vectoren OE,

=

~"

öË

₂

=

~

en OE3

=

~3'

zodanig dat de punten 0, E" E₂ en E3 niet in één vlak liggen. Iedere vector! is dan op precies één manier te ont-binden langs~" ~2 en ~3:

~~,

/ -

~---

- - -;'f ,,' ... X ",' I f - - - _ _ _ '::=...- -' I I I I I I I Xl

,

°r::--"".!<_2_--L..---j~: ~

~l ... : / /

-- _______ -::"." .. v

fig. 11 = x,~,

+

x2~2

+

x3~3'

De verzameling U;, ,1<2,1<3} heet een basis van MJ'

De getallen XI' X₂ en x₃ heten de kentallen van!. t.o.v. de basis

k

_l '~&3}'

De dragers van de basisvectoren heten de coördinaatassen. De vlakken door twee coör-dinaatassen worden de coördinaatvlakken genoemd.

No,",'" K

=(::)

on X( x, ,x"x

,J,

Na keuze van een basis is aan iedere vector! één-éénduidig een getallenpaar(: I \ (plani ..

(XI \ 2.1

metrie) of eengetallentriPel\ x₂ (stereometrie) toegevoegd. De vraag is nu, welke

,x₃/

algebraïsche bewerkingen met getallen paren of getallentripels overeenkomen met de in 2.1 ingevoerde bewerkingen !.

+

Q resp al!.

We beperken ons tot M3' maar vermelden alvast dat de nu te behandelen stelling analoog

~:~~:i;:~~ :~~

!.

=(:~)

en Q

=(~:),

dan is ..!!

+

Q

=(:~

:

~~)

en a..!!

=(::~).

a3 b J aJ + _{b J} aaJ

Bewijs. Daar ~

=

a,~, + a2~ + aJ~J en Q

=

b,~, + b2~2 + b3~J volgt, door toepas-sing van de rekenregels uit 2.1

!.. +

Q

= al~1 + a2~2 + a3~3 + bl~1 + b2~2 + b3~3 = = (al + _{bi )5:1} + _(a2 + b2)~2 + (11₃ + _{b 3)5:3 , zodat}

!.

+

Q

=(:~: ~~).

a_J

+

b

3

Evenzo is:

CL.! = a(a,~, + ~ ~ + _{aJ I<J)} = aal~' + a~ ~2 + aaJ~3 en dus

a~

=

(::~l.

aaJ

In woorden kunnen we stelling 1 als volgt samenvatten:

1) de kentallen van !.

+

11

zijn gelijk aan de som van de overeenkomstige kentallen van ~ en van Q.

2) de kentallen van a~ zijn gelijk aan de met a vermenigvuldigde kentallen van A. Volledigheidshalve merken wij nog op, dat er in deze par. 2 aan een basis geen extra voorwaarden worden opgelegd. Eerst in par. 3 bij de bepaling van afstanden en hoeken, zal worden aangenomen dat de basis orthonormaal is.

Voorbeelden.

5. Zij

~

=(i),

Q =

(-n

en

~

=(=n,

dan is

2~

-

!!2.+~~=(~)

-

(-~)+(-~

)

=(!)

.

2 1/2 ,-3/2 0

6. Zij

~

=c

~

)

en Q

=

(j

)-Bepaal getallen a en

{3

zó dat aa

+

(3!2

=cn.

Dan moet: a

C

~)

+

{3cn

=CD,

zodat 3a =-3

{3

=

2

-a -

5{3

=

-9

.

Er vplgt a = -I en (3 = 2.

7. Gegeven de punten A(I,2), B(3,-2) en C(6, I).

Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek die ontstaat door driehoek ABC

a) t.O.V. 0(0,0) met -2 te vermenigvuldigen;

b) t.o.v. P(-I,-3) met 1/2 te vermenigvuldigen.

a)

_C'

OA

- ,

=

-20A

- (-2)

= -4 .

A'

De coördinaten van A' zijn dus (-2,-4).

Evenzo blijkt B'(-6,4) en C'(-12,-2).

A _{Nu is OÄ'}

₌

_OP

₊

_PÄ'

₌

_OP

₊

_lPÄ

₌

2

P

=

C!)

+

i(~)

=

Ll~2)

,

zodat A'(O,-!).

fig. 13. E

' I , I

venzoB(l,-2

₂₎

en C(2!,-I).

Vraagstukken.

8. Zij

~ =(~).

Q

=

(-!J'n

'1~)

Bepaal

a,{3

en 'Y zó dat a~ + (3Q

=

~.

9. Gegeven driehoek ABC met de hoekpunten A(2,5)., B(5,1) en C(-2,2).

a) Bepaal de coördinaten van de beide punten gelegen op de lijn door A en B, waarvoor geldt, dat de afstand tot A tweemaal zo groot is als de afstand tot 'B.

b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van driehoek ABC.

1-2-3

10. Men vermenigvuldigt driehoek ABC met hoekpunten A(I,0,2), B( -2,3,1) en C(O,l,O) ten opzichte van het punt P(-1,2,-2) met 3.

Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van de productfiguur. 11. A(O,1 ,2), B(3,5,-4), C(O, 1,1) en D zijn opvolgende hoekpunten van een

trapezium ABCD.

De zijde AB is evenwijdig aan CD, terwijl de lengte van AB tweemaal de lengte is van CD.

Bereken de coördinaten van a) het hoekpunt D;

b) het snijpunt van de diagonalen AC en BD;

c) het snijpunt van het verlengde van de zijden AD en Be.

12. A(I,-1,2), B(0,1,4), C(2,1,0) en D zijn opvolgende hoekpunten van een parallellogram.

Bereken de coördinaten van a) het snijpunt der diagonalen;

b) het hoekpunt D. 2.3 Lijn in M

2

Iedere vector ~ E M

2 bepaalt een punt van het platte vlak en omgekeerd. Met

een verzameling vectoren correspondeert dus een verzameling punten; omge-keerd bepaalt een verzameling punten een verzameling vectoren.

Laat ~ =1= Q en beschouw de verzameling vectoren

ül

~ = Q.!!, a E IR}.

Deze verzameling bevat juist alle vectoren van M

2, die dezelfde drager hebben als ~. Met deze verzameling vectoren correspondeert de puntverzameling

{X

IOX

=~

,

a E IR}.

Deze puntverzameling bevat juist alle punten, gelegen op de drager 1 van de vector.!! . We noemen

K

=

Q.!!,

a

E IR

daarom een vectorvoorstelling van de lijn 1 .

.!! heet richtingsvector van 1.

a

is een parameter; als

a

varieert, doorloopt het eindpunt van ~ de lijn 1. In plaats van een· vectorvoorstelling spreken we daarom ook wel van een parame-ter voorstelling van I.

Algemeen stelt K = 1:1. + a.!!, a E IR , J!. =1= Q een vectorvoorstelling voor van de

m

fig. 14

lijn m ,door B, evenwijdig aan de drager van.!!.. We noemen Q steun-vector (B: steunpunt) van m. Merk op dat het steunpunt B wille-keurig gekozen kan worden op m en voorts dat ook de richtingsvector

o

.!! van een lijn niet eenduidig bepaald is, maar door een veelvoud ~Q) mag worden vervangen.

2 lijnen 1

1 en 12 zijn evenwijdig of samenvallend, als een richtingsvector van 11, even-eens richtingsvector is van 1

2,

Een lijn in M

2 kan nog op een tweede manier worden voorgesteld, nl. door een lineaire vergelijking in de coördinaten Xl en x₂.

)-2-3 Zij m: X = Q + <l.l!., ~

*

Q.

Is

~

=

(~)

, Q =

(~~

)

en

~

=

(:~)

, (zodat al *

°

of a2 * 0), r /x)\ _ (b t\ ;al') {Xt =b) +aal

dan volgt e.

I

,

-

b .

+

a I. en dus _ . ... (I)

\X 2

!

\

2/

\

h

_{X2 -} b2 +aa2

Door eliminatie van a uit (I), vinden we de betrekking, waaraan Xl en x₂ moe-ten voldoen, opdat het punt X(x_l, x

2) gelegen is op m. De betrekking is van de gedaante

CIXI+C2X2+C3=0, met cl*O of c_{2 *0}.

Omgekeerd stelt de verzameling

{X(Xt,x2)lc/t+c2x2+c3=O, ct*O v c₂*O } ...

(2)

een rechte lijn voor. We kunnen dit bewijzen doer de vectorvoorstelling van (2) op te stellen. We geven dit bewijs niet algemeen, maar beperken ons tot voor-beelden.

Voorbeelden.

8. Bepaal een vectorvoorstelling en een vergelijking van de lijn /, door de punten P(3,2) en Q(l,4).

Op!. Wegens

(~

)

-

(!)

=

(_22)

'

kan als richtingsvector van I worden genomen (_\) . Een vectorvoorstelling van I is dus

~

=

G)

+

a(_\

)

Eliminatie van a uit

{Xt

= 3

+

a x₂

=

2 - a

levert als vergelijking van I: XI

+

x₂ = 5 ,

._

..

----_.---9. Gegeven een lijn I door de vergelijking 2 XI - 3 x₂ - 6 = 0 . Bepaal een vectorvoorstelling van / . -, .

Op!. Stellen we XI =

a

,

dan komt er x₂ =

j

a

-

2 , zodat

(

X) (

1=2

a \

)=

1

1

0)

+a2

(1)

·

,

.

'

~

x₂

3"a

-

2

\

-2

"3

Om breuken te vermijden, vermenigvuldigen we de richtingsvector met 3, zodat als vectorv,oorsteIling resulteert

~

=

\

~2)

+

~G).

10. Dezelfde vraag als in voorbeeld 9, indien de vergelijking van is 3 XI - 6 = O. Op!. We stellen nu x 2

=

a , zodat, wegens Xl

=

2 ,

~

=

(:~)

=

(

~)

=

(~) +a(~)

.

11. Bepaal de coördinaten van het snijpunt van de lijnen I en m, als

I:

~

=

(_~)

+ a

(!)

m:~= (_~) +~(~)

.

1-2-3

Op!. Omdat de richtingsvectoren

(0

en

(j)

verschillende dragers hebben

zijn I en m niet evenwijdig;

I

en m hebben dus een snijpunt. Voor

het snijpunt moeten

a

en

(3

zo bepaald worden, dat

Er volgt

(_~)

+

a

(!)

=

(_~)

+

(3(~).

{

I+a= 1+

(3

-4+a=-2+3(3,

zodat a =

(3

= -I . De coördinaten van het snijpunt zijn (0,-5).

12. Bepaal de coördinaten van het snijpunt van de lijnen I en m, als

1: X=

(~)

+

a(!) ,

terwijl m tot vergelijking heeft x I + 3x 2 = 3 .

Opl. We bepalen a zb dat het punt met coördinaten (xI' _{x2) =}

= (l +

a,

2 +

a)

_{voldoet aan x I + 3x 2 = 3. Er volgt 1 +}

a

+ 6 + 3

a=

3, zodat

a

= -I. De coördinaten van het snijpunt zijn (0,1).

Vraagstukken.

13. Gegeven de lijn I: .! =

(1)

+ a(j). Bepaal de vergelijking van 1.

14. Dezelfde vraag als in opgave 13, als 1: .! = (j) +

a(bl .

15. Bepaal een vectorvoorstelling van I, als I tot vergelijking heeft

3xI + x2 = 6.

16. Dezelfde vraag als in opg. 15, als de vergelijking van I is 3x

2 + 7 = 0 .

17 Gegeven de punten A(l,2), B(1,1) en C(3,-1).

18. 19. 20. '1.. 21. 22. 16

a) Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn I, die gaat door A en door het midden van het lijnstuk BC.

b) Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn m, die gaat door A en die evenwijdig is aan de lijn door B en C.

Bewijs dat de punten A(0,2), B(3,5) en C(4,6) op één lijn liggen. Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen

l:.!=(~~)+a(~)

en

m:.!=

(~)

+(3(!).

Bepaal ook de coördinaten van het snijpunt van de lijnen

I: X = (-;) +

a(

~)

en m, waarvan de vergelijking is 3xI + x2 = 7.

Gegeven de punten A(I ,4) en B(5,2).

Bepaal de coördinaten van de punten, gelegen op de verbindingslij~ van A en

B, zó dat de afstand tot B driemaal zo groot is als de afstand tot A.

~l' en ~2 zijn gegeven vectoren, met verschillende dragers. Teken de volgende punt,"erzamelingen. a) {X

1~=~1 -~2)

'

b) {X IOX=~1-~2 +a(~l +~2)' c) {X

lox

= 5!1 +a(!l.l -

2~),

aeIR } aeIR } aeIR }.

1-2-4 23. Dezelfde vraag, als in opg. 22, voor

a) {X

I~

=

~I

+

~2

' -I

<

a

<

2 }

b){XOX=~1+a!<2' lal>1 }. 24. Gegeven de lijnen

I:

!=(~)+a(_~)

en m:

~=(-n+~(~)

"

Bepaal p zó dat 1 en m evenwijdig zijn en bepaal vervolgens r zó dat 1 en m samenvallen.

25. Onderzoek de onderlinge ligging van de lijnen

I: !

=G)

+a(-~)

en m: 2x

I

+

x2

=

a.

26. Bepaal a en b, als gegeven is, dat de lijnen 1:

!=(~)

+a(!)

en

m: (b - 3)x

1 - 3x2 = 4 samenvallen.

2.4 Vlak in M3

Met iedere vector ~ € M 3 correspondeert een punt van de ruimte en omgekeerd. Neem aan dat ~ en Q vectoren zijn van M3' die niet een zelfde drager hebben (dit impliceert, dat ~

'*

Q 1\

!2

*' Q). Beschouw nu de verzameling vectoren

{ !

I

! =

a~

+

IJ

Q, a,

IJ

€ IR }.

Deze verzameling bevat juist alle vectoren van M3' gelegen in het vlak V, door de dragers van ~ en Q.. Met deze verzameling vectoren correspondeert de puntverzameling

{Xl

OX

=

a~

+

{jQ

,

aft € IR}.

Deze puntverzameling bevat juist alle punten van V. We noemen daarom

~

=

a~

+iJQ

,

aft € IR

een vectorvoorstelling van het vlak V. We zeggen ook dat het vlak V door de vectoren ~ en

Q

wordt opgespannen.

/ /' / / ' .L _ _ / / ~--- - - ---- - - . . . " .. / / / / fig. 15

o

~ Algemeen is ! = E.

+

a~

+

~Q, a,~ € IR

een vectorvoorstelling van het vlak W, door C, evenwijdig aan het vlak door de dragers van 11. en

.!2

.

We noemen f. steunvector (C: steunpunt) van W. Het steunpunt kan willekeurig gekozen worden in W. Voor ~ en

Q

kan ieder tweetal vectoren (*'Q) genomen worden, waarvan de dragers evenwijdig zijn aan W, maar niet samenvallen; we noemen ~ en .Q richtingsvectoren van W. 2 vlakken VI en V 2 zijn evenwijdig of samenvallend als 2 richtingsvectoren van

VI (met verschillende dragers) eveneens richtingsvectoren zijn van V 2'

Een vlak in M3 kan nog op een tweede manier worden voorgesteld, nl. door één lineaire vergelijking in de coördinaten xl' X₂ en x 3'

1-2-4

Zij Is

dan volgt er

en dus

W: X

=

.Ç. + tt;! +

f3l2,

waarbij ~ en Q niet dezelfde drager hebben.

II

= (

:~

)

,

~

= (

~~

),

ll.

= ( :

~)

en

b.

=

(~~

)

x₃ c_J a₃ b 3

l

XI

=

Cl + aal +{3 bi x2 = c 2 + aa2 +{3 b2 x 3

=

c 3 +aaJ +{3 b3 (3)

Door eliminatie van a en (3 uit (3) vinden we de betrekking waaraan xl' X 2 en X3

moeten voldoen, opdat het punt X(X

I ' X2' X3) gelegen is in W. Deze betrekking

is van de gedaante dl xl + d2x2 + d3x3 + d4

=

0, met dl

"*

0 of d₂

"*

0 of d₃

"*

O.

Omgekeerd stelt de puntverzameling

{X(xl,x2,x3)ldlxl+d2x2+dJx3+d4 =0,

dl

*'

0 of d₂

"*

0 of dJ =!= O. }

een vlak voor. We laten de bewijzen achterwege, maar geven een toelichting aart de hand van enige voorbeelden.

Voorbeelden.

13. Stel een vectorvoorstelling op, van het vlak V, door de punten A(l,2, 1), B(7,-I,-2) en C(-I,I,4).

Op!. De vectoren

hebben verschillende dragers, die evenwijdig zijn aan V. Een vectorvoorstelling van V is dus

14. Gegeven het vlak V:

~=m+a(-lH~)

Bepaal de vergelijking van V.

Op!. Schrijven we de vectorvoorstelling van V uit, dan komt er

I

xl =

a +

2{3 x 2 =-a x 3 = 2

+

{3. Er volgt

a

= -x₂ en (3 = x 3 - 2, zodat X I = -x2 + 2(x3 - 2) en dus xl

+

x₂ - 2x₃ = -4. 15. Zij xl - 2x

2 + 3x3 = 4 de vergelijking van een vlak V. Bepaal een

vector-voorstelling van V.

18

Op!. Stel x₂

=

a en x₃

=

{3 dan is xl

=

2a - 3{3 + 4. Een vectorvoorstelling van V is dus

(

XI) (2a-3{3+4)

(4)

(2)

(-3)

~

=

:~

=

~

=

~

+ a

~

+ (3

~

.

Vraagstukken.

27. Bepaal een vectorvoorstelling en de vergelijking van het vlak V door de punten A(I,l,l), B(-4,-3,3) en C(3,-1,-1).

---@28. Bepaal een vectorvoorstelling en de vergelijking van het vlak V, dat gaat

door de punten A( 0,1,2) en BO , 1,3) en dat evenwijdig is aan de XI -as.

29. Gegeven een vlak Vdoordevergelijking 5x

l -x2+3x3=7.

Gevraagd een vectorvoorstelling van V.

30. Geef ook een vectorvoorstelling van de vlakken XI + 2x 2 = I en X 3 = I. 31. Gegeven de punten A(I,O,O), B(O,l,O), C(I,I,l) en D(2,3,a). Bepaal a

ZÓ, dat het punt D ligt in het vlak door A, B en C. 2.5 Lijn in M3

Geheel analoog aan de beschouwingen voor M₂ blijkt dat .1i =

!L

+ a~ ~ =1= Q,

a € IR een vectorvoorstelling is van de lijn. die gaat door het eindpunt van

12

en die evenwijdig is aan de drager van 2..

Ook nu geldt dat als 2 lijnen evenwijdig zijn (in het bijzonder: samenvallen) een richtingsvector van de ene lijn tevens richtingsvector is van de andere lijn. Als 2 lijnen in M3 niet evenwijdig zijn (dus ook niet samenvallen) en elkaar

niet snijden, dan kruisen ze elkaar. Kruisende lijnen zijn dus lijnen, die géén punt gemeenschappelijk hebben, maar niet evenwijdig zijn. Anders gezegd: kruisende lijnen zijn niet in éénzelfde vlak gelegen.

Een lijn is evenwijdig aan een vlak, (in het bijzonder: ligt in een vlak) als een richtingsvector van de lijn, tevens richtingsvector is van het vlak; is dit laatste niet het geval, dan hebben lijn en vlak één punt gemeenschappelijk.

Een lijn in M3 kan behalve door een vectorvoorstelling worden gegeven door een stelsel van 2 lineaire vergelijkingen in XI ' x

2 en x3. Breng immers door de lijn 2 verschillende vlakken aan. Een punt X(x

i ,x2,x3) is dan en slechts dan

gelegen op de lijn, als coördinaten van X voldoen aan de vergelijkingen van deze vlakken. Door deze vergelijkingen te geven, is dus de lijn bepaald.

Omgekeerd is echter niet door ieder stelsel van 2 lineaire vergelijkingen in x I' x

2 en x3 een lijn in M3 bepaald. De vergelijkingen in het stelsel { Cl Xl + c2x2 + c3x3 + c4 = 0, Cl

=1= 0 of c₂=1= 0 of c₃=1= 0 (1)

dlx,+d2x2+d3x3+d4=0, dl =1=0 of d

2=1=O ofd3=1=O

zouden nl. wel eens vergelijkingen kunnen zijn van evenwijdigè vlakken (in het bijzonder: samenvallende vlakken). Het is eenvoudig te bewijzen, dat dit dan en slechts dan het geval is, als de coëfficiënten van xI' x

2 en x3 in beide vergelijkingen evenredig zijn, d. w.z. als er een getal a =1= 0, bestaat, zodat Cl = ad

l ' c2 = ad2 en

c3 =ad

3· Zijn de coëfficiënten van Xl' X2 en X3 in beide vergelijkingen niet evenredig, dan zijn de vlakken V en W, die corresponderen met de vergelijkingen in (1) niet evenwijdig en wordt er door (1) inderdaad een lijn I in M 3 voorgesteld. Zijn À en J1 reële getallen, niet allebei nul, dan is ook

1-2-5

l

X(CIXI+C2X2 +C3X3 +c4)+p(dlxl+d2x2+d3x3+d4)=0 (2)

;f<

of (Àcl+pdl)xI+(Àc2+J.Ld2)x2+(Àc3+J.Ld3)x3+(Àc4+J.Ld4)=0 ... (3) de vergelijking van een vlak door 1 .

Dat door deze vergelijking een vlak wordt voorgesteld, komt omdat de coëffici-enten van xl' X2 en X3 in (3) niet gelijktijdig nul kunnen worden; de vlakken V en W zijn nl. niet evenwijdig. Dat het vlak door 1 gaat, komt omdat voor ieder punt van I de coëfficiënten van À en J.L in (2) gelijk nul worden.

Nemen we in (2) in het bijzonder p =0 (en dus À =1= 0), dan ontstaat de vergelij-king van V; voor À= 0 (en dus J.L =1= 0) komt de vergelijking van W te voorschijn.

Van ieder vlak Z door 1 kan omgekeerd de vergelijking worden bepaald, door deze te schrijven in de gedaante (2). Het komt daarbij alléén aan op de onderlinge verhouding van À en p; deze kan worden gevonden door substitutie van de co-ordinaten van een punt van Z (niet op I gelegen) in (2). De verzameling van alle vlakken door een lijn, noemt men de vlakkenbundel door deze lijn. Men kan de lijn I in plaats van door V en W nu ook voorstellen door ieder tweetal ver-schillende vlakken van de vlakkenbundel door I; in het bijzonder kan men hiervoor nemen, vlakken door I evenwijdig aan de coördinaatassen, dat zijn de projecterende vlakken door I (zie voorbeeld 22).

Opmerking.

11. Omdat het alleen aankomt op de onderlinge verhouding van À en p in (2), neemt men in practische gevallen vaak À = I. Men dient echter te bedenken, dat het vlak W dan voor geen enkele waarde van IJ. kan worden verkregen. Analoog wordt het vlak V voor geen enkele waarde van À verkregen, als men in (2) p = 1 zou substitueren.

Voorbeelden.

16. Gegeven de punten A(1 ,2,1), B(O,-I ,2) en C(2,1 ,0).

20

Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn I, door A, evenwijdig aan de verbindingslijn van B en C. Geef vervolgens een voorstelling van I, door een stelsel van 2 lineaire vergelijkingen.

OpL Een rioh'inpv",oev.n I I,

m

-

(-!) -

U

),

wd.,~,

we A oh •

steunpunt van 1 nemen, een vectorvoorstelling van 1 is

Schrijven we de vectorvoorstelling van I uit, dan komt er

{

~~

:

~

: : ... (4)

x

₃ = 1 - a

Lossen we aop uit de 3de regel van (4), dan vinden we"na substitutie in de Ie en de 2de regel xl = 2 - x3 en x2 = 3 - x3.

Door het stelsel lineaire vergelijkingen

{ Xl

+

X

3 = 2

x₂

+

x

3 = 3 ,

I

,l

17. Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn I, die gegeven is door het stelsel

18.

lineaire vergelijkingen {

XI + x₂ - 4x₃ = 2 xI - x₂ + _{2x 3} = O.

Op!. Stellen we x3

=

a dan komt er xI

+

x

2

=

4a+ 2 en xI - x2

=

-2a. Dit levert xl = 1 + a en x

2 = 1 + 3a. Een vectorvoorstelling van ( is derhalve

~

=

(:i)

=p :

3:Hil

+a(i)

Bepaal een vectorvoorstelling van het vlak V, door A(1,3,2) en door de lijn

,=

(-i)

+

_a

(i)

Op!.

W-

(-i)=m,

dus ook

(~)

is een richtingsvector voor het vlak V. Een vectorvoorstelling van V is dus

.=

(-il+am+~(~)

r)

( 19. _{Gegeven de lijn I:}

(I) (I)

~=O+aO.

1 0

Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn m, die gaat door het punt A( 1,1,2) en die I en de X -as snijd t. "-'e,""

,·L'l..

'!. ( ,')V'> .

eJ

"\

I

()

\

Op!. Een

vectorv~orstelling

van het vlak V door A en de

X~

-as is .. ··

y.7.~

\

~

)

.1-\

'tJ

,=~m+r(i)

<

\

:

\

-

1

2

\t\

Als vergelijking van V volgt hieruit: _{2x I - x 3}

=

O. Zij B het snijpunt van I en V, dan is de verbindingslijn van A en B de gevraagde lijn.

De coördina ten van het algemene punt van I zijn (xI'~ ,_x3) = (I + a,O, I). Voor het snijpunt met V moet gelden 2x I = x3' zodat 2(1

+

a) = I en dus

a

=

-'h. De coördinaten van B zijn dus ('72,0,1). Een vectorvoorstelling van mis

20. Gegeven zijn de lijnen

I

x=

U

)+aU)

on m

~=

(i)+

~(~)

en de punten A(I,I,I) en B(-1,3,-1).

Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn, die 1 en m snijdt en evenwijdig is met de verbindingslijn van A en B.

Op!. De coördinaten van het algemene punt P van 1 resp. Q van m zijn (I + 3a, a, -I - 2a) resp (4 + (3, 2 - 4(3, -4 + 5(3) en een richtingsvector van de verbindingslijn van P en Q is dus

1-2-5

( 3:

~ 4~

=

~)

-2a - S(3 + 3

Een richtingsvector van de verbindingslijn van A en B is

(-:

).

De verbindingslijn van Pen Q moet evenwijdig zijn aan de verbindingslijn van A en Ben dus geldt dat de richtingsvectoren op een veelvoud na aan elkaar gelijk zijn. Er volgt

3a - (3 - 3 _ a + 4(3 - 2

=

-2a - S(3 + 3

I -1 I

Dit geeft a = 2 en (3 = -1. De gevraagde lijn is dus de verbindingslijn van de punten P(7,2,-S) en Q(3,6,-9): een vectorvoorstelling is

X

=

(j)

+

~(

-

D

.

Gegeven de lijn 1 {2X, - 3x₂ + 4x₃ - S = 0 3x, - x₂ - 2

=

O.

a) Bepaal de vergelijking van het vlak door 1 en door P( 1,1,0). b) Bepaal de vergelijking van het vlak door I en evenwijdig aan

~

0

(~)

+

aG)

Opl. De gevraagde vlakken behoren tot de vlakkenbundel door I. Behou-dens het vlak 3x, - x₂ - 2 = 0 kan de vergelijking van ieder vlak van deze bundel geschreven worden als

(2x, - 3x₂ + 4x

3 - S) + À(3x, - x2 - 2)

=

O. (1) Voor ieder van de beide gevallen a) en b) trachten we À zó te bepalen, dat aan de betreffende voorwaarde wordt voldaan.

a) Substitueren we de coördinaten van P in (1), dan komt er -6 + À·O = O. Er is dus geen enkele waarde van À, zodat het door (1) voorgestelde vlak door P gaat. Toch gaat er één vlak van de bundel door look door P. Dat moet dan het vlak zijn met vergelijking 3x, - x

2 - 2 = O. Dat is nl. het enige vlak van de bundel door I, waarvan de vergelijking niet geschreven kan worden in de gedaante (I). (Zie opmerking 11, 1-2-S).

'<:

b) Ook de lijn m'

~

=

a

m

moot mn wijdi, "jn rum bet gen.""e ,lak (eventueel gelegen zijn in het gevraagde vlak). Substitutie van x, = 2a, x

2

=

a, x3

=

0 in (1) levert (a- S) + À(Sa - 2)

=

0, zodat

a( 1 + SÀ)

=

S + 2À. Hieruit volgt: als SÀ + 1 =1= 0 heeft m precies één snijpunt met het door (1) voorgestelde vlak. Als SÀ

+

1 = 0 is er géén snijpunt. Het gevraagde vlak wordt dus verkregen voor À =

-!;

de vergelijking is 7x, - 14x

2

+

20x3 - 23 = O. 22. Bepaal de projecterende vlakken door de lijn I :

{ Sx - 3x

+ 2x - 7

=

0

, 2 3

3x, - x₂ + 2x₃ - S = O. (I)

Op!. De projecterende vlakken door een lijn, zijn de vlakken door die lijn

-evenwijdig aan de coördinaatassen. De gevraagde vlakken behoren weer tot de vlakkenbundel door I. Behalve het vlak 3x, - x

2 + 2x3 - 5 = 0,

kan de vergelijking van ieder vlak van deze bundel geschreven worden als 5x

I - 3x2

+

2x3 - 7 +À(3xI - x2 + 2x3 - 5) = O. (2) Om het projecterend vlak te bepalen door I evenwijdig aan de x

3 -as,

bepalen we het snijpunt van (2) met de x

3 -as: X = a(O,O, I). Substitutie

van xl = 0 x

2 = 0, x3 = a in (2) levert 2a - 7 + À(2a - 5) = 0, zodat

2a(! + À) = 7 + 5À. Hieruit volgt, dat als À = -I, de x

3 -as geen snij punt

heeft met het door (2) voorgestelde vlak. Het projecterend vlak door I evenwijdig aan de x

3-as heeft dus als vergelijking: xl - x2 - 1 = O.

Op analoge manier blijkt de vergelijking van het projecterend vlak door evenwijdig aan de xl -as resp x

2 -as te zijn x2 + x3 - I = 0 resp

xl

+ X

3 - 2 = O.

Opmerking.

12. Het projecterend vlak door I evenwijdig aan de xl-as, x

2-as resp X3 -as

wordt blijkbaar verkregen door xl ' X

2 resp X3 te elimineren uit de

verge-lijkingen (1) van 1. Inderdaad volgt bijv. door aftrekking van elkaar van de vergelijkingen in (!): 2x I - 2x₂ - 2 = 0 d.i. de vergelijking van het pro-jecterend vlak evenwijdig ai;m de x

3 -as. De lijn 1 kan nu. in plaats van door

(I), eenvoudiger worden voorgesteld door 2 van de 3 projecterende vlakken te nemen, bijv. {Xl - X

2 - 1 = 0 X

2 + X3 - 1=0.

Vraagstukken.

32. Bepaal de coördinaten van het snijpunt van de lijn 1 en het vlak V in ieder van de volgende gevallen

a) b) c) V: 2x + X + 2x = 6 I 2 3

,

~"(-i)+{i)

V

,+~H~)+{!)

I: { x_l +2x₂ +x₃=3 2x I + X2 - x3 = 0 V: x l -3x2 - x3 =2.

33. Ga na of de lijnen I en m elkaar snijden, evenwijdig zijn (al of niet samen-vallend) of elkaar kruisen, in ieder van de volgende gevallen:

a)

1-2-5 b) c) d) m

x=(!)+{;l

I

x=(!)+a(-!l

m: l z 3 { X -x..-x

=

1 3x_I + 'S

=

5 {3X +4x - x =-2 I: I 2 3 Xl

+

x

2 =-1 m: {

-~1

+

2~

- 3"3

=

4 xI

+

x₃ =-2 {2X -

x -x

= 6 I: I 2 3 Xl

+

x₃

=

0

34. Gegeven zijn de lijnen

m

X =

(-!

l+{~:)

,

w ..

rin

"m.

Voor welke waarden van a zijn I en

m

,

evenwijdig, snijdend, kruisend? 35. Gegeven zijn de lijnen

24

I: !

=

(j )

+

a(j )

m:

~

=

(j)

+(3

(-iJ

en het punt P(O,3,O).

Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn door P, die I en m snijdt.

G ...

n~. ~nl

X =

Ul

.aHl

h.tvhlV

x=nH~)+Ym

.n

het punt P(4,-3,-4).

Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn door P, die I snijdt en evenwijdig is met V.

37. Gegeven de lijnen 1 en m 38. I: {4X1+2X2-X3

:O

-x 1+ x2+x3-0 het vlak V: xl + 2x₂ - 3x₃

=

-3.

a) Bewijs dat I en m elkaar snijden en bepaal de coördinaten van het snij-punt S.

b) Bepaal de vergelijking van het vlak W door 1 en m.

c) Bepaal een lijn n, door S, gelegen in W, die evenwijdig is met V. Gegeven de lijn (

2 ) (1 )

1: ~

=

2

+

a

-1

3

2

en het punt P(2,1,-l). Bepaal

a) de vergelijking van het vlak V door 1 en P

b) de vergelijking van het vlak W door I, evenwijdig met de x 3 -as. Gegeven de lijn

I:

~

= (

l )

+

a (-:)

en de vlakken

W: 2x - 4x - 3x

=

7.

I 2 3

Bepaal de vergelijking van het vlak U door 1, evenwijdig aan de snijlijn van Ven W.

40. Gegeven zijn de punten A( I ,2,3), B( 4,5,-3) en het vlak V: 2x_{I -} x₂ + 3x₃

=

4. Zij C het snijpunt van de verbindingslijn van de punten A en B met V.

Bepaal; a) de coördinaten van het punt C

b) de verhouding van de afstanden van C tot de punten A en B. 41. Gegeven het vlak V: x_l +2x₂- x₃=1

de lijn I:

~

=

Cl)

+

a(!)

en het punt C( I ,-2,2).

Bepaal een punt A in het vlak V en een punt B op de lijn

i,

zodat 0(0,0,0) het zwaartepunt is van driehoek ABC.

42. Gegeven zijn de lijnen

I:

~

= ( : ) +

a(

D

en

m

x=

(-}~m.

1-2-5

43.

Laat L op I en M op m liggen.

a) Bepaal de vergelijking van de verzameling van de middens A van het lijnstuk LM, als L en M de lijnen I en m doorlopen. Wat stelt deze

verzameling voor?

b) Bepaal L en M zó, dat A op de lijn n: Gegeven zijn de lijnen

,

~"m

+

a(

~

) ,.

m

~"

m

+

e(~)

,

m,t p ' m

,

en het punt P( I ,2,3).

Laten L resp M punten zijn op I resp m.

a) Bepaal een vectorvoorstelling van de verzameling der zwaartepunten van driehoek LMP als L en M de lijnen I en m doorlopen. Wat stelt deze verzameling voor?

b) Bepaal p zó dat 0(0,0,0) tot de in a) bedoelde verzameling behoort.

c) Bepaal L en M voor het in b) bedoelde geval, zó dat 0(0,0,0) zwaarte-punt is van driehoek LMP.

44. Gegeven zijn de lijnen 1, m en n

, '" m+am

m

~"

(!)+eGl

• ."

~l)+>m

De lijn k snijdt de lijnen I en m en isevenwijdig met n. Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn k.

45. Gegeven de lijnen I en m 26

, ,"(!)+a(:)

,

m ' "

LD

+

e(~)

,.

d,,',k" .. V,.

W, V: Xl

+

2x₂

+

2x₃ = I W: Xl - X₂

+

X₃ = 0.

Bepaal een vectorvoorstelling van de lijn n, die I resp. m snijdt il1 de punten L en M, zó dat de verbindingslijn van L en M evenwijdig is aan V en het midden van het lijnstuk LM in het vlak W ligt.

46. Gegeven de lijnen I en m

47.

48.

en het vlak V: xI + 2x

2 + x3 = 6.

Het punt L doorloopt I en het punt M doorloopt m, zó dat de verbin

-dingslijn van de punten L en M evenwijdig is aan het vlak V.

Geef een vectorvoorstelling van de verzameling van de middens van het

lijnstuk LM.

Gegeven zijn de lijnen

I:

,

=(~)+a(~)

!TI:

x=

m

+~(~)

en

n:

~=m+1m

Bepaal punten L, M en N op resp. 1 , m en n, zodat L, M en N op een lijn liggen evenwijdig aan het vlak x

2 - 2x3 = O.

Gegeven de lijn I: { 2x

2 - x3 = 0

-xI + x

2 + x3 = O.

Bepaal de vergelijkingen van de projecterende vlakken door I.

49. Gegeven de lijnen I: I 2 3 { X +x -x = I 2x l- x2+x3=2 en a) Bepaal het snijpunt van I en m.

b) Bepaal de vergelijking van het vlak door PO, 1,2) evenwijdig aan de lij nen

1 en m.

ANTWOORDEN VAN DE VRAAGSTUKKEN IN I -

2.

2.1 3. 4. 5. 6. 7. a) Zinloos.

b) Valse vergelijking als 2!!

'*

3!2.; als 2.!! = 3!2. voldoet iedere ~'l

c) Als

a

=

-1, voldoet iedere ~; als

a

'*

-I, voldoet alleen ~

=

j!!'

!.=h-~; X=~i!+~Q

·

a)

~

= !(i!

+

Q). b) Z.

=

j(.!! + !2.

+

f)·

- _~ _À_

OX-À + J.1i! + À + J.1i2..

- J.1 À

OX

=

p:=t.,.!!

-

p=A!2..

1-2 2.2 8. a=2; f3=I; 1=6. 9. a) (4,2t) en (8,-3). 2 2 b) OJ,2J)' 10. (5,-4,10), (-4,5,7), (2,-1,4). 11. a) (-1

₂

I ,-1,4). I b) (O,I,IJ)' c) (-3,-3,6). 12. a)

(l~,0,l).

b) (3,-1,-2). 2.3 13. 3x, - 2x₂ =-1. 14. x₂ = 3. 15.

~= (~)+aL!)·

16. x= _{( 0)} + a .

el

- -7/3 0 17. _a)

~= (~) +aL~).

b)!=

(~)

+f3L!). 19. (5,2). 20. (l,4). 21. (2,3₂I ) en (-1,5). 24. P = -4, r = -5.

25. a = 7 samenvallend; a

*

7 evenwijdig (niet samenvallend).

26. a = 2, b = 5 óf a = -5 en b'= -2. 2.4 27.

~-

(:)+ar-;)+{H

_2x,-x,+3x,='

28. _{A =}

(!)

+

aG)

+~G);

_x,

₌

₁

29. A=

(-D+am+~m

30. _A-

m+{!)+~m

_,n

_x=

G)+aG)

+~(!)

31. a= 4. 2.5 32. a) (4,2,-2). b) (5,-3,2). c) (2,-1,3). 33. a) kruisend.

b) evenwijdig (niet samenvallend). 28

c) samenvallend.

d) snijdend.

34. a

=

I: evenwijdig; a = -4: snijdend; voor alle andere waarden van a: kruisend. 35.

x=G)+{l)

36.

x.H)+P(i)

37. a) S (1,-1,2).

I

b) W: -4xI + 6x2 + 5x3 = O.

(1)

Cl

-4x + 6x + 5x = 0

I

c) n:

~

=

-I + {j I of n: { 1 2

!

.

I

2 2 x1 +2x2 -3x3--7. 38. a) 6x_I +4x 2 - x3 = 17. b) xI +x 2 =4. 39. x I - 2x 2 - x3 + 4 = O. 40. a) C(2,3,1). b) I : 2. 41. A(-2,2,1), B(1,0,-3). 42. a) xI + 3x₂ - 2x₃ = -4. b) L(5,4,9), M(O,-3,-I) . 43.

• ) K=

m

+am

+~m

b) p = 2. c) L(2, I ,2), M(-3,-3,-5). 44.

K=

(i)

+pm

45. _{X =}

Cl')

_{_~}

_{+ l'}

(8)

_{_~}

_. 46.

K=

(+)

+,W

47. L(1,0,1), M(O,I,I), N(2,-1,0) óf L(l,O,I),

M(!,I,~),

N(2,-2,0).

48. 2x

2 - x3 = 0; 2xl - 3x3 = 0; xl - 3x2

=

O. 49. (1,0,0); xI + 2x

2 - 2x3 + I

=

O.

1-3-'

§

3. Mstand, hoek, inwendig product.

In par. 2 hebben wij aan de basis {el ,e₂} van M₂ resp. {1<, &2'~3} van M3 geen extra voorwaarden opgelegd. In deze par. veronderstellen wij dat de basis orthonormaal is, d.w.z.

a) de lengte van ieder der basisvectoren is I.

b) de basisvectoren staan 2 aan'2 loodrecht op elkaar.

3.1 Afstand van 2 punten.

De lengte van een vector kan, indien de basis orthonormaal is, op eenvoudige manier worden uitgedrukt in de kentallen van de vector.

We geven de afleiding in M3' Uit de geldigheid van lalll = lalllli voor alle

a

€ IR en

/ / L . . _ I I - - - - 7 C X / I / I I X3~3 I I I I I I _{'k---v--.r-;,-~ B} AI fig. I

.i! € M3 . volgt in het bijzonder voor de lengte van de component

X,

1<, Ix,1<,1 = Ix, IIJ<,I = Ix,l,

evenzo

IX_2!<2' = Ix₂1 en

IX3~31

= Ix 31.

Toepassing van de stelling van Pythagoras leert

1.~12

= IODI2 + 101:12 = IOAI2 t 16BI2 t loël 2 en dus

Ixl 2 = X 2 + X 2 + X 2 zodat lxi = _{- , 2 3 ' - y}

Ç2

_{x ,-} t x ₂ :2 + X 2. ₃

De afstand van de punten 0(0,0,0) en X(x, ,x₂ ,x₃) is dus gelijk aan "';x ,2 + x 22 + X3

2 _. Algemeen geldt voor de afstand van de punten A(a, ,a₂,a₃) en B(b, ,b

2,b3): 1!!-l:11 ="';(a, -b,)2 +(a

2 -b2)2 + (a3 -b3

Y

.

De formules in M₂ zijn analoog.

Als .i! i= Q is de lengte van de vector 1:1 gelijk aan

I.

Vraagstukken.

I. Bepaar de lengte van ieder van de volgende vectoren

(=:),

(2~)

en

(~).

2. Dezelfde vraag als in I. voor de vectoren

n),

(~)

en

(~)

3. Bepaal de afstand van ic':<:r van de volgende puntenparen A(-4,0,3) en B(5,12,-17),

C(-6,5,-l) en D(6,-4,7).

4. Bepaal de. vergelijking van de lijn waarvan de punten gelijke afstanden hebben tot A(7,-3) en B(3,-6).

5. Bepaal de vergelijking van het vlak waarvan de punten gelijke afstanden hebben tot A(2,1,0) en B(0,1,2).

6. Zij X

=

Q. + ag" met IgJ

=

1 een vectorvoorstelling van de lijn I. Als X I en X₂ de punten zijn van I, die corresponderen met de waarden al en a

2 voor de

para-meter

a,

toon dan aan dat de afstand van Xl en X₂ gelijk is aan lal -

a21.

3.2 Het inwendig product.

Neem aan dat ~

'*

Q

en

Q.

'*

Q

vectoren zijn van M

2 (of van M J)' met verschillende

dragers.

Onder de hoek I{) tussen ~ en

12.

verstaan we de hoek tussen

de zijden OA en OB in driehoek OAB; blijkbaar is

0<1{)< 180°.

fig. 2.

De hoek I{) tussen 2 vectoren (verschillend van de nulvector) die gelijkgericht zijn is 0, terwijl de hoek tussen 2 tegen-gesteld gerichte vectoren 180° is.

Definitie 1.

Onder het inwendig product van 2 vectoren ~ en

!2.

verstaan we een reëel getal, dat gelijk is aan

1~IIQlcos I{), als ~

'*

Q /\

12.

'*

Q.

o

,als ~ =

Q.

v

12.

= Q.

Notatie voor het inwendig product: ~.Q..

O.ç I{)

<

90° I{) = 90°

L

!2.

L

.! ~ fig. 3

~.Q

>

0

!!.!2.

= 0 ~.Q<O

Afspraak: de nulvector staat loodrecht op iedere vector.

Gevolg:

!l.Q

=

0 ~ ~ 1 Q.

Opmerkingen.

1. We kunnen aan het inwendig product

!l.12

van de vectoren ~ en

12

een meetkundige betekenis geven. Zij I de drager van ~. Onder de loodrechte projectie van 12 op 1 verstaan we de vector Q' met 1 als drager fig. 4

h'

B' en B' als eindpunt zódat de vector BB' loodrecht staat

op~.

Het inwendig product van ~ en

12

is nu op het teken na gelijk aan het product van de lengte van.!! en de lengte van de loodrechte projectie van Q op de drager van ~. Het teken is positief als!! en de loodrechte projectie van 12. op de drager van ~ gelijkgericht zijn en negatief als ~ en de loodrechte projectie van

!2.

op de drager van ~ tegengesteld gericht zijn.

2. Voor de lengte I~I van de vector ~ geldt blijkbaar I~I =~. Stelling 1. Voor alle 1l,Q,!;; e M₂ (M

3) en voor alle a e IR is 1)

!l.12.

=

!1.~ 2) !!.(!2

+

~) = l!.Q

+

l!.~ 3) (al!).Q = a(~.12) 4) ~.~

>

0 als.!!.

'*

Q. 31

I-J-2

Bewijs. Bovenstaande rekenregels volgen direct uit de definitie van het inwendig product. In het bewijs van 2) bijv. passen we toe, dat de projectie van Q. +.Ç. op de drager van ~ gelijk is aan de som van de projecties van Q. en van f.. op de drager van ~.

Met gebruikmaking van stelling 1 is het inwendig product van 2 vectoren ~ en Q. op eenvoudige manier uit te drukken in de kentallen van gen Q t.O.V. een orthonormale basis. We geven de afleiding in MJ'

Zij ~ = al ~l + a2~2 + aJ~3 en Q. = bi ~l + b2~2 + b3~J'

Omdat {~l,~,l~) een orthonormale basis is, is ~ï~k = 0 als i -=1= k

=

1 als i = k.

Met gebruikmaking van de rekenregels, vermeld in stelling I, volgt er

~.Q = (al ~l + a2~ + aJ~).(bl ~l _{+ b2} ~2 _{+ bJ} ~3) = = i~k ajbk (~ï~) = al bi + ~2 + a3b3· Hiermede is bewezen

Stelling 2. a (b )

"'tinw'ndio pmdu,t van d . .

"to"n • ,n

~

m,t k,n trul,n ( ::) 'n : : . t.O.V.

een orthonormale basis van M3' is gelijk aan al bi + a2b2 + a3bJ . Opmerkingen.

3. _{In M2 geldt voor het inwendig product van de vectoren}

~

= (::) en Q.

= (

~~)

analoog ~.!1=albl +a₂b₂·

4. Uit het voorgaande volgt voor de hoek I{J tussen de vectoren ~ -=1=

Q

en !1 -=1=

Q

(in M3) de formule

Voorbeelden ( r ) (r )

1. Voor welke waarde(n) van r staat ~ = -~ loodrecht op Q = ~ ? Oplossing: ä1 ~~.Q = O~ r2 - 4 + 3r = O{:} r = 1 v r =-4.

2.

Gegeven dove,toren ••

Ol

,n

~.

m

32

"paol

d' vectoren,,· (::) di, lood,,,,ht ,t,,,, oP' on op

~

,n di, d, I,ngt,

I hebben.

Oplossing: Uit ~.~ = 0 èn ~ . .Q = 0 volgt Xl + 2x

2 + xJ = 0 en x2 + x3 = O.

Stellen we x₂ = a, _{dan is x3 =}

-a

en Xl = -a.

De verzameling van alle vectoren ~ die loodrecht staan op ~ èn op.Q is dus

Voor de vectoren van deze verzameling met lengte 1 moet

J

a2 _{+ a}2 _{+ a}Z _{= I,}

dus lal

=-:jr.

(-1

/0 )

(

1

/0 )

De gevraagde vectoren zijn dus 1/0 en -1/0.

-1/0 110

3. De hoekpunten van driehoek ABC zijn A(l,l), B(-6,2) en C(S,4).

Bepaal de hoek BAC. ( ( )

Oplossing: De hoek BAC is gelijk aan de hoek tussen de vectoren

-~)

en

~

.

. -28 + 3 1 h' .

Er volgt voor de COSinUS van deze hoek:..J5oVIT

-ï

V 2; de gevraagde hoek IS

dus 135°.

4. Gegeven de vectoren 9,

*'

Q. en

h..

Bepaal de loodrechte projectie van

l2.

op de drager van 9,.

Oplossing: Stel de loodrechte projectie van 12. op de drager van 9. is a.!!., Dan is de

o 5.

vector Q - a9, loodrecht op 9.. Dus:

(11

-

a~) . .ll = 0, waaruit volgt

b.a - a(a.a) = 0 zodat

a

= Q.i!.

- -

--

~.~

Bepaal de verzameling van alle vectoren! die gelijke hoeken maken met de

vectoren

~

=

(~)

en

11

=

(~).

o_

1 3 , ~'

Oplo,""., Ab

~

= (::) gelijk< hook,.

m.""t m"

~

,n

'

,. d.n

i,

./~ ./

, '

~ . .! _

h.K

I~II.!I

- IQI I.!I

(~*'

Q).

2x

+

2x

+

x 4x

+

3x

Er volgt J 31~12 3

=

J

slKI

3, en dus xI - SX₂

+

2x₃

=

O.

Stel x

2

=

a en x3

=

(3, dan is xI

=

Sa - 2(3. De verzameling van alle vectoren.!

die gelijke hoeken maken met ~ en 12. is dus

{('a:

lP)

a,n~in

m}

=

{{)+{~) a,.~in

m}

De gevraagde vectoren zijn dus de vectoren gelegen in het vlak, opgespannen do",", v«to"n

(!)

,n

en

~'-~:::,:

d,

"ot""n

~

=

CD

,n

~

=

(J

Bepaal de vectoren met lengte 3, die loodrecht staan op 9. en op 12..

8. Wanneer geldt a(~.Q) = (~).(aQ.)?

• 9. Zij

.=(~~).~=m~+~)

Voor welke waarde van

a

geldt

UI·'I, - (,.,1,

=

2(1)'

33

•

1-3-2

10. Van een vector ~ f M₂ is gegeven: I!!I = 3. Teken de puntverzameling {BI.!!.12 = 6}.

Teken óók de puntverzameling { CI.!!.f. = -3}. 11. Bewijs: (a + h).(l!. - 12) =.1l!1 2 -1121 2.

12. Gegeven de punten A(I,I,I), B(2,2,1) en C(l,0,2). Bepaal van driehoek ABC de hoek BAC.

13. Gegeven zijn de vectoren ~ en

Q

met I!!I = 11'11 = I. Als I.{J de hoek is tussen de vectoren

~

en Q, dan is I.!! - 121 2 =

4sin2~1.{J

.

Bewijs dit.

14. Bepaal de vectoren van lengte I, die in het vlak liggen, dat wordt opgespannen doo, d, ""oren • 0

m

,.n

Q

0 (Don di, loodre,ht ""n op

d""~O'

F

(j)

IS. B'p,,1 do ""oren "n Ion", 3. di' loodre'h' ""n

~p

d,

''''0' •

0 ( : ) en die een hoek van 45° maken met de vector Q. =

(~)

.

16. Bepaal de vectoren van lengte I, die gelijke hoeken maken met de vectoren

• 0

m

on

Q

0

m

on didoodre,h' sbon op

"""'0'

<

0

(-i)

17. Bepaal de vectoren van lengte

V6,

die in het vlak liggen, dat word topgespannen dom d",,'oren • 0

n)

on • 0

(~)

on di, "lijk, hookon mokon mot

"","mon

.0

H)

on

~

0

Hl

18. G"",n "",,'oren

~

{!)

on

Q

om

Ontbind de vector!!. in een component langs de vector Q en een component loodrecht op Q.

19. G"",n d""'mon • 0

U) .•

0

m

on

< { )

Bepaal de loodrechte projectie van l! op het vlak dat wordt opgespannen door Q enf..

20. Gegeven de vectoren.!!. en Q met 1121 = I.

Toon aan dat de loodrechte projectie van !!. op de drager van Q gelijk is aan (!!·12)12·

21. Gegeven de vectoren ~, Q en f. met IQI = I~I = I; de vectoren 12 en f. staan loodrecht op elkaar.

Toon aan dat de loodrechte projectie van.!! op het vlak door Q en f. gelijk is aan (a.12)Q

+

(a·.f)~.

22. Gegeven d~vectoren !!, 12 =1= ~ en f..

Zij D de loodrechte projectie van het punt C op de lijn door de punten A en B.

I-J-J Toon aan:

g

= a~ + (I - a)!? met

(f - b).(a - b)

a =

rn.

_

12.12

23. Gegeven de vectoren fl, 12., f en Q.

a) Toon aan dat als AB 1 CD er geldt

H'~

+

Q.Q

=

~.Q.

+

.Q . .f.

b) Toon aan, dat als AB

1 CD èn AC 1 BD, dan ook geldt AD 1 BC.

3.3 Vergelijking van een lijn in M₂ en van een vlak in MJ'

In par. 2 hebben we als vergelijking van een lijn in M₂ resp. van een vlak in MJ gevonden

CIX_I +c₂x₂ =d, cli: Ovc₂

*0.

resp.

clx_l +c₂x_{2 +c Jx J =d, cl i:Ov c2i:Ovc J}

*0

.

X

I'X2 (en xJ) zijn hierbij de coördinaten t.o.v. een willekeurige basis van M2 resp.

MJ'

We zullen nu laten zien, dat als de basis van M

2 (resp. M3) orthonormaal is, de

vergelijking van een lijn in M

2 (resp. van een vlak in M3) geschreven kan worden met

behulp van een inwendig product.

We geven de afleiding in MJ en beschouwen vooreerst het geval dat d = O. Laat dus Cl Xl + c₂x₂ + cJx J = 0, Cl i: OV c₂ i: OV cJ

*

0, de vergelijking zijn van een vlak W door de oorsprong.

No'm'n

w,

1'.1:;)'

wdot

c"

Q, d,n j,

f.~

=',

x,

+

,,x, +O,x,

.

Maar dan kan de vergelijking van W ook geschreven worden als f.,~ = 0, .f i: Q.

Simpel blijkt nu ook de meetkundige betekenis van de vector f.

Uit S.~ =

°

volgt nl., dat voor ieder punt X van W de vector OX = ~ loodrecht staat op S: Maar dat wil zeggen dat.f een vector is die loodrecht staat op W.

Zij Veen vlak dat evenwijdig is aan W en waarvan de vergelijking dus geschreven kan worden als Cl Xl + c₂x₂ + cJx_J = d. Dan staat ~eveneens loodrecht op V en luidt de vergelijking van V: f.~ = d.

De vector f heet een normaalvector van V; een normaalvector van een vlak is blijk-baar op een scalaire factor (i: 0) na bepaald door het vlak.

Opmerking.

5. Een normaalvector van een vlak V staat niet loodrecht op de vectoren OX van de punten X van V, als V niet door de oorsprong gaat.

We vatten een en ander als volgt samen.

Stelling 3a. De vergelijking Cl Xl + c₂x₂ + c_{3x J = d, Cl i:}

°

v c_{2 i: OV cJ i: 0,} ook geschreven als f.~ =

g,

f i: Q. is de vergelijking van een vlak V in M J' De vector f =

(~~)

staat loodrecht op Ven heet normaalvector van V.

c J

Overeenkomstig geldt voor een lijn in M₂ . .