•fW I 1 raiiiipw».!»»
STOFOVERDRACHT BIJ STROMING
DOOR EEN VAST BED VAN
« ' | 1 - ^ W " | J ' ' '
1
STOFOVERDRACHT BIJ STROMING
DOOR EEN VAST BED VAN
KORRELIG MATERIAAL
PROEFSCHRIFT
TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT. OP GEZAG VAN DE RECTOR MAGNI-FICUS DR. O . B O T T E M A . HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER ALGEMENE WETENSCHAP-PEN. VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT
TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 6 MAART 1957 DES NAMIDDAGS TE 2 UUR
DOOR
DIRK THOENES SCHEIKUNDIG INGENIEUR GEBOREN TE SOENGEI-GERONG
Dit proefschrift is goedgekeurd door de p r o m o t o r :
Prof. i r . H . K r a m e r s
I N H O U D
Kort overzicht van het onderzoek
1. Inleiding {^ 1.1. Processen, waarbij stofuitwisseling tussen een •.
vaste en een fluïde fase optreedt ' 1
1.2. Stofuitwisseling tussen vaste stoffen §n flulda 3 1.3. In- en uitwendig transport in een gepakt bed (^
1.4. Doel van het onderzoek 7 2. Bespreking van de gebruikelijke aanpak van het
pro-bleem en van vroeger verrichte metingen 8
2.1. Correlatiemethoden 8 2.2. Beschouwing van een gepakt bed als een systeem
van deeltjes 12 2.3. Beschouwing van een gepakt bed als een systeem
van kanalen 14 2.4. Literatuuroverzicht 15
2.5. Mogelijke bronnen van fouten 19 2.6. Analogie van warmte-overdracht met stofoverdracht 21
3. De betekenis van uitwendig transport bij reacties aan
poreuze vaste stoffen 28 3.1. De invloed van de stofoverdrachtscoëfficiënt op
de grootte van het benutte oppervlak 28 3.2. De invloed van uitwendig transport op de
tempe-ratuurafhankelijkheid van de reactie 34
3.3. Samenvatting 36 4. Over het mechanisme van stofoverdracht bij stroming
door een bed van korrelig materiaal 39 4.1. Splitsing van het oppervlak in verschillende delen 39
4.2. Stofoverdracht bij laminaire stroming 40 4.3. Stofoverdracht bij turbulente stroming 41 4.4. Stofoverdracht aan de „afgeschermde" delen van het
oppervlak 45 4.5. Combinatie van de stofoverdrachtsvergelij kingen 46
5. Metingen van stof- en warmte-overdrachtscoëfficiënten
aan afzonderlijke deeltjes van het bed 49
5.1. Grondslag van de proeven 49 5.2. Stof- en warmteoverdrachtsmetingen aan één deeltje 51
5.3. De keuze van modellen 52 5.4. De keuze van systemen; fysische constanten 58
5.5. Proeven met verdampende vloeistoffen 60
5.5.1. Algemene inrichting 60
5.5.2. De gasstroom 63 5.5.3. Meting van de oppervlaktetemperatuur 64
5.5.4. De vloeistofstroom 65 5.6. Proeven met oplossende vaste stoffen 68
5.7. Schatting van fouten 70
5.8. Meetprogramma 71 6. Resultaten van de metingen en conclusies 72
6.1. Correlatie van stof- en warrate-overdrachtsmetingen 72
6.2. Kwalitatieve metingen met „toverballen" 74
6.3. Nevenverschijnselen 75 6.3.1. Gedeeltelijke verzadiging van het fluïdum 75
6.3.2. Vrije convectie 76 6.3.3. Warmtetransport door straling 77
6.3.4. Warmtetransport door geleiding via naburige
deeltjes 77 6.4. De invloed van iïe 78
6.5. De invloed van Sc 80
6.6. De invloed van de stapeling 83 6.7. De warmte-overdrachtsmètingen 87
6.8. Eindconclusies 88 7. De betekenis van de structuur van het bed 91
7.1. Verschillen tussen regelmatige en niet-regelmatige
bolstapelingen 91 7.2. De invloed van de spreiding in kanaaldiameter 93
7.3. Transversale menging 101
7.4. Conclusies 103 Aanhangsel 1. Berekening van diffusiecoëfficiënten 109
Aanhangsel 2. Meetresultaten in tabelvorm 112
Nomenclatuur 122 Literatuur 129 English summary 133
K O R T O V E R Z I C H T V A N H E T O N D E R Z O E K
Dit onderzoek heeft betrekking op transportverschijnselen, die van betekenis zijn bij de technische uitvoering van bepaalde chemische en fysische processen.
Het betreft hier de processen, waarin een vaste stof in con-tact wordt gebracht met een vloeistof of een gas. Voorbeelden hiervan zijn de meeste gevallen van heterogene katalyse, adsorp-tie, alsmede de verbranding van vaste brandstoffen.
De technische uitvoering die in dit onderzoek in beschouwing wordt genomen is een vast bed van korrelig materiaal, dikwijls „gepakt bed" genoemd.
Bij de bestudering van transportverschijnselen wordt in de eerste plaats gedacht aan het transport van stof, terwijl ter-loops het transport van warmte ter sprake komt. Het doel van dit onderzoek is de bestudering van het transpoft van stof door de continue fase naar of van het oppervlak van de vaste stof. Dit verschijnsel wordt aangeduid met de termen „stofoverdracht" of „stofuitwisseling".
Na een algemene inleiding (hoofdstuk 1), worden in hoofdstuk 2 de gebruikelijke aanpak van het probleem en de resultaten van vroeger verrichte metingen besproken.
In hoofdstuk 3 wordt langs theoretische weg de praktische betekenis van stofoverdracht nagegaan, als de vaste stof poreus is, en dus ook een tweede transportverschijnsel, namelijk „inwen-dig" transport van materie,in rekening moet worden gebracht.
De stofoverdracht is experimenteel onderzocht aan modellen van regelmatige bolstapelingen, waarbij slechts aan het oppervlak van één bolletje dit verschijnsel optrad (hoofdstuk 5). Bij deze experimenten werd gezocht naar een correlatie tussen de kengetal-len Sh, Re en Sc, en naar de invloed van de aard van de stapeling op deze correlatie (hoofdstuk 6). Er wordt een mechanisme voorge-steld, dat de meetresultaten gedeeltelijk verklaart (hoofdstuk 4).
Tenslotte wordt langs theoretische weg nagegaan, wat men voor verschillen kan verwachten tussen de stofoverdracht aan re-gelmatige en niet-rere-gelmatige stinpelingen (hoofdstuk 7 ) .
1
I N L E I D I N G
1.1. Processen, waarbij stofuitwisseling tussen een vaste en een fluïde fase optreedt
In de chemische techniek bestaat een groot aantal processen, waarbij aan het grensvlak van een vaste en een fluïde fase
(vloeistof of gas) een zekere omzetting plaats vindt. Deze omzet-ting kan in de eerste plaats een eenvoudige fysische overgang zijn van één of meer componenten van de ene naar de andere fase. In de tweede plaats kan er aan de vaste stof een chemische reac-tie optreden, waarbij dus één of meer componenten verdwijnen en één of meer andere ontstaan. Tenslotte kunnen er ook meerdere omzettingen gelijktijdig optreden. Al deze omzettingen veroorza-ken een zekere mate van stofuitwisseling tussen de beide fasen.
Voorbeelden van dergelijke processen, waarbij alleen fase-overgang optreedt, zijn:
a Het oplossen van een vaste stof in een vloeistof.
b Het verdampen van een vaste stof in een gas, waaraan het drogen van vochtige poreuze vaste stoffen analoog is.
c Het neerslaan van een vaste stof uit een verzadigde vloei-stof of damp op een vaste wand.
d Het adsorberen van één of meer componenten uit een vloeistof of gasmengsel aan een vaste stof.
Als voorbeelden van dergelijke processen, waarbij een chemi-sche omzetting optreedt, kunnen genoemd worden:
a Chemische reactie tussen een vaste stof en een gas. Voor-beelden: Het verbranden van vaste brandstoffen, hetwatergas-proces en het generatorgashetwatergas-proces.
b Chemische reactie tussen een vaste stof en een vloeistof. Voorbeelden: Het oplossen van metalen in zuren, allerlei or-ganische syntheses en de reactie in ionenwisselaars.
c Heterogene katalyse, waarbij dus de reactie tussen gasvor-mige of opgeloste stoffen plaats vindt aan het oppervlak van de vaste stof, zonder dat de vaste stof chemisch wordt om-gezet. Voorbeelden: Allerlei katalytische hydrogeneringen, oxydaties, hydrateringen. dehydrateringen en krakingen.
Al deze processen hebben gemeen, dat er stofuitwisseling op-treedt tussen een vaste stof en een fluïdum. Het is algemeen be-kend, dat voor dergelijke heterogene processen een innig contact tussen de twee fasen van essentieel belang is voor de snelheid van de 'omzetting. De vereisten van een innig contact zijn: Een groot contactoppervlak tussen de beide fasen en een voldoende mate van stroming in het fluïdum.
Een dergelijk contact wordt in de regel verkregen door de stof in een min of meer fijn verdeelde, eventueel poreuze, toe-stand te brengen, en het fluïdum te bewegen ten opzichte van de vaste deeltjes. Men kan hiervan verschillende uitvoeringsvormen bedenken. De meest voor de hand liggende uitvoeringsvormen, die tevens in de praktijk het meest gebruikt worden, zijn de volgen-de:
Ie Het gepakte bed.
Het fluïdum wordt in deze uitvoeringsvorm door een buis ge-voerd die gevuld is met korrels van de vaste stof. De korre-lige vulling wordt meestal een „bed" genoemd. De buis met de vulling zal hier verder worden aangeduid als „reactor". In speciale gevallen, waarbij de vaste deeltjes voortdurend moeten worden vervangen of een bewerking buiten de reactor moeten ondergaan, worden zij aan een kant continu toe- en aan de andere kant continu afgevoerd; de vulling beweegt daarbij dus langzaam door de reactor heen. Deze uitvoerings-vorm wordt een „bewegend bed" genoemd, in tegenstelling tot een „vast bed".
2e Het gefluïdiseerde bed.
Hierbij stroomt het fluïdum zó snel door een buis, die ge-vuld is met de korrels van de vaste stof, dat deze van el-kaar los kunnen raken en zich betrekkelijk vrij in het fluï-dum bewegen. Doordat men de reactor verticaal opstelt blijft het merendeel van de korrels binnen een bepaald gedeelte van de reactor. Continu vervangen of verversen van de vaste deeltjes kan hier zeer effectief worden toegepast.
3e Reactor met pneumatisch of hydrodynamisch transport.
Hierbij worden het fluïdum en de korrels van de vaste stof van te voren met elkaar gemengd en gezamenlijk door de reac-tor gevoerd. Door de snelheid van het fiuïdum hoog genoeg te kiezen hopen zich geen vaste deeltjes in de reactor op. 4e De suspensie-reactor.
Deze onderscheidt zich van de andere uitvoeringsvormen door-dat een mechanisch roerwerk de vaste stof in suspensie houdt.
De keuze van de uitvoeringsvorm wordt behalve door de ge-wenste contacttijd, voornamelijk door praktische overwegingen bepaald. Is de gewenste contacttijd relatief lang, dan zal in het algemeen een suspensie-reactor worden gekozen. Voor processen die discontinu moeten worden uitgevoerd is dit meestal de enige mogelijke uitvoeringsvorm.
Voor processen waarbij de vaste stof voortdurend moet worden aangevuld of ververst, werd oorspronkelijk het bewegende bed ont-worpen. Het verversen van de vaste stof speelt vooral een rol bij katalytische processen waar de activiteit van de katalysator zó snel afneemt, dat periodiek ledigen van de reactor oneconomisch wordt. Voor processen, waarbij dit afnemen van de activiteit zeer snel'gaat, met name voor het katalytlsch kraken van aardoliefrac-ties, is het gefluïdiseerde bed ontworpen. Ook processen waarbij de gewenste contacttijd relatief klein is kunnen met succes in gefluïdiseerde bedden of in reactoren met pneumatisch transport worden uitgevoerd. Tenslotte kunnen deze reactorvormen worden gekozen als een goed warmtetransport in dwarsrlchting wordt ge-wenst.
De processen, waarvoor het niet noodzakelijk is één van de bovengenoemde reactoren te kiezen, worden bij voorkeur uitgevoerd in de oorspronkelijke uitvoeringsvorm, die tevens de meest een-voudige is, namelijk het gepakte bed.
1.2. Stofuitwisseling tussen vaste stoffen en flu'ida
Wanneer aan het grensvlak van de vaste en de fluïde fase een faseovergang of een chemische reactie plaats vindt, dan zal er, om dit verschijnsel te onderhouden, in de fluïde fase een zeker stoftransport loodrecht op het grensvlak van de belde fasen op-treden. Dit stoftransport, dat al naar gelang de aard van het verschijnsel, dat aan het grensvlak optreedt, naar dit grensvlak toe of daar vanaf gericht is, berust op diffusie en meevoering door stroming van het fluïdum.
Indien het verschijnsel, dat aan het grensvlak optreedt, al-leen een faseovergang is. dan zal de snelheid van het totale pro-ces praktisch volledig worden bepaald door transport in de fluïde fase. De potentiële snelheid van de faseovergang is namelijk in het algemeen praktisch oneindig groot. Dit is dus het geval bij het verdampen en oplossen en ook bij het neerslaan van vaste stoffen. Ook bij het drogen van vochtige poreuze stoffen is dit het geval, zolang tenminste alle poriën nog met vloeistof gevuld
z i j n . Het grensvlak, waar dan s t o f u i t w i s s e l UÓ o p t r e e d t , i s het grensvlak tussen de v l o e i b a r e en de gasvornige fase. Omdat het v l o e i s t o f h u i d j e om de d e e l t j e s meestal dun i s , gedraagt een bed van d e r g e l i j k e d e e l t j e s zich makroskopisch a l s een bed van v a s t e d e e l t j e s .
Indien het v e r s c h i j n s e l , dat aan het grensvlak o p t r e e d t een ad- of desorptie of een chemische r e a c t i e i s , dan zal de snelheid van s t o f t r a n s p o r t n i e t a l l e e n de s n e l h e i d * a n het gehele proces bepalen. Deze verschijnselen kunnen namelijk in de meeste geval-len n i e t oneindig snel verlopen. Zolang de p o t e n t i ë l e s n e l h e i d van deze v e r s c h i j n s e l e n e c h t e r n i e t zeer k l e i n i s ten opzichte van d i e van het s t o f t r a n s p o r t in de f l u ï d e f a s e . b e p a a l t d i t t r a n s p o r t toch mede de s n e l h e i d waarmee h e t p r o c e s v e r l o o p t .
Men kan z i c h z o ' n s t o f u i t w i s s e l i n g s p r o c e s in het algemeen voorstellen t e bestaan u i t een aantal trappen, welke kunnen z i j n : Ie Transport van reactanten door het fluïdum naar het oppervlak
van de vaste stof toe.
2e Adsorptie van reactanten aan het oppervlak. 3e Chemische r e a c t i e .
4e Desorptie van reactieprodukten van het oppervlak.
5e Transport van reactieprodukten door het fluïdum van het op-pervlak vsui de vaste stof af.
Bij omkeerbare r e a c t i e s z i j n deze v i j f trappen in p r i n c i p e a l l e van betekenis. Bij n i e t omkeerbare r e a c t i e s z i j n de l a a t s t e twee trappen a l l e e n dan van b e t e k e n i s , a l s de r e a c t i e p r o d u k t e n het verloop van de r e a c t i e dreigen t e belemmeren. De s n e l h e i d . waarmee het proces v e r l o o p t , wordt bepaald door de p o t e n t i ë l e snelheden van de afzonderlijke trappen, die onderling onafhanke-l i j k z i j n . Dit f e i t i s zeer b e onafhanke-l a n g r i j k . De consequentie hiervan i s namelijk, dat men de v e r s c h i l l e n d e v e r s c h i j n s e l e n , die b i j zo'n proces een r o l spelen, in een t h e o r e t i s c h e beschouwing van elkaar kan I s o l e r e n , en afzonderlijk experimenteel kan onderzoe-ken. Men kan namelijk een proces bedenken, waarvan de s n e l h e i d praktisch door één van de bovengenoemde verschijnselen wordt be-paald. De snelheid van het proces i s dan gelijk aan de p o t e n t i ë l e snelheid van dat ene v e r s c h i j n s e l , omdat de p o t e n t i ë l e snelheden van de andere verschijnselen r e l a t i e f zeer groot z i j n .
Het f e i t . dat de p o t e n t i ë l e snelheden van de d i v e r s e v e r -schijnselen onderling onafhankelijk z i j n . kan men i l l u s t r e r e n met het meest eenvoudige geval, namelijk dat waarbij men kan spreken van een aantal additieve „weerstanden" tegen s t o f t r a n s p o r t .
Dat de weerstanden tegen s t o f t r a n s p o r t a d d i t i e f z i j n , wil zeggen, dat de snelheid van leder van de verschijnselen, die
op-treden, recht evenredig is met het plaatselijke concentratie-verschil van de actieve stof. Met „de actieve stof" wordt hier de component bedoeld, waaVvan men de transportsnelheid bestudeert. Voor de snelheid van het gehele proces kan men dus een uitdruk-king schrijven van de volgende gedaante:
$ = (1-1) _ ^ . ^ _ . ...
ki Al ^2 Ai
Hierin is:
$, = de massastroom van de actieve stof (kg sec' ) .
C = de concentratie van de actieve stof op een juist gekozen karakteristiek punt (kg m"^).
Al, 42, ... = de oppervlakken waar uitwisseling plaats vindt (m^); in eenvoudige gevallen onderling gelijk.
fel, ^2, ... = de bijbehorende snelheidscoëfficiënten (m sec'*). die een maat zijn voor de potentiële snelheden.
De Indices hebben betrekking op de verschillende verschijn-selen, terwijl de grootheid 7 —y - op te vatten is als de weer-stand tegen stoftransport van het verschijnsel nummer i.
Dit meest eenvoudige geval wordt in een beperkt aantal ge-vallen verwezenlijkt. In de andere gege-vallen is het verband tussen de snelheid van het proces en de potentiële snelheden van de af-zonderlijke verschijnselen ingewikkelder, maar in principe be-staat er steeds een dergelijk verband.
Indien men dus de aard van het stoftransport, dat bij chemi-sche of fysichemi-sche processen een rol speelt, wil onderzoeken, dan heeft het dus zin om processen te bestuderen, waarvan de snelheid uitsluitend door dit transport wordt bepaald. De resultaten hier-van zijn dan te gebruiken voor de voorspelling hier-van de invloed hier-van stoftransport in overeenkomstige gevallen, waarbij tevens andere verschijnselen, zoals chemische reactie, een rol spelen.
1.3. In- en uitwendig transport in een gepakt bed
Om het grensvlak tussen de vaste en de fluïde fase te ver-groten, wordt de vaste stof dikwijls in een poreuze (en permea-bele) vorm uitgevoerd. De transportverschijnselen zijn dan iets ingewikkelder, en het blijkt zin te hebben het stoftransport in de poriën van de vaste stof in de berekeningen te schelden van het stoftransport in de ruimte buiten de poreuze vaste stof. Met
dit laatste wordt dus bedoeld de ruimte tussen de deeltjes, waar het fluïdum door stroomt. In het vervolg zullen deze beide trans-portverschijnselen respectievelijk worden aangeduid als inwendig
en uitwendig transport.
Omdat het inwendige transport niet naar, maar langs het fa-sengrensvlak plaats vindt, zijn de weerstanden tegen Inwendig transport en reactie aan het oppervlak niet additief. Men kan deze twee verschijnselen in zijn berekeningen koppelen en tezamen met één snelheidsconstante beschrijven. Kwalitatief zegt men wel, dat de weerstand tegen inwendig transport in de nauwe poriën van poreuze vaste stoffen in het algemeen groter is dan de weerstand tegen uitwendig transport in de ruimte bulten de poreuze vaste stof. Indien nu de „weerstand" tegen chemische reactie nog veel groter is, dus als de reactiesnelheldsconstante per eenheid van het vaste oppervlak relatief klein is, zal de snelheid van de re-actie onafhankelijk zijn van transportverschijnselen. De rere-actie zal dan gelijkmatig plaats vinden aan het gehele inwendige opper-vlak van de vaste stof, terwijl de omzettingssnelheid recht even-redig Is met de grootte van het totale oppervlak. Dit blijkt het geval te zijn bij een aantal katalytische reacties, zoals bepaal-de krakingen (5), hydrogeneringen (22) en dehydrogeneringen (52).
Indien de reactiesnelheldsconstante per eenheid van opper-vlak echter een bepaalde waarde overschrijdt, of als de poriën van de vaste stof relatief nauw of lang zijn, dan kan Inwendig transport van reactanten of van reactieprodukten een beperkende factor worden in de snelheid van het proces. Er zal in dit geval een concentratiegradiënt in de poriën optreden, hetgeen weer tot gevolg heeft, dat een gedeelte van het oppervlak van de vaste stof niet wordt gebruikt. Dit treedt op bij een groot aantal ka-talytische reacties, waaronder bijvoorbeeld de ammonlaksynthese. Men kan deze vertragende werking van het Inwendige transport tot op zekere hoogte verhelpen door de korrels van de vaste stof maar klein genoeg te maken. Hierbij moet men dan wel in het oog hou-den. dat de drukval over een gepakt bed toeneemt bij kleinere korrelgrootten, zodat men in de praktijk meestal aan een minimum korrel grootte is gebonden.
Bij nog grotere reactiesnelheden zal ook de weerstand tegen uitwendig transport merkbaar worden. De weerstand tegen Inwendig transport is dan al zeer groot geworden, zodat een groot gedeelte van het inwendige oppervlak praktisch niet meer voor reactie wordt gebruikt. Indien de porositeit van de vaste stof echter niet al te klein is, kan het gedeelte van het inwendige opper-vlak, dat nog wel voor reactie wordt gebruikt, nog altijd vele
•
malen zo groot zijn als het uitwendige oppervlak. Men heeft dan dus een geval waarbij zowel de weerstand tegen in- als tegen uitwendig transport in rekening moeten worden gebracht. Dit kan optreden bij snelle katalytische reacties, zoals de katalytische watergasconversie (33).
Er bestaan tenslotte ook gevallen, waarbij de snelheid van een proces praktisch geheel wordt bepaald door uitwendig trans-port. Dit treedt dus op bij relatief zeer snelle reacties of in het geval, dat de poriën moeilijk toegankelijk zijn. Aan het in-wendige oppervlak van de vaste stof treedt dan geen omzetting van betekenis op. Het gebruik van poreuze vaste stoffen biedt dan dus ook geen voordelen meer. Een bekend voorbeeld, waar dit voor geldt, is de oxydatie van ammoniak aan een platlnakatalysator bij hoge temperatuur.
Indien het verschijnsel, dat aan het oppervlak van de vaste stof optreedt, niet een chemische reactie, maar een ad- of desorptie is, kunnen in principe dezelfde gevallen zich voordoen.
Een algemene bespreking van deze problemen vindt men in ar-tikels van Hougen (34), Kayser en Hoelscher (39). Welsz en Prater
(68) en Ergun (11).
Een kwantitatieve vergelijking van de snelheden van uitwen-dig transport, inwenuitwen-dig transport en omzetting aan het oppervlak wordt gegeven in hoofdstuk 3.
1.4. Doel van het onderzoek
Bij een aantal chemische en fysische processen, die worden uitgevoerd in reactoren, gevuld met een gepakt bed van een korre-lig materiaal, blijkt de snelheid waarmee het proces verloopt mede afhankelijk te zijn van transportverschijnselen in de ruimte tussen de deeltjes.
Het doel van dit onderzoek is na te gaan, door welke fac-toren deze transportverschijnselen worden bepaald, en wat de Invloed van elk van deze factoren is.
2
B E S P R E K I N G V A N D E G E B R U I K E L I J K E A A N P A K V A N H E T P R O B L E E M E N V A N
V R O E G E R V E R R I C H T E M E T I N G E N
2.1. Correlatiemethoden v j
Het stoftransport door stromende flulda wordt veroorzaakt door diffusie en meevoering door stroming, welke steeds gelijk-tijdig optreden. Hoewel de elementaire wetten van diffusie en van meevoering door stroming leder afzonderlijk eenvoudig zijn, is een exacte analyse van gevallen, waar beide verschijnselen ge-lijktijdig optreden, in het algemeen ingewikkeld. Een voorwaarde voor de uitvoerbaarheid van zo'n analyse is de volledige kennis van de stromingstoestand. Aan deze voorwaarde kan worden voldaan in gevallen waarin de stroming lamlnair is, als tenminste de begrenzingsvlakken een eenvoudige geometrische vorm hebben, zoals bij de stroming tussen twee evenwijdige vlakke platen of door cilindervormlge buizen. In andere gevallen is men meestal aange-wezen op het gebruik van semi-emplrlsche formules.
Deze formules hebben de vorm van betrekkingen tussen enige dimensleloze grootheden. Welke deze grootheden in een bepaald geval zijn is theoretisch af te leiden, terwijl men voor de vorm van de betrekking tussen deze grootheden meestal grotendeels is aangewezen op de resultaten van experimenten.
Het blijkt, dat men het verschijnsel van stofoverdracht kan beschrijven met behulp van een stofoverdrachtscoëfficiënt, die als volgt is gedefinieerd:
$; = fe AC (2-1) waarin:
$'^ = hoeveelheid overgedragen materie per tijdseenheid en per eenheid van o p p e r v l a k , ook genoemd massastroom-dichtheid (kg m*^ sec**).
AC = v e r s c h i l in concentratie tussen het fluïdum, dat V n contact i s met de vaste stof en de op de j u i s t e wijze
gemiddelde c o n c e n t r a t i e in het stromende fluïdum (kg m'^).
Het aannemen van een stofoverdrachtscoëfficiënt veronder-stelt een evenredigheid tussen $'^ en A C, welke in de meeste gevallen ook inderdaad gevonden wordt. Men heeft nu net probleem dus gesplitst in twee problemen, namelijk bepaling van fe en van A C. De bepaling van A C is meestal eenvoudig,, omdat gewoonlijk de concentratie buiten een zekere afstand van het vaste oppervlak constant is. Slechts voor de gevallen waar dit niet zo is, is het definiëren van A C moeilijk.
De meest eenvoudige manier om de stofoverdrachtscoëfficiënt in een gepakt bed te bepalen is de volgende:
Men bepaalt in een gepakt bed met lengte L (m), oppervlak van de dwarsdoorsnede F (m^) en specifiek oppervlak van de pak-king S^ (m'*) de concentratie Q en Cj (kg m'^) aan de in- en uitgang. Eventueel berekent men Cj uit de massaverandering van de deeltjes. Verder bepaalt men de evenwlchtsconcentratie C* (kgm'^) aan het oppervlak van de deeltjes, en de stroomsnelheid van het fluïdum. Wij noemen de stroomsnelheid betrokken op het totale doorsnee-oppervlak F van de buis v^ (m sec"').
Voor een lengte-element dl van de buis. dat overeenkomt met een massastroom d$^ van de actieve stof en een concentratieveran-dering dC in het fluïdum, kan men vergelijking (2-1) schrijven in de vorm:
d$, = v^F dC = k S, F (C* - C) dl (2-2)
Indien men aanneemt, dat fe. v^, S, en C* door het hele bed constant zijn. dan levert integratie van (2-2):
I C* -Cu k
De overdrachtscoëfficiënt fe is op deze wijze dus eenvoudig te bepalen. Aangezien fe, Vo en C* in werkelijkheid meestal niet door het gehele bed constant zijn, geeft vergelijking (2-3) ons slechts een effectieve gemiddelde waarde van fe, dikwijls betiteld als „overall coefficient".
De vorm in het linker lid van vergelijking (2-3) woi^lt ook wel aangeduid als N^. het aantal „transfer units". De hoogte van een „transfer unit" fit is gelijk aan de lengte van de kolom ge-deeld door het aantal „transfer units". Over deze hoogt? wordt het concentratieverschil A C een factor e kleiner; men kaï^ Ht dus
als een dempingslengte opvatten. ƒ Door sommige onderzoekers wordt de grootheid H^ ifi plaats
van fe gebruikt als maat voor de stofoverdrachtssnelheldjj Het
ff. = ^ . . • : (2-4) In dit onderzoek is steeds de stofoverdrachtscoëfficiënt fe
als maat voor het uitwendige transport gebruikt.
In alle problemen waar stofoverdracht optreedt, is, indien de begrenzingsvlakken van de stroming gegeven zijn, fe afhankelijk van de volgende variabelen:
1) De diffusiecoëfficiënt D van de actieve stof in het fluïdum, (m^ sec"').
2) De kinematische viskosltelt v van het fluïdum (m^ sec''). 3) De stroomsnelheid v' van het fluïdum, gemeten op een
karak-teristiek punt (m sec*').
4) Een lengtemaat d' die karakteristiek is voor de vorm van het oppervlak waaraan stofoverdracht optreedt (m).
Dimensie-analyse leidt tot het groeperen van deze vijf grootheden in drie dimensleloze combinaties. Hiervoor kiest men gewoonlijk de kengetallen van Sherwood (Sh), Reynolds (Re) en Schmidt (Sc). , tt' • " (2-5) ( 2 - 6 ) D 'd' V V D' - Sh -- Re -- Sc (2-7)
Sh kan worden beschouwd als een verhouding tussen de stof-overdrachtssnelheid en de diffusiesnelheid. Re als een verhouding van traagheids- en wrijvingskrachten, dus als een kenmerk voor de aard van de stroming, en Sc als een verhouding tussen impuls- en massadiffusiecoëfficiënten.
In het algemeen kan men in een beperkt gebied van Re en Sc een betrekking tussen deze drie grootheden benaderen door:
Sh = c Re' Sc^ (2-8)
Het probleem is dan dus terug gebracht tot het bepalen van de drie constanten a, 6 en c, waarvoor men soms gebruik kan maken van de theorie, maar waarvoor men toch in het algemeen aangewezen is op experimenten.
Als de manier van schrijven in vergelijking (2-8) werkelijk juist is, dan moeten o, 6 en c alleen afhankelijk zijn van de
geometrische vorm van de begrenzingsvlakken. echter niet van de aard van het proces. Voor verschillende geometrische vormen van de begrenzingsvlakken, bijvoorbeeld voor stroming door buizen, langs platen, om bollen en dergelijke, zijn deze drie constanten experimenteel bepaald voor verschillende gebieden van Re en Sc. Voor een gebied waarvoor vergelijking (2-8) geldt, kan men voor een bepaalde geometrie Sh.Sc'^ grafisch uitzetten tegen Re en zo alle metingen voor gelijkvormige gevallen onderling verge-lijken.
Ook van gepakte bedden kan men zo stofuitwisselingsprocessen van allerlei aard en afmeting met elkaar vergelijken, zolang het tenminste geometrisch gelijkvormige gevallen betreft. In het al-gemeen echter is een gepakt bed nooit geheel gelijkvormig met enig ander, al vertoont de vorm kwalitatief hetzelfde beeld. Men moet hier dus wel enige reserve betrachten.
Zolang dé grootte van b niet bekend is, kan men dan in ana-logie met stofoverdracht aan bollen (15) ook voor gepakte bedden de grootheid Sh.Sc'^^^ uitzetten tegen Re.
In Amerikaanse publicaties komt men dikwijls als maat voor de stofoverdrachtssnelheld het getal ;„ tegen, dat als volgt gedefinieerd is:
>D ' ^^ 1 =-^-Sc' '' (2-9)
Re Sc^ ^
Deze dimensleloze groep is dus voor gevallen waarvoor 6 = i is, evenals de combinatie Sh.Sc'^^^, alleen een functie van Re. Voor stroming'in pijpen blijkt jp bovendien gelijk te zijn aan de frictiefactor f.
Tenslotte kent men nog het getal van Stanton (St), dat geba-seerd Is op de hoogte van een „transfer unit" H^ als maat voor de stofoverdrachtssnelheld.
Substitutie van (2-4) in (2-5) geeft, als men v' = v^ kiest:
Sh = '^'''' = (—^—) Re Sc (2-10)
D S„ Ht Ht Sy
Men definieert daarom St als volgt:
St = - 7 7 ^ = — • (2-11)
Substitutie In (2-8) geeft als verband tussen St en de onaf-hankelijk veranderlijken Re en Sc (als v' = v^):
Over het gebruik van al of niet dimensleloze grootheden wordt verwezen naar stelling 6 van dit proefschrift.
De bovengenoemde correlatiemethoden tussen dimensleloze grootheden hebben evenwel bij toepassing op metingen aan gepakte bedden ook nog een bezwaar, namelijk dat resultaten verkregen in twee niet volkomen gelijkvormige gevallen, dat wil dus zeggen in alle praktische gevallen, in principe nooit overeenstemmen. Het is duidelijk, dat men minstens nog enige dimensleloze groepen in rekening moet brengen, bijvoorbeeld de porositeit van het bed, de verhouding tussen de diameter van een deeltje en de diameter van het bed, de verhouding tussen lengte en diameter van het bed, en één of meer factoren die de vorm van de vaste deeltjes beschrij-ven. Het gebruiken van zoveel onafhankelijk veranderlijke varia-belen maakt het probleem echter zeer onoverzichtelijk.
Men kan echter het probleem vereenvoudigen door enige kunst-' ..pen toe te passen, die in de volgende paragraaf worden bespro-ken, waardoor men nog steeds slechts drie dimensleloze kengetal-len hoeft te beschouwen. Al lijkt het toepassen van dergelijke kunstgrepen betrekkelijk voor de hand liggend, het mist toch een degelijke theoretische grondslag en is daarom alleen geoorloofd als de zo verkregen correlatiemethode bruikbaar blijkt te zijn.
2.2. Beschouwing van een gepakt bed als een systeem van deeltjes
Een gepakt bed kan worden beschouwd als een systeem van deeltjes én als een systeem van kanalen.
Wanneer het wordt beschouwd als een systeem van deeltjes, kunnen metingen aan een gepakt bed worden vergeleken met die aan een enkel deeltje waarbij men als karakteristieke eigenschappen van het bed kan noemen:
Ie De verhouding tussen de karakteristieke snelheid v' en
bij-voorbeeld de stroomsnelheid v^ van het fluïdum, betrokken op
de totale doorsnede van de buis.
2e Het coördinatiegetal n, dat is het gemiddeld aantal contact-punten tussen een deeltje en zijn naburen.
v'
De verhouding — kan men op verschillende manieren kiezen. bijvoorbeeld:
1) — = 1 of v' = i;„
«'o
porositeit van het bed in de beschouwde gevallen binnen zeer enge grenzen gelijk is.
2) ^ = i of v ' = ^ :.
Hierin is e de porositeit, dat is de volumefractie open
ruimte in het bed. Het quotiënt —^ is bij benadering gelijk aan e
de gemiddelde snelheid tussen de deeltjes. v' 1 . , "o
Hierin is •& de kleinste fractie vrij oppervlak van een door-snede door het bed loodrecht op de stromingsrichting. Voor een volkomen willekeurige stapeling is •& = e, voor regelmatige
stape-v^
lingen verandert •& met de hoogte. Het quotiënt -^ is gelijk aan de grootste waarde van de stroomsnelheid in axiale richting die in het bed voorkomt.
Het gemiddeld aantal contactpunten per deeltje kan men in rekening brengen door voor ieder contactpunt een zeker percentage 5 van het oppervlak van een deeltje als onwerkzaam te beschouwen. In plaats van de stofoverdrachtscoëfficiënt fe, die betrokken is op het totale oppervlak van de deeltjes, moet men dan het
quo-k
tiënt in rekening brengen. De grootheid § kan in principe 1 - n ^
nog een functie van Re zijn.
Tenslotte kan men nog deeltjes van verschillende vorm verge-lijken, door één of meer vormfactoren in te voeren. Voor rondach-tlge deeltjes, dat zijn dus deeltjes waarvan de afmetingen in elke combinatie van drie onderling loodrechte richtingen ongeveer even groot zijn, kan men in eerste instantie wel volstaan met het aannemen van een effectieve diameter d. Deze kan men bijvoorbeeld definiëren als de diameter van de bol met gelijk volume.
Indien men Sh en Re betrekt op deze effectieve diameter, dan kan men deze kengetallen elk op een van de twee volgende manieren kiezen: (2-13) S/l = — (2-14) Sh = (1 kd D kd -n^) D
v„ d .•' ' •
Re = - ^ — (2-15)
fie = - ^ - (2-16) Behalve voor vergelijking van metingen aan een gepakt bed
met metingen aan een enkel deeltje, zijn deze kengetallen van meer nut voor het vergelijken van metingen aan verschillende pak-kingen.
2.3. Beschouwing van een gepakt bed als een systeem van kanalen Indien men een gepakt bed beschouwt als een systeem van ka-nalen, kunnen metingen aan zo'n bed worden vergeleken met die aan buizen, waarbij als karakteristieke eigenschappen van het bed genoemd kunnen worden:
Ie De diameter van de kanalen. Hiervoor kan men de hydraulische diameter d^ nemen, die gelijk is aan viermaal het quotiënt van vrije ruimte en wandoppervlak. Als men dan een vormfactor y voor de deeltjes definieert, zó, dat het uitwendig oppervlak van een deeltje gelijk is aan y-rtd*. dan vindt men voor dy,:
= — 2 j d e ^2-17) •> 3 (1 - e)Y
2e Het quotiënt ^ van de gemiddelde lengte van de kanalen en de lengte van het bed. Deze grootheid is in het algemeen zeer moei-lijk te meten, en wordt daarom dikwijls buiten beschouwing gela-ten.
3e De verhouding tussen de karakteristieke snelheid v' en v^. Indien men deze verhouding gelijk - kiest, dan is dus v' =
e
Vg
— , en dus bij benadering gelijk aan de gemiddelde snelheid In de e
kanalen. Een betere benadering voor de gemiddelde snelheid in de kanalen is:
4e Om het onwerkzame gedeelte van de wanden van de kanalen op de contactpunten in rekening te brengen, kan men dezelfde groot-heden n en ^ invoeren.
Men kan dan Sh en Re op de één van de twee volgende manieren kiezen: (1 - e) Y D S/l = ^-^ (2-19) (1 - n^)(l - e) Y D fie = — i - ^ ^ ^ (2-20) (1 - e) yv Re = ,, "° f V (2-21) (1 - e) y V
Hoewel het vergelijken van metingen aan een gepakt bed met metingen aan buizen weinig praktische betekenis heeft, zijn deze kengetallen wel bruikbaar voor het vergelijken van metingen aan verschillende pakkingen.
Tenslotte is de eerder genoemde grootheid S^ volgens boven-genoemde definities bepaald door:
S, = ^ (^ - ^^ ^ (2.21a)
2.4. Literatuuroverzicht
De literatuur vermeldt een groot aantal metingen op het ge-bied van stofoverdracht in gepakte bedden. Deze metingen zijn voor een deel verricht aan bedden van oplosbaar materiaal, waar men gedurende een relatief korte tijd een vloeistof doorheen liet stromen. Andere metingen zijn verricht aan bedden van verdampende deeltjes in een gasstroom. Soms werden ook al of niet poreuze deeltjes gebruikt van inert materiaal, die bevochtigd waren met een verdampende vloeistof. Satterfield en Resnick (59) maakten gebruik van een chemische reactie waarvan de snelheid volledig afhankelijk was van uitwendig transport. De vaste deeltjes deden hierbij dienst als katalysator.
In al deze gevallen hadden de onderzoekingen betrekking op het bepalen van een stofoverdrachtssnelheld als functie van een aantal variabelen. Als maat voor de stofoverdrachtssnelheld kiest men dan de stofoverdrachtscoëfficiënt fe of de hoogte van een
„transfer unit" Ht. waartussen een direct verband bestaat (verge-lijking 2-4). Deze grootheden worden meestal bepaald op een wij-ze, die in paragraaf 2.1 is genoemd.
Offl de resultaten van diverse onderzoekers beter te kunnen vergelijken, zijn in grafiek 2-1 een groot aantal meetresultaten verenigd. Hierbij is gebruik gemaakt van de in paragraaf 2.1 ge-noemde correlatiemethode, waarbij de waarde van de dimensleloze groep S/l.Sc''''^ wordt uitgezet tegen Re. De dimensleloze groepen
Sh, Re en Sc die hiervoor zijn gebruikt, zijn die welke gedefi-nieerd zijn in de vergelijkingen (2-18), (2-21) en (2-7). De meetresultaten van de auteurs zijn om deze correlatie mogelijk te maken opnieuw uitgewerkt. Door de berekende punten zijn zo goed mogelijk vloeiende lijnen getrokken.
Sh Scï
*-R«
figuur 2-i
Meetresultaten uit de literatuur. De cijfers verwijzen naar meetseries:
1 : 2-inethylpropanol-l-water (30) 2 : butanon-water (30)
3 : barnsteenzuur-butanol-l (17) 4 : salicylzuur-benzeen (17) 5 : barnsteenzuur-aceton (17)
6 : benzoëzuur-glycerlne met water (43) 7 : benzoëzuur-water (43) 8 : 2-naftol-water (49) 9 : water-lucht (bollen) (19) 10 : water-lucht (cilinders) (19) 11 : water-lucht (71) 12 : diverse vloeistof-gas-systemen (31) 13 : waterstofperoxyde-helium (59)
Op deze wijze zijn alle metingen opgenomen die op d i t gebied zijn verricht, voor zover van de publikaties van deze metingen
uittreksels zijn verschenen in Chemical Abstracts. Resultaten van metingen aan platte of ringvormige deeltjes (67), resultaten waarvan de grote spreiding het trekken van lijnen niet goed moge-lijk maakte (58), en resultaten waarbij geen vorm van de deeltjes of geen waarden van de porositeit van het bed zijn opgegeven (8) (12) (35) (36) (43), zijn niet in de grafiek opgenomen. Tenslotte zijn enige meetresultaten uit moeilijk verkrijgbare publicaties ook niet opgenomen (18) (37) (62).
Men ziet, dat de resultaten volgens deze correlatiemethode verenigd een grote spreiding vertonen, namelijk een factor 2 voor grote en een factor 4 voor kleine waarden van fie. Verder blijkt. dat de exponent van Re bij toenemende fie geleidelijk iets toe-neemt, zoals in het algemeen wordt geconstateerd bij stroming om lichamen. Bij stroming door buizen kan een discontinuïteit optre-den als gevolg van een plotselinge overgang van een laminaire in een turbulente stromingstoestand, maar daarvan is hier zeker geen sprake.
Met betrekking tot de exponent van Re kan men een redelijke overeenstemming opmerken. Voor Re = 50 ligt deze exponent tussen 0,45 en 0,70, en voor fie w 1000 tussen 0.55 en 0,75.
b '
Het is juist over de grootte van de constante c Sc ^ (zie vergelijking 2-8), dat de metingen slecht overeenstemmen. Deze afwijkingen kunnen niet alleen worden veroorzaakt door het aan-nemen van de exponent i van het getal Sc, want ook voor metingen aan gassen, waarvoor Sc van de orde van 1 is, vindt men grote onderlinge verschillen. Omdat er nog niet veel metingen (31) (58) zijn gedaan aan systemen met verschillende waarden van Sc in vol-komen gelijkvormige bedden, is er over de invloed van Sc uit deze metingen weinig op te maken. Men kan alleen constateren, dat re-sultaten van stofoverdrachtsmetingen In gassen en in vloeistof-fen, waarvoor het getal Sc omstreeks een factor 10^ kan verschil-len, wel ongeveer te correleren zijn door voor de exponent van Sc de waarde i aan te nemen.
De oorzaak van het feit, dat de meetresultaten zo slecht overeenstemmen, moet wellicht worden gezocht in de onvoldoende gelijkvormigheid zelfs van bedden met dezelfde porositeit en van deeltjes met dezelfde vormfactor. Hierop wordt in de volgende paragraaf nader ingegaan.
Wij kunnen het gemiddelde van de resultaten uit grafiek 2-1 voorstellen door de betrekking:
l i
De hier opgegeven variatie stelt de gemiddelde afwijking van deze vergelijking voor van alle in figuur 2-1 opgenomen metingen. Tenslotte moeten hier nog worden vermeld de overzichtsarti-kelen van Gamson (20) en van Ergun (10).
Gamson heeft in 1951 een overzicht gepubliceerd van resulta-ten van stof- en warmte-overdracht aan gepakte en gefluïdiseerde bedden. Hij heeft daarin de resultaten van stofoverdrachtsmetin-gen aan gepakte bedden in één grafiek verenigd. Het bleek, dat de punten het beste op één lijn vielen wanneer de grootheid ^ Ö ~ T
dp V.
werd uitgezet tegen . De vergelijking van deze lijn,
ver-Ti(l-e)
t a a l d in de in v e r g e l i j k i n g e n ( 2 1 8 ) . (221) en (27) g e d e f i -nieerde kengetallen, l u i d t dan a l s volgt:
i_
S/l = 1,46 e ( l - e ) ° - 2 / i e " ' " Sc^ (2-23) voor fie > 100, t e r w i j l voor fie < 10 de punten naderden t o t de
l i j n :
1
S/l = 17 e ( l - e ) " - ^ Sc^ (2-24) Indien men deze r e s u l t a t e n wil vergelijken met v e r g e l i j k i n g
(2-22), dan kan men d i t doen door voor e een gemiddelde waarde van 0,4 aan t e nemen. De vergelijkingen (2-23) en (2-24) gaan dan over in
1
S/l = 0 . 5 f l e < ' ' " S c 3 voor fie > 100 (2-25)
. 1
S/l = 6 Sc^ voor fie < 10 (2-26) De meetresultaten, die door Gamson zijn verzameld, bleken
niet meer dan 10 % van de gemiddelde lijn af te wijken. Dit komt in de eerste plaats omdat hij naar een zo goed mogelijke empiri-sche correlatie zocht, en in de tweede plaats omdat hij slechts de resultaten van drie onderzoekers heeft verzameld (19) (30)
(49).
Het overzichtsartikel van Ergun, dat in 1952 is gepubli-ceerd, bevat de resultaten van belangrijk meer onderzoekingen. Ergun zocht echter niet naar een empirische correlatie, maar naar een analogie tussen stofoverdracht en drukval bij stroming door een gepakt bed. Als kengetal voor stofoverdracht gebruikt hij een getal J, dat gelijk is aan - 5 — . (Hierin zijn Sh en fie
nieerd volgens (2-18) en (2-21). Uitgaande van de analogie van Reynolds leidt Ergun af, dat men kan verwachten, dat dit kengetal gelijk moet zijn aan de frictiefactor. Indien men dit vergelijkt met het voorgaande, dan blijkt, dat dit wil zeggen, dat Ergun van te voren veronderstelt, dat de e:a)onent b van Sc uit vergelijking (2-8) gelijk aan O is. Hij vindt zo, dat de meetresultaten van stofoverdracht in water wel enigszins overeenstemmen, maar dat metingen aan gassen en aan systemen met een hoge waarde van Sc geheel daarbuiten vallen.
Uit het bovenstaande blijkt dus, dat de gebruikelijke corre-laties alleen dan bruikbaar zijn om de metingen te Interpreteren als men afziet van een factor 2 tot 4.
2.5. Mogelijke bronnen van fouten
Alvorens men overgaat tot het verrichten van nog meer expe-rimenten op dit gebied, dient te worden nagegaan wat de oorzaak is van de grote spreiding in de resultaten van vroeger verrichte onderzoekingen.
In praktisch alle onderzoekingen is de stofoverdrachtscoëf-ficiënt berekend uit het verschil tussen de concentraties in het in- en uitstromende fluïdum door toepassing van vergelijking (2-3). Deze vergelijking is ontstaan door integratie van verge-lijking (2-2).
Bij het opstellen van de differentiaalvergelijking (2-2) heeft men stilzwijgend het volgende aangenomen:
Ie De stroomsnelheid is door de gehele doorsnede van het bed gelijk (propstroralng).
2e Er treedt geen merkbaar stoftransport op door diffusie in axiale richting.
Voor de integratie van (2-2) tot (2-3) is verder nog aange-nomen. dat de stofoverdrachtscoëfficiënt' fe, de stroomsnelheid v^, het specifieke oppervlak S^ en de evenwlchtsconcentratie C* op ieder punt in het bed gelijk zijn. Dit houdt in, dat de reactor bovendien nog moet voldoen aan de volgende voorwaarden:
3e De geometrie van het bed is overal gelijk; dit wil dus zeg-gen, dat volume-elementen, die groot zijn ten opzichte van een deeltje en klein ten opzichte van de reactor, overal gelijk zijn.
4e De stofeigenschappen zijn op leder punt in het bed gelijk. Nodig hiervoor is, dat de temperatuur en de concentraties van de uitgewisselde stoffen overal praktisch gelijk zijn.
Tegen de e e r s t e voorwaarde z i j n ongetwijfeld de e r n s t i g s t e bezwaren aan t e voeren. De optredende w r i j v l n g s en t r a a g h e i d s -k r a c h t e n veroorza-ken s n e l h e l d s v e r s c h i l l e n van punt t o t p u n t . Doordat de kanalen tussen de d e e l t j e s n i e t a l l e even breed z i j n , stroomt een g e d e e l t e van het fluïdum s n e l l e r en een g e d e e l t e langzamer dan met de gemiddelde snelheid. Hierdoor kan z e l f s een zekere k o r t s l u i t i n g door het bed ontstaan.
Aan de derde voorwaarde wordt in het algemeen ook geenszins voldaan. Bij de modellen van gepakte bedden, waarin de buisdlame-t e r dikwijls van de orde van buisdlame-t i e n maal de deeflbuisdlame-tjesdiamebuisdlame-ter i s . t r e e d t . Indien de s t a p e l i n g n i e t regelmatig i s , een b e l a n g r i j k wandeffect op. De p o r o s i t e i t van een d e r g e l i j k bed i s i n h e t midden aanmerkelijk lager dan in het gebied bij de wand. Daar de stroomsnelheid bij gegeven drukval zeer s t e r k afhankelijk i s van de p o r o s i t e i t , heeft d i t weer e x t r a s n e l h e i d s v a r i a t i e s ten gevol-ge. Uit de formule voor de stromingsweerstand van Ergun (9) volgt, dat indien bijvoorbeeld de p o r o s i t e i t in het midden van de r e a c t o r 0,40 en d i c h t e r b i j de wand 0,45 i s , de stroomsnelheid h i e r , afhankelijk van fle, een factor 1,2 k 1,7 maal zo groot i s . Schwartz en Smith (60) hebben ook inderdaad in gebruikelijke mo-dellen van een gepakt bed dergelijke s n e l h e i d s v a r i a t i e s in dwars-rlchting gemeten. Deze s n e l h e i d s v a r i a t i e s veroorzaken n i e t alleen een e x t r a menging, maar hebben bovendien v a r i a t i e s in de s t o f -overdrachtscoëfficiënt ten gevolge.
In ondiepe n i e t - r e g e l m a t i g e bedden kan bovendien nog een v a r i a t i e van de p o r o s i t e i t in a x i a l e r i c h t i n g merkbaar worden, doordat de onderste twee of d r i e lagen dichter gepakt z i j n dan de hogere lagen.
Dat aan de tweede voorwaarde in het algemeen wordt voldaan i s van weinig belang, omdat het e f f e c t toch s t e e d s o v e r t r o f f e n wordt door v a r i a t i e s in de stroomsnelheid.
Wat de vierde voorwaarde b e t r e f t , hieraan wordt zeker v o l -daan b i j het oplossen van s l e c h t oplosbare v a s t e stoffen in vloeistoffen, t e r w i j l bij goed uitgevoerde proeven met verdampen-de stoffen verdampen-de effecten gering kunnen z i j n .
Indien b i j d i t soort metingen n i e t voldaan wordt aan boven-genoemde voorwaarden, t e r w i j l men voor de berekening wel gebruik maakt van v e r g e l i j k i n g ( 2 - 3 ) . dan v e r k r i j g t men een e f f e c t i e v e gemiddelde waarde van de s t o f o v e r d r a c h t s c o ë f f i c i ë n t , die van de p l a a t s e l i j k e waarden afwijkt. Deze afwijking i s voor een gegeven stapeling en een gegeven systeem min of meer systematisch. Indien men zich beperkt t o t gevallen, waarin a l l e e n n i e t voldaan wordt
aan de eerste en de derde voorwaarde, dan zijn de afwijkingen alleen afhankelijk van de vorm van de stapeling en van het getal van Reynolds. Men kan dus zeggen, dat de in paragraaf 2. 2 en 2. 3 genoemde kunstgrepen onvoldoende zijn. en dat men voor de corre-latie in ieder geval meer dimensleloze groepen nodig heeft die de structuur van het bed beschrijven. Omdat er echter tenminste nog drie structuurparameters een rol spelen, zou men om een correla-tie te vinden een onpraktisch groot aantal metingen moeten doen.
Een tweede oorzaak van de spreiding in de besproken meetre-sultaten wordt gevormd door twee meetfouten, die bij verdampings-proeven gemakkelijk op kunnen treden. In de eerste plaats is de moeilijk te meten temperatuur van het oppervlak van de vaste deeltjes hier een bron van fouten. In een aantal onderzoekingen
(19) (71) heeft men zelfs de oppervlaktetemperatuur in het geheel niet'bepaald, maar berekend, uitgaande van de analogie tussen warmte- en stofoverdracht., Dit is principieel onjuist, omdat hierbij wordt uitgegaan van bepaalde veronderstellingen omtrent de grootten van de constanten uit vergelijking (2-8). Dit onder-werp komt ter sprake in paragraaf 2.6. In de tweede plaats kan de meting van het verschil van Cj en C* moeilijkheden opleveren. Zoals volgt uit de vergelijkingen (2^3), (2-18), (2-21), (2-7) en (2-22) is dit verschil voor gassen, waarvoor Sc = 1 is, klein ten opzichte van C*. tenzij de lengte L van het bed zeer klein is.
Als derde oorzaak van de spreiding in de meetresultaten kan worden gezocht in de onnauwkeurigheid van de gebruikte fysische constanten. Dichtheden en viskoslteiten van gas- en vloeistof-mengsels zijn dikwijls wel met voldoende nauwkeurigheid bekend of te bepalen. Anders is het evenwel met diffusiecoëfficiënten, die veelal slecht bekend en moeilijk te bepalen zijn. Voor gassen zijn in het algemeen weer meer gegevens beschikbaar dan voor vloeistoffen.
Tenslotte kunnen aanzienlijke fouten schuilen in de even-wichtsbetrekkingen. Van de gebruikelijke organische stoffen zijn de dampspannlngen als functie van de temperatuur soms wel nauw-keurig bekend, de oplosbaarheden echter veelal niet.
2.6. ;4naZogie van warmteoverdracht met stofoverdracht Omdat de chemische en fysische omzettingen aan fasengrens-vlakken altijd gepaard gaan met warmte-effecten, kan naast stof-overdracht ook warmte-stof-overdracht een rol van praktische betekenis spelen. Het transport van warmte in een gepakt bed is ten dele
analoog aan het transport van stof. Het is analoog voor zover het het transport door het stromende fluïdum betreft, het verschilt echter daarin, dat er nog meer mogelijkheden voor warmtetransport bestaan.
In de eerste plaats kunnen de vaste deeltjes warmte gelei-den. Hierdoor kan het transport van warmte van of naar delen van het fasengrensvlak. die voor het stromende fluïdum moeilijk be-reikbaar zijn, belangrijk toenemen.
In de tweede plaats kan de warmte-overdracht van de vaste deeltjes naar het fluïdum worden verhoogd door het optreden van straling gecombineerd met absorptie.
Tenslotte kunnen de diffunderende moleculen warmte van of naar het grensvlak transporteren. Dikwijls is dit van weinig be-tekenis, omdat de totale warmte-inhoud van de diffunderende stof klein is ten opzichte van die van het fluïdum. Volgens Gabrielson (16) kan bij chemische reacties echter nog een verschijnsel op-treden, namelijk dat de moleculen van de diffunderende reactie-produkten nog in een aangeslagen toestand verkeren. Zij hebben dan een energie-inhoud die hoger is dan hun temperatuur aangeeft, en kunnen deze overmaat buiten het fasengrensvlak weer als warmte afstaan.
Behalve deze extra mogelijkheden van warmtetransport tussen de vaste deeltjes en het fluïdum, bestaan er ook extra mogelijk-heden voor warmtetransport door het bed heen. Deze zijn: gelei-ding door de deeltjes, straling van het ene deeltje naar het an-dere, en geleiding door de wand van de reactor. Bij sterk endo-therme of exoendo-therme processen wordt hiervan soms gebruik gemaakt door de reactor uitwendig te verhitten, respectievelijk te koe-len. Het netto warmtetransport van of naar de deeltjes van het bed is dus in twee richtingen te ontbinden, namelijk in axiale en in radiale richting. Dit is in tegenstelling tot het netto stof-transport, dat in het algemeen alleen in axiale richting optreedt.
Indien nu de radiale component van het netto warmtetransport alsmede de warmte-overdracht tussen de deeltjes en het fluïdum veroorzaakt door geleiding, door straling en door diffunderende stof verwaarloosbaar klein zijn, dan is de warmte-overdracht ana-loog met stofoverdracht. Het berust dan, evenals stoftransport, op diffusie en meevoering door het fluïdum. Stelt men de warmte-stroomdichtheid aan het grensvlak voor door $'^ (J m"^ sec*') en het analoog aan A C gedefinieerde temperatuurverschil door A t C c ) , dan kan men een warmte»overdrachtscoëfficiënt a (J m'^ "C"' sec*') als volgt definiëren:
Deze vergelijking is analoog aan vergelijking (2-1). Men kan een gemiddelde effectieve waarde van a bepalen op analoge wijze als dit voor de stofoverdrachtscoëfficiënt werd aangegeven. Ana-loog aan vergelijking (2-3) krijgt men dan:
|ln ** " ^ M - 7 ^ ' S , L ' (2-28) Hierin is:
t* = de temperatuur van de vaste deeltjes ("C).
tl en t2 = de temperatuur van het fluïdum respectievelijk aan de ingang en de uitgang van het bed (°C).
Cp = soortelijke warmte (bij constante druk) van het fluïdum (J kg"' °C-').
p = dichtheid van het fluïdum (kg m " ^ ) .
Indien de begrenzingsvlakken van de stroming gegeven zijn, is a afhankelijk van de volgende variabelen:
Ie De warmtegeleidingscoëfficiënt \ van het fluïdum (J m'' °C*' sec'').
2e De soortelijke warmte (bij constante druk) per volume-een-heid van het fluïdum Cp (J m'^ °C*'). (CJ, = C^ p).
3e De kinematische viskosltelt v van het fluïdum (m^ sec''). 4e De stroomsnelheid v' van het fluïdum, gemeten op een
karak-teristiek punt.
5e Een lengtemaat d' die karakteristiek is voor het apparaat waarin warmte-overdracht optreedt.
Als dimensleloze groepen kiest men gewoonlijk de kengetallen van Nusselt (Nu). Reynolds (fie) en Prandtl (Pr):
2éL ^ Nu (2-29)
^^—= Re (2-30)
^ = Pr (2-31)
Nu en Pr nemen b i j warmteoverdracht de p l a a t s in van r e s
-p e c t i e v e l i j k Sh en Sc b i j stofoverdracht, t e r w i j l fie a l s kenmerk van de stromingstoestand u i t e r a a r d in belde beschouwingen h e t -zelfde i s . Men kan het aantal onafhankelijk veranderlijken anders rangschikken, door i n p l a a t s van a een coëfficiënt A a l s volgt t e definiëren:
Het produkt CJ, t is dan op te vatten als een warmteconcen-tratie (J m ' ^ ) , zodat de dimensie van A gelijk is aan die van fe
(m sec''). De coëfficiënt A is dan slechts van vier variabelen afhankelijk:
Ie De temperatuurvereffeningscoëfficiënt a^, die dezelfde di-mensie heeft als de diffusiecoëfficiënt (m^ sec"'), en op de volgende wijze samenhangt met X en CJ,:
at =-^ (2-33)
Lp 2e Kinematische viskosltelt v. \
3e Snelheid v'. \ Reeds gedefinieerd.
4e Lengtemaat d'. )
Dan is:
/Vu = — " (2-34)
en Pr = ^!- (2-35)
Voor een beperkt gebied van fie en Pr kan men de betrekking tussen de beide dimensleloze groepen benaderen door:
Nu = c' Re'' Pr^' (2-36)
Het b l i j k t nu, dat de constanten o ' , 6' en c ' voor dezelfde gebieden van fie r e s p e c t i e v e l i j k praktisch gelijk z i j n aan a, 6 en c, zolang tenminste Pr en Sc van dezelfde orde van g r o o t t e z i j n .
Analoog aan j n d e f i n i e e r t men j j , a l s volgt:
j = - ^ = A p , L ^ L _ - p J (2-37)
fie Pr^ " ^
Het quotiënt -r^ i s op t e vatten a l s een maat voor de verhou-ding van warmte- en stofoverdrachtssnelheden, uitgaande van de v e r o n d e r s t e l l i n g , dat 6 = 6' = j i s .
T e n s l o t t e i s e r nog een k e n g e t a l van Lewis (Le), d a t a l s volgt i s gedefinieerd:
Sc a,
_ = - ^ = Le (2-38) Dan i s :
J J
"'-I
J:H=i5^. Le5 = i - . Le"^ = - ^ f l e - ' - : ^ ! ^ — - (2-39);„ Sh k c
^^.-Hieruit blijkt, dat als a' = a, c' = c en 6' = 6 = | is, voor iedere waarde van fie het quotiënt -r^ = 1 is. Als Le = 1 is
geldt dit ook zonder de laatste voorwaarde.
J H
Meestal wordt voor -r- een waarde gevonden tussen 1,0 en 1,2. De onnauwkeurigheid van warmte- en stofoverdrachtsmetingen is zelden kleiner dan 10 %, Dit heeft tot gevolg, dat de onnauwkeu-righeid bij het bepalen van -^ van de orde van 10-20 % is. Dat
J D
men voor ^ meestal waarden boven 1.0 vindt, kan men wijten aan
JD
het feit, dat de andere mogelijkheden voor warmtetransport toch wel, zij het op kleine schaal, worden verwezenlijkt. Het kan echter ook liggen aan het feit, dat de vergelijkingen (2-8) en (2-36) niet opgaan, of dat 6 en 6' niet gelijk aan j zijn. In dit laatste geval verliest het symbool -r^ zijn praktische betekenis,
omdat het dan behalve een functie van Re tevens een functie van Le wordt.
Indien warmte- en stofoverdracht naar een fasengrensvlak gelijktijdig optreden, zijn zij meestal het gevolg van hetzelfde fysische of chemische verschijnsel en zijn dus aan elkaar gekop-peld. In de stationnaire toestand is dan de hoeveelheid warmte die per massa-eenheld van de omgezette stof wordt opgenomen of afgestaan, constant. 2
3'
Stel deze hoeveelheid r* (J kg"' = "* - ) , dan geldt sec
< = r' $; (2-40)
zodat men door elimineren van a en fe (en enige andere grootheden) uit (2-1), (2-5), (2-27), (2-29), (2-38) en (2-40) krijgt:
^ = i H . L e ' V (2-41)
Indien aan het oppervlak van de vaste stof een fysisch ofchemisch evenwicht optreedt, dat zich praktisch oneindig snel instelt, dan is steeds C* = f ( t * ) , zodat (2-41) wordt:
|C-/(t*)| . J H , J C p P
Als f(t*) bekend is in het gebied van t* waarin men meet, Ju
dan is de grootheid ^ door meting van een plaatselijke concen-tratie en twee plaatselijke temperaturen te bepalen.
Indien aan het vaste oppervlak een aflopende chemische reac-tie plaats vindt, die ten opzichte van het stoftransport oneindig snel kan verlopen, dan is C* = O, dus:
I C I _ JH ^^1 _ ^ (2.43) t - t* Jo
Ook in dit geval is ^ eenvoudig te bepalen.
Uit de vergelijkingen (2-42) en (2-43) volgt bovendien, dat voor een bepaald systeem de oppervlaktetemperatuur t* zich op een zodanige waarde instelt, dat warmte- en stoftransport overeen-stemmen volgens relatie (2-40). Het blijkt verder, dat t* een functie is van C. alleen, mits het fluïdum een zodanige snelheid heeft, dat de vergelijkingen (2-8) en (2-36) opgaan, wat in het algemeen voor fie > 100 wel het geval is. Men maakt hiervan ook gebruik bij de bepaling van de vochtigheid van lucht met de zoge-naamde droge en natte bol-thermometers. Een vereiste hiervoor is kennis van quotiënt ^ en van de functie C* = f(t*).
Vergelij-J D
king (2-42) geeft dan C als functie van t en t*.
Arnold (1) onderzocht de gelijktijdige warmte- en stofover-dracht aan een natte bol-thermometer voor verschillende verdam-pende vloeistoffen. Hij definieerde een grootheid ^i als volgt:
^ = 7T7-. • ^ p <2-44)
en constateerde, dat er een rechtlijnig verband bestond tussen ^ en Le. Uit de vergelijkingen (2-42) en (2-44) volgt echter:
^ = ^ . Le^ (2-45)
JD
Als de vergelijkingen (2-8) en (2-36) opgaan, t e r w i j l a' = a , 6' = 6 en c ' = c, dan gaat (2-45) over in:
Het blijkt, dat de meetpunten van Arnold weinig verschillen van de lijn ^i = Le°'^, zodat men zijn meetresultaten ook voldoen aan de vergelijkingen (2-8) en (2-36) als 6 = 6' = 0,4.
Voor scheikundige reacties geldt vergelijking (2-42) ook. De temperatuur t*. die zich dus zo instelt, dat aan deze vergelij-king wordt voldaan, noemt men dan de adlabatische reactietempera-tuur (25).
Voor vergelijking van warmte-overdracht tussen de deeltjes van een gepakt bed en het stromende fluïdum voor verschillende vormen van het bed, kan men dezelfde kunstgrepen toepassen als voor stofoverdracht.
Beschouwt men een gepakt bed als een systeem van deeltjes, dan kan men Nu bijvoorbeeld definiëren:
Nu = — (2-47)
Nu = — . . • (2-48) (1 - n^) X
in analogie met (2-13) en (2-14).
Beschouwt men daarentegen een gepakt bed als een systeem van kanalen, dan kan men analoog aan (2-18) en (2-19) Nu op de vol-gende manier definiëren:
jVu = , ^ ""^ (2-49) (1 - e) y \ • .
Nu = ^-^ (2-50) (1 - n^)(l - e) y X
Er z i j n wel onderzoekingen (2) (4) (46) (48) v e r r i c h t met het doel voor warmte-overdracht tussen de d e e l t j e s van een gepakt bed en een stromend fluïdum een r e l a t i e t e vinden tussen Nu, Re en Pr. Deze metingen z i j n om t e c h n i s c h e redenen a l m o e i l i j k e r uitvoerbaar dan overeenkomstige stofoverdrachtsmetingen. Boven-dien moet er, om A t nauwkeurig te kunnen meten, een b e l a n g r i j k temperatuursverschil z i j n tussen vaste stof en fluïdum, waardoor het moeilijk wordt k a r a k t e r i s t i e k e waarden voor X en v t e kiezen. In het algemeen z i j n dergelijke warmte-overdrachtmetingen dan ook minder betrouwbaar dan stofoverdrachtmetingen, zodat men v e e l a l de r e s u l t a t e n van de l a a t s t e gebruikt om de e e r s t e te voorspel-len.
3
D E B E T E K E N I S V A N L I T W E N D I G T R A N S P O R T B I J R E A C T I E S A A N
P O R E U Z E V A S T E S T O F F E N
3.1. De invloed van de stofoverdrachtscoëfficiënt op de grootte van het benutte oppervlak
Dat bij vast-gas reacties de vaste stof in een poreuze vorm wordt gebruikt, kan twee redenen hebben. Het kan in de eerste plaats het gevolg zijn van de natuur van de vaste stof, zoals bij sommige vaste brandstoffen het geval is. In andere gevallen wordt de vaste stof met opzet in een poreuze vorm gebracht om een gro-tere omzettingssnelheid te verkrijgen, zoals bij de meeste vaste katalysatoren.
Zoals in paragraaf 1.3 reeds is genoemd, heeft het zin om bij de bestudering van de kinetika van deze processen het stof-transport te schelden in inwendig en uitwendig stof-transport.
Gevallen waarbij chemische reactie gepaard gaat met inwendig transport alleen zijn reeds veelvuldig bestudeerd. Men vindt hierover in de literatuur kwantitatieve berekeningen aan de hand van een vereenvoudigd model van de poreuze stof, bijvoorbeeld in de overzichtsartikelen van Wheeler (69) en Van Krevelen (44). In het gebruikelijke model veronderstelt men een aantal gemiddeld even wijde poriën, die een lengte Lp hebben en alle van het uit-wendig oppervlak naar binnen lopen. Deze lengte Lp is evenredig met de deeltjesdiameter en van dezelfde orde van grootte. Zowel aan het in- alö aan het uitwendig oppervlak treedt een chemische reactie op met een zekere reactiesnelheldsconstante. De diffusie in de poriën van de component die ons interesseert wordt beschre-ven met een diffusiecoëfficiënt öi, die niet altijd gelijk hoeft te zijn aan de diffusiecoëfficiënt D buiten de deeltjes. Tenslot-te kan men aan de poriënstructuur nog een labyrintfactor x toe-kennen. Deze factor geeft de verhouding aan tussen het diffusie-transport, dat op zou treden als de poriën cillndervormig waren, en de werkelijke diffusiesnelheid in de poriën. Deze laatste is kleiner, omdat de poriën verwijdingen en vernauwingen bevatten. Bij de mathematische behandeling beperkt men zich in het
algemeen tot reacties van de eerste orde. Uit de differentiaal-vergelijking voor gelijktijdige reactie en diffusie kan men door integratie en herleiding de volgende uitdrukking verkrijgen (zie literatuur (44) (69)): fee = S En
C„ (S ^ i ^
*
1) waarin: Hierin is: 9 X Lp SL
Dl
(3-1) (3-2)de omzettingssnelheid per eenheid van uitwendig opper-vlak van de deeltjes (kg m*^ sec"').
de reactiesnelheldsconstante per eenheid van oppervlak (m sec'')
de concentratie van de actieve stof aein het uitwendig oppervlak (kg m * ^ ) .
de verhouding tussen in- en uitwendig oppervlak. de porositeit van de deeltjes.
een dimensieloos kengetal, dat een maat is voor de ver-houding tussen de potentiële reactiesnelheid en de po-tentiële diffusiesnelheid in de poriën.
Voor het uitwendig oppervlak van een deeltje wordt hier het totale geometrische oppervlak genomen.
In het geval dat er ook een zekere weerstand tegen uitwendig transport optreedt, is Co een onbekende. Door elimineren van deze concentratie uit de vergelijkingen (3-1) en (2-1) vindt men (in overeenkomst met het voorbeeld in vergelijking (1-1)):
1 +
1
9 1)
(3-3)
waarin C de gemiddelde c o n c e n t r a t i e in het stromende fluïdum i s . Deze vergelijking kan men ook schrijven a l s :
fe„ C a (3-4)
Hierin stelt S de verhouding voor tussen het totale „benut-te" en het uitwendige oppervlak. Men kan S ook opvatten als een dimensleloze maat voor de omzettingssnelheid (betrokken op de potentiële reactiesnelheid aan het uitwendig oppervlak). Uit de vergelijkingen (3-3) en (3-4) volgt:
A l s Sh g e d e f i n i e e r d i s v o l g e n s v e r g e l i j k i n g ( 2 - 1 8 ) , dan i s Q: •••;•;•• ' • • . . , - •
Q = ? . - ^ . ^ ( 3 - 6 )
^ (1 - e) y x L p D
Deze grootheid Q is op te vatten als een maat voor de ver-e houding tussen in- en uitwendige diffusie. De factor
(1 - e) y wordt geïntroduceerd door de definitie van Sh en heeft alleen te maken met de structuur van het bed. Deze factor ligt in het
alge-1 ^ P «^
meen tussen T en 1. De factor — ; — w o r d t bepaald door de aard van
3 H i p
de p o r i ë n . Hoe k l « i n e r deze f a c t o r i s ( b i j c o n s t a n t e S), hoe k l e i n e r h e t t o t a l e i n w e n d i g e d i f f u s i e t r a n s p o r t kan z i j n . Voor z e e r p o r e u z e s t o f f e n kan Bp = -j en —— ~ 2 z i j n . De f a c t o r -jp- i s
KL p U
voor voldoend wijde poriën gelijk aan 1, zodat Q dan ook van de orde van 1 kan zijn. Indien de diameter van de poriën echter niet groter is dan de gemiddelde vrije weglengte van de moleculen wordt Dl < D, zodat Q kleiner wordt. De effectieve diffusiecoëf-ficiënt wordt dan ongeveer gegeven door (44):
öi = i dp u (3-7) waarin dp de e f f e c t i e v e p o r l e d i a m e t e r en u de gemiddelde s n e l h e i d
van de moleculen v o o r s t e l t . Wanneer deze v e r g e l i j k i n g van t o e p a s -s i n g i -s -s p r e e k t men van K n u d -s e n - d i f f u -s i e . Het e -s -s e n t i ë l e van d i t v e r s c h i j n s e l i s , d a t Di nu a f h a n k e l i j k i s van de p o r i e s t r u c t u u r . Drukt men dp u i t i n Sp en 5 : d e„ (3-8) ( 3 - 9 ) d = 1 ' ' - .
r i j g t men dus voor Dii
n _ 2 «i Ep U
0 . 9 . 5
In p l a a t s van Q kan men beter een kengetal Q'
^-^:
2 e 4
d du invoeren (3-10) , . ( 3 - 1 1 ) 3 (1 - e) y^ X Lp 3 /) 2 eDe factor ^ heeft weer alleen te maken met de struc-3 (1 - e) y2
tuur van het bed, en is van de orde van \ . Voor zeer poreuze
2
stoffen is — H - — ook van de orde van 4- De factor-—!^ kan ook wor-K Lp ^ 2 3 /)
den geschreven als -r~, waarin l^ de gemiddelde vrije weglengte ' *
van de moleculen voorstelt. Deze factor is bij gebruikelijke tem-peraturen en drukken voor deeltjes van omstreeks 1 cm van de orde van 10*, zodat Qt van de orde van 10^ kan zijn.
