INVERSE PROBLEM OF DETERMINING KINEMATIC PARAMETERS OF THE GOLF BALL DURING FLIGHT

(1)

PROBLEM ODWROTNY IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW KINEMATYCZNYCH

PIŁKI GOLFOWEJ W TRAKCIE LOTU

Olaf Popczyk

^1a

1Student studiów II stopnia kierunku Mechanika i Budowa Maszyn, Wydział Mechaniczny Tech- nologiczny Politechnika Śląska

aolaf.popczyk@gmail.com

Streszczenie

W niniejszym artykule przedstawiono problem odwrotny identyfikacji parametrów kinematycznych (prędkość po- czątkowa oraz prędkość kątowa) piłki golfowej w trakcie lotu na podstawie znanej trajektorii. W celu symulacji rzeczywistego eksperymentu trajektorie zostały zakłócone szumem Gaussowskim. W pracy przedstawiono wstęp do mechaniki lotu piłki golfowej. Równania różniczkowe ruchu w przestrzeni stanu rozwiązano za pomocą algorytmu Adamsa-Bashfortha, natomiast rozwiązanie problemu odwrotnego uzyskano poprzez minimalizację rozwa- żanego w pracy funkcjonału za pomocą algorytmu Levenberga-Marquardta. Ze względu na stochastyczny charakter danych wejściowych, przeprowadzono analizę statystyczną rezultatów obliczeń.

Słowa kluczowe: mechanika lotu piłki golfowej, identyfikacja parametrów kinematycznych, problem odwrotny

INVERSE PROBLEM OF DETERMINING KINEMATIC PARAMETERS OF THE GOLF BALL DURING FLIGHT

Summary

In this paper, an inverse problem of determining kinematic parameters (initial velocity and angular velocity) of the golf ball during flight was presented. In order to simulate real experiment, the trajectories were disturbed by Gaussian noise. In this article introduction to golf ball flight mechanics was presented. Dynamic equations of motion in the state space were solved using the Adams-Bashforth algorithm. Solution of the inverse problem was found by minimising functional consider in the paper using the Levenberg-Marquardt algorithm. Because of the stochastic nature of the input data, the statistical analysis of results was performed.

Keywords: golf ball flight mechanics, identification of kinematic parameters, inverse problem

1. WSTĘP

Zagadnienie dynamiki ruchu ciała kulistego poruszające- go się w płynie jest jednym z najstarszych problemów współczesnej mechaniki płynów. Jednym z pierwszych praw opisujących dynamikę ruchu ciała kulistego w ośrodku o niezerowej gęstości jest odkryte w 1851 roku przed George’a Stokesa prawo Stokesa [7] opisujące siłę oporu działającą na poruszającą się w płynie kulę przy przepływie laminarnym. Dane jest ono równaniem

= −6 ̅, (1)

gdzie – wektor siły oporu, – lepkość dynamiczna płynu, – promień kuli, ̅ – wektor prędkości kuli.

Prawo Stokesa pomimo swej niewątpliwej matematycz- nej elegancji ma dość wąskie zastosowanie, gdyż stosowane może być ono jedynie w przypadku występowania przepływu laminarnego. Pomimo upłynięcia niemal dwustu lat od wydania pierwszych dzieł dotyczących tego problemu wciąż brakuje kompleksowego modelu opisującego ruch kuli w płynie z uwzględnieniem wielości złożonych czynników występujących podczas ruchu. Jest

(2)

to o tyle problematyczne, że zagadnienie ruchu kuli w płynie jest bardzo istotnie z punktu widzenia takich gałęzi nauki, jak np. mechanika sportów, w których miota się obiekty kuliste, np. piłka nożna, koszykówka, golf, krykiet.

Niemożność znalezienia modelu opisującego ruch kuli w płynie uwzględniającego wszystkie istotne czynniki wpływające na jej ruch doprowadziła do stworzenia modeli, których opis matematyczny zawiera współczyn- niki empiryczne. Ich wyznaczenie możliwe jest jedynie na drodze doświadczalnej bądź z zastosowaniem metody komputerowej mechaniki płynów. Współczynniki takie upraszczają bardzo skomplikowane zjawiska do prostych równań empirycznych.

W niniejszym artykule przedstawiono sposób wyznacza- nia parametrów kinematycznych piłki golfowej podczas lotu przy wykorzystaniu takiego właśnie modelu. Zna- jomość parametrów kinematycznych poruszającej się piłki golfowej jest kluczowa, ponieważ w prezentowanym w pracy modelu parametry kinematyczne są dla piłki golfowej determinantą jej trajektorii. Przykładem prak- tycznego wykorzystania problematyki niniejszego arty- kułu jest system wspomagania treningu golfisty.

W systemie takim golfista wprowadza do programu współrzędne miejsca, w którym chce, aby wylądowała uderzona piłka, następnie golfista wykonuje uderzenie, po czym analizowana jest trajektoria lotu piłki. System oblicza parametry kinematyczne piłki i porównuje je z parametrami, jakie powinna ona mieć, aby wylądowała w zadanym miejscu. Finalną odpowiedzią systemu są wskazówki, jak zawodnik powinien zmienić swoją tech- nikę, aby uderzane przez niego piłki leciały tam, gdzie chce.

2. MODEL MATEMATYCZNY

Punktem wyjścia do rozważań na temat lotu piłki w płynie jest rzut ukośny [2], w którym jedyną siłą działa- jącą na ciało jest siła grawitacji. Dynamiczne równanie ruchu w postaci wektorowej opisuje równanie różniczko- we:

̅= ̅, (2)

gdzie – masa ciała, – czas, ̅ – wektor położenia ciała, ̅ – wektor przyśpieszenia grawitacyjnego. Roz- wiązaniem równania (2) w dwuwymiarowej przestrzeni określonej współrzędnymi XY jest układ parametrycz- nych równań trajektorii:

= cos

= sin − ,! (3)

gdzie , – współrzędne trajektorii, – prędkość początkowa, – kąt rzutu. Trajektoria lotu opisana układem równań (3) została przedstawiona na rys. 1.

Warunkiem początkowym dla położenia ciała jest punkt znajdujący się w początku układu współrzędnych.

Rys. 1. Trajektoria lotu przy rzucie ukośnym [7]

Rzut ukośny dobrze opisuje ruch ciała w próżni, jednak jego stosowanie w przypadku ciała zanurzonego w gazie jest dużym uproszczeniem w stosunku do rzeczywistości.

W celu uzyskania modelu, który może być stosowany do kul poruszających się w gazach, uwzględnić należy dwie dodatkowe siły: siłę oporu oraz siłę nośną [6].

Siła oporu związana jest z oporem ruchu w płynie i ma zwrot przeciwny do wektora prędkości ̅. Siłę oporu #

opisuje równanie [6]:

#= − $#%&| ̅| ̅, (4) gdzie _# – wektor siły oporu, $# – współczynnik oporu,

% – gęstość płynu, w którym zanurzona jest kula, & - powierzchnia rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do wektora prędkości ciała względem płynu. Warto zazna- czyć, że równanie (4) różni się zasadniczo od równania od liniowego równania Stokesa (1), gdyż może być ono stosowane dla przepływu turbulentnego.

Siła nośna jest siłą działającą na kulę, jeżeli poza ru- chem postępowym wykonuje ona także ruch obrotowy względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości z prędkością kątową (. Zjawisko to zostanie wyjaśnione na przykładzie przedstawionym na rys. 2.

Rys. 2 Zasada powstawania siły oporu oraz siły nośnej

(3)

W sytuacji przedstawionej na rys. 2 w wyniku ruchu obrotowego piłki gaz opływa kulę o promieniu R od góry z prędkością + (*, natomiast od dołu z prędkością

− (*. Zgodnie z równaniem Bernoullego wzrost pręd- kości przepływu płynu powoduje spadek jego ciśnienia, natomiast spadek prędkości przepływu płynu powoduje wzrost jego ciśnienia. Różnica ciśnień powoduje powsta- nie siły nośnej. Opisany powyżej efekt nosi nazwę efektu Magnusa [6]. Siłę nośną ₊ opisuje równanie [6]:

+= − $+%&| ̅|^,-×/_|,-|, (5) Uwzględniając siłę oporu oraz siłę nośną w równaniu (2), otrzymuje się równanie:

̅= − %&| ̅| 0$# ̅ − $+,-×/

|,-|1 + ̅, (6) Rozwiązanie równania (6) sprowadza się do rozwiązania równania w przestrzeni stanu:

2

̅

/3 = 4 ̅

56, (7)

gdzie jest wektorem wypadkowym sił działających na kulę, czyli prawą stroną równania (6).

Wspomnianymi wcześniej współczynnikami empirycz- nymi, są w przypadku równania (6) współczynniki $#

oraz $+. Wybór jako przedmiot artykułu piłki golfowej był podyktowany znajomością dlań wartości $# oraz $+

[6]. Dla piłki golfowej współczynnik oporu wynosi

$#= 0,45 natomiast współczynnik $+ dany jest równa- niem [6]

$+= 0,3187 >1 − exp −2,48 ∙ 10^DE|(-| F, (8) Jak już wspomniano, wyznaczenie współczynników $#

oraz $+ nie jest zadaniem łatwym, gdyż wymaga zastosowania metod komputerowej mechaniki płynów bądź znalezienia ich na drodze doświadczalnej. W oby przypadkach wymaga to sporych nakładów czasowych oraz finansowych, przez co poszukiwanie wartości tych współczynników musi mieć uzasadnioną przyczynę.

W przypadku poszukiwania wartości współczynników $#

oraz $+ na drodze doświadczalnej konieczne jest wyko- rzystanie tunelu aerodynamicznego [6]. Badanie w tunelu aerodynamicznym polega na analizie parametrów przepływu strug gazu wokół piłki oraz sił działających na piłkę przy różnych konfiguracjach prędkości liniowej oraz kątowej piłki golfowej.

Należy zwrócić uwagę na szczególną rolę, jaką odgrywają zagadnienia odwrotne w identyfikacji tych współczynni- ków. Rozwiązywanie problemów odwrotnych jest sposo- bem znacznego zmniejszenia czasu procesu identyfikacji współczynników empirycznych, gdyż możliwe jest wyko- rzystanie już istniejących danych do wyznaczenia nie- znanych wartości bez konieczności dokonywania kolejnych pomiarów. Danymi tymi może być na przykład

zbiór kilku trajektorii. Problem identyfikacji współczyn- ników empirycznych nie będzie rozważany w niniejszej pracy.

3. SFORMUŁOWANIE

PROBLEMU ODWROTNEGO

W artykule rozważono dwa problemy odwrotne:

1) Identyfikacja wartości składowych prędkości kąto- wej piłki (- = G(^H (I (JK na podstawie znanej trajektorii,

2) Identyfikacja wartości składowych prędkości po- czątkowej piłki ̅ 0 = G H 0 I 0 J 0 K na podstawie znanej trajektorii.

Rozwiązanie przedstawionych problemów odwrotnych sprowadza się do znalezienia minimum funkcjonału Γ ze względu na wektor (- lub ̅ 0 [3,5]:

Γ = ‖N- − (-, ‖ → PQ (9) lub

Γ = ‖N- − ̅ 0 , ‖ → PQ, (10) gdzie N- – wektor współrzędnych trajektorii zaszumionej, (-, / ̅ 0 , – wektor współrzędnych trajektorii uzyskanej na drodze rozwiązania równania (7) algorytmem Adamsa-Bashfortha. Do znalezienia minimum funkcjonału Γ wykorzystano algorytm Levenberga- Marquardta [4]. Wektor N- jest wektorem jednokolum- nowym zawierającym wektory współrzędnych trajektorii R, S, T̅:

N- = UR

ST̅V, (11)

Wymienione problemy odwrotne rozwiązano dla dwóch trajektorii odpowiadających konkretnym rodzajom uderzeń występujących w golfie: „part hook” oraz „part slice”.

W uderzeniu typu „part hook” piłka podcięta jest w taki sposób, że jedna składowa siły nośnej działa w takim kierunku jak siła grawitacji, natomiast druga jej składo- wa działa w kierunku prostopadłym do płaszczyzny, w której leży wektor prędkości początkowej. Powoduje to zmniejszenie zasięgu oraz wysokości maksymalnej, a także odchylenie toru w kierunku prostopadłym do płaszczyzny, w której leży wektor prędkości początko- wej. Odchylenie to w najbardziej oddalonym punkcie od płaszczyzny, w której leży wektor prędkości początko- wej, jest równe około 6% zasięgu.

W uderzeniu typu „part slice” piłka podcięta jest w taki sposób, że jedna składowa siły nośnej działa w kierunku przeciwnym do kierunku siły grawitacji, natomiast druga jej składowa działa w kierunku prostopadłym do płaszczyzny, w której leży wektor prędkości początko- wej. Powoduje to zwiększenie zasięgu oraz wysokości

(4)

maksymalnej, a także odchylenie toru w kierunku pro- stopadłym do płaszczyzny, w której leży wektor prędko- ści początkowej. Odchylenie to w najbardziej oddalonym punkcie od płaszczyzny, w której leży wektor prędkości początkowej, jest równe około 9% zasięgu.

Trajektorie zostały wygenerowane na drodze rozwiązania równania (7) dla założonych wcześniej parametrów kinematycznych odpowiadających uderzeniom „part hook” oraz „part slice”.

We wszystkich rozważnych w pracy problemach odwrotnych wektor prędkości początkowej jest równy

̅ 0 = G60 cos 12° 0 60 sin 12°K ⁄ ,natomiast wektor X położenia początkowego jest równy ̅ 0 = G0 0 0K . Piłka golfowa ma masę = 45,93 oraz średnicę [ = 42,67 , założono gęstość powietrza % = 1,22 \ ⁄ . ^E

Dla uderzenia typu „part hook” wektor prędkości kąto-

wej jest równy (-]^=

G0 150√2 150√2K `[ X⁄ ,natomiast w przypadku uderzenia typu „part slice” jest on równy (-]a= G0 −150√2 −150√2K `[ X⁄ . Trajektorie dla rozwa- żanych uderzeń przedstawiono na rys. 3. Na rysunku zaznaczono także trajektorie dla rzutu ukośnego oraz innych uderzeń spotykanych w golfie:

o Top-spin (-ba= G0 300 0K `[ X⁄ , o Under-spin (-ca= G0 −300 0K `[ X⁄ , o Pure hook (-]c^= G0 0 300K `[ X⁄ , o Pure slice (-]ca= G0 0 −300K `[ X⁄ .

Rys. 3 Zestawienie trajektorii dla różnych uderzeń występują- cych w golfie oraz rzutu ukośnego dla tych samych warunków początkowych

Podczas rzeczywistego eksperymentu wyniki przeprowa- dzonych pomiarów położenia piłki nie pozwoliłyby uzyskać tak gładkiej trajektorii, jak te przedstawione na rys. 3. W celu symulacji rzeczywistego pomiaru wygenerowane trajektorie dla uderzeń „part hook” oraz „part slice” zostały zakłócone szumem Gaussowskim o pozio- mie natężenia 3% zgodnie z równaniem:

UR ST̅V =

de ee

fR + g- 00, ` >0,03 RhF1 S + g- 00, ` >0,03 ShF1 T̅ + g- 00, ` >0,03 TiF1jkkkl

, (12)

gdzie R, S, T̅ są wektorami współrzędnych X,Y,Z punk- tów trajektorii natomiast g- , m jest wektorem liczb losowanych z rozkładu normalnego o wartości oczekiwa- nej oraz odchyleniu standardowym m.

4. ANALIZA STATYSTYCZNA

Danymi wejściowymi do rozważanych problemów odwrotnych są współrzędne punktów trajektorii zakłócone szumem Gaussowskim. Sprawia to, że dane wejściowe mają charakter stochastyczny. W związku z tym rzetel- na analiza wyników wymaga zastosowania narzędzi analizy statystycznej.

Dla każdego problemu odwrotnego proces minimalizacji funkcjonału Γ został przeprowadzony = 1000 razy, za każdym razem trajektoria wejściowa była zaszumiana na nowo. Liczba punktów trajektorii w każdym przypadku była równa Q = 100. Dla każdego rozważanego problemu otrzymano:

1) Zbiór macierzy n , n , …, n5 o wymiarze Q × 3 zawierających zaszumione współrzędne XYZ, 2) Zbiór wektorów parametrów kinematycznych

(- , (- , …, (-5 lub ̅ , ̅ , …, ̅5 otrzymanych na podstawie punktów trajektorii w podpunktu 1) 3) Zbiór macierzy o , o , …, o5 o wymiarze Q × 3

zawierających współrzędne XYZ trajektorii otrzymanych na podstawie wyznaczonych parametrów kinematycznych z podpunktu 2)

Dla każdego spośród 1000 zestawów danych wyznaczono uśrednioną wartość funkcjonału Γ, która będzie trakto- wana jako średnie odchylenie trajektorii wyznaczonej od trajektorii zadanej p:

p =1

Q qr>n^s,t− o_s,tF + >n_s,u− o_s,uF + >n_s,v− o_s,vF

w sx

, (13)

Następnie wyznaczono wartość średnią oraz odchylenie standardowe z otrzymanych parametrów kinematycznych oraz z parametru p. W dalszej kolejności wyznaczono trajektorię dla wartości średniej parametru kine- matycznego ((-ś lub ̅ś ), a następnie wyznaczono średnie odchylenie p̂ tej trajektorii od trajektorii niezaszumionej w taki sam sposób, jak wyznaczano odchylenie p.

0 2 4 6 8 10 12

0 25 50 75 100 125 150

Z [m]

X [m]

Rzut ukośny Part hook

Part slice Pure hook, pure slice

Top-spin Under-spin

(5)

5. WYNIKI OBLICZEŃ 5.1 UDERZENIE „PART HOOK”

Wyniki obliczeń dla dwóch pierwszych problemów odwrotnych dotyczących uderzenia typu „part hook”

zestawione zostały w tab. 1.

Tab. 1 Zestawienie wyników dla dwóch pierwszych problemów odwrotnych (uderzenie typu „part hook”)

Wartość Odchylenie standardowe Identyfikacja prędkości kątowej

(-{| G `[ X⁄ K U 2,604 217,881 217,856V

b

U103,120 12,165 16,888V

b

p G K 194,254 13,515

p̂ G K 5,661 -

Identyfikacja prędkości początkowej

̅{| 0 G X⁄ K U58,706

−0,002 12,476V

b

U0,354 0,039 0,047V

b

p G K 194,175 13,520

p̂ G K 0,967 -

Dla przypomnienia wartość prędkości kątowej przy generowaniu trajektorii niezaszumionej dla uderzenia typu „part hook” wynosi G0 212,132 212,132K `[ X⁄ , natomiast wartość prędkości początkowej G58,689 0 12,475K X⁄ .

W identyfikacji prędkości początkowej składowe poszukiwanej prędkości mają wartości średnie zbliżone do wartości składowych prędkości początkowej przy generowaniu trajektorii niezaszumionej oraz bardzo małe odchylenie standardowe. Natomiast w identyfikacji prędkości kątowej tak dobra zgodność została uzyskana tylko w przypadku składowej Y, Z. W przypadku skła- dowej X wartość średnia była zbliżona do wartości przy generowaniu trajektorii niezaszumionej, jednak jej odchylenie standardowe ma znaczną wartość.

Porównanie trajektorii niezaszumionej, trajektorii uzyskanej na podstawie (-{| oraz przykładowej trajektorii zaszumionej przedstawiono na rys. 4, natomiast porów- nanie trajektorii niezaszumionej, trajektorii uzyskanej na podstawie ̅{| 0 oraz przykładowej trajektorii zaszumionej zilustrowano rys. 5.

Rys. 4 Porównanie trajektorii dla uderzenia typu „part hook”

przy identyfikacji prędkości kątowej

Rys. 5 Porównanie trajektorii dla uderzenia typu „part hook”

przy identyfikacji prędkości początkowej 0,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0 10 20 30 40 50 60 70

Z [m]

X [m]

Trajektoria niezaszumiona

Przykładowa trajektoria zaszumiona Trajektoria uzyskana

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0 10 20 30 40 50 60 70

Z [m]

X [m]

(6)

5.2 UDERZENIE „PART SLICE”

Wyniki obliczeń dla dwóch kolejnych problemów odwrotnych dotyczących uderzenia typu „part slice”

zestawiono w tab. 2.

Tab. 2 Zestawienie wyników dla dwóch pierwszych problemów odwrotnych (uderzenie typu „part slice”)

Wartość Odchylenie standardowe Identyfikacja prędkości kątowej

(-{} G `[ X⁄ K U 2,468

−216,074

−215,428V

b

U83,514 8,886 13,092V

b

p G K 327,118 23,766

p̂ G K 11,961 -

Identyfikacja prędkości początkowej

̅{} 0 G X⁄ K U58,711 0,003 12,472V

b

U0,398 0,054 0,050V

b

p G K 325,168 23,171

p̂ G K 1,968 -

Dla przypomnienia, wartość prędkości kątowej przy generowaniu trajektorii niezaszumionej dla uderzenia

typu „part slice” wynosi

G0 −212,132 −212,132K `[ X⁄ , natomiast wartość prędkości początkowej G58,689 0 12,475K X⁄ . W przypadku identyfikacji prędkości początkowej skła- dowe poszukiwanej prędkości mają wartości średnie zbliżone do wartości składowych prędkości początkowej przy generowaniu trajektorii niezaszumionej oraz bardzo małe odchylenie standardowe. W identyfikacji prędkości kątowej tak dobra zgodność została uzyskana tylko w przypadku składowej Y, Z. W przypadku składowej X wartość średnia była zbliżona do wartości przy generowaniu trajektorii niezaszumionej, jednak jej odchylenie standardowe ma znaczną wartość.

Porównanie trajektorii niezaszumionej, trajektorii uzyskanej na podstawie (-{} oraz przykładowej trajektorii zaszumionej przedstawiono na rys. 6, natomiast porów- nanie trajektorii niezaszumionej, trajektorii uzyskanej na podstawie ̅{} 0 oraz przykładowej trajektorii zaszumionej zobrazowano na rys. 7.

Rys. 6 Porównanie trajektorii dla uderzenia typu „part slice”

przy identyfikacji prędkości kątowej

Rys. 7 Porównanie trajektorii dla uderzenia typu „part slice”

przy identyfikacji prędkości początkowej 0,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

0 20 40 60 80 100 120

Z [m]

X [m]

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

0 20 40 60 80 100 120

Z [m]

X [m]

(7)

6. WNIOSKI

We wszystkich czterech rozważanych

wrotnych zidentyfikowane wartości parametrów kinem tycznych pozwoliły na odtworzenie trajektor bardzo dobrze pokrywają się z trajektoriami niezasz mionymi. Dowodem tego są bardzo małe wartości współczynników p̂.

Warto zauważyć, że wartości współczynni uderzeniu typu „part slice” są większe niż niu typu „part hook”. Wynika to z faktu, że zasięg uderzeniu typu „part slice” jest o wiele większy pojawia się efekt skali, tzn. wartość p̂

zasięgu pozostaje w przybliżeniu stała,

na większe wartości p̂ przy większych wartościach zasi gu. Należy zwrócić uwagę, że algorytm zadziałał bardzo dobrze pomimo tego, że trajektorie były

szumem o stosunkowo wysokim natężeniu 3%.

Zarówno w przypadku uderzenia typu „

„part slice” można stwierdzić, że przy identyfikacji wartości prędkości początkowej wyniki są bardzo d kładne, wartości średnie są niemalże identyczn ściami założonymi do wygenerowania trajektorii

umionych, a odchylenia standardowe mają wartości bliskie zera. W przypadku identyfikacji prędkości kąt wej w obu przypadkach składowe Y oraz Z zostały

Literatura

1. Doice I., Trautmann T., Schreier F.:

Springer Praxis Books - Environmental Sciences, 2010.

2. Leyko J.: Mechanika ogólna: dynamika. Tom 2. Warsz

3. Majchrzak E., Mochnacki B.: Metody numeryczne: podstawy teoretyczne, aspekty prakt Gliwice: Wyd. Pol.Śl., 2004.

4. Marquardt D.: An algorithm for least Industrial and Applied Mathematics

5. Popczyk. O.: Inverse problem of determining kinematic parameters of the golf ball during flight.

Numeryczne” 2017, p. 49-52..

6. Robinson G., Robinson I.: The motion of an arbitrarily rotating spherical projectile an games. Bristol: IOP PUBLISHING,

7. En.wikiepdia.org

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl rozważanych problemach odwrotnych zidentyfikowane wartości parametrów kinematycznych pozwoliły na odtworzenie trajektorii, które bardzo dobrze pokrywają się z trajektoriami niezaszumionymi. Dowodem tego są bardzo małe wartości

zauważyć, że wartości współczynników p̂ przy są większe niż przy uderze- ynika to z faktu, że zasięg przy

jest o wiele większy, przez co p̂ w stosunku do co przekłada się przy większych wartościach zasię- Należy zwrócić uwagę, że algorytm zadziałał bardzo rze pomimo tego, że trajektorie były zakłócone szumem o stosunkowo wysokim natężeniu 3%.

„part hook” jak i można stwierdzić, że przy identyfikacji wartości prędkości początkowej wyniki są bardzo do-

niemalże identyczne z warto- do wygenerowania trajektorii niezasz- a odchylenia standardowe mają wartości bliskie zera. W przypadku identyfikacji prędkości kąto- wej w obu przypadkach składowe Y oraz Z zostały

zidentyfikowane z zadowalającą dokładnością, wartości średnie były bliskie wartościom założonym

rowania trajektorii, a odchylenia standardowe miały stosunkowo małe wartości. W przypadku składowej X wartości średnie są zbliżone do wartości założony generowaniu trajektorii, jednak wartości odchyleń sta dardowych mają znaczne wartości. Należy

zwrócić uwagę, że odtworzone trajektorie bardzo dobrze pokrywają się z trajektoriami niezaszumionymi. Prow dzi to do wniosku, że składowa X ma

na kształt trajektorii. W związku z tym dokładne zide tyfikowanie wartości składowej X jest zadaniem tru nym i nie jest możliwe przy wykorzystaniu przedstawi nego w artykule algorytmu. Rozwiązaniem tego probl mu jest wykonanie analizy wrażliwości oraz

regularyzacji [1].

Należy zauważyć, że wszystkie statystyki wskazują na zdecydowanie lepsze dopasowanie trajektorii wygener wanych do trajektorii niezaszumionych

cji prędkości początkowej niż w przypadku i prędkości kątowej.

Podsumowując, można stwierdzić, że

prędkości kątowej jest zadaniem trudniejszym niż ide tyfikacja prędkości początkowej.

Trautmann T., Schreier F.: Numerical Regularization for Atmospheric Inverse Problems. Berlin:

Environmental Sciences, 2010.

ynamika. Tom 2. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 2002.

Metody numeryczne: podstawy teoretyczne, aspekty prakt

An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters. “Journal of the Society for d Mathematics” 1963, Vol. 11, No. 2, p. 431-441.

.: Inverse problem of determining kinematic parameters of the golf ball during flight.

The motion of an arbitrarily rotating spherical projectile and its application to ball IOP PUBLISHING, 2013.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

zidentyfikowane z zadowalającą dokładnością, wartości średnie były bliskie wartościom założonym do wygene-

a odchylenia standardowe miały stosunkowo małe wartości. W przypadku składowej X wartości średnie są zbliżone do wartości założonych przy jednak wartości odchyleń stan- znaczne wartości. Należy jeszcze raz zwrócić uwagę, że odtworzone trajektorie bardzo dobrze pokrywają się z trajektoriami niezaszumionymi. Prowa- dzi to do wniosku, że składowa X ma marginalny wpływ na kształt trajektorii. W związku z tym dokładne ziden- tyfikowanie wartości składowej X jest zadaniem trud- nym i nie jest możliwe przy wykorzystaniu przedstawio- Rozwiązaniem tego proble- żliwości oraz zastosowanie

Należy zauważyć, że wszystkie statystyki wskazują na lepsze dopasowanie trajektorii wygenero- wanych do trajektorii niezaszumionych przy identyfikacji prędkości początkowej niż w przypadku identyfikacji

Podsumowując, można stwierdzić, że identyfikacja prędkości kątowej jest zadaniem trudniejszym niż iden-

Regularization for Atmospheric Inverse Problems. Berlin:

Metody numeryczne: podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy.

Journal of the Society for .: Inverse problem of determining kinematic parameters of the golf ball during flight. “Metody

d its application to ball