Analiza matematyczna I

Analiza matematyczna I

Michał Tryniecki

popr. i uzup. Łukasz Pawelec 20 lutego 2007

Założenia wstępne

Zakłada się znajomość materiału szkoły średniej oraz pierwszego roku przedmiotów "Mate- matyka" i ”Logika” wykładanych na SGH. W szczególności:

• Rachunek zbiorów i kwantyfikatorów

• Wiadomości z zakresu analizy matematycznej : ciąg, szeregi - badanie zbieżności, funk- cje jednej zmiennej rzeczywistej - rachunek różniczkowy i całkowy; funkcje wielu zmien- nych - granica, ekstrema

• Wiadomości z zakresu algebry liniowej - przestrzeń liniowa, baza, odwzorowanie liniowe.

Wykład 1 Zanim przystąpimy do właściwej części wykładu wypada przytoczyć trzy nierów- ności, które znać się po pierwsze powinno a po drugie, ułatwiają one często wiele rozumowań.

Nie przedstawiam tu ich dowodów, gdyż nie stanowią one głównych tematów naszych rozwa- żań.

Twierdzenie 0.1 (Nierówność Jensena) Niech f - funkcja wypukła, p i > 0, x _i ∈ domf , p ₁ + . . . p _n = 1. Wtedy zachodzi:

f (p ₁ x ₁ + . . . + p _n x _n ) 6 p 1 f (x ₁ ) + . . . + p _n f (x _n )

przy czym dla f ściśle wypukłej równośc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x ₁ = x ₂ = . . . = x _n . Twierdzenie 0.2 (Nierównośc Höldera) Niech p, q > 0, ¹ _p + ¹ _q = 1. Wtedy zachodzi:

n

X

i=1

x i y i 6

n

X

i=1

|x i | ^p

! 1/p n

X

i=1

|y i | ^q

! 1/q

Twierdzenie 0.3 (Nierównośc Minkowskiego) Niech p > 1. Wtedy

n

X

i=1

|x _i + y _i | ^p

! 1/p

6

n

X

i=1

|x _i | ^p

! 1/p

+

n

X

i=1

|y _i | ^p

! 1/p

1

1 Przestrzenie metryczne

Definicja 1.1 (metryka) Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcja d : X × X → R +

spełniająca warunki:

1 ^o d(x, y) = d(y, x) (symetria)

2 ^o d(x, y) + d(y, z) > d(x, z) (nierówność trójkąta) 3 ^o d(x, y) = 0 ⇔ x = y

nazywa się metryką. Gdy spełnione są jedynie warunki 1 ^o i 2 ^o , wtedy d nazywa się półmetryką.

Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.

Przykłady:

• metryka euklidesowa(R ⁿ , d), gdzie d(x, y) = ( ^{P n} _i=1 (x _i − y _i ) ² ) ^1/2

Nierównośc trójkąta wynika bezpośrednio z nierówności Minkowskiego.

• metryka miasto (R ⁿ , d), gdzie d(x, y) = ^{P n} _i=1 |x _i − y _i | Nierównośc trójkąta w zasadzie oczywista

• metryka dyskretna (X, d), gdzie

d(x, y) =

( 0 dla x = y 1 dla x 6= y

• metryka supremum (zbieżności jednostajnej).

Zanim zaprezentujemy tę metrykę potrzebne będą nam trzy definicje.

Definicja 1.2 (średnica zbioru) Średnicą zbioru A ⊂ X gdzie (X, d) - przestrzeń metryczna definiujemy jako:

diam A = sup

x,y∈X

d(x, y)

W przypadku gdy supremum to nie jest skończone mówimy, że zbiór ma średnicę nie- skończoną.

Definicja 1.3 (zbiór ograniczony) Zbiór A ⊂ X nazywamy ograniczonym, jeśli diam A < ∞.

Definicja 1.4 Przekształcenie f : X → Y , gdzie Y - przestrzeń metryczna nazywamy ograniczonym jeśli zbiór f (X) (czyli obraz przekształcenia f ) jest ograniczony. Zbiór przekształceń ograniczonych z przestrzeni X do przestrzeni metrycznej (Y, d Y ) oznacza- my B(X, Y ).

2

Niech f, g ∈ B(X, Y ). Określamy:

d(f, g) = sup

x∈X

d _Y (f (x), g(x))

Wtedy (B(X, R), d) jest przestrzenią metryczną. W szczególności, gdy za Y przyjmiemy R z metryką euklidesową otrzymamy B(X, R) - zbiór funkcji o wartościach rzeczywi- stych ograniczonych określonych na przestrzeni X. Metryka przyjmuje wówczas postać:

d(f, g) = sup

x∈X

|f (x) − g(x)| dla f, g ∈ B(X, R).

• iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych. Jeśli (X _i , d _i ), dla i = 1, . . . n są przestrze- niami metrycznymi, to (X, d) gdzie

X =

n

Y

i=1

X _i , d =

n

X

i=1

d ² _i (x _i , y _i )

! 1/2

jest również przestrzenią metryczną. Nierównośc trójkąta wynika z nierówności Min- kowskiego.

Zbiory w przestrzeni metrycznej

Definicja 1.5 (kula) Kulą (otwartą) o środku w punkcie o i promieniu r (ozn. K(o, r), B(o, r)) definiujemy:

B(o, r) = {x ∈ X : d(o, x) < r}.

Definicja 1.6 (wnętrze zbioru) Niech A ⊂ X. Punkt a ∈ A nazywamy punktem we- wnętrznym zbioru A jeśli istnieje kula o środku w tym punkcie zawarta w zbiorze A. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem zbioru A i oznaczamy int A.

Mamy oczywiście int A ⊂ A dla każdego zbioru A.

Definicja 1.7 (zbiór otwarty) Zbiór U ⊂ X nazywamy otwartym jeśli int U = U . Uwaga:

zbiór pusty traktujemy jako otwarty.

Stwierdzenie 1.1 Kula otwarta jest zbiorem otwartym w sensie powyższej definicji.

Uwaga; proszę się zastanowić, że to faktycznie wymaga dowodu. Dowód pozostawiam jako ćwiczenie.

Twierdzenie 1.1 Dla dowolnego zbioru A zbiór int A jest zbiorem otwartym.

Twierdzenie 1.2 Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Prze- cięcie skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

3

Dowód:

Niech U = ^S _i∈I U _i , gdzie każdy ze zbiorów U i jest otwarty. Ustalmy punkt x należący do zbioru U . Z definicji U mamy, że dla pewnego i punkt x ∈ U _i . Ponieważ U _i jest otwarty więc x ∈ int U _i . Istnieje więc kula K zawarta w U _i zawierająca x. Wobec tego K ⊂ U ⊃ U _i , więc x ∈ int U , więc U jest otwarty.

Niech teraz U = ^{T n} _i=1 U _i , gdzie U _i jak wyżej. Niech x ∈ U . Wobec tego dla wszystkich i mamy x ∈ U _i . Ponieważ U _i są otwarte więc x ∈ int U _i . Istnieją więc kule K _i zawarte w U _i o środku w x. Niech K 0 będzie kulą o najmniejszym promieniu spośród wszystkich kul K i . Wobec tego ∀ _i K ₀ ⊂ U _i , stąd K ₀ ⊂ ^T U _i co daje x ∈ K ₀ ⊂ U , więc x ∈ int U , więc U jest otwarty.

Definicja 1.8 (otoczenie) Otoczeniem (otwartym) punktu x ∈ X nazywamy dowolny zbiór otwarty U taki, że x ∈ U .

Definicja 1.9 (domknięcie zbioru) Punkt x ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ X jeśli dla każdego otoczenia U punktu x mamy: U ∩ A \ {x} 6= ∅. Jeśli x ∈ A oraz x nie jest punktem skupienia zbioru A to x nazywamy punktem izolowanym zbioru A. Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór złożony z wszystkich jego punktów skupienia i punktów izolowanych i oznaczamy cl A.

Mamy oczywiście A ⊂ cl A dla każdego zbioru A.

Definicja 1.10 (zbiór domknięty) Zbiór F ⊂ X nazywamy domkniętym jeśli cl F = F . Uwaga: zbiór pusty traktujemy jako domknięty.

Twierdzenie 1.3 Dla dowolnego zbioru A zbiór cl A jest zbiorem domkniętym.

Twierdzenie 1.4 Niech A ⊂ X. Wtedy A otwarty wtedy i tylko wtedy gdy A ⁰ = X \ A jest domknięty.

Dowód:

Załóżmy, że zbiór A jest otwarty. Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy więc, że zbiór A ⁰ nie jest domknięty, czyli zgodnie z definicją domkniętości mamy: A ⁰ 6= cl A ⁰ . Ponieważ na pewno A ⁰ ⊂ cl A ⁰ , więc musimy mieć: cl A ⁰ * A ⁰ . Stąd mamy:

∃ _x∈clA

x / ∈ A ⁰ . Równoważnie:

∃ _x∈clA

x ∈ A.

Z otwartości zbioru A otrzymujemy:

∃ _x∈clA

x ∈ int A.

To daje:

∃ _x∈clA

∃ _{U −otwarty} x ∈ U ∧ U ⊂ A.

Co oznacza, że U \ {x} ∩ A ⁰ = ∅ i dostajemy sprzeczność z definicją domknięcia zbioru, bo x ∈ clA ⁰ . To kończy dowód implikacji w jedną stronę. Dowód drugiej implikacji jest podobny - polecam jako ćwiczenie.

Definicja 1.11 (brzeg zbioru) Brzegiem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór bdA = clA\intA.

Wniosek: Brzeg dowolnego zbioru jest zbiorem domkniętym. Wynika to z tego, że bdA = clA ∩ (X \ intA); zbiór clA jest domknięty, a intA jest otwarty.

4