Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 1. Przestrzenie z miarą
Ćw. 1.1 Opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla podanych niżej doświadczeń i podaj liczbę tych zdarzeń.
1. Losujemy 3 liczby z 15 ze zwracaniem.
2. Losujemy 3 liczby z 15 bez zwracania.
3. Rzucamy 2 razy kostką do gry, a w przypadku otrzymania tej samej liczby oczek rzucamy po raz trzeci.
4. Odnotowujemy z dokładnością do 1 minuty spóźnienie studenta na zajęcia 45-minutowe.
5. W czasie jednej ustalonej godziny, stojąc na przystanku, odnotowujemy moment przyjazdu pierwszego autobusu.
6. W czasie jednej ustalonej godziny, stojąc na przystanku, odnotowujemy momen- ty przyjazdu dwóch pierwszych autobusów.
Ćw. 1.2 Rzucamy trzy razy moneta. Zdarzenie Ai polega na tym, że otrzymamy orła w i-tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Za pomocą działań na zdarze- niach Ai zapisać następujące zdarzenia:
1. w drugim rzucie otrzymano orła, 2. otrzymano co najmniej jednego orła, 3. otrzymano dokładnie jednego orła,
4. liczba orłów była większa od liczby reszek.
Ćw. 1.3 Rozważmy rodzinę A złożoną ze wszystkich skończonych podzbiorów zbioru N oraz ich dopełnień, tzn.
A = { A ⊆ N ; ]A < +∞ lub ]Ac < +∞ }.
Pokaż, że
a) A jest algebrą Boole’a, b) A nie jest σ-algebrą.
Ćw. 1.4 Udowodnij, że a({{n1, n2} ; n1, n2 ∈ N}) = a({n} ; n ∈ N), gdzie Ω = N.
Ćw. 1.5 Niech Ω = (0, 1), An = (0,n−1n ), n ∈ N. Czy a({An}) = σ({An})?
Ćw. 1.6 Niech Ω = R, C1 = {(n, n + 1) ; n ∈ Z}, C2 = {[n, n + 1] ; n ∈ Z}. Sprawdź, czy zachodzą inkluzje:
σ(C1) ⊆ σ(C2) i σ(C2) ⊆ σ(C1) .
Ćw. 1.7 (zbiory borelowskie)
Przez Bn oznaczamy σ-algebrę generowaną przez wszystkie zbiory otwarte w prze- strzeni Rn. Elementy Bn nazywamy zbiorami borelowskimi.
Czy następujące zbiory są zbiorami borelowskimi: zbiór domknięty, zbiór jednopunk- towy, zbiór liczb wymiernych w przestrzeni R1, zbiór liczb niewymiernych w prze- strzeni R1?
Ćw. 1.8 Pokaż, że jeśli zbiory A i B są µ-mierzalne (tzn. A, B ∈ F , gdzie (Ω, F , µ)- przestrzeń z miarą), to
µ(A) + µ(B) = µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) .
Ćw. 1.9 Niech Ω0 ⊆ Ω oraz F = 2Ω. Określamy miarę liczącą elementy zbioru Ω0 wzorem
µ(A) =
( ](A ∩ Ω0), jeśli jest to zbiór skończony
+∞ w przeciwnym wypadku .
Pokaż, że
1. µ jest miarą ,
2. µ jest miarą skończoną ⇔ Ω0 jest skończony, 3. µ jest miarą σ-skończoną ⇔ Ω0 jest przeliczalny, 4. µ jest miarą probabilistyczną ⇔ ]Ω0 = 1.
Ćw. 1.10 Dane są P (A ∪ B) = 34 i P (A ∩ B) = 12. Ponadto P (A \ B) = P (B \ A). Oblicz P (A) i P (B \ A).
Ćw. 1.11 Niech P będzie prawdopodobieństwem określonym na borelowskich podzbiorach odcinka [0, 1] i niech
P (A) = P (A + t), jeśli tylko A, A + t ∈ B([0, 1]). Stosując znane własności
1. wykaż, że P ({a}) = 0 dla a ∈ [0, 1], 2. oblicz Ph0,12ii P h0,14i.
Ćw. 1.12 Niech P będzie prawdopodobieństwem na σ([0, a], a ∈ Q+∩ [0, 1]) takim, że P ([0, a]) = a2 dla a ∈ Q+∩ [0, 1]. Oblicz Ph12,
√ 2 2
i.
