2 Twierdzenie przygotowawcze Weierstrassa i pier´ scie´ n lokalny

ROZMAITO´SCI ZESPOLONE Plan wyk ladu

1 Wste

p

1.1 Definicja rozmaito´sci zespolonych.

1.2 Przestrzenie rzutowe.

1.3 Grassmanniany, mapy afiniczne, zanurzenie Pl¨uckera, Gr(2, 4) jako kwadryka w P⁵. 1.4 Hiperpowierzchnie w Pⁿ.

1.5 Z Twierdzenia Riemanna o uniformizacji ka˙zda krzywa zespolona jest ilorazem C lub D ' H przez dzia lanie wolne i ca lkowicie niecia_,gle grupy dyskretnej, ba_,d´z jest izomorficzna z P¹, kt´ora to krzywa nie dopuszcza iloraz´ow.

1.6 Aut(P¹) = P GL2(C) tzn. ka˙zdy automorfizm jest zadany formu la_, liniowa_,. Ka˙zdy automorfizm ma punkt sta ly, zatem nie ma nietrywialnych podgrup Aut(P¹) dzia laja_,cych bez punkt´ow sta lych. Sta_,d nie ma nietrywialnych iloraz´ow. (Dow´od topologiczny: Nie ma nietrywialnych nakry´c P¹ ' S² → C poza C = RP². Ale rzeczywista p laszczyzna rzutowa RP² jest nieorientowalna, wie_,c nie mo˙ze by´c rozmait´scia_,zespolona_,.)

1.7 Autotomorfizmami C sa_,jedynie przekszta lcenia afiniczne. Bez punkt´ow sta lych dzia laja_,jedynie przesunie_,cia. Zwartymi ilorazami sa_,krzywe eliptyczne C/Λ. Zanurzenie C/Λ → P² — patrz funkcja ℘ Weierstrassa w ´cwiczeniach.

1.8 Autormorfizmy dysku, ba_,d´z g´ornej p´op laszczyzny H: Aut(H) = P SL2(R). Ilorazy H/G przez podgrupy P SL2(R) dzia laja_,ce w spos´ob ca lkowicie niecia_,g ly na g´ornej p´o lp laszczy´znie sa_, krzywymi zespolonymi genusu > 1.

– Aut(D) =Homografie dowodzimy z lematu Schwarza.

2 Twierdzenie przygotowawcze Weierstrassa i pier´ scie´ n lokalny

Teoria lokalna — odsy lacze do §1 Huybrechtsa.

2.1 Operator Cauchy’ego-Riemanna ∂ ¯z oraz r´o˙zniczkowanie zespolone ∂z.

2.2 Twierdzenia dla jednej zmiennej (wz´or Cauchy’ego, zasada maksimum, zasada identyczno´sci, rozwijalno´s´c w szereg, rezidua).

2.3 Twierdzenie o reziduach: dla funkcji meromorficznej na powierzchni zwartej suma rezidu´ow jest r´owna zero — dow´od z twierdzenia Stokes’a.

2.4 Holomorficzno´sc funkcji zespolonych wielu zmiennych 2.5 Formu la ca lkowa Cauchy’ego po wp´o lrze_,dnych.

2.6 Twierdzenie Hartogsa.

2.7 Zbi´or zer funkcji holomorficznych (f 6≡ 0) ma kowymiar rzeczywisty r´owny 2 lub jest pusty.

(Uwaga, z twierdzenia Lojasiewicza zbi´or zer funkcji analitycznej jest triangulowalny, wie_,c nie ma problemu z poje_,ciem wymiaru.)

2.8 Uog´olnienie wzoru na ilo´s´c zer funkcji holomorficznej w dysku: Je´sli f (z) 6= 0 dla |z| = , to dla

` ≥ 0 mamy

1 2πi

Z

S

f⁰(ξ)

f (ξ)ξ^`dξ = X

|α|<, f (α)=0

α^`.

2.9 Elementarne funkcje symetryczne σ_k mo˙zna wyrazi´c przez sumy pote_,g p_k. 2.10 Twierdzenie przygotowawcze Weierstrassa (Th. 1.1.6).

2.11 Twierdzenie przygotowawcze Weierstrassa w wersji dzieleniowej (Prop 1.1.17).

2.12 Pier´scie´n lokalny O_Cⁿ,0 jest pier´scieniem z jednoznacznym rozk ladem (Prop 1.1.15)

3 Lokalne w lacno´ sci c.d.

3.1 O_Cⁿ,0 jest noetherowski

3.2 Kie lki zbioru Z(J ) zadanych przez idea l J ⊂ O_Cⁿ_,0.

3.3 Idea l funkcji zeruja_,cych sie_,na kie lku zbioru I(X). Mamy J ⊂ I(Z(J )).

3.4 Kie lek zbioru jest nierozk ladalny wtedy i tylko wtedy gdy I(X) jest idea lem pierwszym.

3.5 Lemat: Niech X ⊂ Cⁿ be_,dzie zbiorem zer idea lu pierwszego p ⊂ O_Cⁿ,0. Wtedy mo˙zna znale´z´c uk lad wsp´o lrze_,dnych w Cⁿ taki, ˙ze rzutowanie na pierwszych d wp´o lrze_,dnych π : X ⊂ Cⁿ → C^d jest suriekcja_,kie lk´ow oraz algebra O_Cⁿ_,0/p jest sko´nczenie generowana jako O_Cd,0-modu l. (d = dim X)

3.6 Gdy p = (g) dla kie lka nierozk ladalnego g ∈ O_Cⁿ,0, to d = n − 1 i lemat wynika z twierdzenia Weierstrassa w wersji dzieleniowej: zak ladamy, ˙ze g jest wielomainem Weierstrassa, niech f ∈ O_Cⁿ_,0, f ∈ O¯ _Cⁿ_,0/(g), f = gh + r, ¯f = ¯r. Zatem jednomiany 1, z₁, . . . , z₁^d−1 rozpinaja_,O_Cⁿ_,0/(g).

3.7 Twierdzenie Hilberta o zerach dla kie lk´ow funkcji analitycznych dowodzimy z powy˙zszego lematu

— (Huybrechts p.20).

GAGA J-P.Serre, G´eom´etrie alg´ebrique et g´eom´etrie analytique, Ann. Inst. Fourier 6: 1-42, (1956)

3.8 Niech (X, O_X) be_,dzie rozmaito´scia_, algebraiczna_,nad C. Stowarzyszamy z nia_, rozmaito´s´c anali- tyczna_,(Xan, OXan).

– Mamy morfizm przestrzeni opier´scienionych ι : Xan → X, ι⁻¹(OX) → OXan. To daje funktor kategorii snop´ow

(−)^an : Sh(X) → Sh(X_an) F 7→ F^an = OXan⊗_ι−1(O_X)ι⁻¹(F ) .

3.9 Definicja: Niech (Y, OY) be_,dzie przestrzenia_, upier´scieniona_,. M´owimy, ˙ze snop OY modu l´ow F jest koherentny je´sli

1) Istnieje lokalnie suriektywne odwzorowanie (O^N_Y)_|U → F_|U dla pewnego N (tzn F jest lokalnie sko´nczenie generowany),

2) Dla ka˙zdego odwzorowania O^M_Y → F ja_,dro jest lokalnie sko´nczenie generowane.

Przez Coh(Xan) oznaczamy kategorie_,analitycznych snop´ow koherentnych.

3.10 Twierdzenie Oki m´owi, ˙ze F = O_Xan jest koherentny.

3.11 (Serre) Niech f : X → Y be_,dzie rzutowym morfizmem rozmaito´sci algebraicznych. Wtedy f indukuje funktor

f_∗^an: Coh(X_an) → Coh(Y_an) oraz

(f∗F )^an = f_∗^anF^an (R^kf∗F )^an = R^kf_∗^anF^an

Ponadto je´sli X jest rozmaito´scia_, rzutowa_,, to (−)^an ograniczone do podkategorii snop´ow koher- entnych jest r´ownowa˙zno´scia_,kategorii.

3.12 Uwaga: Dla zbioru otwartego ∅ 6= U ⊂ Cⁿ, n > 0 pier´scie´n funkcji OUan nie jest noetherowski!

3.13 Wniosek: Ka˙zda podrozmaito´s´c analityczna Pⁿ jest opisana r´ownaniami wielomianowymi.

4 Struktura zespolona

Formy r´o ˙zniczkowe i kohomologie de Rhama - podsumowanie wiadomo´sci:

F Formy r´o˙zniczkowe na C^∞-rozmaito´sci X oznaczamy przez A^•(X) =Ldim X

k=0 A^k(X).

F to jest algebra przemienna (jako algebra z gradacja_,ab = (−1)deg(a) deg(b)ba ) F r´o˙zniczka spe lnia formu le,Leibniza d(ab) = ad(b) + (−1)^deg(a)b

F przestrze´n liniowa A^k(X) jest r´owna przekrojom globalnym snopa A^k_X.

F RX ,→ A⁰_X → A¹_X → A_X² → . . . jest mie_,kka_,rezolwenta_,snopa sta lego RX, dlatego H^k(A^•(X), d) = H^k(X; RX) ' H_sing^k (X) .

Grupy te (przestrzenie wektorowe) be_,da_,oznaczne przez H^k(X)

F mno˙zenie form indukuje mno˙zenie w kohomologiach H^k(X) × H^{`</sup>(X) → H<sup>k+`}(X)

F gdy rozmaito´s´c X jest zwarta, n = dim X oraz X ma wybrana_,orientacje_,, to ca lka n-form r´o˙zniczkowych indukuje przekszta lcenie R

X : Hⁿ(X) → R. Gdy X jest sp´ojna, toR

X jest izomorfizmem F gdy X jest zwarta, zorientowana, wymiaru n, to forma

Z

X

− ∧ − : H^k(X) × H^n−k(X) → R jest niezdegenerowana_,forma_,2-liniowa_,(Dualno´s´c Poincar´e)

F gdy X jest zorientowana (nie koniecznie zwarta), to zamiast zwyk lych kohomologii rozwa˙zamy formy i kohomologie o zwartych no´snikach H_c^k(X) = H^k(A^•_c(X)), wtedy

Z

X

− ∧ − : H_c^k(X) × H^n−k(X) → R jest niezdegenerowana_,forma_,2-liniowa_,

F wprowadzenie metryki Riemanna pozwala zdefiniowa´c formy harmoniczne H^k(X) (o najmniejszej normie w swojej klasie kohomologii). Gdy X jest zwarta, to formy te sa_, zamknie_,te i odwzorowanie H^k(X) → H^k(X) jest izomorfizmem. Jednak produkt from harmonicznych nie musi by´c forma_, har- moniczna_,.

P´o ltoraliniowa algebra

4.1 Struktura zespolona I²= −id. Przestrzenie w lasne struktury zespolonej V_C= V_i+ V−i.

4.2 Rozk lad przestrzeni sprze_,˙zonej: Formy liniowe typu (1,0) i (0,1) (tzn C liniowe i antyliniowe).

V₁₀^∗ := (V^∗)_i = Hom_C(V, C) , V₀₁^∗ := (V^∗)−i = Hom_C(V, C) .

We wsp´o lrze_,dnych e1, e2, . . . , en, f1, f2, . . . , fntakich, ˙ze I(e_k) = f_k: baze_,dualna_,oznaczamy:

dx_k := e^∗_k, dy_k:= f_k^∗. Definiujemy

dz_k:= dx_k+ idy_k, dz_k:= dx_k− idy_k. Formy dz_k sa_,baza_,V₁₀^∗, a dz_k sa_,baza_,V₀₁^∗.

4.3 Izomorfizm liniowy (V^∗, I)' (V^φ ₁₀, i), φ(f )(v) = f (v) − if (Iv))

φ(If )(v) = f (Iv) − if (I²v) = f (Iv) + if (v) = i(f (v) − if (Iv)) = iφ(f )(v) Izomorfizm antyliniowy: (V^∗, I)' (V^ψ ₀₁, i), ψ(f )(v) = f (v) + if (Iv))

ψ(If )(v) = f (Iv) + if (I²v) = f (Iv) − if (v) = −i(f (v) + if (Iv)) = −iψ(f )(v)

4.4 Formy antysymetryczne typu (p, q):

Λ^kV_C^∗ = M

p+q=k

Λ^pq, Λ^pq:= Λ^pV₁₀^∗ ∧ Λ^qV₀₁^∗ .

– Λ^pq = Λ^qp.

– Operator I dzia la Λ^p,qV^∗ poprzez mno˙zenie przez i^(p−q) Hermitowska algebra liniowa

4.5 Iloczyn hermitowski hh−, −ii = h−, −i − iω(−, −) zadje:

– I-niezmienniczy iloczyn skalarny h−, −i,

– forme_,symplektyczna_,ω(−, −) = hI(−), −i = −h−, I(−)i.

4.6 Forma obje_,to´sci: we wsp´orze_,dnych ortonormalnych:

– gdy dim_C(V ) = n

ω =

n

X

k=1

dxk∧ dy_k= ₂ⁱ

n

X

k=1

dzk∧ dz_k. ωⁿ= n!vol .

gdzie

vol = (₂ⁱ)ⁿ(dz1∧ d¯z1) ∧ · · · ∧ (dzn∧ d¯zn) = (dx1∧ dy₁) ∧ · · · ∧ (dxn∧ dy_n) (Uwaga: forma ω nale˙zy do Λ²V^∗∩ Λ¹¹V^∗⊂ Λ²V_C^∗.)

4.7 ´Cw: sprawdzi´c, ˙ze Λ¹⁰⊥ Λ⁰¹

4.8 Operator Lefschetza L = ω ∧ −. ,,Trudne Lefschetza w wersji liniowej”

L^k: Λ^n−kV −→ Λ^{' n+k}V

jest izomorfizmem. (Mo˙zna poda´c elementarny dow´od, do´s´c ucia_,˙zliwy. Nasz dow´od be_,dzie via reprezen- tacje algebry Lie sl(2).)

5

5.1 Definiujemy H ∈ End(ΛV^∗) jako mno˙zenie skalarne przez k − n na Λ^kV (zak ladamy, ˙ze n = dim V ). Mamy [H, L] = 2L.

Sprawdzenie: dla a ∈ Λ^k: HLa − LHa = (k + 2 − n)La − (k − n)La = 2La.

5.2 Definiujemy operator sprze_,˙zony L^∗

hLα, βi = hα, L^∗βi L^∗ zmniejszaja_,gradacje_,o 2. Mamy

– [H, L] = 2L, [H, L^∗] = −2L^∗ – [L, L^∗] = H .

Przestrze´n ΛV^∗ jest reprezentacja_,sl₂(Z), tzn skonstruujemy

ρ : sl2(Z) → End(ΛV^∗), ρ(h) = H, ρ(x) = L, ρ(y) = L^∗, gdzie

h =1 0 0 −1



, x =0 1 0 0



, y =0 0 1 0

 .

5.3 Przypomnienie z teorii reprezentacji:

– Reprezentacje proste (nie zawieraja_,ce w la´sciwych podreprezentacji) sa_,postaci S_k= Sym^k(R²).

– Ka˙zda_,reprezentacje_,sl₂(Z) mo˙zna roz lo˙zy´c na sume,reprezentacji prostych.

– Warto´sci w lasne h sa_,liczbami ca lkowitymi, x^k zadaje izomorfizm W−k → W_k (k ≥ 0).

– x : W_k→ W_k+2 jest mono dla k < 0, epi dla k + 2 > 0

– Rozk lad Lefschetza: Definiujemy dla k ≥ 0 elementy prymitywne P−k = {w ∈ W−k| x^k+1w = 0}.

Mamy

W−k = P−k⊕ xP_−k−2⊕ x²P−k−4⊕ . . . .

5.4 Formy prymitywne (uwaga na przesunie_,ta_,gradacje_,): dla 0 ≤ k ≤ n definiujemy P^n−k = {α ∈ Λ^n−kV^∗| L^k+1α = 0}

P^p,q= Λ^p,q∩ P^p+q

C .

Mamy

P^n−k

C = M

p+q=n−k

P^p,q.

5.5 Rozk lad Lefschetza:

Λ^n−kV^∗= P^n−k⊕ L(P^n−k−2) ⊕ · · · ⊕ L^j(P^n−k−2j) ⊕ . . . .

5.6 Gwiazdka Hodge’a dla rzeczywistych przestrzeni z iloczynem skalarnym i orientacja_,. Dana forma obje_,to´sci vol ∈ Λ^dW^∗, gdzie d = dim W . Definiujemy gwiazdke_, Hodge’a jako funkcje_, liniowa_,∗ : Λ^kW^∗→ Λ^d−kW^∗ spe lniaja_,ca_,α ∧ ∗β = hα, βi vol. W bazie ortogonalnej, je´sli

{i₁, i₂, . . . , i_k} ∪ {j₁, j₂, . . . , j_d−k} = {1, 2, . . . , d}, to

dx_i1 ∧ dx_i2 ∧ dx_ik = ± dx_j1∧ dx_j2∧ dx_jd−k. 5.7 ´Cw: niech d = dim W :

(i) hα, ∗βi = (−1)^k(d−k)h∗α, βi, (ii) ∗² = (−1)^k(d−k) na k-formach.

Teoria Hodge’a dla rozmaito´sci C^∞

5.8 Operator formalnie sprze_,˙zony d^∗ = (−1)^d(k+1)+1∗ d∗ : A^k(M ) → A^k−1(M ).

5.9 Dla rozmaito´sci zwartych bez brzegu a ∈ A^k−1(M ), b ∈ A^k(M ) hda, bi_X = ha, dbiX

Dow´od

0 = Z

X

d(a ∧ b) = Z

X

da ∧ b + (−1)^k−1 Z

X

a ∧ db .

ha, d^∗bi_X = Z

X

ha, (−1)^d(k+1)+1∗ d ∗ bi

= (−1)^d(k+1)+1 Z

X

a ∧ ∗ ∗ d ∗ b deg(∗d ∗ b) = k − 1

= (−1)d(k+1)+1+(k−1)(d−k+1)

Z

X

a ∧ d ∗ b d(k + 1) + 1 + (k − 1)(d − k + 1) ≡₂ k

= (−1)^k Z

X

a ∧ d ∗ b = Z

X

hda, bivol

5.10 Laplasjan ∆ = dd^∗+ d^∗d tzn ,,super-komutator” [d, d^∗]_s. (Superkomutator element´ow algebry z gradacja_,A =L

k∈ZA^k definiujemy jako [φ, ψ]_s = φψ − (−1)^{k`</sup>ψφ je´sli φ ∈ A<sup>k</sup>, ψ ∈ A<sup>`}.) 5.11 Formy harmoniczne: H = ker∆.

5.12 Przyk lad: Rozwia_,za´c r´ownanie ciep la _dt^dα(t) = −∆α(t) gdy M = S¹ dla 0-form:

∗1 = dx, ∗dx = 1,

Dla 1-form d^∗= (−1)^d(k+1)+1∗ d∗ = − ∗ d∗

Dla 0-form ∆(f ) = d^∗df = d^∗f⁰dx = −f⁰⁰ Dla 1-form ∆(f dx) = dd^∗f dx = −df⁰= −f⁰⁰dx

Wektory w lasne laplasjanu na S¹ to funkcje sin(nx) i cos(nx) o warto´sci w lasniej n². Rozwia_,zanie r´ownania ciep la o warunku pocza_,tkowym

f (x) = a +X

n>0

bnsin(nx) +X

n>0

cncos(nx)

f_t(x) = a +X

n>0

e^−tn2b_nsin(nx) +X

n>0

e^−tn2c_ncos(nx) Przy t → ∞

f_t(x) → a.

6

6.1 Dla zwartych C^∞-rozmaito´sciach mamy:

1) H = ker(d) ∩ ker(d^∗)

2) H = ker(d) ∩ ker(d^∗) = ker(d) ∩ im(d)^⊥

3) podprzestrzenie H, im(d) i im(d^∗) sa_,prostopad le.

Dow:

1) Dla a ∈ ker(∆):

0 = (0, a) = (dd^∗a, a) + (d^∗da, a) = (d^∗a, d^∗a) + (da, da) = ||d^∗a||²+ ||da||² 2) da = 0 to 0 = (da, b) = (a, d^∗b), wie_,c a ∈ im(d^∗)^⊥

Je li a ∈ im(d)^⊥ to 0 = (a, d^∗da) = ||da||². 3) a ∈ H to da = 0, wie_,c a ⊥ im(d^∗) etc (d^∗a, db) = (a, d²b).

6.2 Rozk lad Hodge’a A^∗(M ) = im(d) ⊕ H ⊕ im(d^∗).

Rozk lad Hodge’a wynika z og´olnej w lasno´sci samosprze_,˙zonych operator´ow eliptycznych, kt´orej nie be_,dziemy dowodzi´c (bo wymaga loby to wprowadzenia przestrzeni Sobolewa):

A^∗(M ) =Mˆ

λ∈Spec(∆)A^∗(M )_λ, (rozk lad na warto´sci w lasne)

A^∗(M ) = ker(∆) ⊕ im(∆) . Ponadto dim(ker(∆)) < ∞.

Mamy im(δ) ⊂ im(d) ⊕ im(d^∗), z powy˙zszego wynika, im(∆) = im(d) ⊕ im(d^∗) 6.3 Wniosek 1: H → H^∗(M ) jest izomorfizmem.

Ponadto: je´sli ∆(a) = 0 a⁰ = a + db, to ||a⁰|| ≥ ||a||.

Czyli: Forma harmoniczna jest forma_,o najmniejszej normie w swojej klasie kohomologii.

6.4 Wniosek 2: Dualno´s´c Poincar´e: dla ka˙zdej klasy kohomologii [α] 6= 0 istnieje klasa [β] w dope lniaja_,cym wymiarze taka, ˙zeR

Mα ∧ β 6= 0.

Zak ladamy, ˙ze α jest harmoniczna i przyjmujemy β = α^∗.

6.5 R´ownanie ciep la _dt^dα(t) = −∆α(t), α(0) = α (bez dowod´ow, patrz Arapura §7) – r´ownanie ciep la ma rozwia_,zanie dla t ≥ 0

– limt→∞α(t) istnieje i jest forma_,harmoniczna_,, oznaczamy αH,

Uwaga: Laplasjan ma zawsze wartto´sci w lasne nieujemne, wie_,c lim istnieje.

– α = α_H + ∆G(α), gdzie G(α) =R∞

0 (α(t) − α_H)dt jest operatorem Greena.

Sprawdzenie dla wektora w lasnegp ∆α = λα, λ 6= 0:

∆

Z ∞ 0

e^−λt2αdt



= Z ∞

0

e^−λtλα dt =

Z ∞ 0

e^−λtλ dt



α = α .

6.6 Je´sli β(t) jest rozwia_,zaniem z warunkiem pocza_,tkowym β, to dβ(t) jest rozwia_,zaniem z warunkiem pocza_,tkowym dβ, bo d∆ = ddd^∗+ dd^∗d = dd^∗d = dd^∗d + d^∗dd = ∆d.

α = αH + dβ to αt= αh+ dβt. 6.7 Je´sli dα = 0, dα_t= 0 i [α_t] = [α]

Dw α = α_h+ dβ, (α_t− α_h)⁰ = −∆(dβ_t) = −d∆(β_t) Algebra liniowa → rozmaito´sci r´o ˙zniczkowe

6.8 Rozmaito´s´c niemal zespolona to para(X, I ∈ End(T X)), gdzie X jest rozmaito´s´cia_,(rzeczywista_,) oraz I² = −id.

6.9 Formy r´o˙zniczkowe rozk ladaja_, sie_, na sume_, prosta_, A^k(X)_C = L

p+q=kA^p,q(X). W og´olno´sci r´o˙zniczka d ograniczona do form typu (1,0) mo˙ze mie´c sk ladowa_, typu (0,2). Gdy struktura niemal zespolona pochodzi od holomorficznego uk ladu wsp´o lrze_,dnych, to nie ma ska_,dowej typu (0,2).

6.10 [Huybrechts 2.6.17] Warunek (dα)₀₂ = 0 dla α ∈ A¹⁰(X) jest r´ownowa˙zny iwolutywno´sci dys- trybucji T X01⊂ T X_C:

∀u, v ∈ Γ(T X₀₁) [u, v] ∈ Γ(T X₀₁).

Dow´od z formu ly Cartana:

dα(u, v) = uα(v) − vα(u) − α([u, v]) = α([u, v]) dla α ∈ A¹⁰(X) warunek dα ∈ A²⁰(X) ⊕ A¹¹(X) jest r´ownowa˙zny:

dla dowolnych u, v ∈ T X01mamy α([u, v]) = 0.

Sta_,d d(A¹⁰) ⊂ A²⁰(X) ⊕ A¹¹(X) wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnych u, v ∈ T X₀₁ mamy [u, v] ∈ T X₀₁. To jest warunekm inwolutywno´sci dystrybucji (tzn podwia_,zki) T X₀₁⊂ T X_C.

6.11 Niech P = ¹₂(iI + id) be_,dzie rzutowaniem na formy typu (0,1). Warunek iwolutywno´sci jest r´ownowa˙zny:

(∗ ∗ ∗) ∀u, v ∈ Γ(T X) P [P u, P v] = [P u, P v].

Po prostych przekszta lceniach otrzymujemy tensor Nijenhuisa:

6.12 Dla I ∈ End(T X) definiujemy tensor Nijenhuisa

N_I(X, Y ) = −I²[X, Y ] + I([IX, Y ] + [X, IY ]) − [IX, IY ] .

6.13 Twierdzenie Newlandera–Nirenberga: Struktura niemal zespolona I na R²ⁿpochodzi od wsp´o lrze_,dnych zespolonych wtedy i tylko wtedy gdy NI = 0. (Warunek NI = 0 jest r´ownowa˙zny (***), co latwo sprawdzi´c algebraicznie.)

6.14 Zwia_,zek z twierdzeniem Frobeniusa: ca lkowalno´s´c ⇔ inwolutywno´s´c dystrybucji.

6.15 Je´sli X jest rozmaito´scia_,zepolona_,, to

d(A^p,q(X)) ⊂ A^p+1,q(X) ⊕ A^p,q+1(X) d = ∂ + ∂, ∂²= 0 = ∂², ∂∂ + ∂∂ = 0 . 6.16 Kompleks Dolbeault: dla ka˙zdego 0 ≤ p ≤ dim_CX mamy kompleks

0 → A^p,0(X)→ A^{∂ p,1}(X)→ · · ·^∂ → A^{∂ p,dim X}(X) → 0, , ker(∂ : A^p,0(X) → A^p,1(X)) = Ω^p(X) . gdzie Ω^p(X) oznacza formy typu (p, 0) z holomorficznymi wsp´o lczynnikami.

6.17 Definiujemy kohomologie Dolbeault jako kohomologie tego kompleksu:

H_Dol^q (X; Ω^p) := ker(∂ : A^p,q(X) → A^p,q+1(X))/im(∂ : A^p,q−1(X) → A^p,q(X)) . 6.18 Holomorficzny Lemat Poincar´e: cia_,g snop´ow

0 → Ω^p_X → A^p,0 → A^p,1→ A^p,2 → . . .

jest dok ladny. Ozacza to, ˙ze je´sli ¯∂α = 0, to loklnie istnieje forma β taka, ˙ze ¯∂β = α.

6.19 Kohomologie o wsp´o lczynnikach w snopie (patrz podre_,cznik z algebry homologicznej) H^k(X; F ) = H^k(Γ(A^•)) ,

gdzie

F → A⁰ → A¹ → A² → . . .

jest dostatecznie ,,dobra_,” rezolwenta_,F . Mo˙zna zak lada´c warunek mie_,kko´sci: dla ka˙zdego przekroju F na zbiorze domknie_,tym mo˙zna przed lu˙zy´c do przekroju globalnego. (Zak ladamy, ˙ze X jest przestrzenia_, parazwarta_,.)

6.20 Snop A⁰ funkcji C^∞ na rozmaito´sci r´o˙zniczkowej jest mie_,kki.

6.21 Ka˙zdy snop A⁰–modu l´ow jest mie_,kki. W szczeg´olno´sci A^p,q jest mie_,kki. Zatem rezolwenty Ω^p_X → A^p,•

sa_,mie_,kkie. Sta_,d

H^k(X; Ω^p) = H^k(A^p,•(X))

tzn kohomologie Dolbeault sa_,kohomologiami snopowymi w sensie algebry homologicznej.

6.22 Gdy X jest rozmaito´scia_, zespolona_,, to A^k_C = L

p+q=kA^p,q. Dla p ≥ 0 definiujemy filtracje_, Hodge’a na poziomie snop´ow form r´o˙zniczkowych

F^pA^k= M

p⁰+q=k, p⁰≥p

A^p0,q.

oraz filtracje_,w kohomologiach H^k(X; C) = H^k A^•(X)_C

F^pH^k(X; C) = im(H^k(F^pA^•(X)) → H^k A^•(X)_C)
. 6.23 Mamy

F^pA^k/F^p+1A^k' A^p,k−p.

H^p+q((F^pA^k/F^p+1A^k)(X)) = H^q(X; Ω^p_X) .

7

7.1 Addytywny Proplem Cousina: Szukamy globalnej funkcji meromorficznej o zadanych lokalnie cze_,´sciach meromorficznych.

Dane pokrycie X zbiorami otwartymi X = S U_i. Na ka˙zdym Ui dana funkcja meromorficzna fi

taka, ˙ze r´o˙znice g_ij = (f_i)_|Ui∩Uj−(f_j)_|Ui∩Uj sa_,funkcjami holomorficznymi. Czy istnieje globalna funkcja meromorficzna f taka, ˙ze f_|Ui− f_i jest funkcja_,holomorficzna_,?

7.2 Multiplikatywny Problem Cousina: Szukamy funkcji meromorficznej o zadanych biegunach.

Zak ladamy, ˙ze fi/fj jest funkcja_, holomorficzna_, na Ui∩ U_j i szukamy globalnej f takiej, ˙ze f /fi

jest holomorficzna na U_i. Odpowied´z zale˙zy od klasy kocyklu w H¹(X; O_X^∗ ).

7.3 Odpowied´z w je_,zyku kohomologii. Dla pokrycia U = {Ui} definiujemy kompleks ˇCecha:

Cˇ^k(U ) = Y

i0<i1<···<i_k

F (U_i0 ∩ U_i1∩ · · · ∩ U_ik) .

W formu lach u˙zywamy multiindeks´ow I = {i₀ < i₁ < · · · < i_k}, U_I = U_i0 ∩ U_i1 ∩ · · · ∩ U_ik Dla {s_I} ∈ ˇC^k−1(U ) definiujemy r´o˙zniczke_,

d({s_I})_J =

k

X

a=1

(−1)^a(s_{J \ja})_|UJ Np

d({s_i})_j0,j1 = (s_j1)_|U

j0,j1 − (s_j0)_|U

j0,j1

d({si0,i1})_j0,j1,j2 = sj1,j2− s_j0,j2 + sj0,j1 obcie_,te do Uj0,j1,j2

7.4 Definiujemy kohomologie ˇCecha ˇH^k(U ; F) = H^k( ˇC^•(U ; F), d).

7.5 Pierwszy problem Cousina: F = O_X, uk lad funkcji {g_i,j} ∈ ˇC¹(U ; OX) spe lnia warunek kocyklu:

g_ij− g_ik+ g_jk = 0, zatem zadaje on element kohomologii ˇCecha pokrycia H¹({U_i}; O_X). Ten element jest zerowy (tzn kocykl jest kobrzegiem) wtedy i tylko wtedy, gdy problem Cousina ma rozwia_,zanie.

Dok ladniej: istnieja_,takie funkcje holomorficzne h_ina U_i, ˙ze g_ij = h_j− h_i, wtedy funkcje meromorficzne f˜_i = f_i+ h_i sa_, zgodne na przecie_,ciach i zadaja_, funkcje_, globalna_,. Dla rozwia_,zania problemu Cousina mo˙zna za lo˙zy´c, ˙ze pokrycie jest dowolnie drobne.

7.6 Drugi problem Cousina: pytanie czy 1-kocykl o warto´sciach w snopie O^∗_X jest kobrzegiem.

7.7 Rozdrobnienie pokrycia indukuje morfizm kohomologii ˇCecha (nie zale˙zy od funkcji wpisuja_,cej).

7.8 Twierdzenie:

lim

−→

U

Hˇ^k(U ; F) ' H^k(X; F )

7.9 Je´sli pokrycie jest acykliczne (tzn H^k(Ui0 ∩ U_i1 ∩ · · · ∩ U_ip; F ) = 0 dla ka˙zdego multiindeksu i k > 0) to

H^k({Ui}; F ) ' H^k(X; F ).

Patrz (7.19). O kohomologiach ˇCecha mo˙zna przeczyta´c te˙z w [Szabat, Wste_,p do analizy zespolonej, jest te˙z wydanie angielskie: B. V. Shabath, Introduction to complex analysis].

7.10 Pokrycia acykliczne dla snop´ow lokalnie sta lych (dla przestrzeni topologicznych): np. takie, ˙ze ka˙zde przecie_,cie UI jest ´scia_,galne.

7.11 Pokrycia acykliczne dla snop´ow koherentnych w geometrii algebraicznej: np. gdy UI sa_,zbiorami afinicznymi.

7.12 Pokrycia acykliczne dla snop´ow koherentnych analitycznych: np. gdy U_I sa_,zbiorami Steina.

Definicja: U ⊂ M jest Steina je´sli

– dla ka˙zdej pary punkt´ow p, q ∈ U istnieje funkcja analityczna f ∈ OU taka, ˙ze f (p) 6= f (q).

– (holomorficzna wypuk lo´s´c) dla zbioru zwartego K ⊂ U zbi´or

K := {p ∈ U | ∀f ∈ O¯ U |f (p)| ≤ sup_q∈K|f (q)| } jest zwarty.

7.13 W problemach Cousina mo˙zna bra´c pokrycie dowolnie drobne. Skoro H¹(Pⁿ; OX) = 0, wie_,c na Pⁿ problem Cousina ma zawsze pozytywne rozwia_,zanie. Dla krzywych rodzaju > 0 problem Cousina nie zawsze ma rozwia_,zanie pozytywne.

Cia_,gi spektralne

Przyk ladowe ´zr´od lo: C. Weibel - An Introduction to Homological Algebra, roz. 5 d^r_p,q : E_p,q^r → E_{p−r,q+r−1}^r , E_p,q^r+1 = ker(d^r_p,q)/im(d^r_p+r,q−r+1) Napis E_p,q^r ⇒ H_p+q oznacza, ˙ze w H∗ jest filtracja maleja_,ca taka, ˙ze

F_pH_p+q/F_p−1H_p+q ' E_p,q^∞ .

7.14 Homologiczny cia_,g spektralny zwia_,zany z filtracja_,kompleksu la´ncuchowego. Definiujemy A^r_p,•= {x ∈ F_pC• | d(x) ∈ F_p−rC•},

Z_p,•^r = obraz A^r_p,• w FpC•/Fp−1C•, B_p,•^r = obraz d(A^r−1_p+r−1,•) w F_pC•/F_p−1C•, E_p,•^r = Z_p,•^r

B_p,•^r = A^r_p,•+ F_p−1C•

d(A^r−1_p+r−1,•) + Fp−1C•

= A^r_p,•

d(A^r−1_p+r−1,•) + A^r−1_p−1,•. Gradacja na wsp´o lrze_,dnej q jest tak dobrana, ˙ze

B_p,q^r ⊂ Z_p,q^r ⊂ F_pC_p+q/F_p−1C_p+q.

R´o˙zniczka w C• indukuje r´o˙zniczke_,E_p,q^r → E_{p−r,q+r−1}^r ( ´Cw). Jest spe lniony warunek H∗(E_∗,∗^r ) = E_∗,∗^r+1 ( ´Cw). Zatem E_p,q^r jest podilorazem (ilorazem podobiektu) FpCp+q.

7.15 Cia_,g spektralny przestrzeni topologicznej z filtracja_,

E_p,q⁰ = Cp+q(Xp, Xp−1), E_p,q¹ = Hp+q(Xp, Xp−1) ⇒ Hp+q(X) . R´o˙zniczka

E_p,q¹ → E_p−1,q¹ czyli

H_p+q(X_p, X_p−1) → H_p−1+q(X_p−1, X_p−2) jest r´o˙zniczka_,z d lugiego cia_,gu dok ladnego homologii tr´ojki

(X_p, X_p−1, X_p−2) . 7.16 Kohomologiczny cia_,g spetralny, struktura multiplikatywna

d^p,q_r : E_r^p,q→ E_r^p+r,q−r+1, E_p,q^r+1 = ker(d^r_p,q)/im(d^r_{p−r,q+r−1}) E^p,q_r × E_r^p0,q0 → E_r^p+p0,q+q0.

7.17 Cia_,g spektralny indukowany przez filtracje_,maleja_,ca_,w kompleksie kohomologicznym E₀^p,q= F^pC^p+q/F^p+1C^p+q, E₁^p,q = H^p+q(F^pC^•/F^p+1C^•) , . . . .

7.18 Cia_,g spektralny Fr¨olichera: dla rozmaito´sci zespolonej rozwa˙zamy filtracje_,Hodge’a w A^•(M ).

Mamy

E₁^p,q= H^q(M ; Ω^p_M) ⇒ H^p+q(X; C) zwia_,zany z filtracja_,Hodge’a w A^•

C(M ). (Dla cia_,g´ow spektralnych kohomologicznych rozwa˙zamy filtracje maleja_,ce.)

– gdy M jest afiniczna to E₁^p,q= 0 dla q > 0, wie_,c E₂^p,q= E∞^p,q, zatem H^∗(M ; C) = H^∗(Ω^•(M )), – gdy M K¨ahlera, to E₁^p,q= E∞^p,q.

7.19 Cia_,g spektralny ˇCech-do-globalne dla sko´nczonego pokrycia E^p,q₁ = M

|I|=p+1

H^p(U_I; F ) = ˇC^p(U ; H^q(−; F )), E₂^p,q= H^p(U ; H^q(−; F )), . . . .

W szczeg´olno´sci, gdy pokrycie jest acykliczne, to cia_,g ma niezerowe wyrazy jedynie w zerowym rze_,dzie pocza_,wszy bod E1. Zatem kohomologie H^∗(X; F ) sa_,r´owne kohomologiom E₁^•,0.

8 Teoria Hodge’a dla rozmaito´ sci zespolonych hermitowskich

8.1 Dla przestrzeni hermitowskich bierzemy W = V_R, wie_,c d = 2n. Mamy vol = _n!¹ωⁿ. Rozszerzamy gwiazdke_,Hodge’a C-liniowo

∗dz = ∗(dx+idy) = dy−idx = −i(dx+idy) = −idx , ∗d¯z = ∗(dx−idy) = dy+idx = i(dx−idy) = id¯z

∗ : Λ^p,q −→ Λ^{' n−q,n−p} Czasem u˙zyteczna jest

¯

∗ : Λ^p,q−→ Λ^{' n−p,n−q}, ¯∗(α) = ∗ ¯α = ∗α . 8.2 Przymujemy L^∗=operator sprze_,˙zony, tzn hLα, βi = hα, L^∗βi. Mamy

L^∗ = ∗⁻¹L∗ = (−1)^deg∗ L ∗ .

(poniewa˙z d jest parzyste). W literaturze cze_,sto L^∗ jest oznaczane przez Λ, co mo˙ze sie_,myli´c z pote_,ga_, zewne_,trzna_,.

8.3 Dla rozmaito´sci zespolonej z iloczynem hermitowskim L, L^∗ = (−1)^deg ∗ L∗, H = [L, L^∗] = (deg −n)id dzia laja_,ce na C^∞-formach r´o˙zniczkowych A^∗(X) i ich C liniowe rozszerzenia na A^∗(X)_C. W ten spos´ob A^∗(X) i A^∗(X)_C staja_,sie_,reprezentacja_,sl(2).

8.4 Definiujemy operatory formalnie sprze_,˙zony

∂^∗ = − ∗ ¯∂∗ : A^p,q(X) → A^p−1,q(X) ,

(p, q) 7→ (n − q, n − p) 7→ (n − q, n − p + 1) 7→ (p − 1, q) oraz

∂¯^∗ = − ∗ ∂∗ : A^p,q(X) → A^p,q−1(X) . Mamy d^∗ = ∂^∗+ ¯∂^∗ (zdefiniowanie w 5.8).

8.5 Definicja: Rozmaito´s´c jest k¨ahlerowska gdy jeden z r´ownowa˙znych warunk´ow jest spe lniony:

1) lokalnie, w pewnych wsp´o lrze_,dnych ω = ₂ⁱ P

kdz_k∧ d¯z_k+ O(||x||²).

2) dω = 0

3) lokalnie ω = ∂ ¯∂f dla pewnej funkcji f : U → R.

Dow´od 2) ⇒ 1) [Voisin 1, Prop 3.14]

8.6 1) innymi s lowy: w ka˙zdym punkcie istnieje uk lad wsp´o lrze_,dnych taki, ˙ze metryka hermitowska jest standardowa z dok ladno´scia_,do wyraz´ow rze_,du 2.

8.7 NAJWA ˙ZNIEJSZY PRYK LAD: Metryka Fubini-Study na Pⁿ

< α, β >= 1 π

< w, w >< ˜α, ˜β > − < ˜α, w >< w, ˜β >

< w, w >² ,

gdzie ˜α, ˜β ∈ T_wCⁿ⁺¹ sa_, podniesieniami wektor´ow α, β ∈ T_[w]Pⁿ. W lokalnych wsp´o lrze_,dnych na U₀ forme_,symplektyczna_,mo˙zna zapisa´c jako

ω = i

2π∂ ¯∂log(1 +

n

X

k=1

|w_k|²) Spe lniony jest warunek K¨ahlera dω = 0.

8.8 Dla n = 1

ω = i 2π

1

(1 + w ¯w)²dw ∧ d ¯w = 1 π

1

(1 + x²+ y²)²dx ∧ dy orazR

P¹ω = 1.

8.9 Wniosek: Zespolona podrozmaito´s´c Pⁿ jest k¨ahlerowska.

8.10 To˙zsamo´sci Hodge’a:

i) [ ¯∂, L] = [∂, L] = 0 (bezpo´srednio z warunku dω = 0) i’) r´ownowa˙znie przemienno´s´c L^∗ z ∂^∗ i ¯∂^∗

ii) [ ¯∂^∗, L] = i∂, [∂^∗, L] = −i ¯∂

ii’) r´ownow˙znie [L^∗, ¯∂] = −i∂^∗, [L^∗, ∂] = i ¯∂^∗ (to istota dowodu wszystkich to˙zsamo´sci) iii) [∂, ¯∂^∗]s= [∂^∗, ¯∂]s= 0 (to ju˙z formalne konsekwencje ii))

iv) ∆_∂= ∆∂¯= ¹₂∆ i jest przemienny z ∂, ¯∂, ∂^∗, ¯∂^∗, L i L^∗ (dow´od formalny)

8.11 Dow´od to˙zsamo´sci Hodge’a: je´sli dω = 0 to w ka˙zdym punkcie istnieje uk lad wsp´olrze_,dnych, w kt´orym iloczyn hermitowski jest standardowy z dok ladno´scia_, do wyraz´ow rze_,du conajmniej 2 (tzn

< ei, ej >z= δi,j+ O(||z||²)). Jest to r´ownowa˙zne temu, ˙ze ω jest standardowa_, forma_,z dok ladno´scia_, do wyraz´ow rze_,du conajmniej 2.

To˙zsamo´s´c ii) (lub ii’)) jest kluczowa. Wybieramy uk lad wsp´o lrze_,dnych w kt´orych ω = ω₀ + η, gdzie ω0 jest standardowa_,forma_,symplektuczna_,, a η ∈O(|z|²). W szczeg´olno´sci (_∂z^∂

kη)(0) = (_{∂ ¯}^∂_z

kη)(0).

Dowodzimy [L^∗, ∂] = i ¯∂^∗. Wystarczy sprawdzi´c

([L^∗, ∂](α))z=0= i( ¯∂^∗α)z=0

Mo˙zemy zasta_,pi´c ω przez ω₀ i zbada´c to˙zsamo´sci K¨ahlera na rozmaito´ci p laskiej Cⁿ/(krata). Mo˙zemy przyja_,´c wsp´o lrze_,dne takie, ˙ze ω = iP dz_k∧ d¯zk(bez ₂¹). Rozk ladamy ¯∂ =P∂¯ki niech ωk= i dzk∧ d¯zk. Operator sprze_,˙zony:

L^∗= −iX

k

ι_¯kι_k R´o˙zniczkowania:

∂^∗ = −_{∂ ¯}^∂_z

kι_k

∂¯^∗ = −_∂z^∂

kι¯_k

Operatory L^∗_k i ∂<sub>`</sub> sa<sub>,</sub> przemienne dla k 6= `. Pozostaje zbada´c dzia lanie [L^∗_k, ∂_k] na α = f dzI∧ d¯zJ, i rozwa˙zaja_,c cztery przypadki k ∈ lub 6∈ I lub J . Dla przyk ladu: je´sli k 6∈ I, k 6∈ J

[L^∗_k, ∂k]f dzk∧ d¯zk∧ dz_I∧ d¯zJ =

L^∗_k∂_k(f dz_k∧ d¯z_k∧ dz_I∧ d¯z_J) − ∂_kL^∗_k(f dz_k∧ d¯z_k∧ dz_I∧ d¯z_J) = i∂k(f dzI∧ d¯zJ) =

i_∂z^∂

k(f dzk∧ dz_I∧ d¯zJ) =

−i_∂z^∂

kι_¯k(f dz_k∧ d¯z_k∧ dz_I∧ d¯z_J) = i ¯∂^∗(....).

8.12 U Huybrechtsa: W dowodzie ii’) wygodnie jest u˙zywa´c operatora d^c= I⁻¹dI oraz sprze_,˙zonego (d^c)^∗

d^c= −i(∂ − ¯∂), (d^c)^∗= − ∗ d^c∗

i dowodzi sie_,ii”) [L^∗, d] = −(d^c)^∗. Dow´od rachunkowy, korzystaja_,cy z rozk ladu Lefschetza na poziomie form, tzn sprawdzamy dla form postaci L^kα.Sprawdzanie jest ˙zmudne, ale skuteczne.

8.13 W dow´odz iii) i iv) be_,de_, u˙zywa l superkomutator´ow [a, b] = ab − (−1)deg(a) deg(b)ba. W tej konwencji ∆∂= [∂, ∂^∗].

iii)

i[∂, ¯∂^∗]ⁱⁱ⁾= [∂, [L^∗, ∂]] = ∂L^∗∂ − ∂²L^∗+ L^∗∂²− ∂L^∗∂ = 0 iv)

∆_∂ = [∂^∗, ∂]ⁱⁱ⁾= i[[L^∗, ¯∂], ∂]^Leibniz= i([L^∗, [ ¯∂, ∂]

| {z }

0

] − [[L^∗, ∂], ¯∂])ⁱⁱ⁾= [ ¯∂^∗, ¯∂] = ∆∂¯

oraz z iii) ∆ = ∆_∂+ ∆∂¯.

[L, ∆∂] = [L, [∂, ∂]^Leibniz= [[L, ∂]

| {z }

0

, ∂^∗] + [∂, [L, ∂^∗]]ⁱⁱ⁾= i[∂, −i ¯∂] = 0

Kohomologie rozmaito´sci K¨ahlera

8.14 Wniosek: H^∗(M ) ' H jest sko´nczenie wymiarowa_,reprezentacja_,sl₂(Z).

8.15 Sko´nczenie wymiarowe reprezentacje sl(2) sa_,opisane przez (5.3). Sta_,d L^k: H^n−k(M ) → H^n+k(M )

jest izomorfizmem (Trudne twierdzenie Lefschetza). Zatem mamy dim H^k(M ) ≤ dim H^k+2(M ) je´sli k + 1 ≤ n , dim H^k(M ) ≥ dim H^k+2(M ) je´sli k + 1 ≥ n . Co wie_,cej mamy

dim H^p,q(M ) ≤ dim H^p+1,q+1(M ) je´sli p + q + 1 ≤ n , dim H^p,q(M ) ≥ dim H^p+1,q+1(M ) je´sli p + q + 1 ≥ n , gdzie H^p,q(M ) = H^q(M ; Ω^p) (wyja´snienie w naste_,pnym wyk ladzie).

9 Kohomologie rozmait´ sci K¨ ahlera - rozk lad na typy (p, q)

9.1 Laplasjan ∆_∂ jest przemienny z rzutowaniem A^k(X) → A^p,q(X), zatem H^k= M

p+q=k

H^p,q, gdzie H^p,q= H^k∩ A^p,q.

9.2 Sta_,d – H^k(M ) =L

p+q=kH^p,q(M ), gdzie H^p,q(M ) = im(H^p,q→ H^p+q(M ).

– H^p,q= H^q,p (sprze_,˙zenie zespolone) – ∗H^p,q= H^n−q,n−p, gdzie n = dim X

9.3 Diament Hodge’a h^p,q = h^n−p,n−q = h^q,p. Np dla n = 3 h³³

h³² h²³

h³¹ h²² h¹³

h³⁰ h²¹ h¹² h⁰³

h²⁰ h¹¹ h⁰²

h¹⁰ h⁰¹ h⁰⁰

=

1

♠ ♠

♦ ♣ ♦

 ♥ ♥ 

♦ ♣ ♦

♠ ♠

1 h⁰⁰≤ h¹¹, h¹⁰≤ h²¹

9.4 Ponadto

– Je´sli k = n − (p + q) ≥ 0 to L^k : H^p,q(X) → H^p+k,q+k(X) jest izomorfizmem – rozk lad Lefschetza je´sli p + q ≤ n

H^p,q(M ) = P^p,q(M ) ⊕ L(P^p−1,q−1(M ) ⊕ L²(P^p−2,q−2(M ) ⊕ . . . 9.5 Rozk lad Hodge’a dla form typu (p, •):

A^p,q(X) = H^p,q_∂¯ ⊕ im( ¯∂) ⊕ im( ¯∂^∗) . Skoro ∆∂¯= ¹₂∆, wie_,c

H^p,q_¯

∂ = H^p,q. Sta_,d

ker( ¯∂) = H^p,q⊕ im( ¯∂) H^q(X; Ω^p) ' H^p,q. 9.6 Wniosek: Cia_,g spektralny Fr¨olichera degeneruje sie_,

E₁^p,q= H^q(X; Ω^p) = E_∞^p,q.

9.7 Wniosek zupe lnie poboczny: Dla rozmaito´sci K¨aklera (przypomnijmy, ˙ze zak ladamy zwarto´s´c) je´sli α ∈ Ω^p(X), to ∂α = 0.

9.8 Dla rozmaito´sci Calabi-Yau tzn gdy Ωⁿ ' O_X (i dodatkowo zak ladamy, ˙ze H⁰(X, Ω^p) = 0 dla 0 < p < n) diament Hodge’a wygla_,da tak (n = 3)

1

0 0

0 ♣ 0

1 ♥ ♥ 1

0 ♣ 0

0 0

1

M´owimy, ˙ze X^∗ jest kohomologicznym lustrem X gdy h^pq(X^∗) = h^n−p,q(X). Dla 3-rozmaito´sci oznacza to h¹²(X^∗) = h¹¹(X) i h¹¹(X^∗) = h¹²(X). Symetria lustrzana: to geometryczny spos´ob znajdowania X^∗.

9.9 Dualno´s´c Serre’a: iloczyn zewne_,trzny

∧ : Ω^p× Ω^q→ Ω^p+q zadaje forme_,

H^k(X; Ω^p) × H<sup>`</sup>(X; Ω<sup>q</sup>) → H<sup>k+l</sup>(X; Ω<sup>p+q</sup>) . Gdy k + ` = p + q = n ska_,d mamy forme_,z R

: Hⁿ(X; Ωⁿ) ' H²ⁿ(X; C) → C. Z dualno´sci Poincar´e ta forma jest niezdegenerowana, wie_,c

H^k(X; Ω^p) ' H^n−k(X; Ω^n−p)^∗. Og´olniej: Mamy niezdegenerowana_,forme_,

H^k(X; E) × H^n−k(X; E^∗⊗ Ωⁿ) → Hⁿ(X; Ωⁿ) → C dla snopa lokalnie wolnego. W szczeg´olnym przypadku, gdy Ω^p= E:

Ω^n−p' Hom(Ω^p, Ωⁿ) Sygnatura

9.10 Relacje Hodge’a-Riemanna: Forme_,B(α, β) na H^k(X) okre´slamy jako:

B(α, β) = Z

X

α ∧ ¯β ∧ ω^n−k.

Ta forma jest p´o ltoraliniowa, jest (anty)symetryczna, tzn B(α, β) = (−1)^kB(α, β). Ponadto jest niezde- generowana: dla α ∈ H^k(X) istnieje γ ∈ H^2n−k(X) taka, ˙ze R

Xα ∧ ¯γ 6= 0. Klasa γ jest postaci L^n−kβ z trudnego twierdzenia Lefschetza.

9.11 Nad C formy antysymetryczne mo˙zna zamieni´c na symetryczne: gdy φ jest antysymetryczna, tzn spe lnia

φ(a, b) = −φ(b, a) ,

to ψ(a, b) := iφ(a, b) jest symetryczna. Dla form symetrycznych mamy ψ(a, a) ∈ R. M´owimy, ˙ze forma symetryczna p´o ltora liniowa jest dodatnio okre´slona, gdy

ψ(a, a) > 0 dla a 6= 0 . Twierdzenie: Forma

i^p−q· (−1)^k(k−1)/2B(α, β)

jest symetryczna i dodatnio okre´slona na α, β ∈ P^p,q(X) ⊂ P^k(X) ⊂ H^k(X), k = p + q.

9.12 Dow´od. Algebra liniowa: trzeba sprawdzi´c dodatnia_,okre´slono´s´c formy B₀okre´slonej na formach zewne_,trznych P^p,q ⊂ Λ^p,q ⊂ Λ(Cⁿ)^∗⊗ C wzorem

α ∧ ¯β ∧ ω^n−k = B0(α, β)dx1∧ dy₁∧ · · · ∧ dx_n∧ dy_n. Sprawdzamy naste_,puja_,ca_,r´owno´s´c dla α ∈ P^k:

(∗ ∗ ∗) L^n−kα = (−1)

k(k−1)

2 (n − k)! ∗ I(α) ,

gdzie I jest struktura_,zespolona_,dzia laja_,ca_,na Λ(Cⁿ)^∗⊗ C. Dowodzimy indukcyjnie L^jα = (−1)

k(k−1)

2 j!

(n − k − j)!∗ L^n−k−jI(α).

Maja_,c (∗ ∗ ∗):

α ∧ ¯α ∧ ω^n−k = α ∧ L^n−k( ¯α) = α ∧ (−1)

k(k−1)

2 (n − k)! ∗ I(α) =

= (−1)

k(k−1)

2 α ∧ ∗(n − k)!I(α) = i^q−p(−1)

k(k−1)

2 (n − k)! < α, α > vol

9.13 Wniosek: Niech n = 2m. Forma przecia_,´c (k´ora jest r´owna B(α, β)) jest symetryczna oraz ma sygnature_,

X

p+q≤m, 2|p+q

(−1)

k(k−1)+p−q

2 dim(P^p,q(X))

9.14 Mamy r´owno´sci dim P^p,q(M ) = h^p,q− h^p−1,q−1 i z r´owno´sci h^p,q= h^q,p= h^n−p,n−q wynika wz´or na sygnature_,

sgn(M ) ==

dim(M )

X

p,q=0, 2|p+q

(−1)^ph^p,q

dim(M )

X

p,q=0

(−1)^ph^p,q.