2 Wykaza´c, ˙ze je´sli g2 = 1 dla ka˙zdego elementu g, to grupa jest abelowa

Algebra I

Bardzo dobrym ´zr´od lem zada´n (ze wskaz´owkami do rozwia_,za´n) jest M. Bry´nski, J. Jurkiewicz - Zbi´or zada´n z algebry, doste_,pny w bibliotece.

Moje zadania dla student´ow z *:

https://www.mimuw.edu.pl/%7Eaweber/zadania/algebra2014/grupyzad.pdf Termin pierwszego kolokwium: 23 listopada, godzina 16.00.

Zadania

1 Znale´z´c wszystkie mo˙zliwe tabelki dzia la´n grupowych na zbiorze 4-elementowym.

2 Wykaza´c, ˙ze je´sli g² = 1 dla ka˙zdego elementu g, to grupa jest abelowa.

3 Wykaza´c, ˙ze je´sli ka˙zdy element grupy G jest rze_,du conajwy˙zej 2, to |G| = 2ⁿ dla pewnego n ∈Z. 4 Ile element´ow ma grupa macierzy odwracalnych n × n o wsp´o lczynnikach w ciele Zp?

5 Sporza_,dzi´c tabelke_,dzia la´n dla grupy D_2n.

6 Sprawdzi´c, ˙ze w grupie D_2n, dla n > 2 istnieje tylko jedna podgrupa cykliczna rze_,du n.

7 W grupie S6 policzy´c z lo˙zenie (123)(546)(231)(46) przedstawiaja_,c je w postaci iloczynu cykli roz lacznych.

8 Cykl (453687) przedstawi´c w postaci transpozycji.

9 Permutacje_,zbioru siedmioelementowego f (1) = 4, f (2) = 2, f (3) = 6, f (4) = 3, f (5) = 1, f (6) = 7, f (7) = 5 roz lo˙zy´c na cykle roz la_,czne.

10 Znale´z´c rze_,dy grup izometrii bry l plato´nskich.

11 Wskaza´c rozk lad D8 na sume_,teoriomnogo´sciowa_,swoich trzech podgrup w la´sciwych. Uzasadni´c,

˙ze ˙zadna grupa nie jest suma_,dw´och swoich podgrup w la´sciwych.

12 Poda´c przyk lad podgrupy H ⊂ D₆ i elementu x takiego, ˙ze xH 6= Hx.

13 W grupie macierzy odwracalnych GL2(Zp) znale˙z´c element rze_,du 3.

14 W grupie macierzy g´ornotr´ojka_,tnych o wsp´o lczynnikach wZrozmiaru 2 × 2 wskaza´c dwa elementy rze_,du 2, kt´orych iloczyn ma rza_,d niesko´nczony.

15 Jakie sa_,najwie_,ksze rze_,dy element´ow w grupach permutacji S9 i S15.

16 Czy w S10 istnieja_, dwa elementy rze_,du n, kt´ore maja_, r´o˙zne rozk lady na cykle roz la_,czne? a) n = 12, b) n = 9.

17 Wypisa´c rze_,dy element´ow w grupie cyklicznej C₁₂ (oznaczanej te˙z przez _Z12) i w D₂₄. Poda´c ile jest element´ow danego rze_,du.

18 Niech |G| < ∞. Wykaza´c, ˙ze ilo´s´c element´ow rze_,du pierwszego p jest podzielna przez p − 1.

19 a) Niech Q₈ = ha, bi ⊂ GL₂(_C), a = i 0 0 −i



, b = 0 1

−1 0



. Ile element´ow ma ta grupa? Opisa´c wszystkie podgrupy i znale´z´c rze_,dy element´ow.

b) Ile element´ow ma grupa hc, bi ⊂ GL2(C), c = i 0 0 −1



, b = 0 1

−1 0



? Czy zawiera grupe_,Q8?

20 Wymieni´c wszystkie znane grupy rze_,du 8. Roztrzygna_,´c, kt´ore sa_,izomorficzne.

21 Opisa´c z dok ladno´scia_,do izomorfizmu grupy 6-cio elementowe.

22 Rozwa˙zmy grupy (Z, +), (Q, +), Zp^∞=(pierwiastki z 1 stopnia pⁿ dla pewnego n ∈ N), gdzie p jest ustalona_,liczba_,pierwsza_,. Udowodni´c, ˙ze w´sr´od tych grup ˙zadne dwie nie sa_,izomorficzne.

23 (*) Uzasadni´c, ˙ze grupa permutacji parzystych A₅jest izomorficzna z grupa_,izometrii zachowuja_,cych orientacje_,dwudziesto´scianu foremnego I60.

24 (*) Poda´c przyk lad grupy sko´nczenie generowanej i jej podgrupy, kt´ora nie jest sko´nczenie gen- erowana.

25 Niech f : G → H be_,dzie homomorfizmem grup. a ∈ G. Wykaza´c, ˙ze o(f (a)) dzieli o(a) o ile ten drugi jst skonczony

26 Opisa´c homomorfizmy f : G → H gdzie G jest grupa_,cykliczna_,.

27 Zbada´c grupe_,automorfizm´ow Aut(G) grupy cyklicznej G. Opisa´c grupy Aut(Cn), n = 13, 21, 26, 28.

Przedstawi´c je jako produkty grup cyklicznych.

28 (*) Czy istnieje grupa cykliczna G taka, ˙ze Aut(G) ' C₈? 29 Udowodni´c, ˙ze je´sli (n, m) = 1, to Cnm= Cn× C_m.

30 Opisa´c te grupy dla G = Cn, n = 15, 16, 20, 24, 30. Przedstawi´c je jako produkty grup cyklicznych. (Wskaz´owka: je´sli (m, n) = 1 to Aut(_Zmn) ' Aut(_Zm×_Zn) ' Aut(_Zm) × Aut(_Zn).)

31 (*) Udowodni´c, ˙ze je´sli p jest liczba_,pierwsza_,, to Aut(C_p) ' C_p−1.

32 Grupa multiplikatywna cia la liczb zepolonych_C^∗ =_C\ {0} dzia la na_Cpoprzez mno˙zenie. Znale´z´c orbity tego dzia lania i stabilizatory punkt´ow.

33 Rozwa˙zy´c dzia lanie podgrupy G ⊂ C^∗ na C (patrz poprzednie zadanie). Znale´z´c orbity tego dzia lania i stabilizatory punkt´ow dla

a) G = {z ∈C^∗ | |z| = 1}, b) G =R\ {0},

c) G =_R>0

d) G = Cn (pierwiastki z 1 stopnia n).

34 Grupa izometrii liniowych przestrzeniRⁿ jest oznaczana przez O(n). Opisa´c orbity i stabilizatory punkt´ow dla naturalnego dzia lania O(n) na _Rⁿ.

35 Grupe_, diagonalnych odwracalnych macierzy n × n o wsp´o lczynnikach w dowolnym ciele K oz- naczmy przez Tn(K). Grupa ta dzia la na Kⁿ poprzez mno˙zenie po wsp´o lre_,dnych. Opisa´c orbity i stabilizatory punkt´ow.

36 Grupa GLn(C), tzn. macierzy odwracalnych n × n o wsp´o lczynnikach w C dzia la na zbiorze wszystkich macierzy n × n poprzez sprze_,ganie:

C · A := CAC⁻¹. Opisa´c orbity dzia lania.

37 Grupa macierzy odwracalnych n × n o wsp´o lczynnikach w R dzia la na zbiorze symetrycznych macierzy w naste_,puja_,cy spos´ob:

C · A := CAC^T.

38 Grupa macierzy izometrii O(n) dzia la na zbiorze symetrycznych macierzy w naste_,puja_,cy spos´ob:

C · A := CAC^T. Opisa´c orbity i stabilizatory punkt´ow.

39 Niech G < S4. Rozpatrzmy naturalne dzia lanie G na zbiorze {1, 2, 3, 4}. Znale´z´c orbity tego dzia lania i grupy izotropii ka˙zdego punktu gdy G = h(123)i i G = A4 (grupa parzystych permutacji).

40 Czy grupa rze_,du 27 mo˙ze dzia la´c na zbiorze 35 elementowym bez punktow sta lych?

41 Niech grupa sko´nczona G dziala na sko´nczonym zbiorze X . Udowodni´c wz´or Burnside’a:

|X/G| = 1

|G|

X

g∈G

|X^g| ,

gdzie |X/G| oznacza liczbe_, orbit dzialania G na X za´s |X^g| liczbe_, punkt´ow sta lych przekszta lcenia wyznaczonego przez g ∈ G.

42 Niech G be_,dzie grupa_, izometrii sze´scianu (a co za tym idzie, o´smio´scianu formnego). Znale´z´c stabilizatory wierzcho lk´ow, krawe_,dzi i ´scian obu tych bry l.

43 Przypu´s´cmy, ˙ze grupa G dzia la tranzytywnie na zbiorze X. Wykaza´c, ˙ze grupy izotropii G_x i G_y dla x, y ∈ G sa_,sprze_,˙zone (tzn ∃g ∈ G gGxg⁻¹ = Gy).

44 Niech H < G i niech ρ^H : G → S_|G/H| be_,dzie homomorfizmem odpowiadaja_,cym dzia laniu G na zbiorze warstw G/H danym wzorem: g(g⁰H) = gg⁰H. Znalezc ker(ρ^H).

45 Niech k(G) oznacza liczbe_, klas sprze_,˙zonosci elementow grupy G. Udowodnic, ˙ze je˙zeli G jest skonczona_,grupa_,nieprzemienna_,to k(G) > |Z(G)| + 1.

(Definicja: Centrum grupy Z(G) = {g ∈ G | ∀h ∈ G gh = hg}.)

46 Ile jest homomorfizm´ow z Z24do D12? (Uwaga: zgodnie z konwencja_,przyje_,ta_,na wyk ladzie D_n oznacza grupe_, izometrii n-ka_,ta formenego.)

47 Przypu´s´cmy, ˙ze grupa G ma pq element´ow, gdzie p i q sa_,liczbami pierwszymi, p nie dzieli q − 1.

Udowodni´c, ˙ze je´sli w G jest tylko jedna podgrupa rza_,du q, to G jest cykliczna.

48 Czy D4 = Q8? Opisa´c wszystkie homomorfizmy D4 → Q₈. 49 Znale´z´c centralizator g ∈ S₆ gdy

– g = (123)(45) ∈ S₆, – g = (123)(456) ∈ S6, – g = (12)(34)(56) ∈ S₆.

(Definicja: Centralizator elementu C_G(g) = {h ∈ G | ∀h ∈ G gh = hg}.) 50 Udowodni´c, ˙ze dla n > 2, Z(Sn) = 1.

51 Wyznaczy´c klasy sprze_,˙zono´sci element´ow S4 oraz A4. Wskaza´c dwa elementy A4, kt´ore se sprze_,˙zone w S₄, a nie sa_,sprze_,˙zone w A₄.

52 (a) Znale´z´c Z(A₄).

b) Wykazac, ˙ze w A4 istnieje tylko jedna podgrupa rze_,du 4, wie_,c jest ona normalna.

c) Udowodni´c, ˙ze w A₄ nie istnieje podgrupa rze_,du 6.

Napis H / G oznacza, ˙ze H jest dzielnikem normalnym w G

53 Niech H / G. Udowodnic, ze dla dowolnych x, y ∈ G je˙zeli xy ∈ H to yx ∈ H. Podac przyk lad,

˙ze je˙zeli tylko H < G to wynikanie nie ma miejsca.

54 Pokaza´c, ˙ze ka˙zda podgrupa w Q₈ jest normalna, cho´c Q₈ nie jest abelowa.

55 Udowodni´c, ˙ze je˙zeli K / G to Z(K) / G. Poda´c przyk lad, w kt´orym Z(K) 6= K ∩ Z(G).

56 Udowodni´c, ze je˙zeli [G, G] ≤ H, to podgrupa H jest normalna w G.

57 Komutant [G, G] oznacza podgrupe_,generowana_,przez zbi´or {ghg⁻¹h⁻¹ | g, h ∈ G}. Udowodni´c,

˙ze dla ka˙zdej tr´ojki element´ow g, h, k ∈ G mamy ghkg⁻¹h⁻¹k⁻¹∈ [G, G].

58 Niech A be_,dzie grupa_, abelowa_,. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej grupy G mamy naturalna_, bijekcje_, Hom(G, A) ' Hom(G/[G, G], A).

59 Wykaza´c, ˙ze je´sli |G| = p², gdzie p jest liczba_,pierwsza_,, to G jest abelowa.

60 Niech G be_,dzie grupa_,, za´s p be_,dzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym |G|. Podgrupa H jest taka, ˙ze |G| : |H| = p. Poka˙z, ˙ze H jest normalna.

Wskaz´owka: 1) rozwa˙z standardowe dzia lanie G na warstwach grupy H. Dzia lanie to daje odwzorowanie H ⊂ G → S_|G|/|H|= S_p.

2) Zobacz, ˙ze dzia lanie podgrupy H ma punkt sta ly.

3) Ile element´ow moga_,mie´c orbity dzia lania H?

4) Wywnioskuj, ˙ze jego ja_,dro homomorfizmu G → S_p jest r´owne H.

5) Skorzystaj z r´ownowa˙zno´sci hgH = gH ⇔ h ∈ gHg⁻¹. . Grupy ilorazowe

61 Poda´c przyk lad grupy G i jej podgrup K / G, H / G takich, ˙ze K ' H ale G/K 6' G/H.

62 Podac przyklad grupy G i jej podgrup K / G, H / G takich, ˙ze G/K ' G/H ale K 6' H.

63 Niech n > 2. Udowodni´c, ˙ze je´zeli n jest nieparzyste, to Z(D_n) = 1, za´s je˙zeli n jest parzyste to

|Z(D_n)| = 2. Udowodni´c, ˙ze w ty mostatnim przypadku Dn/Z(Dn) ' Dⁿ

2 dla n > 6 i dla n = 4 mamy D₄/Z(D₄) 'Z2×_Z2.

64 Niech n > 2. Udowodni´c, ˙ze |D_n/[D_n, D_n]| = 4 je˙zeli n jest parzyste i |D_n/[D_n, D_n]| = 2 je´zeli n jest nieparzyste.

65 Udowodni´c, ˙ze nie istnieje grupa nieprzemienna G taka, ˙ze G/Z(G) jest cykliczna.

66 Niech K / (G) i |G/H| = n < ∞. Pokaza´c, ˙ze (a) dla ka˙zdego g ∈ G mamy gⁿ∈ K,

(b) je´sli g ∈ G, g^m ∈ K oraz (m, n) = 1, to g ∈ K.

67 * Udowodni´c, ˙ze grupa zachowuja_,cych orientacje_,R³ izometrii sze´scianu jest izomorficzna z grupa_, S4.

68 * Udowodni´c, ˙ze je˙zeli G jest grupa_,nieabelowa_,, to Aut(G) nie jest grupa_,cykliczna_,. Udowodni´c,

˙ze nie istnieje grupa G taka, ˙ze grupa Aut(G) jest cykliczna rze_,du nieparzystego r´o˙znego od 1.

69 * Niech G be_,dzie grupa_,prosta_, (tzn nie ma podgrup normalnych), za´s H ≤ G podgrupa_,indeksu pierwszego p. Udowodni’c, ˙ze p jest najwie_,ksza_,liczba_,pierwsza_,dziela_,c’a |G| i ˙ze p² 6 | |G|. (Wskaz´owka:

rozpatrze´c dzia lanie G na zbiorze warstw G/H i wykaza˙z, ˙ze |G| | p!.)

70 * Udowodnid, ˙ze je˙zli G jest grupa_, nieprzemienna_, i |G| = p³, to |Z(G)| = p i liczba klas

2

71 * Wskaza´c izomorfizm GL₂(Z₃)/Z(GL₂(Z₃)) ' S₄.

72 * (Lemat Gr¨una) Udowodni´c, ˙ze je˙zeli [G, G] = G to Z(G/Z(G)) jest trywialne.

73 * Udowodni´c, ˙ze SL(2,Z5) = [SL(2,Z5), SL(2,Z5)]. Znale´z´c Z(SL2(Z5).

74 Znale´z´c komutant [A4, A4].

75 Skonstruowa´c dzia´c dzia lanie przechodnie grupy S₄ na zbiorze 3-elementowym X. Opisa´c ja_,dro i obraz stowarzyszonego przekszta lcenia φ : S4→ S₃ = Aut(X). Jaki jest obraz φ(A4)?

Za X przyja_,´c zbi´or podzia l´ow zbioru {1, 2, 3, 4} na r´owne cze_,´sci.

76 Wykaza´c, ˙ze je´sli p jest liczba_,pierwsza_,, |G| = p^k, {1} 6= N
G to N ∩ Z(G) 6= {1}.

Wsk: dow´od taki sam jak dow´ow faktu, ˙ze centrum p-grupy jest nietrywialne.

77 Niech G be_,dzie grupa_,rze_,du p^r (gdzie p jest liczba_, pierwsza_,). Pokaza´c, ˙ze liczba podgrup grupy G, kt´ore nie sa_,normalne jest podzielna przez p.

78 Niech |G| = 2p, gdzie p jest liczba_, pierwsza_,, p > 2. Udowodni´c, ˙ze G jest albo grupa_,cykliczna_,, albo dihedralna_,.

79 Wykaza´c, ˙ze nieprzemienna grupa rze_,du 8 jest izomorficzna albo z Q8 albo z grupa_,dihedralna_,. 80 Czy istnieje monomorfizm Q₈ → S₄?

81 Nich p be_,dzie liczba_,pierwsza_,oraz G ⊂ GL₃(_Zp) grupa_,macierzy odwracalnych g´ornotr´ojka_,tnych z jedynkami na przeka_,tnej. Opisa´c z dok ladno´scia_,do izomorfizmu wszystkie ilorazy G.

82 Niech G be_,dzie grupa_,wszystkich afinicznych izomorfizm´owZ²₂. – Wykaz´c, ˙ze H, grupa z lo˙zona z przesunie_,´c, jest normalna.

– Opisa´c G/H.

– Wykaza´c, ˙ze G ' A4.

83 Pokaza´c, ˙ze je´sli jest dany homomorfizm φ : Q₈ → G taki, ˙ze φ(−1) 6= 1, to φ jest monomorfizmem.

84 Niech T be_,dzie podgrupa_,GL_n(_C) z lo˙zona_,z macierzy diagonalnych. Znale´z´c zbi´or macierzy A ∈ GLn(C) takich. ˙ze dla ka˙zdej macierzy diagonalnej D ∈ T mamy ADA⁻¹ ∈ T . Wykaza´c, ˙ze jest to podgrupa zawieraja_,ca T . Jest ona oznaczana N (T ). Wykaza´c, ˙ze T jest podgrupa_,normalna_,w N (T ) i zbada´c iloraz N (T )/T . Wykaza´c, ˙ze N (T )/T ' S_n.