Geometria obrazu

Geometria obrazu

Wykład 5

Segmentacja Grafy sąsiedztwa.

1. Grafy definiowane przez różne obszary.

2. Minimalne drzewo rozpinające.

Metody obszarowe.

1. Drzewa czwórkowe.

Metody krawędziowe.

Metody punktowe.

Grafy sąsiedztwa.

Definicja.

Grafem sąsiedztwa dla zbioru n punktów P w przestrzeni metrycznej nazywamy graf o wierzchołkach w P, do którego krawędź pq należy wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są pewne geometryczne warunki.

Definicja

k-najbliższym grafem sąsiedztwa jest graf, w którym krawędź pq istnieje, gdy odległość między p i q należy do k najmniejszych odległości z p do innych wierzchołków z P.

Uwaga: relacja nie jest symetryczna.

Grafy definiowane przez różne obszary.

grafy planarne grafy bez trójkątów

grafy bez czworokątów

grafy acykliczne

Definicja.

Minimalne drzewo rozpinające MST(G) grafu G = (V, E), którego każda krawędź e ma wagę w(e), jest spójnym,

acyklicznym grafem rozpiętym na zbiorze V i minimalnej sumie wag krawędzi.

Algorytm Kruskala.

posortuj krawędzie według wag;

dobierz kolejne krawędzie w porządku niemalejącym tak, aby nie tworzyły cyklu;

Algorytm Prima.

wybierz dowolny wierzchołek;

dołącz do wybranego zbioru kolejny najbliższy wierzchołek;

Lemat.

Algorytmy te działają odpowiednio w czasie O(|E| log |V|) oraz O(|E| + | V| log |V|).

Definicja.

MST(S) rozpięte na punktach ze zbioru S w Rⁿ jest drzewem o wierzchołkach w S i minimalnej sumarycznej długości krawędzi.

Lemat.

MST(S) rozpięte na punktach z SR² można znaleźć w czasie O(n log n), a w przestrzeni d-wymiarowej (d > 2) w O(n^d/2).

Podział obrazu (image segmentation).

Podziałem obrazu nazywamy proces podziału cyfrowego obrazu na wiele spójnych, wzajemnie rozłącznych i w sumie pokrywających cały obraz obszarów (zbiorów pikseli, zwanych też superpikselami).

Celem podziału jest uproszczenie lub zmiana reprezentacji obrazu na uwypuklającą jakąś własność (np. podział na barwy) lub łatwiejszą do analizy (np. dla obliczeń równoległych).

Podział obrazu jest zwykle wykorzystywany do lokalizacji obiektów lub ich brzegu na obrazie.

Innymi słowy, jest to proces przydzielania pikselom etykiet taki, że piksele z takimi samymi etykietami mają wspólne własności.

Metody segmentacji możemy podzielić na kilka klas w zależności od rodzaju informacji określającej podział lub innych uwarunkowań.

Możemy wyróżnić następujące metody:

• obszarowe:

- działu wodnego,

- podziału na kracie (podziału i łączenia), - rozrostu obszaru,

• krawędziowe,

• punktowe:

- klastrowe, - progowe,

• hybrydowe – łączące w sobie powyższe metody,

• inne (automatyczne, półautomatyczne, zależne od wymiaru, samouczące się).

Metoda działu wodnego (watershed method).

Możemy wyróżnić tu dwie podmetody:

- opadu deszczu (rainfall), gdy powierzchnię dzielimy na obszary, z których woda

spływa do tego samego ujścia,

- zatapiania (sinking), gdy woda wypływa z określonych źródeł i powoli zatapia

obszary powierzchni.

(geomatura.pl)

Metoda opadu deszczu (rainfall method).

Dla każdej pary sąsiednich (choć niekoniecznie) pikseli liczymy wagę łączącej je krawędzi, odpowiadającą euklidesowej odległości wektorów RGB w tych punktach: wij = dij = ||RGBi- RGBj||.

Otrzymujemy tzw. graf lokalnego sąsiedztwa.

Licząc gradienty w tak określonym polu dostajemy następujący podział (kierunek spływu wody z gór):

[G.Economou et al. „Godesic distance and MST based image sgmentation”]

Przykład (schemat zlewisk względem wektorów spadków).

1 2 1 3 2 4 1 4 2 1 3 3 2 1 1 1 1 3 4 2 3 3 2 3 4 3 2 1 4 2 1 3 2 1 3 4 1 3 2 2 1 4 2 4 3 2 3 1 4

Otrzymujemy spójne składowe odpowiadające zlewiskom, które

wyznaczają podział obrazu (niebezpieczeństwo stanowi duża „dziura”, wokół której są mało różniące się obiekty – wtedy przy podziale obrazu mogą zostać „wessane” – stają się nierozróżnialne).

[G.Economou et al. „Godesic distance and MST based image sgmentation”]

Metoda zatapiania (sinking method).

Tak jak poprzednio tworzymy graf lokalnego sąsiedztwa, obliczamy MST i określamy na nim miarę, np.

- suma wag w_ij na ścieżce łączącej dane punkty lub - maksimum z wag na takiej ścieżce.

„Zatapiamy” zlewiska do pewnego poziomu. Obraz dzieli się na obszary zatopione i nie, które wyznaczają podział „geodezyjny”. W zależności od wybranej strategii otrzymujemy różne wyniki. Źródła (z których „wypływa woda”) możemy wybrać losowo lub w zależności od zadanych warunków.

[G.Economou et al. „Godesic distance and MST based image sgmentation”]

Niech L(u,v) oznacza długość najkrótszej ścieżki w grafie łączącej wierz- chołki u i v spójnego grafu G w R², a D(u,v) oznacza odległość między u i v.

Współczynnik rozpięcia DL (dilation) grafu G definiujemy jako DL = max _{(u,v)  G} L(u,v)/D(u,v) .

Twierdzenie (Keil,Gutwin 92).

Współczynnik rozpięcia DT(P), gdzie |P| = n, wynosi O(1).

L(u,v)

D(u,v) v

u

Zastosowanie grafu lokalnego sąsiedztwa.

Wierzchołkami grafu są poszczególne piksele, a wagą krawędzi euklidesowa odległość między odpowiednimi punktami (x,y,r,g,b) . Badamy otoczenia pikseli o promieniu R. Łączymy takie obszary, dla których dylacja między co najmniej dwoma pikselami jest nie większa niż R/2.

Takie podejście daje lepszy wynik od poprzedniego np. w następującym przypadku:

[P.F.Felzenszwalb et al. „Efficient graph-based image segmentation”]

Inny przykład.

[P.F.Felzenszwalb et al. „Efficient graph-based image segmentation”]

Metoda skupiskowa (cluster method) – wybieramy zbiór obiektów (odpowiadających liczbie obszarów, na które chcemy podzielić obraz) i

dopasowujemy do nich elementy obrazu. Skupiska elementów wyznaczają nową pozycję obiektu (np. środek ciężkości). Następnie powtarzamy to samo dla

nowych pozycji obiektów, aż nie zajdą żadne zmiany.

Przykład.

Metoda k-centroidów (k-means) – algorytm Lloyda.

Znajdujemy diagram Voronoi dla generatorów leżących w środku ciężkości elementów należących do danego obszaru Voronoi.

[http://http://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering]

Przykład (23’18”).

Prezentacja metod zatapiania i k-centroidów.

https://pt.coursera.org/lecture/digital/watersheds-and-k-means-algorithms- KHf3u

Drzewo czwórkowe (quadtree).

Drzewo czwórkowe dla n-elementowego zbioru punktów P (card(P) oznacza licz- nosć zbioru P) definiujemy w następujący sposób. Niech Q := [x₁,x₂][y₁,y₂] będzie kwadratem.

- Jeśli card(P)  1, to drzewo czwórkowe zawiera pojedynczy liść, w którym pamię- tamy zbiór P i kwadrat Q.

- W przeciwnym przypadku dzielimy kwa- drat Q na ćwiartki Q_NE, Q_NW, Q_SW, Q_SE

względem x_m := (x₁+x₂)/2 i y_m := (y₁+y₂)/2, gdzie P_NE := {p









Korzeniowi drzewa odpowiada kwadrat Q a jego synom - Q_NE, Q_NW, Q_SW, Q_SE .

W wierzchołku v trzymamy kwadrat Q(v).

Q_NE Q_NW

Q_SW Q_SE

NE NW SW SE

Metoda podziału na kracie (podziału i łączenia; split and merge method).

Wierzchołkami kraty są poszczególne piksele połączone krawędziami z sąsiadami (4 lub 8). Wagą krawędzi jest różnica intensywności barw między sąsiadami.

Dzielimy te obszary (jak w drzewie czwórkowym), które nie spełniają warunku podobnej intensywności barw (faza podziału).

Następnie łączymy sąsiadujące obszary (różnych rozmiarów i być może kształtów) o zbliżonych intensywnościach barw.

Wadą tej metody jest jej duża złożoność i wrażliwość na dobór parametrów.

Przykład.

Kolory na środkowym obrazku określają podział na kwadraty

odpowiadające wierzchołkom drzewa czwórkowego, a w prawym – różne odcienie bieli i czerni.

[http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/INF3300/h06/undervisningsmateriale/segmentation_2006.pdf]

Metoda rozrostu obszaru (region growing method).

W metodzie tej, piksel oprócz konieczności posiadania określonych

własności (np. koloru) musi sąsiadować z innymi pikselami należącymi do danego obszaru.

W tym celu konieczne jest zdefiniowanie parametrów początkowych:

- obiektu (obiektów) bazowego, który ma się rozrastać, - kryterium dołączania kolejnych pikseli.

Możemy tu zastosować algorytmy morfologii matematycznej.

Jeśli krawędzie obszaru nie są wyraźne, to obszar może się rozlewać po całym obrazie.

Przykład.

|z-z*| < 0,1 |max_z – min_z|

[http://www.cse.unr.edu/~bebis/CS791E/Notes/RegionGrowing.pdf]

Inny przykład.

[http://research.rmutp.ac.th/research/reference/Region%20growing%20a%20new%20approach.pdf]

Jeszcze jeden przykład (18’54”).

Automatyczne progowanie oraz metoda podziału i łączenia.

https://www.coursera.org/lecture/digital/methods-based-on-intensity- similarity-aDFGH

Metoda k najbliższych sąsiadów.

Metoda ta jest podobna do metody rozrostu obszarów. Dany jest zbiór generatorów o odpowiednich własnościach. Analizując pozostałe punkty znajdujemy k najbliższych generatorów (w tym celu można wykorzystać diagramy Voronoi k-tego rzędu) i przypisujemy badanemu pikselowi barwę najliczniejszej grupy sąsiadów.

[R.Cardenes et al. „Computational Geometry Computation and kNN Segmentation in ITK”.

Metoda krawędziowa (edge detection).

Stosując segmentację krawędziową nie wykrywamy bezpośrednio obszarów, ale określamy granice między nimi wykorzystując w tym celu np. filtry gradientowe lub Laplace’a (które były omawiane wcześniej).

(http://sirius.cs.put.poznan.pl/~inf74839/proceedings/binwr.pdf)

Dziękuję za uwagę.