Wahad lo fizyczne (M5)

Wahad lo fizyczne (M5)

I. Wst ep teoretyczny

Wahad lem fizycznym nazywamy bry le sztywn_֒ a, kt´orej ruch w polu grawitacyjnym od-_֒ bywa sie dooko la ustalonej osi nie przechodz֒ acej przez ´srodek masy. Celem ´cwiczenia jest֒

zbadanie jak okres drga´n wahad la fizycznego zale˙zy od amplitudy drga´n oraz sprawdzenie zasady zachowania energii podczas ruchu wahad la.

Zagadnienia do przygotowania: wahad lo fizyczne, oscylator harmoniczny, oscylator an- harmoniczny [1].

R´ownanie ruchu wahad la fizycznego ma posta´c Jd²θ

dt² = −mgℓ sin θ, (1)

gdzie J jest momentem bezw ladno´sci wahad la wzgledem osi obrotu, θ jest wychyleniem֒

wahad la z po lo˙zenia r´ownowagi, m jest masa wahad la, g jest przyspieszeniem grawitacyjnym_֒ a ℓ jest odleg lo´scia ´srodka masy od osi obrotu (rysunek 1). R´ownanie (1) dobrze opisuje_֒ ruch wahad la tak d lugo jak straty energii na skutek tarcia sa zaniedbywalnie ma le._֒

Bilans energii. R´ownanie (1) mo˙zna r´ownie˙z zapisa´c w postaci 1

2J dθ dt

²

+ mgℓ(1 − cos θ) = const (2)

pokazujacej, ˙ze suma energii kinetycznej ruchu obrotowego wahad la i jego energii potencjal-_֒ nej w polu grawitacyjnym jest niezmienna podczas ruchu wahad la. Prosze sprawdzi´c, ˙ze_֒ r´o˙zniczkujac po czasie r´ownanie (2) dostajemy r´ownanie (1).֒

Drgania harmoniczne zachodza dla ma lych wychyle´֒ n wahad la, czyli wtedy, gdy mo˙zemy skorzysta´c z przybli˙zenia

sin θ ≈ θ we wzorze (1)

Jd²θ

dt² = −mgℓθ. (3)

R´ownanie (3) jest dobrze znane: opisuje ono ruch oscylatora harmonicznego. Jego rozwiazanie ma posta´c_֒

θ(t) = θ⁰cos(ω⁰t), ω⁰ =r mgℓ

J (4)

je´sli za lo˙zymy, ˙ze w chwili poczatkowej t = 0 wahad lo zosta lo wychylone z po lo˙zenia֒

r´ownowagi o kat θ֒ ⁰ i rozpocze lo ruch z zerow֒ a pr֒ edko´sci֒ a k֒ atow֒ a. Okres takich drga´֒ n wynosi

T⁰ = 2π

ω⁰ (5)

i jest niezale˙zny od amplitudy drga´n θ⁰.

2

Rysunek 1: Wahad lo fizyczne.

Drgania anharmoniczne pojawiaja si_֒ e, gdy zale˙zno´s´c okresu drga´_֒ n od ich amplitudy nie jest zaniedbywalna. Przyjmujac takie same warunki pocz֒ atkowe jak dla rozwi֒ azania (4),֒

dostajemy z r´ownania (2)

 dθ dt

²

= 2ω0²(cos θ − cos θ⁰) . (6) Zauwa˙zamy nastepnie, ˙ze wahad lo przechodzi od k֒ ata 0 (po lo˙zenie r´ownowagi) do θ֒ ⁰ (mak- symalne wychylenie) w czasie T /4, gdzie T jest okresem jego ruchu. Korzystajac z tej uwagi_֒ dostajemy z r´ownania (6) nastepuj_֒ acy zwi_֒ azek mi_֒ edzy okresem i amplitud_֒ a drga´_֒ n wahad la

T = T⁰

√2 π

Z ^θ0

0

√ dθ

cos θ − cos θ⁰

= T⁰ 1 + 1 2

²

sin² θ⁰

2 + 1 · 3 2 · 4

²

sin⁴ θ⁰

2 + 1 · 3 · 5 2 · 4 · 6

²

sin⁶θ⁰ 2 + . . .

!

= T⁰

 1 + θ²0

16+ 11

3072θ0⁴+ 173

737280θ0⁶+ . . .



Dla niezbyt du˙zych wychyle´n przybli˙zamy wz´or na okres drga´n wahad la T ≈ T⁰

 1 + θ0²

16



, (7)

gdzie θ0 jest wyra˙zone w radianach. Ten wz´or por´ownamy do wynik´ow pomiar´ow. Warto sie zastanowi´c przed wykonaniem ´cwiczenia dla jakich pocz֒ atkowych wychyle´֒ n przybli˙zenie (7) jest uzasadnione. Dlaczego nie ma w tym wzorze cz lonu liniowo zale˙znego od θ⁰?

3

Rysunek 2: Uk lad pomiarowy.

II. Przebieg pomiar´ ow

Schemat uk ladu pomiarowego przedstawia rysunek 2. Po lo˙zenie poczatkowe wahad la jest֒

odczytywane na skali katowej. Okres ruchu oraz czas przelotu s֒ a rejestrowane przez uk lad֒

fotokom´orek po laczonych z miernikiem czasu._֒

Zale˙zno´s´c okresu od amplitudy. Umieszczamy fotokom´orki w po lo˙zeniu r´ownowagi wahad la i mierzymy okres ruchu wahad la dla r´o˙znych wychyle´n poczatkowych θ_֒ ⁰. Szczeg´olny nacisk k ladziemy na pomiary dla θ⁰ < 1 rad, poniewa˙z dla tych kat´ow b_֒ edziemy sprawdzali_֒ kwadratowa poprawk_֒ e do okresu drga´_֒ n (7). Dla ka˙zdego wychylenia mierzymy okres drga´n wiele razy. Aby zminimalizowa´c wp lyw tarcia mierzymy okres ruchu wahad la podczas pierw- szego drgania.

Bilans energetyczny. Ustawiamy fotokom´orki w po lo˙zeniu r´ownowagi wahad la i mie- rzymy czas przelotu wahad la miedzy fotokom´orkami dla r´o˙znych wychyle´֒ n poczatkowych θ֒ ⁰. Podobnie jak wcze´sniej, dokonujemy wielokrotnego pomiaru dla ka˙zdego wychylenia.

W celu wyznaczenia predko´sci k֒ atowej wahad la (11) mierzymy odleg lo´s´c R fotokom´orek֒

od osi obrotu i odleg lo´s´c S miedzy fotokom´orkami (w zestawie z jedn֒ a fotokom´ork֒ a mie-֒

rzymy suwmiarka grubo´s´c tej cz֒ e´sci wahad la, kt´ora przes lania fotokom´ork֒ e). Je´sli przez֒

∆θ oznaczymy kat zakre´slany przez wahad lo podczas pomiaru czasu przelotu, to z prostych_֒ rozwa˙za´n trygonometrycznych dostajemy

∆θ ≈ S

R. (8)

Jaka jest interpretacja geometryczna i zakres stosowalno´sci tego wzoru?

4

III. Opracowanie wynik´ ow

Zale˙zno´s´c okresu od amplitudy. Pomiary okresu drga´n dla ka˙zdego wychylenia u´sredniamy. Nastepnie wykre´slamy okres drga´֒ n T w funkcji kwadratu poczatkowego wy-֒

chylenia θ²0. Do wynik´ow dla kat´ow mniejszych od 1 radiana dopasowujemy prost_֒ a_֒

T = Aθ0²+ B. (9)

Por´ownujac t_֒ e zale˙zno´s´c do wzoru (7) identyfikujemy wsp´o lczynnik B z okresem drga´_֒ n har- monicznych T⁰, a wsp´o lczynnik A z T⁰/16. Sprawdzamy nastepnie czy w granicy niepewno´sci_֒ pomiarowej B/A = 16. Por´ownujac dopasown_֒ a prost_֒ a do wynik´ow pomiar´ow dla wszystkich_֒ poczatkowych wychyle´֒ n (nie tylko do tych wykorzystanych do wyznaczenia wsp´o lczynnik´ow A i B) ustalamy zakres kat´ow dla kt´orych kwadratowa w wychyleniu poprawka do okresu֒

ruchu jest wystarczajaca.֒

Bilans energetyczny. U´sredniamy czasy przelotu ∆t dla tych samych wychyle´n poczatkowych θ֒ ⁰ i wykre´slamy (1/∆t)² w funkcji 1 − cos θ⁰. Do wynik´ow dopasowujemy prosta֒

 1

∆t

²

= C(1 − cos θ⁰) + D. (10)

Nastepnie zapisujemy pr_֒ edko´s´c k_֒ atow_֒ a jako_֒ dθ

dt ≈ ∆θ

∆t, (11)

gdzie ∆θ jest katem zakre´slanym przez wahad lo w czasie ∆t. Podstawiamy θ = 0 (opi-֒

sujace po lo˙zenie fotokom´orek) i wz´or (11) do r´ownania (6). Por´ownuj֒ ac uzyskany wynik do֒

r´ownania (10) dowiadujemy sie, ˙ze֒

C = 2ω²0

(∆θ)² (12)

je´sli tarcie rzeczywi´scie jest zaniedbywalne podczas omawianych pomiar´ow. Znajac֒

wsp´o lczynnik C z dopasowania (10) oraz okres drga´n harmonicznych (5) z dopasowania (9) wyznaczamy ∆θ ze wzoru (12).

Nastepnie por´ownujemy ten wynik do k֒ ata ∆θ wyznaczonego bezpo´srednio ze wzoru (8).֒

W por´ownaniu uwzgledniamy niepewno´sci wyznaczenia tego k_֒ ata w obydwu przypadkach i_֒ dyskutujemy jako´sciowo wp lyw tarcia na uzyskany wynik.

[1] http://pl.wikipedia.org/wiki/Wahad lo, http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum (mathematics).