Die höhere Geometrie, besonders die Lehre von den Kegelschnitten, zum Gebrauch beym Unterricht in der Realschule kurz abgefasset von J.E.A. Hildebrandt [ … ]

Æ

AE E.

SE, 27

\

Die

höhere Geometrie,

zum ^Gebra _u ^<

veym^{Unterricht in der} Real 2.twchule^;

a7^yiL ^ft f

furz abgefa Piaet

Es

E ^a fe

"von

E. A. Hildebrand,

ZA^{bey der} Königlichen_{Neal chule.}

Berlin, 1783 ;

Im Verlag^der Buchhandlung^{der Real chule.}

Won^deùfrummènLinienüberhauptd, ^x—>,

L. Von den Eigen chaften^{der Kegel chnitte.}

. 4, Von der Parabel ^{2 7} $.$29.

2» Voù détHyperbel $, 3061,

|

+3, Von GtEllip e ^{8 ’} : ^{$, 62=$3.}

4. Vom Cirkel, ^{- y} $, 8490.

Îl. Die Différentialtenuñg ⁸ $. g=121.

III. Vom Größten^und Klèin ien^{$. 122=133+ -}

TV. Die

a LLL

Al

Dahalt.

IV.- ^Die “Sütegrälte{<nung.^{SF pity $.“134: H}

7, Anwendung^derIntegralrechnung^zu

Be timmung^des Flächentnhales^- $, I4i==¹⁵⁴

2, Anwendung^der Jntegraltechnung^zu Be timmung^des Verhältni ^der es

- frummen Linlen zugeraden, ^oder von

derRectification^{der krummen Linien} $. 155161.

5, Anwendung ^der Jütegralrehnungzu

Be timmung ^deskdtperlichenJnhalts, $.162=173.

Ss ^T1. Von

Von den krummen Linienüberhaupt.

SF_ohngefähr^{Ent tehung}folgenderge^{einer krummen}vortalt^Liniekanntellen.Der^manPunkeⁱ

a (F. ^1.)werde zu gleicherZeit ^von einer doppelten Kraft.^{bund c in} Bewegungge eßtzowird ichder-

elbè^motu _per diagonalemcompolitobérdegen,

das i t:_der Punkt ^à wird^{weder der} Richtung^ab noch^der _Richtung^{ac allein} folgen, ondernnachvem er tèn_unendlichkleinenZeitraum^{étwa ind,} nach dem zweiten^{in eu.} .f. eyn.^Nun indzwar ud, ^dé

u, f.. ‘eigentlich^gerädeLinien, ^{da ièaber} _unends lichflein ind, macheno ^iezu ammen:^{diè frumme}

Linie adeM. ^{: i}

R ^A

Die LinieaX wird die Axe^{oderder Durch»}

imé genenner,er*

“

An die befindetet ich^{in a der}

Scheitelpunkt^{dex frumuien} “ns ^Jé R ^;

BE N _—

ich^{mm die krummeLinie von} derAxe^{entfernt, oder}

auch ^{ichder elbenwieder nähert}_! befommc^eihrei

eigeneBenennung.

Die Perpendiculárlinie^{MP, die die} Entfernung jedes^{‘Punkts der frummen Linie von der} Axe ^bes

imme,^heißtdie halbe ^Ordinate.

Die Entfernung^{a? aber -einer} jeden halben

__ Ordiínace vom

Scheitelpunkt^{aufder Axe wird die}

der halben^Ordinate zugehdrigeAb ci{genennet.e

; Da ^{nun aus} jedem Punkt ^der Axe ^{an die} frumme Linie cine Perpeñdiculärliniegezogen werden

kann, ohat ^man auchfo ^viel bale^{Ordiínatenund} corre póndivendeVE0

Ve^Ss

So lange ich^{die krumme Linie von der} Axe entfernt^, i t,^genau _genommen^{, keine} halbe^Ordinate

der andern gleich, ondern^{mic der} Länge^{der frummen}

Linie,wach enaucl> die e,je ^weiter ie ih^vom

Scheitelpunkt^entfernen, bis die frumme Linie etwa

wieder anfängt ich^der Axezu nähern,^wie beym Cirfel und^der Ellip e.Auch^{die Ab ci nehmenen}

immer zu, bis ieetwa, ^{wie dis} gleichfalls^{der Fall}

“beym^{Cirfel und der Ellip ei , der} Axe gleich

werden, Man ^nennt daher ^die Ab ci ^und enAps- plifaten veränderlicheLinien,^{und bezeichnet}die g&e wöhnlich^{mit y,} jene mit^x.

$e4.

Bey Con truction^{einer. krummen Linie} liegt

allemal^{eine oder auch zwey be tändigeoder unvers}

' ünderliche^Linien zum Grunde, nemlih ^der Para-

ineter,^{and zwar allemahl, und die Axe. Das}

|

Ver- |

è

Verhältniß.^nun der halben.^{Ordinaten und} Ab ci en

gegen einánder, desgleichen^ves Parameters, ^wird durchGleichungenausgedrúcft^{„ roelchedie} Natur ^und Eigen chafteneiner jeden^{krummen Linie erklären,}

: dS ^{z |}

Von _den mancherleyEintheilungen“^{der krums}

men Linien-willich hier.^{uur ganz kurz} derjenigenⁱⁿ Ge chlechterund Familiengedenken. Jene Eincheilung

in Ge chlechter_{hat ihren}Nußen,^{weun man wi en} will, ^{was man} bey Auflö ungvorkommender Aufs

gaben fúr Linienndthighabe oder brauchen^könne; die ^{aber in}e Familiendient zu Erwei ungallgemeinex Eigen chaftenver chiedenerGe chlechter, ^:

itt NGE

E

RC ^{te Rs 3}

“Die Aufgaben^y‘diebeyBetrachtungder krums

men Linien vorkornmen _, betreffen^das Verhältniß^der Ab ci zu denenhalbenOrdinatenz^die Unter uchung-

db^{eine frumine Linie au} ihrem^{er Ur prungeon t} noch^die Axe chneide,^oder obihreArme ^{ins unend-} lichefortgehenz^die Con truction^‘einerjeden^krummen.

Linie ^aus ihrerGleichungz.ferner ^{cb ie}A ymptoten habe^oder nicht^{3wie man} durchjeden Punkt der elben eineTangeùteziehen olle^{;wie das} Verhältniß_ihrer Länge‘zur Länge^einer geraden ^Linie zu be timmenz wie^{eine krumme Linie zu} quadriren) welchesihre größteoder klein Applicatete ey^u. dergl.

|

$ 7 ^°

Uebrigens^{wird niemand den}Nußen^der höhern

eomecriein Zweifelziehen, ^{wodfernman anders} weiß,wie unentbehrlich^ihre Kenntniß^inden mei ten

4 /

i ———

Theilen^der angewandten^{Machematié‘und in} der Naturlehre i t.^Man hat durch ihre HülfeWahr-

. heiten^entdeckt, auf^dieman on tnicht^wúrde gekoms-

men feyn. ^{Nun kommt es} freylich^wiederum darauf

an, daßman ichúberzeuge,^die gemachten^Entde-

‘ungen elb eyennicheohne Nuten. ^S. Jägers Anwendung^{der Lehrevon frummen Linien auf einige} Gegen tände^der Nacurlehre. _\

I,

.

Bon ^den Eigen chaften^{der Kegel chnitte.}

1, Von ^der Parabel.

+ ^8.

Wenn ein Kegel^{mit einer} einerSeiten parál- lel ge chnittenwird, o^{nennt man die krumme Linie} MmAnN, (Fig:-a2-IL) ^{welche die} dur< ^den Schnitc. erhalteneFláche begránzt^{, eine} Parabel,

und zwar insbe ondre^die Apolloni che.

An die er^{krummen Linie nun} i tallemahl^ein be timmterTheil ^der Axe^{die dritte} Proportionallinie

zujedem^{andern vom} ScheitelpunktentferntenTheil^der Axe^{und der am Ende eines} jeden olchenTheilsaufs gerichteten^{und die}ParabelbérührendenPerpendiculár-

linie. Jenen be timmtenTheil^der Axe^{nennt manden} Parameter, ^und eßt^{ihn=a. Went nun jederandre}

Theil^der Are^oder jede Ab ci^{= x}e^{und die} zugeh»

ee^{halbeOrdinate = y 3 oi beyt einem.} E

Micce^{allemahl x: y = y a}

. 9.

g yyi ^R

‘ -—

oi t ^{y?=ax. Da nun} die Gleichunge ^die

Ma-

E

E

GRE A

/ _Ae

Natur die erconi chenSection ausdrúckt, o^nennt man daher auchjede^frummeLinie, beywelcherdas

Quadrat der halbenOrdinate gleich^einem Rectangel

aus der zugehörigenAb ci^{in den}e Parameter, eine

Parabel. ES ^{: :}

C10, ⁱ

Wenn nunin der Parabel ^x: y ⁼ y: ² 6.^{$3 - “} o ucheman zu jeder Ab ci^{und dem}e Parameter

die mittlere Proportionallinie , oerhált^man fúrjede Ab cidieihr corree pondirendehalbe^Ordinate. Zieht man_dann ^die Endpunkte ^aller die ermittlern Pros portionallinen durch ^eine krumme Linie zu amimenz

erhálco ^maneine _Linie,die die Eigen chaften^der Pas

rabel hat, ^und folglich ^elbeinetParabel i t.

A $. ^{IT, : E}

Man ehezu dem Ende an AC in A(Fig.5.)die Perpendicuiärlinie^Ak von unbe timmterLänge, wel-

che^die Richtungslinie(^Direrix parabolae)genennet

wird. ACverlängere ^{man um den} Theil ^{AB =}

dem gegebenen^oder angenommenen Parameter. ^AC theile^{man in} beliebigeTheile^, _je^kleiner die Theilee ^, be ondersbey^A genommen werden, de tobe geser^- räth^die Zeichnung, ^{Aus den} Theilungspunkten^y

L F. 2. 3. 4. ^u. .w, ziehe^{man mit der} Richtungs-

linie Parallellinien, ^tt _LE

Dannbe chreibe^man úberBi, BF, ^{Bz u.} w.

halbeCitfelbogenzoi t^Ad zwi chen^{AB und Axz}

A e zwi chenAB _und AF; Af zwi chen^AB und ^Az

Ue ^w.. ^die _mictlere Proportionallirie.

Macht^{man nun 1M =} Ad, Fm=Ae, 2m^{=Af y.} w.;. o ind1m, Fm, ^{2m u,} w.

die den Ab ci Ax, enAF, ^{Az u. w.}. corre pon-

A ₂ ^dirende

z

“direndehalbeOrditiaten. Verbindet ran_endlich^die

Punkte^{A, m, mu. tv.}. durcheine^{krumme Linie}

mit einander, ohat ^{man eîne} Parabel conftruirt.

Dehn weil ^{: :}

;

FN == AG ^{: :} :

:

Ad ⁼⁼ med. _prop, zwi chen^AB und ^Ax

y med. _prop. aber zwi chen^der Ab ci e

und dem Parameter i ^diet ^der Ab ci e

x corré pondirendehalbe^Ordinate F.^{11m die} halbe^Ordinatezur Ab ci^{Ar u,}e ^w..

Es i tal o^die be chriebene^{krumme Linie eine} Parabel, ^{weil iedie} Eigen chaft^einer Parabel. hat.

Y

: “¿ods^FDer

i

Sowie die Grö ^einese Cirkels von der Länge

‘desRadíi abhángt^{, o}hángt.die^Größeeiner Parabel

von ihremParameter ^ab. Man erhältauf ^die(+ ^10.

angezeigte^{Art üummereine} Parabel ^{,. der} Parameter

mag großoder^{klein eyn; Soll} ie‘daher^{eine be-} timmteGrößehaben: omußauh ^der Parameter be timmtehn.Daraus folger:^mit einerleyPara-

Meter läßt ich^{nur eine} Parábel con truiren,^desa gleichen: die Größe^einer Parabel hängtnicht ^von

‘der Länge_ihrerArme ab, ondern^{von der} Längeder

Ordinate _bey gleicherLätige^der corre pondirenden Ab ci _Uebrigense, indalle Parabeln einander

' 6, ^{13. : 2}

:

Jn ^der Parabel (F.^2. Ul.) verhalten ^ichallemahl

dieQuadrate^der _halbenOrdinaten _, wie die corre pon»

_direndenAb ci ^oderen,^wenn

i

i die

iA

aminiE

É

DHS

DTLÓ

die eine Ab ci^{AP =—X}es lere^Applicate=Y

eine andre Ab ci e

a

p=x— ^— =F}

oi ^V2:t y? ^{= X: x.}

MLPif média_prop. zwi chen^{DP und} BP

F.DP: ^{MP =MP: BP}

8: ^MP2? =DP, BP.

und weilmp media^{prop. zwi chendp unb bp} oi tdp: mp ⁼ mp:bp.

FF. mp*=dp. bp.

F. ^MP2:

E ^{E BP: dp, bp.}

F. MP: _mp? ⁼_Dr=DP. ^{BP: DP.} bp

PMP; mp? =BP:“b’p. ^:

BP: bþ

SAE: ^Ap

FMF:_{UDeU T2} RE ^{= Ap: Ape -}

VE^{pre A; X,}

Sonláläßet ^dieic^{Saber auch}Gis^{erweio en:}

Wenn Y ^{? : |}

und y

= ax

=D oi tYatesy2=aX:

F: AF ^{LA X,}

ÿ.^14.

Die Gleichung^{der Parabel} ÿ.9.^“enthältevoen Unter cheidungsfennzeichen_{der elben}^von _andern^frums

men Linien. / 2

enn wenn y? ^{= 42x} oi t

R:LERN:^{a, und al io |}

A 4 AE ^O

EE TP 5=

DER

1) jede halbe ^{Ordinate media} proportionalis zwi chen^der zugehörigenAb ci^{und dem}e Para- 2) dey^{Parameter i allemahlt tert, prop. zu jeder}

Ab ci^und ihrer corree pondirendenhalben^Ordis

nace, ^e

Man ollunterGLuchen,^{ob eine frumme}Linie AMm (F, 3.) ^eine Parabel ey.

Soll AMm eine Parabel eynz#0^muß ihr Parameter ^tertia proportionalis eyn^{zu A P und MP}

$. ^14. Mak ucheal o^{die dritce} Proportionallinie

“nach geometri chenGrund äßen,ohat ^{man den} Parametergefunden,

-

Die engefundenenParamecer- eße-^{man aus P in} _Q, ^und be chreibe^úberA Q_^einen halbenCirkel; durch chneidetdie er^{die frumme Linie}

im Punkte M, als dem Endpunkt^der halben^Ordi-'

_natez oi t’alèdennMP die mittlere Proporcionallinie

¿wi chen^{AP und} PQ ^und folglich^die frumme Linie

AMm ^eine Parabel, ^:

: 0 M ^{RE :}

Man oll^die halbe^Ordinate finden, wenn die Ab cigleiche^dem 4ten Theil^des Pararüeters.

Ueberhaupti ^x:t y ⁼ y: ^a

: : A.

Es oll

aberEa ^eyn

ns a

R ——

F. D^ONNA;

Y:yⁱ⁼ De ;

=

ARE

T° y=—^{= dem halbenParameter.}

:

Folge

miem

p Folglich‘i ^die Ordinate ⁼⁼ a, wenn^{die corre}

pondirendeve Ab ci^{= —}e ^{Man nennt aber den}

E

6

> fe ³

Punktin dérAxe,^{in welchemdie} Ordinace^gleichdem Parameter,^den Brennpunkt, ^.

Se EU

Soll ^nundie EntfernungdesBrennpunkts_vou ^.

der Scheitel^{be timmtwerden3}

o ee^man _y = —^{$ VGE}

\

i

2

dami t ^$ Js ⁼ M:

:

ig IN

da ^nun ony?t^{= ax}

"y

: E

0 ITi ^-t ax = ^-—

-

a:

Fe ^{x= —}

4. 4

Die Ab ci^im Brentpunktee ^{i alt ogleichdem} viertenTheildes gegebenenParameters.

$. 428; ^Maes:

Das Rectangel-^{aus der Summe} je zweyer

halbenOrdinacenin ihreDifferenz^{, oder (OT} +QS). ⁼ QR ( ^F. 6.) i gleich^dem Rectangel^{aus dem Para-}

meter ¿n die Differenz^{der den} halhen^{Ordinaten cors.}

re pondirenden_{Ab ci en,}

Es yAT=x; ^AS=2z

At : ^Weil

IO

-

—

SBeil ^OT== ax $ ^{9. fo TOT} 65 ^STS

y QS ^{=az — —} QS⁼ ]/2az ^:

F OT+0S ^=/ax+ Vaz

QR ^{= QS —} OT ^{= /az— y ax}

F. (ES Q=(/ix+/az)^{= az — ax} (4/42/45)

= (2—x)

Y₁₉

Wenn (0T-1-QS). QR ^{= a.} (z—x)

oi t ^a: OT+QS ⁼ QK:^Z—Xx-

“oder der Paranmieterverhält^{fich.zur Summe zweyer}

halben Ordinatén^{, wie die} Differenzdie er^- halben

Ordinaten^{zur Differenz}ihrer corre pondirenden

E E

x

L ÿ.^20. i

Die Sehnén^AG uud^AM verhalten ^i{wie

die Wurzeln^{aus den Productender corre} pondirenden^- Ab ci ^{in die}en^{Summe aus} dié Aben ci ^{und dem}en

Parameter,^{(F. 6.)}

Man eßze^AF==x, eE ^denParameter=4a.

Weil^{in F und} P’rechteWinkel^ind;

‘fo i t1) ^{AG? = FG24 AF?}

Sx Bi ^eE)

ihils SAG ⁼=] (a+ ^x)x

| a) ^{AM* =MP? + AP?}

=az + 22= (a+2z)}=

FSAM=/ ₍₊₄₅₎ ^z

F-^AG: AM=(aLs x)^x: Vae_{_$}^{2 27:}

em a ^LL

$.^27.

“Cie

i

jedegerade^{Linie FM, FN,} FO, (E.^6. )

ausein Brenn^dem Brennpunkttrah{(^{radiusfocian die})Parabel^gezogen, heißt

$22

Ein jederBrenn traß]i gleich^{der Summe aus} der_corre porrenditendenAb ci^und e^der

Bits

des Brennpunkes'^vom Scheitelpunkte.

: di ^{AP= ver:Brennweite; oi FG =}

2AF, 6. ¹

Daßes auh ^FM =AP+ ^AF fann ^erp

wie werdèn:en

Xn ^P if ^ein rechterWinkel

_F. ^FM2-

EE ^+‘MP?

i MP? =y2? ^=ax

F ^{P= AP — AË}

A

En 2 RS ^mrs

:

4

AP =x ^Le

gF ^{FE Ss} Cats

/ 4

EE ^{q RW BS}

FP ^D

i ME

F. REET^{: G 4}_a2^welchesax _{R E}^:

F: 4 4 ^{LS ; :}

;

: :

Auf

12 ————

Auf^gleicheArt wird^{erwie daßen,FN=AV-+AF}

FO=AT +AF.

$.^23- |

Wenn^(F717)AB=AF =—^{und manerrichtet}

inB einePerpendiculärlinieBI, auf ^{BI aber aus} irgend

einem Punkt ^der Parabel ^die PerpendiculärlinieIM _;

o.i t^1M gleich^vem Brerm trahlFM.

In Bund^P indre<te Winkel,

folglich^BI Tt ^MEP:

IM- Z2Azt ^{ex. conlir.}

“RPE _4A

:

AB = AF _ex confir.

“F IM=AP+AF-

und FM ^{= AP} +4-AF6.^22.

F. ^{1M = FM.}

a4

Man oll-dutch^einen gegebenenPunkt^der Parà-

_bel^{eineTangenteziehen.(F.4).}

«____-A^der _{Parameter nicht}bekannt , ov uche^man die enzuvörder$.t^{15 , um den} Brennpunkt^{zu be-}

timmen.Dann ziehe^{man durchden gegebenen} Punkt ^{M die}Linie^BL parallel ^der Are. ^Man mache

BM ⁼ FM und

iche^{BF; ferner macheman}

BC ⁼ CF. Durch^{C und den gegebenenPunkt}

M ziehe^man ET, iro ^{ET die} Tangente^durchden Punkt^M.

Als Húlfslinienzieho^{man noh durchB auf} ST^dieE ^{HI, Auchzieheman EHund}

Eg E

E ^{ed E RA}

R

205 E

527

TS

“PERE BREE E

|

— TZ

und GK parallel ^der Axe, ^{und dann} no< ^BE und

EF, ^BG und FG. ^:

Weil A ^CFM 2 ^{A BCM} (die^Seiten find

‘8 “in beyden^{AA einander} gleich) ^- oi tN)^m = GEHE

)

2) ^{m. == 0} u. ^{weilCF = BC} CF=BC

SS CG =CG CE=CE ^:

id At ^CFG LABCG

.

ACEFZABCE.

F. ^{FG = RG} F. ^EF=BE

Nun i ^{u =} 90° desgleichen^{o = 90° . -} F. ^{BG > GK} F. ^{BE >} EH,

BG=FG BE ⁼ EE

F: FG> ^GK FF. ^{EF > EH.}

___ Sollen nun die Punkte ^{E und}

GS

in der Parabel

‘liegen, omúßte^{FG = GK unb EF =} EH eyn.

$33 ^{: N 5 E RI}

Es i ^{aber FG > GK} und EF > EH _per

demon. La ⁱ

FolglichkönnendiePunkte^{E und E.} _nicht^inder Parabelliegen, folglichi ^dert zwi chenbeydenliegende Punke ^M derjenigePunkt^{, in welchem}E^{T die} Pa- rabel berühret,und folglichi Et^{T die} Tangenteder

Parabel in dem Punkt E ^a

9.25.

A t ^die Tangentegezogen, ohat^man auch^die

Subrangente^{PT. (F. 4.) Denn wenndie halbeOr-} dinate^{M Þ des. gegebenenPunkcsM der eine Kathete}

i t, oi ^diet Subtangente ^{der andre} Kathete^{an dem} rechtwinklichten^{A MPT, welchesdie beydene Linien}

mit déxgezogenen Tangente ^MT machén. ^DieLinie Qaber, welche^{mit der} Tangente^im Berührungs-

> punfe