Etap wstępny - edycja 2017/2018 Propozycja i elementy rozwiązań
Etap wstępny Międzynarodowego Konkursu „Matematyka bez Granic” edycja polska 2018 Strona 1-5
Etap wstępny konkursu, edycja 2018 (grudzień 2017)
Propozycja i elementy rozwiązań
Dokument sporządzony na potrzeby osób sprawdzających.
Zespół opracowujący zadania dla Matematyki bez Granic
Zadanie 1. (7 punktów) Stoper
Strażnik zamku musi otworzyć bramy zamku dokładnie za 6 godzin. Aby zmierzyć czas, ma 3 świece: duża wypala się po 4 godzinach, średnia po 3 godzinach, a mała wytapia się w ciągu jednej godziny. Nie można dokładnie zmierzyć, kiedy świeca zmniejszyła się o połowę, o jedną trzecią, o jedną czwartą ...
Jak powinien postępować strażnik zamku?
Rozwiązanie:
4 + (3 – 1) = 6
Strażnik zamku zapala od razu trzy świece. Godzinę później mała świeca gaśnie. Wtedy strażnik gasi świecę średnią, której pozostały dwie godziny palenia. Kiedy gaśnie świeca czterogodzinna, zapala świecę, która pozostała, aby dorzucić dwie godziny i idzie otworzyć drzwi, gdy gaaśnie ostatnia świeca.
Zadanie 2. (5 punktów) Kostki Kosty
Suma sześciu oczek wynosi 21. Trzy sumy oczek na przeciwległych ścianach to kolejne liczby: 6, 7 i 8. Jedyne rozwiązania:
(1;5 3;4 2;6) lub (2;4 1;6 3;5).
Otrzymujemy dwie możliwe kostki, jeśli nie uwzględnimy orientacji.
Zadanie 3. (7 punktów) Gwiazda szeryfa
Zaczynamy od konstrukcji pięciokąta wpisango w okrąg o promieniu 10 cm, wyznaczając kąty środkowe o mierze 72°. Następnie wyznaczamy odcinki [AC], [CE], [DA], [EB] i [BD]. Pojawia się pięcioramienna gwiazda, wystarczy ją zaznaczyć na czerwono. Wycinamy pięciokąt ABCDE. Następnie odpowiednio go składamy:
pierwsze złożenie wzdłuż osi symetrii, drugie w 72°, następnie trzecie i czwarte w 36°. Na koniec wystarczy przeciąć otrzymany trójkąt wzdłuż czerwonej linii przerywanej.
Zadanie 4. (5 punktów) Odurzająco szare
Trudność polega na tym, aby odpowiednio rozpocząć rozwiązywanie zadania.
Etap wstępny - edycja 2017/2018 Propozycja i elementy rozwiązań
Etap wstępny Międzynarodowego Konkursu „Matematyka bez Granic” edycja polska 2018 Strona 2-5 Zadanie 5. (7 punktów) Bracia Daltonowie
Do rozwiązania tego zadania nie potrzebna jest “szczególna" znajomość matematyki. Chodzi o odpowiednią organizację i skorzystanie z poszczególnych wskazówek.
Informacje 2 i 3 pozwalają zlokalizować Grata (0; B; III). Informacje 1, 2 i 5 pozwalają zlokalizować Billa (1; A; I). Emmet może zostać zlokalizowany dzięki informacji czwartej i celi Grata (2; B; I).
Ostatecznie otrzymujemy : Grat (0; B; III), Emmet (2; B; I) i Bill (1; A; I).
Zadanie 6. (5 punktów) Gdzie jest Bryan?
Rozwiązanie tego zadania wymaga dużej precyzji. Działamy poprzez eliminację.
Bryan znajduje się w drugim rzędzie po lewej przy ścianie.
Zadanie 7. (7 punktów) Zaklinowna kostka
Obliczenie długości przekątnej ściany sześcianu o boku 4 cm:
Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:
Zatem:
Otrzymujemy trzy ściany w kształcie trapezów równoramiennych, złożonych z trzech trójkątów równobocznych o boku 4√2, podstawa jest trójkątem równobocznym o boku 8√2.
Zadanie 8. (5 punktów) Możesz albo nie możesz
Należy znaleźć wszystkie trójkąty, których boki są liczbami całkowitymi, a obwód wynosi 24. Ich istnienie określa warunek budowy trójkąta “Aby z trzech odcinków zbudować trójkąt, najdłuższy z nich musi być krótszy niż suma długości dwóch pozostałych”. Oto dwanaście rozwiązań:
Zadanie 9. (7 punktów) Rybie ogony
Niebieska ryba wykonuje jedno okrążenie w 36 sekund. W 1min. 30 s wykona 90/36 okrążeń, to znaczy dwa i pół okrążenia. W tym czasie ryba czerwona wykona pół okrążenia lub jedno całe okrążenie i jeszcze pół.
Zatem wykonuje ona 3 okrążenia w 90 s (czyli jedno okrążenie w 30 s) lub 4 okrążenia w 90 s (czyli jedno okrążenie w 22,5 s).
Czerwona ryba wykonuje 1 okrążenie w 30 s lub 1 okrążenie w 22,5 s.
Zadanie 10. (10 punktów) Gdzie jest wyjście?
Jeśli wprowadzimy liczbę n mniejszą lub równą 20:
1→2→4→8→16→32→28→24→20 (taki sam wynik dla 2; 4; 8; 16) 3→6→12→24→20 (taki sam wynik dla 6;12)
5→10→20 (taki sam wynik dla 10)
7→14→28→24→20 (taki sam wynik dla 14)
9→18→36→32→28→24→20 (taki sam wynik dla 18)
11→22→18→36→...→20 i można szybko sprawdzić dla 13; 15; 17; 19.
Otrzymujemy zawsze 20.
Jeśli wprowadzimy liczbę n większą od 20, będziemy mogli zastosować algorytm Euklidesa n = 4q + r.
• Jeśli r = 0, to n = 20 + 4 (q – 5), więc n będzie zredukowane do 20 po (q – 5) przejściach do komórki po prawej stronie schematu;
• Jeśli r = 1, r = 2 lub r = 3, to n = (16 + r) + 4 (q – 4) i n będzie zredukowane odpowiednio do 17, 18 lub 19 po (q – 4) przejściach do komórki po prawej stronie schematu. Dalszą część obliczeń wykonamy wzorując się na poprzednich.
Podsumowanie: Niezależnie od początkowej wartości, program obliczeniowy ostatecznie zredukuje n do 20.
Etap wstępny - edycja 2017/2018 Propozycja i elementy rozwiązań
Etap wstępny Międzynarodowego Konkursu „Matematyka bez Granic” edycja polska 2018 Strona 3-5 Zadania dodatkowe dla I klas szkół ponadpodstawowych
Zadanie 11. (5 punktów) Tylko dziewiątki!
Cała sztuka polega na odpowiednim zapisie
liczba napisana za pomocą 2018 razy cyfra 0 2014 razy cyfra 9
2018 cyfr równych 9
Stąd otrzymujemy ostatecznie sumę
(Można również próbować rozwiązać to zadanie metodą prób i błędów, mnożyć sukcesywnie 2018 przez 9;
przez 99; przez 999; przez 9 999 itd., od tego momentu wszystkie odnalezione liczby rozpoczynają się od 2017 i kończą na 7982, a pomiędzy nimi występuje seria
dziewiątek.)
Zadanie 12. (7 punktów) Procentowo starzy Niech p będzie procentem osób młodych.
Zatem mamy do rozwiązania równanie:
0,2 p + 0,9 (100 – p) = 34.
Jego rozwiązaniem jest p = 80%.
W tej populacji jest 4 000 młodych osób.
Zadanie 13. (10 punktów) Nie pomylić się (w sadzeniu) (dla I klas szkół ogólnokształcących) Niech R będzie promieniem obszaru w kształcie koła.
Zatem
. Obwód P trójkąta ACD wynosi:
Stąd
;
Długość ogrodzenia wynosi 128 m.
Zadanie 13. (10 punktów) Koła zakwalifikowane (dla I klas technikum)
Odległość między dwoma środkami wynosi 6,95 cm. Brakuje 0,05 cm, żeby umieścić oba koła. Oczekujemy sprawdzenia graficznego z odpowiednim umieszczeniem obu środków okręgów o promieniu 3,5 cm
