Algebra z geometrią 2012/2013

Algebra z geometrią 2012/2013

Seria XXVII, 27 V 2013 r.

Zadanie 1. Niech V będzie skończeniewymiarową zespoloną przestrzenią wektorową wyposażoną w iloczyn skalarny. Udowodnij że ∀ f ∈ End(V ) : ker f = ker |f | oraz ∀ g ∈ GL(V ) : g ◦ |g| ⁻¹ jest unitarny. Pokaż też że f ◦ f ^∗ = f ^∗ ◦ f ⇒ imf = (ker f ) ^⊥ .

Zadanie 2. Niech V będzie skończeniewymiarową zespoloną przestrzenią wektorową wyposażo- ną w iloczyn skalarny, a W jej podprzestrzenią. Udowodnij że każdą bazę ortonormalną W da się rozszerzyć do bazy ortonormalnej V . Korzystając z tego udowodnij że, jeżeli liniowe odwzorowanie u : W → V zachowuje iloczyn skalarny, to da się je rozszerzyć do unitarnego endomorfizmu V . Stąd i z poprzedniego zadania wywnioskuj istnienie rozkładu biegunowego.

Zadanie 3. Ze względu na standardowy iloczyn skalarny, znajdź rozkład biegunowy endomorfizmu C ² którego macierz w bazie kanonicznej jest postaci

a b

−b a

!

, a, b ∈ C.

Zadanie 4. W przestrzeni C ³ ze standardowym iloczynem skalarnym podaj rozkład spektralny endomorfizmu f : C ³ → C ³ którego macierz w bazie kanonicznej B jest postaci

f _BB :=







1 0 0

0 −1 i 0 −i 1





 .

Zadanie 5. Niech f : C ³ → C ³ będzie endomorfizmem którego macierz w bazie kanonicznej B przestrzeni C ³ ze standardowym iloczynem skalarnym ma postać

f _BB :=







1 −i 0 i 2 −1 0 −1 1





 .

Dla wszystkich wartości własnych λ ∈ spec _End(C

) f skonstruuj rzuty ortogonalne p _λ : C ³ → C ³ na podprzestrzenie własne. Podaj rozkład spektralny f .

Zadanie 6. W przestrzeni C ³ ze standardowym iloczynem skalarnym odwzorowanie h ∈ End(C ³ ) w bazie kanonicznej jest zadane macierzą

H =







1 i 1

−i 1 i 1 −i 1





 .

Podaj rozkład spektralny h.