Równania fizyki matematycznej

#################################################################################################

Równania fizyki matematycznej

W.S. Władimirow, W. W. Żarinow FIZMATLIT 2004

В.С. Владимиров, В. В. Жаринов – Уравнения математической физики

************************************************************************************************

Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2020

Ostatnia modyfikacja : 2021-05-01 Tłumaczenie całości książki.

Stron 400

************************************************************************************************

Wstęp własny

Jako wprowadzenie do zagadnienia proponuje :

S. K. Godunow Równania fizyki matematycznej, PWN 1975

************************************************************************************************

Skróty i oznaczenia (własne ) zastosowane w tłumaczeniu.

rrz – równania różniczkowe zwyczajne (układ takich równań ) rrc – równania różniczkowe cząstkowe (układ takich równań ) Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...

√ - symbol pierwiastka kwadratowego , sqrt( ... ) Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)

***********************************************************************************************

************************************************************************************************

Przedsłowie

Przedmiotem fizyki matematycznej jest budowa i analiza matematycznych modeli zjawisk fizycznych.

Fizyka matematyczna rozwija się od czasów Newtona, równolegle do rozwoju fizyki i matematyki. Pod koniec XVII wieku został odkryty rachunek różniczkowy i całkowy (I. Newton, G. Leibniz ) i sformułowano podstawowe zasady mechaniki klasycznej oraz prawo powszechnego ciążenia (I. Newton).

W XVIII wieku metody fizyki matematycznej zaczęły się formalizować przy analizie drgań strun i prętów, jak również zadań związanych z akustyką i hydrodynamiką, stanowiąc podstawy mechaniki analitycznej ( D’Alembert , L. Euler, D. Bernulli, J. Lagrange, P. Laplace ).

W XIX wieku idee fizyki matematycznej otrzymały nowy impuls w związku z zagadnieniami przewodnictwa cieplnego, dyfuzji, sprężystości, optyki, elektrodynamiki, nieliniowym procesom falowym itd., zbudowano teorię potencjału oraz teorie stabilności ruchu ( J. Fourier, S. Poisson, K. Gauss, A. Cauchy, M. W. Ostrogradski, P. Dirichlet, B. Riemann, Z. Kowalewska. D. Stokes, H. Poincare, A. M. Lapunow, W. A. Steklow, D. Hilbert )

W XX wieku do fizyki matematycznej włączono zagadnienia fizyki kwantowej I teorii względności, jak również nowe problemy dynamiki gazów, transportu cząstek i fizyki plazmy.

Wiele zagadnień klasycznej fizyki matematycznej sprowadza się do zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych ( całkowo- różniczkowych ) – równań fizyki matematycznej.

Podstawowymi narzędziami matematycznymi analizy takich zagadnień jest teoria równań różniczkowych (*rr *) ( włączając w ten temat również obszary pokrewne – równania całkowe, równania całkowo- różniczkowe i rachunek wariacyjny ), teoria funkcji, analiza funkcjonalna, teoria prawdopodobieństwa, metody przybliżone (*metody asymptotyczne *) oraz metody numeryczne (* klasyczne metody obliczeniowe *)

Analiza matematycznych modeli fizyki kwantowej wymagała włączenia takich nowych działów matematyki, jak teoria funkcji uogólnionych, teoria funkcji wielu zmiennych zespolonych oraz metod geometrycznych, topologicznych, algebraicznych i teorio liczbowych.

Wraz z pojawieniem się komputerów istotnie rozszerzyła się klasa matematycznych modeli, dopuszczających szczegółowa analizę, pojawiała się również realna możliwość przeprowadzania eksperymentów numerycznych.

W intensywnym oddziaływaniu fizyki teoretycznej i współczesnej matematyki rodzą się nowe klasy modeli współczesnej fizyki matematycznej.

Pośród zagadnień fizyki matematycznej wyróżnia się ważną klasę – zagadnień poprawnie postawionych tj. zagadnień, dla których rozwiązanie istnieje, jest jednoznaczne i w sposób ciągły zależy od danych początkowych zagadnienia.

Chociaż takie wymagania na pierwszy wzgląd wydają się być naturalne, to należy dowodzić ich spełnienia w ramach przyjętego modelu matematycznego.

Dowód poprawności – jest to pierwsza aprobacja modelu matematycznego – model niesprzeczny (rozwiązanie istnieje ), model jednoznacznie opisuje proces fizyczny (rozwiązanie jest jednoznaczne ), model jest mało czuły na niepewność pomiaru wielkości fizycznych (rozwiązanie zależy w sposób ciągły od danych zagadnienia )

W przedstawionej książce analizujemy głownie zagadnienia poprawnie postawione dla rr klasycznej fizyki

matematycznej. Jednakże w odróżnieniu od tradycyjnych sposobów przedstawienia równań szeroko wykorzystujemy koncepcje rozwiązania uogólnionego.

Rozwiązania uogólnione pojawiają się przy analizie relacji całkowych typu lokalnej równowagi.

W pewien sposób uwzględnienie rozwiązań uogólnionych prowadzi do uogólnionych postawień zagadnień brzegowych fizyki matematycznej.

Ścisła definicja rozwiązania uogólnionego opiera się na pojęciu pochodnej uogólnionej i dalej jako tego następstwo, na funkcji uogólnionej. Aparat teorii funkcji uogólnionych stanowi dogodne narzędzie dla analizy liniowych zagadnień brzegowych w ich postawieniu klasycznym jak i uogólnionym. Z tego powodu oddzielny rozdział poświeciliśmy przedstawieniu teorii funkcji uogólnionych.

Wiele rozdziałów przedstawionej książki wykorzystuje język analizy funkcjonalnej (na poziomie elementarnym ), co pozwala znacznie skrócić wykład.

Przyjęliśmy następujący schemat umiejscowienia tematów.

W rozdziale I przedstawiamy postawienie i klasyfikację podstawowych zagadnień brzegowych fizyki matematycznej, jak również podajemy pewne wymagane dla dalszego rozumienia tematy z analizy matematycznej.

Rozdział II zawiera elementy teorii funkcji uogólnionych, włączając w to przekształcenie Fouriera funkcji uogólnionych.

W rozdziale III budujemy fundamentalne rozwiązania dla operatorów różniczkowych o stałych współczynnikach i analizujemy uogólnione i klasyczne zagadnienia Cauchy’ego dla równania falowego i równania przewodnictwa cieplnego.

Szczególną cechą przedstawionego podejścia jest to, że w uogólnionym postawieniu zagadnienia Cauchy’ego warunki początkowe uwzględniane są jako natychmiastowo działające źródła, to pozwala zbudować rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego w postaci zawężenia źródła z odpowiednio wybranym rozwiązaniem podstawowym.

Rozdział IV zawiera teorię równań całkowych o jądrze ciągłym. Formułujemy twierdzenia Fredholma, Hilberta – Schmidta, Mersera, a niektórych z nich dowodzimy.

W rozdziale V rozpatrujemy zagadnienia na wartości własne dla równań typu eliptycznego, włączając w to zagadnienie Sturma -Liouville’a, jak również zagadnienia brzegowe dla równań Laplace’a i Poissona.

W rozdziale VI analizujemy zagadnienia mieszane dla równań typu hiperbolicznego i parabolicznego w postawieniu ich klasycznym i uogólnionym.

Przedstawiamy również metodę Fouriera oraz jej uogólnienie.

Jako uzupełnienie przedstawiamy elementarną teorię funkcji harmonicznych i funkcji Bessela.

W celu głębszego zrozumienia teorii wiele rozdziałów książki ilustrujemy typowymi zadaniami wraz z ich pełnym rozwiązaniem.

Podajemy również charakterystyczne zadania dla samodzielnego rozwiązania, a szereg zadań formułujemy w postaci twierdzeń.

W ramach ćwiczeń możemy również rekomendować książkę :

(* autorzy podają tutaj książkę w języku rosyjskim, w języku polskim proponuje : Zbiór zadań z równań fizyki -- A. W. Bicadze D. F. Kaliniczenko matematycznej PWN 1984

Zbiór zadań z metod matematycznych fizyki -- red. W. S. Władimirow PWN 1979

*)

Przedstawiona książka stanowi skrócony i uproszczony wariant wykładu W. S. Władimirowa „Równania fizyki matematycznej ( wydanie 5-te Moskwa Nauka 1985 ), który autor wygłaszał przez szereg lat (1964 – 1986 ) studentom Moskiewskiego Instytutu Fizyczno – technologicznego .

Był on przygotowany dla studentów wydziału fizycznego o poszerzonym przygotowaniu matematycznym.

(*Dalej autorzy wyrażają podziękowania *)

W.S. Władimirow, W. W. Żarinow

************************************************************************************************

Rozdział I

Postawienie zagadnień brzegowych fizyki matematycznej.

W przedstawionej książce będziemy szeroko wykorzystywali materiał, przedstawiony w n książkach [ 2, 3, 4, 5]

Dla uzupełnienia wykładu podamy dalej podstawowe pojęcia teorii zbiorów, teorii funkcji i teorii operatorów, jednocześnie wprowadzając oznaczenia, których będziemy trzymali się dalej.

Niech A – będzie dowolnym zbiorem. Jeśli element a jest zawarty (nie zawarty ) w zbiorze A, to będziemy to zapisywać tak : a ∈ A, (a ∉ A)

Niech B – będzie innym zbiorem. Oznaczymy jako : A ⊂ B zawieranie się (inkluzje ) zbioru A w zbiorze B, A = B – równość zbioru A i B,

A ∪ B – sumę zbiorów A i B,

A ∩ B – iloczyn (przecinanie się ) zbioru A i B A \ B – dopełnienie zbioru B do zbioru A (rys 1 )

A × B – iloczyn ( kartezjański ) – zbiór par (a, b) , a ∈ A, b ∈ B

∅ - zbiór pusty.

Rys. 1

1. Zbiory punktowe w Rn.

Oznaczmy n – wymiarową rzeczywista przestrzeń euklidesową jako Rn, a jej punkty jako x = (x1, ... , xn ),

y = (y1, ... , yn ), ξ = (ξ1, ... , ξn ), itd.

gdzie xi ... , i = 1, 2, ... , n – współrzędne punktu x.

Symbolami (x, y ), | x | oznaczymy odpowiednio iloczyn skalarny i długość (normę ) w Rn : (x, y ) = x1y1 + x2y2 + … + xnyn

| x | = √(x, x) = sqrt(x12 + ... + xn2 )

Zatem liczba | x − y | jest euklidesową odległością między punktami x i y.

Zbiór punktów x z Rn, spełniających nierówność :

| x − x0 | < R

nazywa się kulą otwartą o promieniu R i o środku w punkcie x0. Kule taką będziemy oznaczali jako U(x0, R ), UR = U(0, R)

Ciąg punktów xk = (x1k , x2k , ... ,xnk ), k = 1, 2, ... nazywa się zbieżny do punktu x w Rn ( piszemy xk → x, k → ∞ ), jeśli | xk − x | → 0, kiedy k → ∞.

Ciąg xk, k = 1, 2, ... nazywamy ciągiem zbieżnym w Rn, jeśli | xk − xp | → 0, k → ∞, p → ∞.

Przestrzeń Rn, jest przestrzenią zupełną tj. każdy ciąg zbieżny jest zbieżny do pewnego punktu w Rn.

Zbiór nazywa się ograniczonym w Rn, jeśli istnieje kula zawierająca ten zbiór.

Punkt x0 nazywa się punktem wewnętrznym zbioru, jeśli istnieje kula U(X0, ε ) zawarta w tym zbiorze.

Zbiór nazywa się otwartym, jeśli wszystkie jego punkty są punktami wewnętrznymi.

Zbiór nazywa się spójnym, jeśli dowolne dwa jego punkty można połączyć krzywą kawałkami gładką, lezącą w tym zbiorze.

Spójny zbiór otwarty nazywa się obszarem.

Punkt x0 nazywa się punktem granicznym zbioru A, jeśli istnieje ciąg xk, k = 1, 2, ... taki, że xk ∈ A, xk ≠ x0, xk → x0 , k → ∞

Jeśli do zbioru A dołączymy wszystkie jego punkty graniczne, to tak otrzymany zbiór nazywa się domknięciem zbioru A.

Domknięcie zbioru A oznaczymy jako A−. Jest jasne, że A ⊂ A−. Jeśli zbiór pokrywa się ze swoim domknięciem, to nazywa się go zbiorem zamkniętym.

Zamknięty zbiór ograniczony nazywa się kompaktem.

Otoczeniem zbioru A nazywamy każdy zbiór otwarty, zawierający A.

ε - otoczeniem Aε zbioru A nazywamy sumę kul U(x, ε), kiedy x przebiega cały zbiór A : A : Aε = ∪_{x∈A U(x,} ε)

Funkcja χ(x) równa 1 przy x ∈ A i 0 przy x ∉ A nazywa się funkcją charakterystyczną zbioru A.

Niech G – będzie obszarem. Punkty z domknięcia G−, nie należące do G, tworzą zbiór zamknięty S, nazywany brzegiem obszaru G, tak, że :

S = G− / G

Przykładowo, brzegiem kuli otwartej U(x0, R ) jest sfera | x − x0 | = R. Sferę taką będziemy oznaczali jako S(x0, R ) , SR = S(0, R)

Obszar ograniczony G’’ nazywa się podobszarem, ściśle leżącym w obszarze G, jeśli : G’’− ⊂ G

Przy tym piszemy G’⊂ G. Na mocy lematu Heinego – Borela istnieje taka liczba ε >, że G’ε⊂ G (rys. 2 )

Rys. 2

2. Klasy funkcji.

Niech α = (α1, ... , αn ) – będzie wektorem całkowitoliczbowym o nieujemnych składowych αi ( multiindeks ).

Poprzez ∂αf(x) oznaczymy pochodną funkcji f(x) rzędu | α | = α1+ ... + αn :

Dla niższych pochodnych będziemy niekiedy stosowali oznaczenia : fxi , fxixj , ...

a dla jednej zmiennej – oznaczenia : f’, f’’ , ... , f

Będziemy również stosowali następujące skrócone oznaczenia :

Zbiór (zespolonych ) funkcji f, ciągłych wraz z pochodnymi ∂αf(x), | α | ≤ p ( 0 ≤ p < ∞ ) w obszarze G, tworzy klasę funkcji Cp(G).

Funkcje klasy Cp(G), dla których wszystkie pochodne ∂αf(x), | α | ≤ p, dopuszczają ciągłe przedłużenie na domknięcie G−, tworzą klasę funkcji Cp(G−), przy tym pod wartością ∂αf(x),x ∈ S, | α | ≤ p rozumiemy :

lim ∂αf(x) x’ → x, x’∈G

Klasę funkcji, przynależących do Cp(G) przy wszystkich p, oznaczymy jako C∞(G), analogicznie określa się klasę funkcji Cp(G−).

Zatem klasa C0(G) składa się ze wszystkich funkcji ciągłych w G, a klasę C0(G−) można utożsamić ze zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na G−. Dla skrócenia zapisu oznaczymy :

C(G) = C0(G), C(G−) = C0(G−)

Niekiedy argument G lub G− dla klasy Cp będziemy opuszczali.

Niech funkcja f(x)zadana będzie na pewnym zbiorze, zawierającym obszar G. W tym przypadku przynależność f do klasy Cp(G−) oznacza, że cofniecie f na G przynależy do Cp(G−). Przykładowo, funkcja :

H(x) = 0, x < 0 H(0) = ½ H(1) = 1, x > 0

Przynależy do klas C∞(x ≤ 0 ) oraz C∞(x ≥ 0 ), przy czym, jeśli H rozpatrujemy jako funkcję klasy C∞(x ≤ 0), to jej wartość w zerze należy przyjąć równą zero, a jeśli H – jest funkcją klasy C∞(x ≥ 0), to jej wartość w zerze należy przyjąć równą 1 (zgodnie z jej określeniem ).

Wprowadzone klasy funkcji reprezentują sobą zbiory liniowe, tj. z przynależności funkcji f i g do jakieś klasy wynika przynależność do tejże klasy dowolnej ich kombinacji liniowej λf + µg, λ, µ - dowolne liczby zespolone.

Funkcja f nazywa się kawałkami gładka w Rn, jeśli istnieje skończona lub wymierna liczba obszarów Gk, k = 1, 2, ...bez punktów wspólnych z granicami kawałkami gładkimi takich, że każda kula pokryta jest skończoną liczbą obszarów zamkniętych {G−

k } oraz f ∈ C(G−), k = 1, 2, ...

Funkcje kawałkami ciągłą nazywamy skończoną, jeśli zeruje się ona wewnątrz pewnej kuli.

Niech ϕ ∈ C(Rn ). Nośnikiem funkcji ciągłej ϕ nazywamy domknięcie zbioru tych punktów, gdzie ϕ(x) ≠ 0, nośnik funkcji ϕ(x) oznaczamy jako supp ϕ

Zatem funkcja ϕ(x) jest skończona wtedy i tylko wtedy, kiedy supp ϕ jest ograniczony.

Funkcja f(x), x = (x1, ... , xn ), nazywa się analityczną w punkcie x0, jeśli w pewnym otoczeniu tego punktu może być ona przedstawiona w postaci szeregu potęgowego równomiernie zbieżnego :

(punkt x0 może być również zespolony )

Jeśli funkcja f(x) jest analityczna w każdym punkcie obszaru G, to mówimy, ze jest ona analityczna w obszarze G.

Funkcję f(x) nazywamy lokalnie całkowalną w obszarze G, jeśli jest ona całkowalna (w sensie Riemanna ) w dowolnym obszarze ograniczonym G’⊂ G. Zauważmy, że w tym przypadku funkcja | f(x) | również jest lokalnie całkowalna w G.

Będziemy mówili, że powierzchnia S przynależy do klasy Cp, p ≥ 1, jeśli w pewnym otoczeniu każdego punktu x0 ∈ S jest ona określona przez równanie :

ωx0(x) = 0 przy czym

grad ωx0(x) ≠ 0 oraz ωx0(x) ∈ Cp w tymże obszarze.

Powierzchnię S nazywamy kawałkami gładką, jeśli składa się ona ze skończonej liczby powierzchni klasy C1.

Dalej będziemy rozpatrywali tylko obszary o granicach kawałkami gładkich.

Poprzez n = nx oznaczymy wektor jednostkowy normalnej zewnętrznej do brzegu S w punkcie x ∈ S.

Niech punkt x0 leży na powierzchni kawałkami gładkiej S.

Otoczeniem punktu x0 na powierzchni S nazywa się tę spójną część zbioru S ∩ U(x0, R ), która zawiera punkt x0.

3. Przestrzeń funkcji ciągłych C(T).

Niech T – będzie zbiorem zamkniętym np. domknięciem G− lub brzegiem S obszaru G. Oznaczymy poprzez C(T) klasę ciągłych i ograniczonych na T funkcji. Wyposażymy klasę C(T) w normę, przyjmując :

|| f ||C = supp | f(x) | , f ∈ C(T) (1)

Łatwo możemy sprawdzić następujące własności, charakteryzujące normę : a) || f ||C ≥ 0 , || f ||C = 0 wtedy I tylko wtedy, kiedy f = 0

b) || λf ||C = | λ | || f ||C , gdzie λ - dowolna liczba zespolona.

c) || f + g ||C ≤ || f ||C + || g ||C (nierówność trójkąta )

Ogólnie każdy zbiór liniowy, wyposażony w normę, posiadający własności a) – c) nazywa się unormowana przestrzenią liniową.

Zatem C(T) – jest liniową przestrzenią unormowaną.

Ciąg funkcji fk , k = 1, 2, ... należących do C(T) nazywa się zbieżny, do funkcji f ∈ C(T) w przestrzeni C(T) (co zapisujemy fk → f, k → ∞ w C(T) ), jeśli :

|| fk → f ||C → 0 , k → ∞

Oczywiście zbieżność fk → f, k → ∞ w C(T) jest równoważna zbieżności równomiernej ciągu funkcji fk(x), k = 1, 2, ... do funkcji f(x) na zbiorze T :

fk(x) → f(x) , k → ∞ , x ∈ T →

(* Symbol → oznacza zbieżność równomierną *) →

Ciąg funkcji fk , k = 1,2 , ... należących do C(T), nazywa się samo zbieżnym w C(T), jeśli ;

|| fk → fp ||C → 0 , k → ∞, p→∞

Następujące twierdzenie wyraża własność zupełności przestrzeni C(T) :

Twierdzenie Cauchy’ego. Aby ciąg funkcji z C(T) był zbieżny w C(T), koniecznym i wystarczającym jest to, aby była ona samo zbieżna w C(T).

Słuszne są następujące użyteczne stwierdzenia :

Twierdzenie Weierstrassa. Jeśli G- jest obszarem ograniczonym i f ∈ Cp(G−), to dla dowolnego ε > 0 istnieje wielomian P taki, że :

|| ∂αf − ∂αP ||C < ε dla wszystkich | α | < p

Lemat Dinniego. Jeśli ciąg monotoniczny funkcji ciągłych na kompakcie K jest zbieżny w każdym punkcie do funkcji ciągłej na K, to jest on zbieżny równomiernie na K.

Szereg zestawiony z funkcji uk ∈ C(T), nazywa się regularnie zbieżny na T, jeśli szereg zestawiony z wartości absolutnych

| uk(x) | jest zbieżny w C(T), tj. jest zbieżny równomiernie na T.

Zbiór M ⊂ C(T) nazywa się równomiernie ciągły na T, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje taka liczba δε, że przy wszystkich f ∈ M ma miejsce nierówność

| f(x1 ) − f(x2 ) | < ε

ja tylko | x1 − x2 | < δε , x1,x2 ∈ T

Funkcja f ∈ C(T) nazywa się ciągłą w sensie Holdera na T, jeśli istnieją takie liczby C > 0 i α, 0 < α ≤ 1, ze przy wszystkich x1 ∈ T i x2 ∈ T słuszna jest nierówność :

| f(x1 ) − f(x2 ) | ≤ C | x1− x2 |α

jeśli α = 1, to funkcja f(x) nazywa się ciągłą w sensie Lipschitza na T.

Niech funkcje f(x) i ω(x) zadane w otoczeniu punktu x0 (skończonym lub nieskończenie oddalonym ).

Będziemy pisali :

f(x) = O[ω(x)] lub f(x) = o[ω(x)], x → x0

jeśli stosunek f(x)/ω(x) jest odpowiednio : ograniczony lub dąży do 0 przy x → x0.

(* Wprowadzone symbole O, o w teorii szeregów asymptotycznych są niekiedy nazywane symbolami porządku.

Definicja 1. Niech funkcje α(x), β(x) określone będą w pewnym wykłutym otoczeniu punktu a, które może być zarówno skończonym jak i nieskończenie oddalonym punktem. Oznaczenie :

α(x) = o(β(x) przy x → a

z definicji jest równoważne warunkowi : lim α(x)/β(x) = 0

x→a

Zauważmy, że podana definicja jest przydatna w przypadku, kiedy obie funkcje są jednocześnie albo nieskończenie małe przy x → a, albo nieskończenie duże przy x → a.

W pierwszym przypadku mówimy, że α(x) jest nieskończenie mała wyższego rzędu niż β(x), lub że α(x) dąży do zera szybciej niż β(x).

W drugim przypadku mówimy, że β(x) jest nieskończenie duża wyższego rzędu niż α(x), lub że β(x) dąży do nieskończoności szybciej niż α(x).

Definicja 2 Niech funkcje α(x), β(x) określone będą w pewnym wykłutym otoczeniu punktu a, Oznaczenie :

α(x) = O(β(x) przy x → a

z definicji jest równoważne warunkowi :

istnieje otoczenie punktu a i istnieje taka stała dodatnia M, że dla wszystkich x z tego otoczenia :

| α(x) | ≤ M | β(x) |

Zauważmy, że podana definicja nie zakłada obecności granic dla funkcji α(x) i β(x) przy x → a.

Jest oczywiste, że jeśli α(x) = o(β(x) przy x → a, to α(x) = O(β(x)) przy a → a Przykłady :

sin(x) = o(√x ) przy x → +0 x2 = o(sin(x)) przy x → −0 x3 = o(x2 ) przy x → 0 x2 + 1 = o(x4 ) przy x → −∞

x = O(sin(x)) przy x → +0

Definicja 3. Równości o postaci :

α(x) = o(β(x)) przy x → a, α9x) = O(β(x)) przy x → a nazywają się równościami asymptotycznymi.

Należy zauważyć, że równości asymptotyczne są nieprzemienne – nie są one równościami w standardowym sensie tego pojęcia.

Przykładowo sin(x) = o(√x) przy x → 0 nie implikuje że o(√x) przy x → +0 jest to sin(x).

Dlatego zapis α(x) = o(β(x)) przy x → a lub α(x) = O(β(x)) przy x → a, należy czytać jako : α(x) jest o(β(x)) przy x → a

lub

α(x) jest O(β(x)) przy x → a

*)

4. Całki typu potencjału.

Niech funkcja ρ(x) będzie kawałkami ciągła na obszarze ograniczonym G ⊂ Rn.

Całkę :

nazywa się całką typu potencjału.

Takie całki często spotykamy w fizyce matematycznej.

Na początku dowiedziemy następującego oszacowania :

W istocie, jeśli | x | ≥ 2R, to | x − y | ≥ | x | − | y | > R dla wszystkich | y | < R i dlatego :

jeśli | x | < 2R, to | x − y | ≤ | x | + | y | < 3R i :

gdzie σn - pole powierzchni sfery jednostkowej w Rn.

Zatem oszacowanie (2) zostało dowiedzione.

Z (2) wynika, że przy wszystkich R > 0 istnieje całka podwójna :

Zatem całka I(x) istnieje przy wszystkich x i reprezentuje sobą lokalnie całkowalną funkcję w Rn.

Poza obszarem G całka I(x) jest nieskończenie różniczkowalną funkcją i wszystkie jej pochodne otrzymujemy poprzez różniczkowanie pod znakiem całki :

Dowiedziemy teraz, że przy wszystkich β:

W istocie – niech G ⊂ UR i | x | > R, wtedy | x − y | ≥ | x | − | y | ≥ | x | − R przy wszystkich y ∈ G.

Stąd przyjmując do wiadomości oszacowanie :

przy | x | > R, otrzymujemy :

skąd wynika (3).

Twierdzenie. Niech funkcja ρ będzie kawałkami ciągła |ρ(y) | ≤ M w G. Wtedy całka I należy do Cp(Rn ), gdzie p – największa liczba taka, że α + p < n.

Odpowiednie pochodne funkcji I(x) otrzymujemy poprzez różniczkowanie pod znakiem całki.

Dowód.

Dowiedziemy, że I(x) – jest funkcją ciągła w Rn. Przyjmiemy x0 ∈ Rn i weźmiemy dowolne ε > 0.

Wtedy :

Pierwsza składowa po prawej na mocy oszacowania (2) nie przewyższa 2MCαηn−α i dlatego można ja zrobić mniejszą niż ε/2 przy dostatecznie małym η.

W drugiej składowej funkcja podcałkowa jest równomiernie ciągła po (x, y) w obszarze | x − x0 | ≤ ½ η , | y − x0 | ≥ η, y ∈ G− i zeruje się przy x = x0. Dlatego całkę tę można zrobić mniejszą niż ε/2 przy wszystkich U(x0, δ), jeśli δ jest wystarczająco mała δ≤η/2.

Zatem, znaleźliśmy taką liczbę δ, że :

| I(x0 ) − I(x) | ≤ ½ ε + ½ ε/2 = ε przy wszystkich | x − x0 | < δ.

To oznacza, że funkcja I(x) jest ciągła w (dowolnym ) punkcie x0 ∈ Rn, tj. I ∈ C(Rn ).

Niech α + 1 < n. Zróżniczkujemy wyrażenie podcałkowe w I(x) po xi , i = 1, ... , n i rozpatrzymy funkcje :

Na mocy oszacowania :

dalsza analiza jest analogiczna do tej która przeprowadziliśmy dla całki I(x) i pokazuje ono, że funkcje Ii(x) są ciągłe w Rn.

Dalej dowiedziemy, że :

Ixi(x) = I (x) , i = 1, .. , n (4)

Otrzymujemy :

skąd, różniczkując po ξi otrzymamy równość (4).

Poprawność zamiany porządku całkowania w powyższych równościach wynika z istnienia całki podwójnej :

Wykorzystaliśmy tutaj oszacowanie (2), zakładając że G ⊂ UR.

Zatem, dowiedliśmy że I ∈C1(Rn ) i dopuszczalne jest różniczkowanie jeden raz pod znakiem całki I(x).

Jeśli α + 2 < n, to stosując powyższe rozważania do funkcji Ii(x) ustanowimy, że I ∈ C2(Rn ) i dopuszczalne jest różniczkowanie dwa razy pod znakiem całki i(x) itd. Zatem twierdzenie jest dowiedzione.

Nich Funkcje K(x, y), K1(x, y ) i K2(x, y) będą ciągłe na G− × G−. Analogicznie jak wcześniej ustanawiamy, że całki :

są ciągłe na G− i G− × G−, jeśli odpowiednio α < n i α1 + α2 < n.

Uwaga. Wszystko to co powiedziano o całce I(x) bez istotnych zmian można przenieść również na całki typu potencjału o postaci :

gdzie S – jest ograniczoną kawałkami gładką powierzchnią, ρ - funkcja kawałkami ciągła na S.

5. Przestrzeń funkcji £2(G).

Zbiór wszystkich funkcji f, dla których funkcja | f(x) |2 jest całkowalna (w sensie Riemanna ) na obszarze G, oznaczymy jako £2 (G).

Zbiór funkcji £2 (G) jest liniowy.

W istocie, jeśli f, g ∈ £2 (G), to z nierówności :

|λf + µg | ≤ 2 | λ |2 | f |2 + 2 | µ |2 | g |2

wynika, ze ich dowolna kombinacja liniowa λf + µg również należy do £2(G).

Słuszna jest następująca ważna nierówność (nierówność Cauchy’ego- Buniakowskiego ) : jeśli f, g ∈ £2(G), to :

Jeśli G- jest obszarem ograniczonym i f ∈ £2(G), to funkcja f(x) jest całkowalna na G.

W istocie – stosując nierówność Cauchy’ego- Buniakowskiego gdzie g ≡ 1, otrzymamy :

Dalej, na zbiorze £2(G) wprowadzimy iloczyn skalarny oraz normą :

przekształcając tym samym £2(G) w (liniowa ) przestrzeń unormowaną.

−−−

g(x) - funkcja sprzężona zespolenie do g(x)

Oczywiście, wprowadzony iloczyn skalarny posiada następujące własności : −−−

(f, g ) = (g, f) , ( λf + ζg, h ) = λ(f, h) + µ(g, h )

Oprócz tego, z użyciem pojęcia normy i iloczynu skalarnego nierówność Cauchy’ego- Buniakowskiego przyjmuje postać :

| (f, g ) | ≤ || f || || g || , f, g ∈ £2(G)

Z nierówności tej wynika następująca nierówność Minkowskiego :

|| f + g || ≤ || f || + || g || , f, g ∈ £2(G)

Zatem norma || . || spełnia warunki a) – c) z p.p 3.

Ciąg funkcji fk , k = 1, 2, ... należących do £2(G) nazywa się zbieżny do funkcji f ∈ £2(G) w przestrzeni £2(G), jeśli :

|| fk − f || → 0

przy tym będziemy pisali : fk → f w £2(G), k → ∞

Ciąg funkcji fk , k = 1, 2, ... należących do £2(G) nazywa się samozbieżny w £2(G), jeśli :

|| fk − fp || → 0 , k → ∞, p → ∞

Zbiór funkcji £2(G) jest niezupełny. Uzupełnimy go, podobnie jak uzupełnia się zbiór liczb wymiernych liczbami rzeczywistymi. W tym celu przyporządkujemy każdemu samozbieżnemu w £2(G) ciągowi funkcji fk , k = 1, 2, ... element

„idealny” f z normą :

|| f || = lim || fk ||

k →∞

Przy tym dwa elementy „idealne” f, g przyjmujemy jako równe, jeśli określające je ciągi f1, f2, ... i g1, g2, ... są równoważne tj. jeśli ciąg „spleciony” f1g1, f2g2, .. jest samozbieżny £2(G).

Można dowieść, że element „idealny” f ∈ £2(G) można utożsamić z pewna funkcją f(x), określona p.w (* prawie wszędzie *) w G taką, że :

jeśli całka po prawej będzie rozumiana w szerszym sensie (w sensie Lebesgue’a )

I tak, wszędzie dalej £2(G) – przestrzeń zupełna otrzymana z wejściowej przestrzeni z pomocą uzupełnienia.

Następujące stwierdzenie wyraża własność zupełności przestrzeni £2(G).

Twierdzenie Riesza- Fischera. Jeśli ciąg funkcji fk ∈ £2(G), k = 1, 2, ... jest samozbieżny w £2(G) tj. :

|| fk − fp || → 0, k →∞, p →∞ to istnieje funkcja f ∈ £2(G) taka, że :

|| fk − f || → 0, k → ∞

przy tym funkcja taka jest jednoznaczna.

Przestrzeń £2(G) odnosi się do klasy przestrzeni Hilberta.

Zbiór M ⊂ £2(G) nazywa się gęstym w £2(G), jeśli dla dowolnej funkcji f ∈ £2(G) istnieje ciąg funkcji z M zbieżny do f w £2(G).

Przykładowo, zbiór C(G− ) jest gęsty w £2(G), stąd wynika, ze i zbiór wielomianów jest gęsty w £2(G), jeśli G- jest obszarem ograniczonym ( na mocy twierdzenie Weierstrassa, zobacz punkt 3 ).

Przestrzeń £2(G) posiada analog dyskretny : przestrzeń liniową ł2, składającą się ze wszystkich ciągów liczb zespolonych a = (a1, a2 , ... ) o skończonej normie :

i iloczynem skalarnym : ∞

(a, b ) = Σ _{ak b}⁻_k

k=1

dla wszystkich a, b ∈ ł2

6. Układy ortonormalne.

Funkcje f, g należące do £2(G) nazywają się ortogonalnymi, jeśli (f, g ) = 0, funkcja f ∈ £2(G) nazywa się unormowaną, jeśli || f || = 1. Układ funkcji {ϕk } należących do £2(G) nazywa się ortonormalny, jeśli :

(ϕk, ϕi ) = δik , gdzie δik – symbol Kroneckera : δik = { 0 ,dla k ≠ i

{ 1 ,dla i = k

Każdy układ ortonormalny {ϕk} składa się z funkcji liniowo niezależnych.

Każdy układ ψ1, ψ2, ... funkcji liniowo niezależnych z £2(G) może być przekształcony w układ ortonormalny ϕ1, ϕ2, ...

poprzez następujący proces ortogonalizacji Schmidta :

Niech dany będzie układ funkcji ϕk, k = 1, 2, ... ortonormalny w £2(G) i f ∈ £2(G). Liczby (f, ϕk ) nazywają się współczynnikami Fouriera, a szereg formalny :

- szeregiem Fouriera funkcji f względem układu ortonormalnego {ϕk }.

Jeśli układ funkcji ϕk, k = 1,2 , ... ortonormalny w £2(G), to dla każdej f ∈ £2(G) i dowolnych (zespolonych) liczb a1, a2, … , aN, N = 1,2 , … słuszna jest równość :

Z równości (6) wynika nierówność :

Dalej, przyjmując w (6) ak = 0, k = 1, 2, ... , N otrzymujemy równość :

Z takiej równości wynika nierówność :

która nazywa się nierównością Bessela

Z nierówności Bessela i z twierdzenia Riesza – Fischera (p.p 5) wynika, że szereg Fouriera (5) jest zbieżny w £2(G) do pewnej funkcji z £2(G) (ale nie obowiązkowo do f).

Oprócz tego, z równości (7) i z twierdzenia Riesza – Fischera wynika takie stwierdzenie.

Aby szereg Fouriera (5) była zbieżny do funkcji f ∈£2(G), koniecznym jest i wystarczającym, aby była spełniona nierówność Parsevala- Steklowa (równanie zamkniętości ) :

7. Układy ortogonalne zupełne.

Niech dany będzie układ funkcji {ϕk }, k = 1, 2, ... ortogonalnych w £2(G). Jeśli dla dowolnej f ∈£2(G) jej szereg Fouriera względem układu {ϕk } jest zbieżny do f ∈ £2(G), to układ taki nazywamy zupełnym (zamkniętym ) w £2(G) (bazą ortonormalną w £2(G)).

Przykładem zupełnego układu ortonormalnego w £2(0, 2π) jest układ trygonometryczny.

Z takiej definicji oraz z wyników p.p 6 wynika :

Twierdzenie 1. Aby układ ortonormalny {ϕk } był zupełny w £2(G), koniecznym jest i wystarczającym, aby dla dowolnej funkcji f ∈£2(G) była spełniona równość Parsevala – Steklowa.

Słuszne jest również :

Twierdzenie 2. Aby układ ortonormalny {ϕk } był zupełny w £2(G), koniecznym jest i wystarczającym, aby każda funkcję f ze zbioru M, zupełnego £2(G), można było dowolnie ściśle przybliżyć £2(G), liniowymi kombinacjami funkcji z tego układu.

Wniosek. Jeśli G – jest ograniczonym obszarem, to w £2(G) istnieje przeliczalny zupełny ortonormalny układ wielomianów.

W istocie – zbiór wielomianów o współczynnikach wymiernych jest gęsty w £2(G) (zobacz p.p 5), przeliczalny i można go ortonormalizować, wykorzystując proces ortogonalizacji Schmidta – (zobacz p.p 6)

Będzie nam potrzebna również następujący lemat :

Lemat. Niech dane będą obszary G ⊂ Rn , D ⊂ Rm, które są ograniczone i układ funkcji ψi(y), i = 1, 2, ... ortogonalny i zupełny w £2(G) i przy każdym i = 1, 2, ... układ funkcji ϕik(x), k = 1, 2, ... ortonormalny i gęsty w £2(G).

Wtedy układ funkcji :

χki(x, y) = ϕki(x) ψi(x), k, i = 1, 2, ...

jest ortonormalny i gęsty w £2(G × D).

Wszystko to co powiedziano o przestrzeni £2(G) przenosi się na przestrzenie £2(G; ρ ) lub £(S) z iloczynami skalarnymi :

gdzie ρ∈ C(G− ), ρ(x) > 0, x ∈ G− , S – powierzchnia kawałkami gładka.

8. Operatory liniowe i funkcjonały.

Niech M, N – będą zbiorami liniowymi. Operator L przekształcający element zbioru M w elementy zbioru N, nazywa się liniowym, jeśli dla dowolnych elementów f, g z M i liczb zespolonych λ, µ słuszna jest równość :

L(λf + µg ) = λLf + µLg

Przy tym zbiór M = ML nazywa się obszarem określoności operatora L.

Jeśli Lf = f przy wszystkich f ∈ M, to operator L nazywa się operatorem tożsamościowym (jednostkowym ).

Operator jednostkowy będziemy oznaczali poprzez I.

Niech na zbiorach liniowych M, N będzie określone będą zbieżności elementów z z ciągłymi kombinacjami liniowymi, np.

jeśli :

fk → f i gk → g , k → ∞ w M to również :

λfk + µgµ →λf + µg , k →∞ w M

Operator liniowy L, przeprowadzający M w N, nazywa się ciągłym z M w N, jeśli ze zbieżności : fk → f , k → ∞ w M

wynika zbieżność : Lfk → Lf , k → ∞ w N

Z takie definicji wynika – aby operator liniowy L była ciągły z M w N, koniecznym i wystarczającym jest, aby : Lfk → 0 , k → ∞ w N

jak tylko :

fk → 0 , k → ∞ w M

Niech M, N – będą liniowymi unormowanymi przestrzeniami o normach odpowiednio || . ||M , || . ||N (przykładowo N = C(T), M = £2(G) )

Operator liniowy L przeprowadzający M w N, nazywa się operatorem ograniczonym z M w N, jeśli istnieje taka liczba C > 0, że dla dowolnego f ∈ M słuszna jest następująca nierówność :

|| Lf ||N ≤ C || f ||M

Z takich definicji wynika – jeśli operator liniowy L jest operatorem ograniczonym z M w N, to jest on operatorem ciągłym z M w N.

Zbiór B liniowo unormowanej przestrzeni M nazywa się ograniczonym w M, jeśli istnieje taka liczba A, że :

|| f ||M < A przy wszystkich f ∈ B

Niech operator liniowy L przeprowadza M w N1 ,a operator liniowy K przeprowadza N1 w N.

Operator liniowy KLf = K(Lf) , f ∈ M

Nazywa się iloczynem operatorów K i L. W szczególności : Kpf = K(Kp−1f ) = Kp−1(Kf ) , K−1 = K , K0 = I

Przypadkiem szczególnym operatorów liniowych są funkcjonały liniowe. Jeśli operator liniowy ł przekształca zbiór elementów M w zbiór liczba zespolonych N ⊂ C, to ł nazywa się funkcjonałem liniowym na zbiorze M.

Wartość funkcjonału ł na elemencie f (liczba zespolona łf ) będziemy oznaczali jako (ł, f ).

Zatem, ciągłość funkcjonału liniowego ł oznacza co następuje :

Jeśli fk → 0, k → ∞ w M, to ciąg liczb zespolonych (ł, fk ), k → ∞ dąży do 0.

Będziemy mówili, że ciągi ł1, ł2 , .. funkcjonałów liniowych na M jest słabo zbieżny do funkcjonału (liniowego ) ł na M, jeśli jest on zbieżny do ł na każdym elemencie f ∈ M tj. ;

(łk , f ) → (ł, f ) , k → ∞ dla każdego f ∈ M

Funkcjonał liniowy ł~ na zbiorze M~ ⊃ M nazywa się przedłużeniem funkcjonału liniowego ł, zadanego na M, jeśli : (ł~, f ) = (ł, f ) dla wszystkich f ∈ M

Przykłady operatorów liniowych i funkcjonałów.

a) Operator liniowy o postaci :

nazywa się operatorem całkowym, a funkcja K(x, y) – jego jądrem.

Jeśli jądro K należy do £2(G × G ) oraz :

to operator K jest ograniczony (a zatem, jest ciągły ) z £2(G) = M w £2(G) = N.

Analogicznie – operator liniowy A, działający z ł2 w ł2 (zobacz p.p 5 ) zgodnie z zasadą :

jest ograniczony (a zatem – jest ciągły ), przy czym :

|| Aa || ≤ C || a || , a = {ak } ∈ ł2

b) Operator liniowy o postaci :

- nazywa się operatorem różniczkowym rzędu m, a funkcje aα(x) – jego współczynnikami.

Jeśli współczynniki aα(x) – są funkcjami ciągłymi na obszarze G− ⊂ Rn, to operator L przeprowadza Cm(G− ) = M w C(G− ) = N

Jednakże, operator L nie jest ciągły z C(G− ) w C(G− ). W istocie :

podczas, gdy ciągi :

nie posiada granicy w C(G− ).

Zauważmy, że operator L jest określony nie na całej przestrzeni C(G− ), a tylko na jej części – na zbiorze funkcji Cm(G− ).

b) Operator liniowy :

nazywa się operatorem różniczkowo- całkowym.

c) Przykład ciągłego operatora liniowego ł na £2(G) daje iloczyn skalarny : (ł, f ) = (f, g− ) , gdzie g – jest pewną funkcja należąca do £2(G)

liniowość tego funkcjonału wynika z liniowości iloczynu skalarnego względem pierwszego argumentu (zobacz p.p 5 ), a na mocy nierówności Cauchy’ego- Buniakowskiego jest on ograniczony :

| (ł, f ) | = | (f, g− ) = || g || || f ||

a zatem, jest on ciągły.

9. Równania liniowe.

Niech L – będzie operatorem liniowym o obszarze określoności ML. Równanie :

Lu = F (8)

nazywa się liniowym równaniem niejednorodnym.

W równaniu (8) zadany element F nazywa się członem swobodnym (lub prawą częścią równania liniowego niejednorodnego ), element u ∈ ML – nazywa się rozwiązaniem tego równania.

Jeśli w równaniu (8) człon swobodny F przyjmiemy równym zero, to otrzymane równanie :

Lu = 0 (9)

nazywa się liniowym równaniem jednorodnym, odpowiadającym równaniu niejednorodnemu (8).

Na mocy liniowości operatora L rodzina rozwiązań równania jednorodnego (9) tworzy zbiór liniowy, w szczególności u = 0 zawsze jest rozwiązaniem tego równania.

Każde rozwiązanie u liniowego równania jednorodnego (8) (jeśli ono istnieje ) można przedstawić w postaci sumy rozwiązania szczególnego u0 tego równania i rozwiązania ogólnego u~, odpowiadającego mu liniowego równania jednorodnego (9) :

u = u0 + u~

Stąd bezpośrednio wnioskujemy : aby rozwiązanie równania (8) było jednoznaczne w ML, koniecznym i wystarczającym jest aby odpowiednie równanie jednorodne (9) posiadało tylko rozwiązanie zerowe w ML.

Niech równanie jednorodne (9) posiada tylko zerowe rozwiązanie w ML. Poprzez RL oznaczymy obszar określoności operatora L tj. (liniowy ) zbiór elementów o postaci {Lf }, gdzie f przebiega ML.

Wtedy dla dowolnego F ∈ RL równanie (8) posiada jednoznaczne rozwiązanie u ∈ ML, a zatem pojawia się pewien operator przyporządkowujący każdemu elementowi F ∈RL odpowiednie rozwiązanie równanie (8).

Ten operator nazywa się operatorem odwrotnym do operatora L i oznaczamy go jako L−1, tak że :

u = L−1F (10)

Operator L−1, jest oczywiście liniowy i odwzorowuje RL na ML. Bezpośrednio z definicji operatora L−1, jak również z zależności (8) i (10) wynika :

LL−1F = F , F ∈L−1RL ; L−1Lu = u , u ∈RL tj. :

L L−1 = I , L−1L = I

Jeśli operator liniowy L posiada operator odwrotny L−1, to układy funkcji {ϕk } i {Lϕk } s a jednocześnie liniowo niezależne.

(Przy tym zakładamy, oczywiście, że wszystkie ϕ przynależą do ML )

Rozpatrzmy liniowe równanie jednorodne :

Lu = λu (11)

gdzie λ - parametr zespolony.

Równanie to posiada rozwiązanie zerowe przy wszystkich λ.

Może się tak zdarzyć, że przy niektórych λ ma ono niezerowe rozwiązania należące do ML.

Te wartości zespolone λ, przy których równanie (11) posiada niezerowe rozwiązania należące do ML nazywają się wartościami własnymi operatora L, a odpowiadające rozwiązania – funkcjami własnymi, odpowiadającymi tej wartości własnej.

Liczba całkowita r, 1 ≤ r ≤ ∞, liniowo niezależnych elementów własnych, odpowiadających danej wartości własnej λ, nazywa się krotnością tej wartości własnej.

Jeśli r = 1, to λ nazywa się prosta wartości własną.

Jeśli krotność r wartości własnej λ operatora L jest skończona i u1 , ... , ur – odpowiednie liniowo niezależne elementy własne, to dowolna ich kombinacja liniowa :

u0 = c1u1 + c2u2 + ... + crur

również jest elementem własnym, odpowiadającym tej wartości własnej i podany wzór daje ogólne rozwiązanie równania (11).

Stad wynika, że jeśli rozwiązanie równania :

Lu = λu + f (12)

istnieje, to jego ogólne rozwiązanie można przedstawić wzorem : r

u = u* + Σ _{ck uk} ⁽¹³⁾

k =1

gdzie u* - jest rozwiązaniem szczególnym (12), ck (k = 1, 2, ... ) – dowolne stałe.

10. Operatory hermitowskie.

Operator liniowy L przeprowadzający ML ⊂ £2(G) w £2(G), nazywa się hermitowskim, jeśli jego obszar określoności ML jest gęsty w £2(G)i dla dowolnych f, g ∈ ML słuszna jest równość :

(Lf, g ) = (f, Lg )

Wyrażenia (Lf, g ) i ( Lf, f ) nazywają się odpowiednio : formą biliniową i kwadratową – generowana przez operator L.

Aby operator liniowy L był hermitowski, koniecznym i wystarczającym jest aby generowana przez niego forma kwadratowa (Lf, f ), f ∈ ML gdzie ML jest gęsty w £2(G), przyjmowała tylko wartości rzeczywiste.

Operator liniowy L, przeprowadzający ML ⊂ £2(G) w £2(G), nazywa się dodatni, jeśli ML jest gęsty w £2(G) i : (Lf, f ) ≥ 0, f ∈ ML

W szczególności, każdy dodatni operator jest hermitowski.

Twierdzenie. Jeśli operator L jest hermitowski (dodatni ), to wszystkie jego wartości własne są rzeczywiste (nieujemne ), a funkcje własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

Dowód. Niech λ0 – będzie wartością własną, u0 – odpowiadającą tej wartości własnej unormowaną funkcja własną operatora hermitowskiego L :

Lu0 = λ0 u0

Mnożąc skalarnie tę równość przez u0, otrzymujemy :

( Lu0 , u0 ) = ( λ0u0, u0 ) = λ0( u0, u0 )λ0 || u0 ||2 = λ0 (14)

Ale dla hermitowskiego (dodatniego ) operatora forma kwadratowa (Lf, f ) przyjmuje tylko rzeczywiste (nieujemne ) wartości, a zatem na mocy (13) λ0 – jest liczbą rzeczywista (nieujemną ).

Teraz dowiedziemy, że dowolne funkcje własne u1 i u2, odpowiadające różnym wartościom własnym λ1 i λ2 są ortogonalne.

W istocie, z relacji : Lu1 = λ1u1 , Lu2 = λ2 u2

Z rzeczywistości λ1 i λ2 oraz z hermitowskości operatora L otrzymujemy ciąg równań : λ1(u1, u2 ) = (λ1u1, u2 ) = (Lu1, u2 ) = (u1, Lu2 ) = ( u1, λ2u2 ) = λ2 (u1, u2 ) tj. λ1( u1, u2 ) = λ2(u1, u2 )

Stąd, ponieważ λ1 ≠ λ2, wynika, ze iloczyn skalarny (u1, u2 ) jest równy zero.

Zatem twierdzenie zostało dowiedzione.

Załóżmy, że zbiór wartości własnych operatora hermitowskiego L jest co najwyżej przeliczalny, a każda wartość własna ma skończoną krotność. Zanumerujemy wszystkie jego wartości własne : λ1, λ2, ... powtarzając λk tyle razy ile wynosi jej krotność. Odpowiednie funkcje własne oznaczymy jako u1, u2, ... tak, aby każdej wartości własnej odpowiadała tylko jedna funkcja własna uk :

Luk = λk uk , k = 1, 2, ...

Funkcje własne, odpowiadające jednej i tej samej wartości własnej, można wybrać ortogonalne, wykorzystując proces ortogonalizacji Schmidta (p.p 6 )

Przy tym ponownie otrzymujemy funkcje własne, odpowiadające jednej i tej samej wartości własnej.

Zgodnie z twierdzeniem z p.p 10 funkcje własne, odpowiadające różnym wartościom własnym, są ortogonalne.

Zatem, jeśli układ funkcji własnych {uk } operatora hermitowskiego L jest co najwyżej przeliczalny, to można ją wybrać jako ortogonalny :

(Luk , ui ) = λk (uk, ui ) = λkδik

Wszystko to, co powiedziano w p.p 5 – 7, 10 o przestrzeni £2(G) z oczywistymi zmianami jest słuszne dla jej dyskretnego analogu ł2 i tym bardziej dla wszystkich skończeniewymiarowych podprzestrzeni ł2.

1.2 Podstawowe równania fizyki matematycznej.

Matematyczny opis wielu procesów fizycznych prowadzi do równań różniczkowych i całkowych, albo też do równań mieszanych : różniczkowo- całkowych.

Bardzo szeroką klasę procesów fizycznych opisuje się poprzez liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu (podrozdział 1.1, p.p 8 ) :

W niniejszym podrozdziale rozpatrzymy charakterystyczne procesy fizyczne, sprowadzające się do różnych zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych.

1. Równanie drgań.

Wiele zagadnień mechaniki (drgająca struna, pręt, membrana, trójwymiarowa objętość ) i fizyki (drgania EM ) opisywane są przez równanie drgań o postaci :

gdzie funkcja u(x, t) zależy od n ( n = 1, 2, 3 ) współrzędnych przestrzennych x = ( x1, ... , xn ) i czasu t.

Współczynniki ρ, p, q określone są przez własności ośrodka, w którym zachodzi proces drgań. Człon swobodny F(x, t) wyraża intensywność zewnętrznego zaburzenia.

W równaniu (2) zgodnie z definicja operatorów div i grad :

Zilustrujemy wyprowadzenie równania (2) na przykładzie zjawiska małych drgań poprzecznych struny.

Struną nazywamy idealnie napiętą nić, nie doznającą rozciągnięcia.

Niech na płaszczyźnie (x, u) struna wykonuje małe poprzeczne drgania wokół położenia równowagi, pokrywające się z osią x. Wielkość odchylenia struny od położenia równowagi w punkcie x w chwili t oznaczymy jako u(x t), tak że funkcja u = u(x, t) jest równaniem struny w chwili czasu t.

Ograniczając rozważania do przypadku małych drgań, zaniedbamy wielkości wyższego rzędu w porównaniu z tg(α) = ∂u/∂x

Ponieważ struna nie wygina się, to jej naprężenie T(x, t) w punkcie x w chwili t ma kierunek stycznej do struny w tym punkcie (rys. 3 )

Dowolny fragment struny (a, b) po odchyleniu od położenia równowagi w ramach przyjętego przybliżenia nie zmienia swej długości :

a zatem zgodnie z prawem Hooke’a wartość naprężenia | T(x, t) | będzie pozostawała stała i niezależna od x, t :

| T(x, t ) | = T0

Rys. 3

Oznaczmy przez F(x, t) gęstość sił zewnętrznych, działających na strunę w punkcie x w chwili t i skierowanych prostopadle do osi x na płaszczyźnie (x, u).

Niech ρ(x) – będzie gęstością liniową struny w punkcie x, tak że w przybliżeniu wielkość ρ(x) ∆x – jest masa elementu struny (x, x + ∆x ).

Wyprowadzimy teraz równanie ruchu struny. Na każdy jej element (x, x + ∆x ) działają siły naprężenia T(x + ∆x, t ),

−T(x, t) (zobacz rys. 3 ) i siła zewnętrzna, suma których zgodnie z prawami Newtona powinna być równa iloczynowi masy fragmentu struny przez jej przyspieszenie, tak że :

gdzie wektor jednostkowy j jest skierowany wzdłuż osi u.

Rzutując taka równość wektorową na oś u, w oparciu o wszystko to co powiedziano wcześniej, otrzymujemy następującą równość :

W ramach przyjętego przybliżenia :

dlatego z (3) otrzymujemy :

skąd przy ∆x → 0 wynika równość :

To jest właśnie równanie małych drgań poprzecznych struny.

Przy F ≠ 0 drgania struny nazywamy drganiami wymuszonymi, a przy F = 0 – drganiami swobodnymi.

Jeśli gęstość ρ jest stała ρ(x) =ρ, to równanie drgań struny przyjmuje postać:

gdzie f = F/ρ, a2 = T0 /ρ - stała.

Równanie (5) będziemy nazywali również jednowymiarowym równaniem falowym.

Równanie postaci (2) opisuje również małe drgania podłużne pręta :

gdzie S(x) – pole powierzchni przekroju poprzecznego pręta, E(x) – moduł Younga w punkcie x.

Z rozważań fizycznych wynika, że dla jednoznacznego opisania procesu drgań struny lub pręta należy dodatkowo zadać przemieszczenia u i prędkości ut w początkowej chwili czasu (warunki początkowe ) i reżim na ich końcach ( warunki graniczne ).

Przykłady warunków granicznych.

a) Jeśli koniec x0 struny lub pręta porusza się zgodnie z prawem µ(t), to : u |

x=x0= µ(t)

b) Jeśli na prawy koniec x0 struny działa zadana siła ν(t), to :

W istocie, w tym przypadku :

c) Jeśli prawy koniec x0 pręta jest sztywnie zaczepiony i α - jest współczynnikiem sztywności takiego zaczepienia, to :

zgodnie z prawem Hooke’a.

Analogicznie wprowadzamy równanie małych poprzecznych drgań membrany :

Jeśli gęstość ρ jest stała, to równanie drgań membrany :

będziemy nazywali dwuwymiarowym równaniem falowym.

Trójwymiarowe równanie falowe :

opisuje procesy propagacji dźwięku w jednorodnym ośrodku i fal EM w jednorodnym, nieprzewodzącym ośrodku.

Takie równanie spełnia gęstość gazu, jego ciśnienie i potencjał prędkości, jak również składowe natężenia pól – elektrycznego i magnetycznego oraz odpowiednie potencjały ( zobacz p.p 5 dalej ).

Równania falowe (5), (8), (9) zapiszemy w jednej formule :

a u = f (10)

gdzie a – operator falowy (operator d’Alamberta )

a = ∂2 /∂t2 − a2 ∆ ( = 1 )

∆ - operator Laplace’a

2. Równanie dyfuzji.

Procesy propagacji ciepła lub dyfuzji cząstek w ośrodku są opisywane przez następujące ogólne równania dyfuzji :

Dalej wyprowadzimy równanie propagacji ciepła.

Oznaczymy poprzez u(x, t) – temperaturę ośrodka w punkcie x = (x1, x2, x3 ) w chwili czasu t.

Przyjmując ośrodek jako izotropowy, oznaczymy poprzez ρ(x), c(x) i r(x)odpowiednio jego gęstość, przewodność cieplną i współczynnik przewodnictwa cieplnego w punkcie x.

Oznaczmy przez F(x, t) intensywność źródeł ciepła w punkcie x w chwili t.

Podliczmy równowagę ciepła w dowolnej objętości V w chwili czasu (t, t + ∆t ).

Oznaczmy przez S granicę objętości V, i niech n – będzie zewnętrzną normalną do niej.

Zgodnie z prawem Fouriera poprzez powierzchnię S do objętości V wpływa wielkość ciepła :

równa na mocy wzoru Gaussa- Ostrogradskiego :

Poprzez źródła ciepła znajdujące się w objętości V pojawia się następująca wielkość ciepła :

Ponieważ temperatura w objętości V w interwale czasu (t, t + ∆t) wzrosła o wielkość :

to należy wytracić następującą wielkość ciepła :

Z drugiej strony Q3 = Q1 + Q2 i dlatego :

skąd na mocy dowolności objętości V otrzymamy równanie przepływu ciepła :

Jeśli ośrodek jest jednorodny, tj. c, ρ, k – są stałe, to równanie (12) przyjmie postać :

Równanie (13) nazywa się równaniem przewodnictwa cieplnego. Liczba n zmiennych przestrzennych x1, x2, ... ,xn w tym równaniu może być dowolna.

Tak samo jak w przypadku równania drgań, dla pełnego opisania procesu propagacji ciepła należy zadać początkowy rozkład temperatury u w ośrodku (warunek początkowy ) i reżim na granicy tego ośrodka (warunek graniczny ).

Przykład warunków granicznych.

a) Jeśli na granicy S podtrzymywana jest zadany rozkład temperatury u0, to : u |

S = u0 (14)

b) Jeśli na S podtrzymywany jest zadany strumień ciepła u1, to :

c) Jeśli na S ma miejsce wymiana ciepła zgodnie z prawem Newtona, to :

gdzie h – jest współczynnikiem wymiany ciepła, u0 – temperatura otaczającego ośrodka.

Analogicznie wyprowadza się również równanie dyfuzji cząstek. Przy tym w miejsce prawa Fouriera należy wykorzystać prawo Nersta dla strumienia cząstek przepływających przez element powierzchni ∆S w jednostce czasu :

∆Q = −D ∂u/∂n

gdzie D(x) – współczynnik dyfuzji, u(x, t ) – gęstość cząstek w punkcie x w chwili t.

Równanie dla gęstości u będzie miało postać (11), gdzie ρ oznacza współczynnik porowatości, p = D, q – charakteryzuje pochłanianie ośrodka.

3. Równanie stacjonarne.

Dla procesów stacjonarnych : F(x, t) = F(x) , u(x, t ) = u(x)

Równania drgań (2) i dyfuzji (11) przyjmują postać :

Przy p = const. q = 0 równanie (17) nazywa się równaniem Poissona :

przy f = 0 równanie (18) nazywa się równaniem Laplace’a :

∆u = 0 (19) Dla pełnego opisania procesu stacjonarnego należy jeszcze zadać reżim na granicy – jeden z warunków granicznych (14) – (16).

Niech w równaniu falowym (10) zaburzenie zewnętrzne f(x, t) będzie periodyczne o częstości ω i amplitudzie a2 f(x) : f(x, t) = a2 f(x) exp(iωt)

Jeśli poszukujemy rozwiązania periodycznego u(x, t) o tejże częstości i nieznanej amplitudzie u(x) :

to dla funkcji u(x) otrzymamy rozwiązanie stacjonarne :

które nazywamy równaniem Helmholtza.