1. Obliczyć całki

ANALIZA MATEMATYCZNA II Studia podyplomowe matematyki, semestr II

Lista 4 całka oznaczona

1. Obliczyć całki

I

=

Z

√

a

− x

dx i I

=

Z

x

dx

√ a

− x

. 2. Obliczyć podane całki oznaczone:

1)

3

R

−1

(x

− x + 1)dx ; 2)

1

R

0

(x + √

x

)dx ; 3)

π

R2

0

sin

xdx ; 4)

2

R

0 3x−1

3x+1

dx ; 5)

ln 2

R

0

√ e

− 1dx ; 6)

0

R

−1

xe

dx ; 7)

−4

|x|

dx ; 8)

0

sin

x cos xdx ; 9)

0

x √

1 + xdx ; 10)

π

R

0

sin xe

dx ; 11)

0

R

−π

x(1 + cos x)dx ; 12)

2

R

1 e

(x − 1)sgn(ln x)dx ; 13)

2

R

−2

||x| − 1|dx ; 14)

4

R

0

|x−1|

|x−2|+|x+3|

dx ; 15)

2

R

−2

sgn(x − x

)dx ; 16)

0

√ x

− 4x

+ 4dx ; 17)

1

xE(x)dx ; 18)

2

e

dx ;

3. Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uzasadnić podane równości:

a)

− ln 2 e^x−1

e^x+1

dx = 0;

b)

1

R

−1

2x⁵−x³+x

x²+1

dx = 0;

c)

π

R4

−^π₄

x tan x

dx = 2

π

R4

0

x tan x

dx;

d)

3π 2

R

−^3π

2

sin

xdx =

π 2

R

0

sin

xdx ;

4. Obliczyć pole obszaru D ograniczonego:

a) wykresami funkcji y = x

, y = 2x + 3,

b) wykresami funkcji y = sin x, y = cos 2x oraz osią Oy (x ≥ 0), c) parabolami y = x

, y = 2x

oraz prostą y = 4,

d) krzywymi 4y = x

, y =

, e) krzywymi y =

, y = x, y = 4,

f) elipsą

+

= 1,