Analiza Matematyczna Lista zadań 4 Zadanie 1 Korzystaj¸ac jedynie z definicji pochodnej, prosz¸e obliczyć f

Analiza Matematyczna Lista zadań 4

Zadanie 1

Korzystaj¸ ac jedynie z definicji pochodnej, prosz¸e obliczyć f ⁰ (p), przy czym f (p) jest tak określone, że f jest ci¸ agła w punkcie p, jeśli

(a) f (x) = x ² cos(x), p = 0;

(b) f (x) = x2 ^x , p = 0;

(c) f (x) = x(x − 1), p = 0;

(d) f (x) = x(x − 1), p = 1;

(e) f (x) = x ² cos( _x ¹ ), p = 0;

(f) f (x) = (x − 1)3 ^x , p = 1;

(g) f (x) = xp1 + sin(tan(x), p = 0;

(h) f (x) = √

x, p = 4;

(i) f (x) = (x − 2)|x + 3|, p = 2;

(j) f (x) = √

9 + x ² , p = 4;

(k) f (x) = (x − 2) ⁻¹ , p = 3;

(l) f (x) = (9 + x ² ) ⁻² , p = 4;

(ł) f (x) = _3x−2 ^x , p = 1;

(m) f (x) = x ⁴ , p = 1;

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pochodn¸ a funkcji f w tych punktach, w których f ⁰ istnieje, jeśli f (x) = (a) 1 − 3x + 7x ² + 5x ³ ;

(b) √ 1 + x;

1

(c) _1=x ^2x

;

(d) _(1−x)

^x (1+x)

; (e) |x|;

(f) x|x|;

(g) x

√ 3 ;

(h) ^{√ x}

1+x

; (i) ^2x+17 _13x+7 ;

(j) |x ² − 4x + 3|;

(k) |x ² − 4x + 3| ³ ; (l) p|x ² − 4x + 3| ³ ; Zadanie 3

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), jeśli (a) f (x) = ^x

^−2x+1 _x , x ₀ = 1;

(b) f (x) = 1 + 2x + 3x ² + 4x ³ , x ₀ = 0;

(c) f (x) = |x − 1| √

x + 2, x ₀ = −3;

(d) f (x) = (x ² − 1) ² , x 0 = 0;

(e) f (x) = (x ² − 1) ² , x ₀ = √ 2;

(f) f (x) = √

x, x ₀ = 0;

(g) f (x) = √

x ² − 1, x 0 = 3;

(h) f (x) = |x|, x ₀ = 0;

(i) f (x) = √

169 − x ² , x ₀ = 12;

2

(j) f (x) = _1+x ^7x

, x ₀ = 0;

lub prosz¸e wykazać, że w podanym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

3