Podróże po Imperium Liczb Część 12.

Część 12. Wielomiany

Rozdział 7 7. Funkcje wymierne

Andrzej Nowicki 31 maja 2013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow

Spis treści

7 Funkcje wymierne 83

7.1 Ułamki właściwe . . . . 83

7.2 Ułamki proste . . . . 87

7.3 Twierdzenie Abela . . . . 89

7.4 Funkcje wymierne i jedna zmienna . . . . 91

7.5 Funkcje wymierne i co najmniej dwie zmienne . . . . 93

7.6 Wielkie twierdzenie Fermata dla wielomianów . . . . 93

Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze L

TEX.

Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie

autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.

Jeśli k jest ciałem, to przez k(x

, . . . , x

) oznaczamy ciało funkcji wymiernych zmiennych x

, . . . , x

nad k, czyli ciało ułamków pierścienia wielomianów k[x

, . . . , x

]. Każdy element ciała k(x

, . . . , x

) jest postaci

, gdzie f, g ∈ k[x

, . . . , x

], przy czym g 6= 0.

Zajmować się będziemy głównie elementami ciała k(x), czyli funkcjami wymiernymi jednej zmiennej x nad ustalonym ciałem k. Tym ustalonym ciałem k będzie zwykle jedno z ciał liczbowych: Q, R lub C. Przykłady funkcji wymiernych nad Q:

1

x − 1 , x + 2

3x + 7 , x

+ 2x

+ x − 1

x

+ 1 , x

+ 1

3x

+ 2x

− 3x + 12 . Są to również funkcje wymierne nad R i nad C.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.1 Ułamki właściwe

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech ϕ =

(gdzie f, g ∈ k[x], g 6= 0) będzie funcją wymierną jednej zmiennej x nad danym ciałem k. Mówić będziemy, że ϕ jest ułamkiem właściwym, jeśli stopień wielomianu f jest ostro mniejszy od stopnia wielomianu g. Przykłady ułamków właściwych:

1

x − 1 , 2x

x

+ 1 , x + 2 x

+ x

+ 2x + 1 . W szczególności 0 =

jest ułamkiem właściwym.

7.1.1. Niech ϕ ∈ k(x) będzie ułamkiem właściwym. Ułamek ϕ jest wielomianem należącym do k[x] wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ = 0.

D.

Załóżmy, że ϕ = ^f_g = u ∈ k[x] i przypuśćmy, że ϕ 6= 0. Wtedy f = ug, f 6= 0, u 6= 0 i mamy sprzeczność: deg g > deg f = deg(ug) = deg u + deg g> deg g. 

7.1.2. Suma ułamków właściwych jest ułamkiem właściwym.

D.

deg(ad + bc) 6 max(deg(ad), deg(bc)) = max(deg(a) + deg(d), deg(b) + deg(c))

< max(deg(b) + deg(d), deg(b) + deg(d)) = deg(b) + deg(d)

= deg(bd).

Zatem deg u < deg v, a zatem ułamek ^u_v jest więc właściwy.

7.1.3. Iloczyn ułamków właściwych jest ułamkiem właściwym.

D.

deg(ac) = deg(a) + deg(c) < deg(b) + deg(d) = deg(bd).

Ułamek ϕ · ψ jest więc właściwy.

83

Zanotujmy również oczywiste stwierdzenie,

7.1.4. Jeśli ϕ ∈ k(x) jest ułamkiem właściwym i λ ∈ k, to λϕ jest ułamkiem właściwym.

Ze powyższych stwierdzeń wynika następujący wniosek.

7.1.5. Zbiór wszystkich ułamków właściwych (należących do ciała k(x)) jest pierścieniem przemiennym ze względu na dodawanie i mnożenie funkcji wymiernych. Jest to pieścień bez jedynki. Pierścień ten jest k-algebrą.

7.1.6. Każda funkcja wymierna ϕ ∈ k(x) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci ϕ = ϕ

+ ϕ

,

gdzie ϕ

jest wielomianem należącym do k[x] oraz ϕ

∈ k(x) jest ułamkiem właściwym.

D.

Jednoznaczność. Przypuśćmy, że ϕ1+ ϕ2 = f = ϕ⁰₁+ ϕ⁰₂, gdzie ϕ1, ϕ⁰₁ ∈ k[x] i ϕ2, ϕ⁰₂ ∈ k(x) są ułamkami właściwymi. Mamy wtedy równość ϕ2− ϕ⁰₂ = ϕ⁰₁− ϕ1, z której wynika, że ϕ2− ϕ⁰₂ jest wielomianem należącym do k[x]. Ale ϕ₂− ϕ⁰₂jest ułamkiem właściwym (patrz 7.1.2). Z 7.1.1 wynika więc, że ϕ2− ϕ⁰₂= 0. Zatem ϕ2= ϕ⁰₂ i stąd ϕ1= ϕ⁰₁. 

7.1.7. Niech g, h będą niezerowymi, względnie pierwszymi, wielomianami należącymi do k[x], stopni większych od 0. Niech 0 6= f ∈ k[x], deg f < deg(gh), nwd(f, gh) = 1. Istnieją wtedy takie jednoznacznie wyznaczone wielomiany u, v ∈ k[x], że

f gh = u

g + v h

oraz u 6= 0, v 6= 0, nwd(u, g) = 1, nwd(v, h) = 1, deg u < deg g, deg v < deg h.

D.

f β = γg + u, deg u < deg g, f α = δh + v, deg v < deg h.

Mamy zatem równości:

f

gh =f αg + f βh

gh =(δh + v)g + (γg + u)h

gh = γ + δ +u

g + v h. Ułamki f

gh, u g, v

h są właściwe, więc (patrz 7.1.2) funkcja wymierna f

gh −u g −v

h

jest ułamkiem właściwym. Ale funkcja ta jest równa γ + δ, jest więc wielomianem należącym do k[x].

Zatem (na mocy 7.1.1) γ + δ = 0 i mamy równość f gh =u

g +v h

oraz nierówności deg u < deg g, deg v < deg h. Zauważmy, że f = uh + vg.

Przypuśćmy, ze u = 0. Wtedy f = gv. Ponieważ wielomiany f i g są niezerowe i względnie pierwsze (gdyż nwd(f, gh) = 1), więc stąd wynika, że g ∈ k. To jest jednak sprzeczne z tym, że deg g> 1. Zatem u 6= 0 i w podobny sposób wykazujemy, że v 6= 0.

Należy jeszcze wykazać, że nwd(u, g) = nwd(v, h) = 1. Przypuśćmy, że istnieje wielomian p ∈ k[x], stopnia większego od zera, dzielący wielomiany u i g. Wtedy p dzieli g oraz f (gdyż f = uh+vg), wbrew temu, że nwd(f, g) = 1. Zatem nwd(u, g) = 1 i w podobny sposób wykazujemy, że nwd(v, h) = 1.

Część II. Jednoznaczność. Przypuśćmy, że u g +v

h =u⁰ g +v⁰

h,

gdzie u, u⁰, v, v⁰ są niezerowymi wielomianami należącymi do k[x] i przy tym deg u < deg g, deg u⁰<

deg g, deg v < deg h, deg v⁰ < deg h. Wtedy u − u⁰

g = v⁰− v h

i stąd (u − u⁰)h = (v⁰− v)g. Wielomian (u − u⁰)h jest więc podzielny przez g. Ale nwd(g, h) = 1, więc g dzieli u − u⁰ i przy tym deg(u − u⁰) < deg g. Zatem u − u⁰ = 0, a zatem u = u⁰. W podobny sposób wykazujemy, że v = v⁰.

Powyższe twierdzenie jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia.

7.1.8. Niech g

, . . . , g

będą niezerowymi, parami względnie pierwszymi, wielomianami nale- żącymi do pierścienia k[x], stopni większych od 0. Niech 0 6= f ∈ k[x], deg f < deg(g

· · · g

), nwd(f, g

· · · g

) = 1. Istnieją wtedy takie jednoznacznie wyznaczone wielomiany u

, . . . , u

∈ k[x], że

f

g

· · · g

= u

g

+ · · · + u

g

oraz u

6= 0, nwd(u

, g

) = 1, deg u

< deg g

, dla wszystkich i = 1, . . . , n.

D.

g = g1g2· · · gn−1.

Wielomiany g i gn są niezerowe, względnie pierwsze i ich stopnie są większe od 0. Ponadto nwd(f, g · g_n) = 1 i deg f < deg(g · g_n). Z twierdzenia 7.1.7 wynika, że

f g · gn

= u g +un

gn

,

gdzie u, u_nsą niezerowymi wielomianami naleącymi do k[x] takimi, że nwd(u, g) = 1, nwd(u_n, g_n) = 1, deg u < deg g, deg un < deg gn. Z załóżenia indukcyjnego wynika natomiast, że ułamek u

g jest sumą (n − 1) ułamków ui

g_i (gdzie i = 1, . . . , n − 1), spełniających rozpatrywane warunki. Zatem f

g₁· · · g_n =u1

g₁ + · · · +un

g_n

oraz ui6= 0, nwd(ui, gi) = 1, deg ui< deg gi, dla wszystkich i = 1, . . . , n.

Część II. Jednoznaczność. Przypuśćmy, że u1

g1

+ · · · +un

gn

=u⁰₁ g1

+ · · · +u⁰_n gn

,

gdzie ui, u⁰_i, dla wszystkich i = 1, . . . , n, są niezerowymi wielomianami nalezącymi do k[x] takimi, że nwd(ui, gi) = 1, nwd(u⁰_i, gi) = 1, deg ui< deg gi, deg u⁰_i< deg gi. Wtedy

v1

g1

+ · · · +vn

gn

= 0, gdzie vi= ui− u⁰_i dla i = 1, . . . , n. Stąd otrzymujemy równość

v₁g₂· · · gn+ v₂g₁g₃· · · gn+ · · · + v_ng₁· · · gn−1= 0,

z której wynika, że wielomian v1g2g3· · · gn jest podzielny przez g1. Ale nwd(g1, g2g3· · · gn) = 1, więc g1 dzieli v1i przy tym deg v1< deg g1. Zatem u1− u⁰₁= v1= 0, a zatem u1= u⁰₁. W podobny sposób wykazujemy, że u₂= u⁰₂, . . . , u_n= u⁰_n.

Rozpatrzmy wielomiany g

= x − a

, g

= x − a

, . . . , g

− a

, gdzie a

, . . . , a

są parami różnymi elementami ciała k. Są to niezerowe, parami względnie pierwsze, wielomiany należące do k[x], stopni większych od zera. Z twierdzenia 7.1.9, zastosowanego dla tych wielomianów, otrzymujemy następujący wniosek.

7.1.9. Niech a

, . . . , a

są parami różnymi elementami ciała k. Niech f ∈ k[x] będzie nieze- rowym wielomianem stopnia mniejszego niż n takim, ze f (a

) 6= 0 dla i = 1, . . . , n. Istnieją wtedy takie jednoznacznie wyznaczone niezerowe elementy λ

, . . . , λ

∈ k, że

f

(x − a

) · · · (x − a

) = λ

x − a

+ · · · + λ

x − a

.

Założyliśmy tu, że f (a

) 6= 0 dla wszystkich i = 1, . . . , n. Dzięki temu założeniu, istnie- jące elementy λ

, . . . , λ

są niezerowe. Bez tego założenia powyższy wniosek ma następującą postać.

7.1.10. Niech a

, . . . , a

są parami różnymi elementami ciała k. Niech f ∈ k[x] będzie nie- zerowym wielomianem stopnia mniejszego niż n, Istnieją wtedy jednoznacznie wyznaczone elementy λ

, . . . , λ

∈ k takie, że

f

(x − a

) · · · (x − a

) = λ

x − a

+ · · · + λ

x − a

.

Zanotujmy kilka przykładów ilustrujących przedstawione powyżej fakty.

7.1.11.

= −

+

,

2

(x−1)(x−2)(x−3)

=

−

+

,

6

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)

= −

+

−

+

,

24

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)

=

−

+

−

+

. 7.1.12.

= −

+

,

2x

(x−1)(x−2)(x−3)

=

−

+

,

6x

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)

= −

+

−

+

,

24x

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)

=

−

+

−

+

.

7.1.13.

=

−

+

,

6x²

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)

= −

+

−

+

,

24x²

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)

=

−

+

−

+

. 7.1.14.

=

−

+

,

24

(x−2)(x−1)x(x+1)(x+2)

=

−

+

−

+

,

6!

(x−3)(x−2)(x−1)x(x+1)(x+2)(x+3)

=

−

+

−

+

−

+

. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.2 Ułamki proste

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech k będzie ustalonym ciałem. Ułamkiem prostym nad k nazywamy każdą funkcję wy- mierną postaci

, gdzie n ∈ N, 0 6= f ∈ k[x] i g ∈ k[x] r k jest wielomianem nierozkładalnym w k[x] oraz deg f < deg g. Poniższe funkcje wymierne są ułamkami prostymi nad ciałem R, liczb rzeczywistych.

2

x − 1 , 3

(x − 2)

, 2x + 1

x

+ 1 , x + 5

(x

+ x + 1)

, 1 (x

+ 5)

.

7.2.1. Każda funkcja wymierna należąca do ciała k(x) jest sumą wielomianu należącego do k[x] i ułamków prostych nad k.

D.

g = p^α₁¹· · · p^α_nⁿ

będzie rozkładem wielomianu g na czynniki nierozkładalne; p1, . . . , pn są parami niestowarzyszonymi wielomianami nierozkładalnymi w k[x] oraz α1, . . . , αnsą liczbami naturalnymi. Zastosujemy indukcję matematyczną względem n.

Niech n = 1. Wtedy

ϕ = f p^α,

p = p1, α = α1. Wielomian f (patrz twierdzenie 3.1.4) ma jednoznaczne przedstawienie postaci f = r_sp^s+ r_s−1p^s−1+ · · · + r₁p + r₀,

gdzie s jest nieujemną liczbą całkowitą oraz r0, r1, . . . , rssą wielomianami należącymi do k[x], stopni mniejszych niż deg p. Dzieląc f przez p^α, otrzymujemy sumę wielomianu i ułamków prostych.

Niech n> 2 i załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n − 1. Oznaczmy:

h = p^α₁¹· · · p^α_n−1ⁿ⁻¹.

Ponieważ wielomiany h i p^α_nⁿ są względnie pierwsze, istnieją takie wielomiany u, v ∈ k[x], że 1 = uh + vp^α_nⁿ. Stąd

ϕ =f g = uf

p^αnⁿ

+ vf

p^α₁¹· · · p^α_n−1ⁿ⁻¹.

Pierwszy składnik jest sumą wielomianu i ułamków prostych. Drugi składnik jest również, na mocy założenia indukcyjnego, sumą wielomianu i ułamków prostych. Twierdzenie zostało zatem wykazane w całej ogólności.

Ułamek prosty jest oczywiście niezerowym ułamkiem właściwym. Wiemy (patrz 7.1.6), że każda funkcja wymierna ϕ ∈ k(x) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci sumy wielomia- nu i ułamka właściwego. Twierdzenie 7.2.1 można zatem udowodnić inaczej. Wystarczy to udowodnić tylko dla ułamków właściwych. W takim przypadku twierdzenie to wynika natych- miast z twierdzeń 7.1.8 i 3.1.4. Otrzymujemy nawet dodatkową informację o jednoznaczności rozkładu. Zanotujmy:

7.2.2. Każdy niezerowy ułamek właściwy ma jednoznaczne przedstawienie w postaci skoń- czonej sumy ułamków prostych.

Z twierdzenia 7.1.8 wynika również następna informacja o rozkładach na ułamki proste.

7.2.3. Niech 0 6= ϕ =

∈ k(x), f, g ∈ k[x], g 6= 0, deg g > 1, deg f < deg g, nwd(f, g) = 1.

Niech g = p

· · · p

będzie rozkładem wielomianu g na czynniki nierozkładalne; p

, . . . , p

są parami niestowarzyszonymi wielomianami nierozkładalnymi w k[x] oraz α

, . . . , α

są liczbami naturalnymi.

Wtedy w rozkładzie funkcji wymiernej ϕ na ułamki proste występują wszystkie ułamki proste z mianownikami p

, . . . , p

.

Pewne przykłady rozkładów funkcji wymiernych na ułamki proste podaliśmy w poprzed- nim podrozdziale. Zanotujmy inne przykłady.

7.2.4. 1

(x − 1)

(x − 2)

= 1

(x − 1)

+ 2

x − 1 + 1

(x − 2)

− 2 x − 2 , 4

(x − 1)

(x − 2)

(x − 3)

= 1

(x − 1)

+ 3

x − 1 + 4

(x − 2)

+ 1

(x − 3)

− 3 x − 3 , 2

(x

+ 1)(x

+ 2)(x

+ 3) = 1

x

+ 1 − 2

x

+ 2 + 1 x

+ 3 ,

7.2.5. 1

(x

+ 1)(x

+ x + 1) = − x

x

+ 1 + 1 + x x

+ x + 1 , x

(x

+ 1)(x

+ x + 1) = − 1

x

+ 1 + 1 + x x

+ x + 1 , 1

(x

+ 1)(x

+ x + 1)

= − 1

x

+ 1 + 1

x

+ x + 1 + 1 + x (x

+ x + 1)

, 1

(x

+ 1)

(x

+ x + 1) = − 2x + 1

x

+ 1 − 1

(x

+ 1)

+ x x

+ x + 1 , 1

(x

+ 1)

(x

+ x + 1)

= − 2x + 1

x

+ 1 − 1

(x

+ 1)

+ 2x + 3

x

+ x + 1 + x

(x

+ x + 1)

.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.3 Twierdzenie Abela

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.3.1 (Twierdzenie Abela). Niech f (x) i g(x) będą niezerowymi wielomianami o współczyn- nikach rzeczywistych. Załóżmy, że deg g(x) = n > 2, deg f (x) 6 n − 2 oraz, że wielomian g(x) ma n parami różnych pierwiastków rzeczywistych a

, . . . , a

. Wtedy

f (a

)

g

(a

) + f (a

)

g

(a

) + · · · + f (a

) g

(a

) = 0,

gdzie g

(x) jest pochodną wielomianu g(x).

. D.

g(x) i zastosujmy do niego 7.1.10. Istnieją takie liczby rzeczywiste λ1, . . . , λ_n, że

f

g = λ1

x − a₁ + · · · + λn

x − a_n.

Mamy wtedy równość f =

n

X

i=1

λ_i g(x) x − ai

=

n

X

i=1

λ_i(x − a₁) · · · \(x − a_i) · · · (x − a_n). Porównując współ- czynniki przy xⁿ⁻¹ otrzymujemy, że λ1+ · · · + λn= 0. Mamy ponadto:

f (ai) = λi

Y

j6=i

(ai− aj) = λi lim

x→ai

g(x) x − ai

= λi lim

x→ai

g(x) − g(a_i) x − ai

= λig⁰(ai).

Zatem f (ai) = λig⁰(ai) dla i = 1, . . . , n. Stąd

n

X

i=1

f (ai) g⁰(a_i) =

n

X

i=1

λi= 0. 

W powyższym twierdzeniu zakładaliśmy, że wielomiany mają współczynniki rzeczywiste.

To założenie nie jest tu istotne. Ciało liczb rzeczywistych można zastąpić dowolnym ciałem (nawet ciałem dodatniej charakterystyki).

7.3.2 (Twierdzenie Abela). Niech k będzie dowolnym ciałem , n > 2 liczbą naturalną oraz a

, . . . , a

parami różnymi elementami ciała k. Niech g(x) = (x − a

) · · · (x − a

) i niech f (x) ∈ k[x] będzie wielomianem stopnia mniejszego niż n − 1. Wtedy

f (a

)

g

(a

) + f (a

)

g

(a

) + · · · + f (a

) g

(a

) = 0, gdzie g

(x) jest pochodną wielomianu g(x).

D.

Rozpatrzmy ułamek właściwy f (x)

g(x) i zastosujmy do niego 7.1.10. Istnieją takie elementy λ1, . . . , λn, należące do ciała k, że

f

g = λ1

x − a₁ + · · · + λn

x − a_n.

Mamy wtedy równość f = λ₁g_i(x) + · · · + λ_ng_n(x), z której wynika, że f (a_i) = λ_ig_i(a_i) dla i = 1, . . . , n. Porównując współczynniki przy xⁿ⁻¹, otrzymujemy równość λ1+ · · · + λn = 0. Ponadto

g⁰(x) = g1(x) + . . . gn(x), więc g⁰(ai) = gi(ai) dla i = 1, . . . , n. Zatem f (ai) = λig⁰(ai) dla i = 1, . . . , n.

Stąd

n

X

i=1

f (ai) g⁰(a_i)=

n

X

i=1

λi= 0.

W twierdzeniu Abela występują wielomiany jednej zmiennej. Istnieje podobnego typu twierdzenie, zwane formułą Jacobiego, dla pewnych wielomianów dowolnej (skończonej) liczby zmiennych. Sformułowanie, dowód i wnioski wynikające z tej formuły znajdziemy na przykład w artykule Arkadiusza Płoskiego [Plo]. Twierdzenie Abela, nazywane również twierdzeniem Eulera, jest szczególnym przypadkiem formuły Jacobiego.

Podamy teraz kilka zastosowań twierdzenia Abela.

7.3.3. Jeśli a, b, c są parami różnymi elementami ciała k, to:

(1) 1

(a − b)(a − c) + 1

(b − a)(b − c) + 1

(c − a)(c − b) = 0,

(2) a

(a − b)(a − c) + b

(b − a)(b − c) + c

(c − a)(c − b) = 0.

7.3.4. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi elementami ciała k, to:

(1)

+

+

+

= 0, (2)

+

+

+

= 0, (3)

+

+

+

= 0.

7.3.5.

n

X

i=1





a

j6=i

1 a

− a





= 0, dla n > 3 i parami różnych liczb a

, . . . , a

.

. Wszystkie powyższe równości są szczególnymi przypadkami twierdzenia Abela 7.3.2.

Drobne modyfikacje dowodu tego twierdzenia pozwalają udowodnić następujące, podobnego typu, twierdzenie.

7.3.6. Niech k będzie dowolnym ciałem , n > 2 liczbą naturalną oraz a

, . . . , a

parami różnymi elementami ciała k i niech g(x) = (x − a

) · · · (x − a

). Wtedy

a

g

(a

) + a

g

(a

) + · · · + a

g

(a

) = 1, a

g

(a

) + a

g

(a

) + · · · + a

g

(a

) = a

+ · · · + a

, gdzie g

(x) jest pochodną wielomianu g(x).

Zanotujmy szczególne przypadki tego twierdzenia.

7.3.7. Jeśli a, b, c są parami różnymi elementami ciała k, to:

(1) a

(a − b)(a − c) + b

(b − a)(b − c) + c

(c − a)(c − b) = 1,

(2) a

(a − b)(a − c) + b

(b − a)(b − c) + c

(c − a)(c − b) = a + b + c.

7.3.8. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi elementami ciała k, to:

(1)

+

+

+

= 1,

(2)

+

+

+

= a + b + c + d.

7.3.9. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami rzeczywistymi, to

a⁴+1

(a−b)(a−c)(a−d)

+

+

+

= a + b + c + d.

([Crux] 2000 s.511 z.2487, wynika to z poprzednich równości)

.

F P. A. Griffiths, Variations on a theorem of Abel, [InvM] 35(1976) 321-390.

Shui-Hung Hou, On a theorem of Abel, [Mon] 116(2009) 629-630.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.4 Funkcje wymierne i jedna zmienna

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.4.1. Jeśli ciąg (a, b, c, d) jest arytmetyczny, to pierwiastki równania

1

x − a + 1

x − b + 1

x − c + 1 x − d = 0 tworzą również ciąg arytmetyczny.

.

7.4.2. Niech f ∈ R(x). Jeśli f (x) = f (

), to istnieje taka funkcja wymierna g ∈ R(x), że f (x) = g



x + 1

x



.

. 7.4.3. Nie ma takich wielomianów f, g, h ∈ R[x] r R, że

f (x + 1)

g(x + 1) − f (x) g(x) = h



1 x



.

([MM] 990)

.

7.4.4. Niech n ∈ N. Istnieje taki wielomian f (t) ∈ R[t], że x

− 1

x

= f



x − 1

x



wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzyste.

.

U. ([G-gk]). Jeśli n jest parzyste, to nie ma nawet żadnej funkcji f : R → R takiej, że xⁿ− 1

xⁿ = f

 x − 1

x

 .

Gdyby taka funkcja f istniała, to dla x = ¹₂ i x = −2 mielibyśmy 1

2ⁿ − 2ⁿ= f 1 2− 1

1/2



= f 1 2 − 2



= f



−3 2



= f



−2 − 1

−2



= (−2)ⁿ− 1

(−2)ⁿ = 2ⁿ− 1 2ⁿ, skąd wynikałaby sprzeczność: 2

 2ⁿ− 1

2ⁿ



= 0.



7.4.5. Dany trójmian kwadratowy f (x) zamieniamy na jeden z trójmianów x

f

1 + 1

x



lub (x − 1)

f

1 x − 1



.

Czy można otrzymać w ten sposób z trójmianu x

+ 4x + 3 trójmian x

+ 10x + 9 ?

.

7.4.6. Niech a, b ∈ R, ab 6= 0 i niech f (x) = 1

ax + b . Następujące warunki są równoważne.

(1) Istnieją takie trzy różne liczby rzeczywiste p, q, r, że f (p) = q, f (q) = r i f (r) = p.

(2) a = −b

.

.

7.4.7. Rozważmy n-tą pochodną funkcji wymiernej

, gdzie k ∈ N. Jest ona postaci P

(x)

(x

− 1)

,

gdzie P

(x) jest wielomianem należącym do R[x]. Znaleźć P

(1).

([Putn] 2002)

.

7.4.8. Niech ϕ = ϕ(x) ∈ R(x). Załóżmy, że istnieje taki nieskończony podzbiór A ⊆ Q, że ϕ(A) ⊆ Q. Wtedy ϕ ∈ Q(x).

.

D.

g(x), gdzie f (x), g(x) 6= 0 są względnie pierwszymi wielo- mianami należącymi do R[x]. Niech r = deg f (x) + deg g(x). Możemy założyć, że deg f (x) > deg g(x) (w przeciwnym wypadku zamieniamy f (x)

g(x) na g(x) f (x)).

Dla r = 0 dowód jest oczywisty. Niech a będzie jedną z liczb wymiernych taką, że g(a) 6= 0 oraz f (a)

g(a) ∈ Q. Oznaczmy:

h(x) = f (x) − g(x)f (a) g(a).

Wtedy h(x) jest wielomianem należącym do R[x] i takim, że h(a) = 0. Zatem h(x) = (x − a)f¹(x), gdzie f1(x) ∈ R[x], deg f^a< deg f . Wtedy

f₁(b) g(b) ∈ Q

dla wszystkich b ∈ A r {a} oraz deg f¹+ deg g < r. Zatem, na mocy indukcji, f1

g ∈ Q(x) i stąd ϕ = f

g ∈ Q(x). 

7.4.9. Niech f (x), g(x) ∈ R[x]. Wiadomo, że dla nieskończenie wielu liczb wymiernych a liczba f (a)/g(a) jest wymierna. Wykazać, że ułamek

można zapisać jako iloraz dwóch wielomianów o współczynnikach wymiernych.

.

F A. S. Jarski, Liczby i funkcje, [Kw] 6/88 13-18.

X. Li, A. Liu, Some properties of functions of the form f (x) = ^x_x²2^+ax+b+cx+d, [MC] 14(2)(2001) 35-41.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.5 Funkcje wymierne i co najmniej dwie zmienne

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.5.1. Jeśli xyz = 1, to

1

1 + x + xy + 1

1 + y + yz + 1

1 + z + zx = 1.

Jeśli xyzt = 1, to 1

1 + x + xy + xyz + 1

1 + y + yz + yzt + 1

1 + z + zt + ztx + 1

1 + t + tx + txy = 1.

([MaS] 4/1993)

.

7.5.2. Niech 0 6 x, y, z 6 1. Jeśli x

1 + y + zx + y

1 + z + xy + z

1 + x + yz = 3 x + y + z , to x = y = z = 1.

.

7.5.3. Znaleźć wszystkie takie pary (a, b) ∈ R

, że układ równań x + y

x

+ y

= a, x

+ y

x

+ y

= b, ma rozwiązanie (x, y) ∈ R

.

.

O. Układ ten ma rozwiązanie ⇐⇒ 0 < ab 6 ⁹8 lub (a, b) = (0, 0).



oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.6 Wielkie twierdzenie Fermata dla wielomianów

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo W tym podrozdziale zakładać będziemy, że k jest ciałem charakterystyki zero. Jeśli f jest wielomianem należącym do k[t] r k, to przez η(f ) oznaczamy liczbę wszystkich różnych pier- wiastków wielomianu f należących do k (algebraicznego domknięcia ciała k). Dla przykładu, jeśli f = t

− t

= t

(t − 1), to η(f ) = 2. Zanotujmy oczywiste własności liczb postaci η(f ).

7.6.1.

(1) η(f ) 6 deg(f ).

(2) η(f

) = η(f ).

(3) η(f g) 6 η(f ) + η(g).

(4) η(f g) = η(f ) + η(g), gdy Jeśli nwd(f, g) = 1.

W dalszym ciągu istotną rolę odgrywać będzie następujące twierdzenie.

7.6.2 (Mason 1984). Niech a, b, c będą względnie pierwszymi wielomianami należącymi do k[t] r k, gdzie k jest ciałem charakterystyki zero. Jeśli a + b = c, to

max{deg a, deg b, deg c} 6 η(abc) − 1.

([Maso], [Laen])

.

D.

f = a

c, g = b c.

Należą one do ciała k(t) i ich suma f + g jest równa 1. Pochodna tej sumy jest zatem równa 0. Mamy więc równość f⁰+ g⁰ = 0. Równość tę możemy zapisać jako f⁰

f f +g⁰

gg = 0 i stąd mamy:

−

f⁰ f g⁰ g

= g f = b

a.

Każdą funkcję wymierną r(t) ∈ k(t) r k można jednoznacznie przedstawić w postaci r(t) = R · (t − u₁)^s1(t − u₂)^s2· · · (t − un)^sn,

gdzie R ∈ k r {0}, u1, . . . , u_n∈ k, s₁, . . . , s_n∈ Z r {0} oraz elementy u1, . . . , u_n są parami różne. Jest oczywiste, że mamy wówczas równość:

r⁰ r = s1

t − u₁ + · · · + sn

t − u_n.

Przedstawmy wielomiany a, b, c w postaci iloczynów wielomianów nierozkładalnych:

a = A · (t − α₁)^l1· · · (t − αL)^lL, b = B · (t − β₁)^m1· · · (t − β_M)^mM, c = C · (t − γ₁)ⁿ¹· · · (t − γ_N)^nN.

Tutaj A, B, C ∈ k r {0}, α1, . . . , α_L, β₁, . . . , β_M, γ₁, . . . , γ_N są parami różnymi elementami ciała k oraz l₁, . . . , l_L, m₁, . . . , m_M, n₁, . . . , n_N są dodatnimi liczbami całkowitymi. Wówczas

f⁰ f =

L

X

i=1

li

t − α_i −

N

X

k=1

nk

t − γ_k, g⁰ g =

L

X

j=1

mi

t − β_j −

N

X

k=1

nk

t − γ_k, a zatem

b a = −

f⁰ f g⁰ g

= −

X li

t − αi

−X nk

t − γk

X mj

t − βj

−X nk

t − γk

.

Rozpatrzmy teraz wielomian

h(t) = (t − α₁) · · · (t − α_L)(t − β₁) · · · (t − β_M)(t − γ₁) · · · (t − γ_N).

Jest jasne, że

η(abc) = deg h, f⁰

f h ∈ k[t], g⁰

gh ∈ k[t] oraz b a = −

f⁰ fh

g⁰ gh.

Stopień wielomianu ^f_f⁰h jest co najwyżej równy deg(h) − 1 = η(abc) − 1. Stopień wielomianu ^g_g⁰h jest również co najwyżej równy deg(h) − 1 = η(abc) − 1. Ponieważ wielomiany a i b są względnie pierwsze, więc z powyżej równości wynika, że deg a6 η(abc) − 1 oraz deg b 6 η(abc) − 1. Ponadto,

deg c = deg(a + b)6 max(deg a, deg b) 6 η(abc) − 1.

Zatem max{deg a, deg b, deg c}6 η(abc) − 1. 

Spójrzmy na oczywistą równość:



t

− 1

+

2t

=

t

+ 1

.

Zachodzi ona w każdym pierścieniu wielomianów k[t]. Z równości tej wynika, że jeśli n = 2, to równanie

X

+ Y

= Z

ma nietrywialne rozwiązanie w pierścieniu k[t]. Pokażemy, że takich nietrywialnych rozwiązań nie ma dla n > 2.

Wyjaśnijmy najpierw co rozumiemy mówiąc ”nietrywialne rozwiązanie”. Dla każdej liczby naturalnej n, w pierścieniu R[t] zachodzi równość



t + 1

+

t + 1

=

√

2(t + 1)

.

Wielomian t + 1 możemy zastąpić dowolnym wielomianem i również taka równość zostanie zachowana. Dla każdego wielomianu a zachodzi także równość

a

+ (−a)

= 0

. Tego rodzaju rozwiązania nie są interesujące.

Niech a, b, c będą wielomianami należącymi do k[t]. Mówić będziemy, że trójka (a, b, c) jest nietrywialnym rozwiązaniem równania X

+ Y

= Z

w pierścieniu k[t], jeśli a

+ b

= c

oraz spełnione są następujące trzy warunki:

(1) a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0;

(2) nwd(a, b, c) = 1;

(3) co najmniej jeden z tych wielomianów jest dodatniego stopnia.

Teraz możemy udowodnić:

7.6.3. Jeśli n > 3, to równanie

X

+ Y

= Z

nie ma nietrywialnych rozwiązań w pierścieniu k[t] (gdzie k jest ciałem charakterystyki zero).

([Laen], [Mart])

.

D.

Rozpatrzmy najpierw przypadki, w których co najmniej jeden z tych wielomianów należy do k.

Jeśli dwa z tych wielomianów należą do k, to trzeci nie należy (bo założyliśmy, że co najmniej jeden nie należy) i wtedy ten trzeci jest algebraiczny nad k, co jest oczywiście sprzecznością. Załóżmy, że dokładnie jeden z wielomianów a, b, c należy do k. Mamy wtedy równość typu fⁿ± gⁿ = u, gdzie 0 6= u ∈ k oraz f, g ∈ k[t] r {0}. Wtedy wielomiany f i g są względnie pierwsze i po zróżniczkowaniu mamy równość

nfⁿ⁻¹f⁰= ∓ngⁿ⁻¹g⁰,

z której wynika, że g | f⁰ oraz f | g⁰. Wtedy deg g6 deg f⁰= deg f − 1, deg f 6 deg g⁰ = deg g − 1 i mamy sprzeczność: deg g6 deg f − 1 6 deg g − 2.

Załóżmy teraz, że a, b, c ∈ k[t] r k, aⁿ+ bⁿ = cⁿ i oznaczmy przez |a|, |b|, |c| odpowiednio stopnie wielomianów a, b, c. Przypomnijmy, że wielomiany a, b, c są względnie pierwsze.